Ta có một số biện pháp biến đổi một biểu thức để có thÓ vËn dông B§T C«si råi t×m cùc trÞ cña nã: * Cách 1: Để tìm cực trị của một biểu thức ta tìm cực trị của bình phơng biểu thức đó.. [r]
Trang 1Một Số ứNG DụNG CủA BấT ĐẳNG THứC CÔ SI
ứNG DụNG 1: Chứng minh bất đẳng thức
Bài toán số 1 Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng
a b c 1 1 1 9.
a b c
*Phân tích:
Vế trái chứa a, b, c > 0 và các nghịch đảo của chúng Vì vậy ta nghĩ đến việc dùng bất đẳng thức Côsi
Lời giải:
Cách 1: áp dụng bất đẳng thức Côsi cho các bộ số a, b, c và
1 1 1 , ,
a b c
ta có:
3 3
3
3
a b c abc
Nhân từng vế của hai bất đẳng thức trên ta đợc:
a b c 1 1 1 9
a b c
(đpcm)
Cách 2:
a b c 1 1 1 3 b a c a b c 3 2 2 2 9
Dấu "=" xảy ra a b c
Bài toán số 1.1 Chứng minh các bất đẳng thức:
a
3
b c a (a, b, c > 0)
b.a2 b2 c2 ab bc ca
Bài toán số 1.2 Chứng minh rằng:
a
2
2
2 2 1
x
x
x R
áp dụng BĐT Côsi cho 2 số x2 +1 và 1
b
8 6 1
x
x
x> 1.
Trang 2áp dụng BĐT Côsi cho 2 số x - 1 và 9.
c. a b ab 1 4 ab
a b, 0
áp dụng BĐT Côsi ta có
2
1 2
Nhân từng vế của 2 BĐT trên ta suy đợc đpcm
Bài toán số 1.3 Chứng minh rằng:
a a b b c c a 8abca b c, , 0
b.a21 b2 b21 c2c21 a2 6abc
áp dụng BĐT Côsi cho 6 số a a b b b c c c a2, 2 2, ,2 2 2, ,2 2 2.
Bài toán số 1.4
a n số dơng a1, a2, , an Chứng minh rằng:
1 2
n
n
a a a
b.Nếu a1, a2, , an dơng và a1a2 an = 1 thì a1+ a2 + + an n
áp dụng BĐT Côsi cho n số dơng trên)
Bài toán số 2 Chứng minh bất đẳng Netbit
3 2
b c a c a b a b c, , > 0
Giải
Đặt x= b + c, y = a + c, z = a +b
Khi đó x, y, z > 0 và
Ta có:
1
b c a c a b
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x= y= z
Cách khác:
Trang 3
1
6 2
x y z
Khai thác bài toán:
Bằng cách tơng tự, ta có thể chứng minh đợc các bất đẳng thức sau: với
a, b, c dơng ta có:
1. 2
b+c+
2
c+a+
2
a+b ≥
9
a+b+c
2. a
2
b+c+
b2 c+a+
c2 a+b ≥
a+b+c
2
Bài toán số 2.2 Cho x, y > 0 Chứng minh rằng 1x+ 1
y ≥
4
x+ y (1) Phân tích:
Do x, y > 0 nên BĐT (1) có thể suy ra từ BĐT Côsi hoặc xét hiệu
Giải Cách 1: Sử dụng BĐT Côsic cho 2 số dơng x, y:
x+ y ≥ 2√xy
⇔( x + y)2≥ 4 xy
⇔ x + y
xy ≥
4
x + y
⇔ 1
x+
1
y ≥
4
x+ y
Cách 2 Xét hiệu của 2 vế:
(1)⇔ 1
x+
1
y −
4
x + y ≥ 0 ⇔ y ( x+ y )+x ( x+ y )− 4 xy
xy ( x + y ) ≥0 ⇔ ( x − y )
2
xy ( x+ y ) ≥ 0 (2)
Do x > 0, y > 0 nên BĐT (2) luôn đúng
Vậy (1) luôn đúng (đpcm)
Khai thác bài toán:
