c Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh AC thì tổng BM.BD + CM.CA có giá trị không đổi.. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BH, DH...[r]
Trang 1PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH THỦY
ĐỀ THI HỌC SINH NĂNG KHIẾU NĂM HỌC 2010 – 2011
MễN TOÁN LỚP 8
Đề thi cú : 01 trang.
(Thời gian làm bài: 150 phút không kể thời gian giao đề)
Câu 1 ( 6 điểm):
Cho biểu thức : A=(x −21 −
2 x
4 − x2 + 1
2+x)⋅(2x −1) (với x 0, 2) a) Rút gọn A
b) Tính giá trị của biểu thức A tại x thoả mãn: 2x2 + x = 0
c) Tìm x để A= 1
2 d) Tìm x nguyên để A nguyên dơng
Câu 2 ( 4 điểm):
a)Chứng minh đẳng thức : (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a)
b) Cho a,b,c là ba số thoả mãn điều kiện a+b+c=1 và a3+b3+c3=1
Chứng minh rằng: a2011+b2011+c2011=1
Câu 3 ( 4 điểm):
a) Chứng minh m, n, p, q ta đều có m ❑2 + n ❑2 + p ❑2 + q ❑2 +1
m(n+p+q+1)
b) Tìm các số nguyên dơng x, y thoả mãn 3xy x 15y 440
Câu 4 ( 6 điểm):
Cho tam giỏc ABC vuụng tại A Lấy một điểm M bất kỳ trờn cạnh AC Từ C vẽ một đường thẳng vuụng gúc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E
a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC và EAD ECB
b) Cho BMC 1200 và S AED 36cm2 Tớnh SEBC?
c) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trờn cạnh AC thỡ tổng BM.BD + CM.CA
cú giỏ trị khụng đổi
d) KẻDH BC HBC Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của cỏc đoạn thẳng BH,
DH Chứng minh CQPD
Hết
Họ và tên học sinh: , số báo danh:
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH THỦY
Đề chớnh thức
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH NĂNG KHIẾU NĂM HỌC 2010 – 2011
MễN TOÁN LỚP 8
Câu 1 ( 6 điểm): Cho biểu thức : A=(x −21 −
2 x
4 − x2+
1
2+x)⋅(2x −1) với x 0, 2 a) Rút gọn A
b) Tính giá trị của biểu thức A tại x thoả mãn: 2x2 + x = 0
c) Tìm x để A= 1
2 d) Tìm x nguyên để A nguyên dơng
điểm
a) A=(x −21 −
2 x
4 − x2 + 1
2+x)⋅(2x −1) = =
4 2
x
2đ
b) 2x2 + x = 0 x(2x + 1) = 0 x= 0(Không thỏa mãn ĐK)
hoặc x =
1 2
Với x =
1 2
thì A =
4 8
1 3 2 2
1đ 0,5đ
c) Để A =
1
2 hay
4 2
x
=
1
2 x +2 = -8 x = -10
1đ
d) Để A nguyên dơng thì x+2 là ớc âm của 4, khi đó:
x + 2 = -1 x= -3 khi đó A = 4
x + 2 = -2 x = -4 khi đó A = 2
x + 2 = -4 x = -6 khi đó A = 1
0,5đ 0,5đ 0,5đ
Câu 2 ( 4 điểm):
a)Chứng minh đẳng thức : (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a)
b) Cho a,b,c là ba số thoả mãn điều kiện a+b+c=1 và a3+b3+c3=1
Chứng minh rằng: a2011+b2011+c2011=1
điểm
a) Ta có: (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = [(a + b + c)3 - a3] - (b3 + c3)
= (b + c)[(a + b + c)2 + (a + b + c)a + a2] - (b + c)(b2 - bc + c2)
= (b + c)(3a2 + 3ab + 3bc + 3ca) = 3(b + c)[a(a + b) + c(a + b)]