Ta thấy BĐT trên có liên quan đến việc cộng mẫu nên có thể sử dụng để chứng minh BĐT sau:
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác, chứng minh rằng:
1
p − a+
1
p −b+
1
p − c ≥ 2(1a+
1
b+
1
c) trong đó p= a+b +c
2
Bài tập tơng tự:
Bài 1 Chứng minh rằng:
a2+b2
a+b +
b2+c2
c +b +
a2+c2 a+c ≤ 3(a2+b2+c2
a+b+c )
Bài 2 Cho a, b, c, d là các số dơng Chứng minh rằng:
a4
(a+b )(a2+b2)+
b4
(b+ c )(b2+c2)+
c4
(c +d )(c2+d2)+
d2
(d +a )(d2+a2)≥ a+b+c+d
4
Bài 3 Cho 0 ≤ a , b , c ≤ 1 Chứng minh rằng:
Trang 4a2+b2+c2≤ 1+a2b+b2c +c2a
Bài 4 Cho a > 0, b > 0, c > 0 Chứng minh:
bca + b
ac +
c
ab≥ 2(1a+
1
b −
1
c)
Bài 5 Cho x, y, z > 0 Chứng minh rằng:
x2
y +z+
y +z
4 ≥ x
Bài 6 Cho a, b > 0 Chứng minh rằng:
a
√b −√a ≥√b −
b
√a
Bài 7 Cho x, y > 0 Chứng minh rằng:
x3
x2
+xy+ y2≥ 2 x − y
3
Bài 8 Cho x, y ≠ 0 Chứng minh rằng:
x4
+y4≤ x
6
y2+
y6
x2
Bài 9 Cho a, b > 0 Chứng minh rằng:
2√ab
√a+√b ≤
4
√ ab
áp dụng bất đẳng thức Côsi để chứng minh BĐT trong tam giác
Bài toán số 3 Cho a, b, c là độ dài cạnh của một tam giác.
Chứng minh rằng: b+c − a a + b
a+c −b+
c a+b − c ≥ 3.
Giải:
Cách 1
đặt x = b + c – a; y = a + c - b; z = a + b – c
Khi đó x, y, z > 0 và a= x + y
2 ,b=
x+z
2 ,c =
y +z
2 .
Vế trái:
a b+c − a+
b a+c −b+
c a+b − c=
1
2(x+ y z +
y+ z
x +
z+x
y )
¿ 1
2(x y+
y
x+
x
z+
z
x+
y
z+
z
y)≥1
2(2+2+2)=3
Dấu bằng xảy ra
¿
x
y+
y
x=2 x
z+
z
x=2 y
z+
z
y=2
⇔ x= y=z⇔ a=b=c
¿ { {
¿
Cách 2
Trang 5Nhận xét: Do a, b, c, là độ dài 3 cạnh của tam giác nên ta có:
a + b - c > 0; a + c –b > 0; b + c - a > 0
áp dụng BĐT Côsi cho các cặp số dơng:
√(a+b − c )(a+ c − b) ≤ a+b −c +a+c − b
√(a+c −b )(b+ c − a) ≤ c
√(b+ c − a)(a+ b −c )≤ b
Nhận thấy các vế của BĐT trên là các số dơng và 3 BĐT này cùng chiều, nhân từng vế của chúng ta đợc:
(a+b − c) (a+c −b)(b+c − a)≤abc
Ta có:
a
b+c − a+
b a+c −b+
c a+b − c ≥ 3
3
√abc(b+c −a )( a+c − b) (a+b− c )
3√3abcabc=3
Bài tập 3.1. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác ABC, a ≤ b ≤ c
Chứng minh rằng: (a+b +c )2≤ 9 bc (*)
Giải Vì a ≤ b⇒(a+b+c )2≤ (b+b+c )2
=(2 b+ c)2.
để chứng minh (*) ta cần chứng minh: (2 b+c )2≤ 9 bc (1)
Thật vậy:
(2 b+ c )2≤ 9 bc
⇔ 4 b2
+4 bc+c2≤ 9 bc
⇔ 4 b2
− 4 bc+c2≤ bc
⇔ (2b − c)2≤ bc
Ta có:
0<2 b − c ≤ 2b − b=b 0<2 b −c ≤2 c − c=c
}
⇒(2 b −c )2≤ bc
(đpcm)
Bài tập 3.2 Chứng minh rằng
a
3
√b2+c2+
b
3
√c2+a2+
c
3
√a2+b2<2.
3
√ 4 (*) Trong đó a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác
Giải
Ta có
b3
+c3≥1
4(b +c )
2
Thật vậy:
Trang 6( 1)⇔4(b3
+c3 )≥ b3
+c3
+3 b2c+3 bc2
⇔b3
+c3−b2c − bc2≥0
⇔b2
(b − c )− c2(b − c )≥ 0
⇔(b − c)(b2− c2 )≥ 0
⇔(b − c)2
(b+ c )≥ 0
Luôn đúng suy ra (1) đúng
Tơng tự: a3+c3≥1
4( a+c )
2
a3+b3≥1
4(a+b )
2
Do đó:
a
3
√b2+c2+
b
3
√c2+a2+
c
3
√a2+b2<
3
√ 4(b +c a +
b a+c+
c a+b)(3)
Mà:
¿
(b+c a +
b a+c+
c a+b)= 2 a
2(b +c)+
2b 2(a+c )+
2c 2(a+b)<¿
2 a
b+a+c+
2 b
a+b+c+
2 c
a+b+c=2
¿
(4 )
Do:
¿
a+b >c
b+c>a
a+c>b
¿ { {
¿
Từ (3) và (4) suy ra điều phải chứng minh
Các bài tập khác:
Bài tập 3.3 Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác và có chu vi là 2.
Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 + 2abc < 2
Bài tập 3.4 Cho a, b, c là 3 cạnh của 1 tam giác Chứng minh rằng:
a2 (b+ c − a)+b2 (a+c −b )+ c2 (a+ b −c ) ≤3 abc
Bài tập 3.5 Giả sử a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác.
Chứng minh rằng: ( √3a+√3b+√3c)(31
√a+
1
3
√b+
1
3
√c)− a+b +c3
√ abc ≤ 6
Bài tập 3.6 Giả sử a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác.
Chứng minh rằng (a+b +c )(1a+
1
b+
1
c)+3 (a −b )(b − c )( c − a)
Bài tập 3.7 Cho a, b, c, d > 0 và a + b + c + d = 1
Chứng minh rằng:
√a+b+c+√b +c +d +√b+d +a+√c+d+a ≤2√3
ứNG DụNG 2: ứng dụng bất đẳng thức Côsi để tìm cực trị
* Với a 0, b 0 ta có a b 2 ab , dấu “=” xảy ra a = b
Trang 7* Với n số không âm: a1 , a2 , …, an ta có: 1 2 n 1 2
a a a n a a a
Dấu “=” xảy ra a1 = … = an
* Từ BĐT trên ta suy ra:
+ Nếu a.b = k (const) thì min(a + b) = 2 k a = b
+ Nếu a + b = k (const) thì max(a.b) =
2
4
k
a = b
* Mở rộng đối với n số không âm:
+ Nếu a1.a2…an = k (const) thì min(a1 + a2 + … + an) = nn k
a1 = a2 = … = an
+ Nếu a1 + a2 + …+ an = k (const) thì max(a1.a2…an) =
n k n
a1 = a2 = … = an
Ví dụ: Cho x > 0, y > 0 thoả mãn:
2
x y
Tìm GTNN của A = x y
Bài làm:
Vì x > 0, y > 0 nên
1
x > 0,
1
y > 0, x > 0, y > 0 Ta có:
.
4
Cs
xy
Vậy min A = 4 x = y = 4
Nhận xét: Trong ví dụ trên ta đã sử dụng BĐT Côsi theo 2 chiều ngợc
nhau:
a b
để dùng điều kiện tổng
2
x y từ đó đợc xy 4
+ Dùng a b 2 ab “làm giảm” tổng x y để dùng kết quả xy 4
Trang 8 Không phải lúc nào ta cũng có thể dùng trực tiếp BĐT Côsi đối với các số trong đề bài Ta có một số biện pháp biến đổi một biểu thức để có thể vận dụng BĐT Côsi rồi tìm cực trị của nó:
* Cách 1: Để tìm cực trị của một biểu thức ta tìm cực trị của bình
ph-ơng biểu thức đó.
Bài giải
Điều kiện:
3 x 3
Ta có: A2 = ( 3x – 5 ) + ( 7 – 3x ) + 2 3x 5 7 3 x
A2 ( 3x – 5 + 7 – 3x ) + 2 = 4
Dấu “=” xảy ra 3x – 5 = 7 – 3x x = 2
Vậy max A2 = 4 max A = 2 x = 2
Ta thấy A đợc cho dới dạng tổng của 2 căn thức Hai biểu thức lấy căn có tổng không đổi (bằng 2) Vì vây, nếu bình phơng A sẽ xuất hiện hạng tử là 2 lần tích của 2 căn thức Đến đây có thể vận dụng BĐT Côsi
2 ab a b
* Cách 2: Nhân và chia biểu thức với cùng một số khác 0
Ví dụ: Tìm GTLN của A =
9 5
x x
Bài giải:
Điều kiện: x 9 Ta có:
.3
x
x A
Dấu “=” xảy ra
9
3
x
x
Vậy max A =
1
18
30 x
Trang 9 Trong cách giải trên, x – 9 đợc biểu diễn thành
9 3 3
x
khi vận
dụng BĐT Côsi tích này trở thành nửa tổng:
3
x
x
có dạng kx có thể rút gọn cho x ở mẫu ( số 3 đợc tìm bằng cách lấy 9, số 9 có trong
đề bài)
* Cách 3: Biến đổi biểu thức đã cho thành tổng của các biểu thức sao cho tích của chúng là một hằng số.