= 3(a + b)(b + c)(c + a)
Vậy (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a)
0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ b) Do a3+b3+c3=1 và a+b+c=1 ta có a3+b3+c3 = (a+b+c)3
⇔ 3(a+b)(b+c)(c+a)=0 ( theo phần a)
⇔ a=-b hoặc b=-c hoặc c=-a
Nếu a=-b ta có a2011+ b2011+ c2011 = a2011 - a2011+ c2011 = c2011= 1
Tơng tự ta cũng có kết luận nh trên
0,5đ 0,5đ 0,5đ
Trang 3Vậy a2011 + b2011 + c2011 = 1 0,5đ
Câu 3 ( 4 điểm):
a) Chứng minh m, n, p, q ta đều có
m ❑2 + n ❑2 + p ❑2 + q ❑2 +1 m(n+p+q+1)
b) Tìm các số nguyên dơng x, y thoả mãn 3xy x 15y 440
điểm
a) m ❑2 + n ❑2 + p ❑2 + q ❑2 +1 m(n+p+q+1)
⇔(m42− mn+n
2
)+(m42− mp+ p
2
)+(m42− mq+q
2
)+(m42− m+1)≥ 0
⇔(m2 − n)2+(m2 − p)2+(m2− q)2+(m2−1)2≥ 0 (luôn đúng)
Dấu bằng xảy ra khi {m2 −n=0
m
2 − p=0
m
2 −q=0
m
2 −1=0
⇔ {n= m
2
p= m
2
q= m
2
m=2
⇔ {n= p=q=1 m=2
1đ 0,5đ
0,5đ
b) 3xy x 15y 44 0 x 5 3y 1 49
x, y nguyên dơng do vậy x + 5, 3y + 1 nguyên dơng và lớn hơn 1
Thoả mãn yêu cầu bài toán khi x + 5, 3y + 1 là ớc lớn hơn 1 của 49 nên
có:
x 5 7 x 2
3y 1 7 y 2
Vậy phơng trình có nghiệm nguyên là x = y = 2
0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ
Câu 4 ( 6 điểm):
Cho tam giỏc ABC vuụng tại A Lấy một điểm M bất kỳ trờn cạnh AC Từ C vẽ một đường thẳng vuụng gúc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC và EAD ECB
b) Cho BMC 1200 và S AED 36cm2 Tớnh SEBC?
c) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trờn cạnh AC thỡ tổng BM.BD + CM.CA
cú giỏ trị khụng đổi
d) KẻDH BC HBC Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của cỏc đoạn thẳng BH, DH Chứng minh CQPD
điểm
Trang 4I P
Q
H
E
D
A
M
a)* Chứng minh EA.EB = ED.EC
- Chứng minh EBD đồng dạng với ECA (gg)
- Từ đó suy ra
EA EB ED EC
* Chứng minh EAD ECB
- Chứng minh EAD đồng dạng với ECB (cgc)
- Suy ra EAD ECB
0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ
b) Từ BMC = 120o AMB = 60o ABM = 30o
- Xét EDB vuông tại D có B= 30o
ED =
1
2 EB
1 2
ED
- Lý luận cho
2
EAD ECB
từ đó S
ECB = 144 cm2
0,5 đ
0,5 đ 0,5 đ
c)- Chứng minh BMI đồng dạng với BCD (gg)
- Chứng minh CM.CA = CI.BC
- Chứng minh BM.BD + CM.CA = BC2 có giá trị không đổi
Cách 2: Có thể biến đổi BM.BD + CM.CA = AB2 + AC2 = BC2
0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ
d)- Chứng minh BHD đồng dạng với DHC (gg)
2 2
- Chứng minh DPB đồng dạng với CQD (cgc)
0,5 đ 0,5 đ
0,5 đ
Trang 5
BDP DCQ
ma BDP PDC
Ghi chú:
- Nếu học sinh giải theo cách khác đáp án mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa.
- Trong quá trình chấm bài giám khảo vận dụng linh hoạt đáp án, nghiên cứu kỹ bài làm của học sinh Cần thống nhất chia điểm nhỏ tới 0,25 điểm.