Ví dụ 1: ( Tách một hạng tử thành tổng của nhiều hạng tử bằng nhau)
Cho x > 0, tìm GTNN của A =
4 3
3x 16
x
Bài giải
A =
4 3
3x 16
x
=
4
3x x x x 4 x x x
A 4.2 = 8 ( dấu “=” xảy ra 3
16
2
x
) Vậy min A = 8 khi x = 2
Ví dụ 2: (Tách một hạng tử chứa biến thành tổng của một hằng số với
một hạng tử chứa biến sao cho hạng tử này là nghịch đảo của một hạng
tử khác có trong biểu thức đã cho)
Cho 0 < x < 2, tìm GTNN của A =
2
x
x x
Bài giải
A
Dấu “=” xảy ra
x
Vậy min A = 7
1 2
x
Trang 10 Trong cách giải trên ta đã tách
2
x thành tổng
2
1
x x
Hạng tử
2 x
x
nghịch đảo với 2
x x
nên khi vận dụng BĐT Côsi ta đợc tích của chúng là một hằng số
* Cách 4: Thêm một hạng tử vào biểu thức đã cho
Ví dụ: Cho x, y, z > 0 thoả mãn: x + y + z = 2
Tìm GTNN của P =
y z z x x y
Bài giải
Vì x, y, z > 0 ta có:
áp dụng BĐT Côsi đối với 2 số dơng
2
x
y z và 4
y z
ta đợc:
x
(1) Tơng tự ta có:
2
2
(2) 4
(3) 4
y x z
y
x z
z
x y
Cộng (1) + (2) + (3) ta đợc:
2 1 2
x y z
y z z x x y
x y z
P x xy z
Dấu “=” xảy ra
2 3
x y z
Vậy min P = 1
2 3
x y z
Nhận xét: Ta đã thêm 4
y z
vào hạng tử thứ nhất
2
x
y z có trong đề bài,
để khi vận dụng BĐT Côsi có thể khử đợc (y + z) Cũng nh vậy đối với 2
Trang 11hạng tử còn lại của đề bài Dấu đẳng thức xảy ra đồng thời trong (1), (2),
(3)
2 3
x y z
Nếu ta lần lợt thêm (y + z), (x + z), (x + y) vào
y z x z x y thì ta cũng khử đợc (y + z), (x + z), (x + y) nhng điều quan trọng là không tìm
đợc các giá trị của x, y, z để dấu của các đẳng thức đồng thời xảy ra, do
đó không tìm đợc GTNN của P
áp dụng các cách trên cùng với việc sử dụng BĐT Côsi ta có các ví
dụ khác nh sau:
Tìm GTLN của P =
Phân tích: a, b, c > 0
3
3
3 3
abc
abc
Do đó có thể khai triển P rồi ớc lợng theo BĐT Côsi
Bài giải
Cách 1:
1
P
a b c ab bc ac abc
áp dụng BĐT Côsi cho 3 số dơng ta có:
3 3
1
3 1
abc
(1) Mặt khác:
2 3 3
2 3
(2) (1) + (2) ta có: P 1 32 27 27 64 Vậy min P = 64
Cách 2:
Trang 12
3
4
1
4
P a a b c b a b c c a b c
abc
abc
Tæng qu¸t: cho S = a + b + c
t×m GTLN cña P =
VD 2: T×m GTLN cña B =
2
x
Bµi gi¶i
1.( 1)
2
4
2 2
x
y
max B =
T×m GTNN cña B =
Bµi gi¶i
Ta cã: B =
= 1 +
2
xy
xy
VËy min B = 9
1 2
x y
VD 4 : Cho x, y, z > 0 tho¶ m·n:
2
1 x 1 y 1 z
T×m GTNN cña P = xyz
Bµi gi¶i
Trang 13Ta có:
Tơng tự:
1 2
1 2
zx
xy
1 8
P xyz
Vậy max P =
8 x y z 2
VD 5: Cho M = 3x2 – 2x + 3y2 – 2y + 6 |x| + 1
Tính giá trị của M biết x, y là 2 số thoả mãn x.y = 1 và biểu thức |x + y| đạt GTNN
Bài giải:
Ta có: x y 2CS4xy 4 x y 2
Min |x + y| = 2 khi x = y, khi đó
1 2
xy
x y
Khi x = y = 1 hoặc x = y = - 1
+ Khi x = y = 1 thì M = 9
+ Khi x = y = - 1 thì M = 17
VD 6:
Cho các số thực không âm a1, …, a5 thoả mãn: a1 + … + a5 =1 Tìm GTLN của A = a1a2 + a2a3 + a3a4 + a4a5
Bài giải
Ta có: A = a1a2 + a2a3 + a3a4 + a4a5 (a1 + a3 + a5)(a2 + a4)
2
2 1
2
1 4
a a a a a
a a a a a
a a a a a
A
Trang 14Vậy max A =
1 4
1 1
2
VD 7: Cho a, b > 0 Tìm GTNN của A =
x
( x > 0)
Bài giải
x a x b x2 ax bx ab ab
Dấu “=” xảy ra
ab
x
VD 8: Tìm GTNN của hàm y =
1 x x với 0 < x < 1
Bài giải
Ta có: y =
( 0 < x < 1)
=
Dấu “=” xảy ra
2 1 1
x
VD 9: Cho a, b > 0 cho trớc.
Các số x, y > 0 thay đổi sao cho
1
a b
x y
Tìm x, y để S = x + y đạt GTNN Tìm min S theo a, b
Bài giải
Ta có:
1
Trang 152 2
bx ay
y x
ay bx
Mµ
a b
VD 10: T×m GTNN cña P =
2
4 16 56 80 356
2 5
Bµi gi¶i
Ta cã: P =
2
= 2
2
256
2 5
CS
Suy ra min P = 64 x = 1 hoÆc x = - 3
Bµi tËp t¬ng tù
BT 1: Cho x, y > 0 tho¶ m·n x y = 1 T×m GTLN cña A = 4 2 2 4
x y x y
BT 2: T×m GTLN cña c¸c biÓu thøc sau:
2
2
2 2 2 2 2 2 2
2
1
1
2 8
1 1 1
1 1
2000
B
xyz x
x D
x x
E
x
G
x
x
Trang 16BT 3: Cho a, b, c > 0 tho¶ m·n
2
1 a 1 b1 c T×m GTLN cña biÓu thøc Q = abc
BT 4: Cho x, y > 0 tho¶ m·n x + y = 1 T×m GTNN cña biÓu thøc
P =
BT 5: T×m GTNN cña c¸c biÓu thøc sau:
2
2
2 2
2 2
2
1 2 1 1
1 5
1 2
x x
x x
x
x x C
x x
x x
x x
x x x
x
BT 6: Cho x, y > 0 th¶o m·n x2 y2 4 T×m GTNN cña biÓu thøc
E =
BT 7: T×m GTLN vµ GTNN cña A = 3 x 6 x; 3 x 6
BT 8: T×m GTLN cña A = x 1 y1 biÕt
2
x y
x y
BT 9: Cho a, b > 0 tho¶ m·n a b = 216
T×m GTNN cña S = 6a + 4b
BT 10: Cho a, b > 0 tho¶ m·n
1 1
a b
Trang 17
Tìm GTNN của A =
a b
b a
BT 11: Cho a, b > 0 thoả mãn
3 6
a ab
Tìm GTNN của S = a2 b2
BT 12: Cho x, y, z 0 thoả mãn xy + yz + zx = 100
Tìm GTNN của A = xyz
BT 13: Với giá trị nào của a thì tích xy nhận GTLN nếu x, y, a là các số
thực thoả mãn
2
4
1
4
x a a y
BT 14: Tìm GTNN của A =
8
x a x
biết a > 0, x > 0
BT 15: Với giá trị nào của số dơng a thì biểu thức D đạt GTNN ?
A =
a
BT 16: Tìm GTNN của C = x100 10x10 2004
BT 17: Tìm GTLN của E =
x xy y
x y
x xy y
BT 18: Tìm GTLN của tích x x1 2 ;x n n 2
Biết
1
; 1,
i
n
và
BT 19: Tìm GTLN của B = 19952 ; 0
x
x
BT 20: Tìm GTNN của N = 2
5
x
x y x y
biết rằng x, y > 0
BT 21: Tìm GTLN của H =
2
1
x x
với 1 x 1
BT 22: Tìm GTLN của biểu thức:
P =
y z x z x y
Trang 18Với mọi x, y, z biến đổi nhng luôn thoả mãn 0 x y z, , 1
BT 23: Tìm GTNN của
1 ,
f x y x
xy x y
;
x y
BT 24: Tìm GTLN của
2 2
2 1
x x
BT 25: Tìm GTLN của
8 1
x x
với x > 1