Chuyên đề biến đổi các biểu thức hữu tỉ, giá trị của phân thức

Biến đổi các biểu thức hữu tỉ - Biểu thức hữu tỉ là một phân thức hoặc biểu thị một dãy các phép toán: cộng, trừ, nhân chia trên những phân thức.. - Biến đổi một hiểu thức hữu tỉ thành m

Trang 1

BIẾN ĐỐI CÁC BIỂU THỨC HỮU TỈ - GIÁ TRỊ CỦA PHÂN THỨC

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Biến đổi các biểu thức hữu tỉ

- Biểu thức hữu tỉ là một phân thức hoặc biểu thị một dãy các phép toán: cộng, trừ, nhân chia trên những phân thức

- Biến đổi một hiểu thức hữu tỉ thành một phân thức nhờ các quy tắc của phép toán cộng, trừ, nhân, chia các phân thức đã học

2 Giá trị của phân thức

- Giá trị của một phân thức chỉ đuợc xác định với điều kiện giá trị của mẫu thức khác 0

- Chú ý: Biểu thức hữu tỉ có hai biến x và y thì giá trị của biểu thức đó chi đuợc xác định vói các cặp số (x;y) làm cho giá trị của mẫu thức khác 0

II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

A.CÁC DẠNG BÀI MINH HỌA

Dạng 1: Tìm điều kiện xác định của phân thức

Phương pháp giải: Ta xác định các giá trị của biến để mẫu thức khác 0

Bài 1: Tìm x để giá trị của mỗi phân thức sau xác định:

a) 5 ;

2 6

x

x b) 2 2 ;

4





x

x x d) 3 2

27





x x

a) 4 ;

3 8

a

a b) 32 6 ;

2



b

b b c) 23 ;

5



y

Bài 3: Tìm x để giá trị mỗi phân thức sau được xác định:

a)

2

1

;

9 16



x

x b) 22 1 ;

6 9



 

x

x x c) 32 4 ;





x

x x d) 3 21



x

x x x Dạng 2: Biến đổi biểu thức hữu tỷ thành phân thức

Phương pháp giải: Thực hiện theo hai bước:

Bước 1 Sử dụng kết hợp các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia phân thức đại số đã học để biến đổi;

Bước 2 Biến đổi cho tới khi được một phân thức có dạng A

B với A và B là các đa thức, B khác đa thức 0

Bài 4: Biến đổi các biểu thức sau thành phân thức:

Trang 2

a)

1

2

1

2







x

A

x

với x0 và 1;

2



2

4 1

2 2 1

2 4









 

y B

y

với y 2

Bài 5: Đưa các biểu thức sau thành phân thức:

a)

15 2

6 7

 



 

x

x A

x

với x0;3; 4 b) 2

2

1 3 9

1

3 9



y y

vớiy0

a)

2 2

4

, 0, 0, 2

1 2



n n

m n

3 1

3





x

x x

Dạng 3: Thực hiện phép tính với các biểu thức hữu tỷ

Phương pháp giải: Sử dụng kết hợp các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia phân thức đại số đã học để biến đổi

Bài 7: Thực hiện các phép tính sau:

2 1 2 1

2

 

B

x x x x x với x0,x 3

Bài 8: Rút gọn các biểu thức sau:

A

a ab a ab a b với a0,a 4 ;b

B

Bài 9: Cho biểu thức

'

P

a) Tìm điều kiện xác định;

b) Rút gọn phân thức;

c) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức P bằng 3;

2 d) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức bằng 9;

2

 e) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức bằng 1

Dạng 4: Tìm x để giá trị của một phân thức đã cho thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp giải: Ta sử dụng các kiến thức sau:

Trang 3

• A 0

B khi và chỉ khi A và B cùng dấu;

0

A

B  khi và chỉ khi A và B trái dấu

• Hằng đẳng thức đáng nhớ và chú ý a2 0 vói mọi giá trị của a

• Với a;b Z và b0 ta có: a Z b

b  Ư (a)

Bài 10: Cho phân thức 2

1







x A

x với x1;

a) Tìm x để A1; b) Tìm x để A

Bài 11: Cho phân thức

2

2 2 3

 





B

x với x3;

a) Tìm x để B0; b) Tìm x để B

Bài 12:

a) Tìm x để phân thức 2 8

4 12



 

A

x x đạt giá trị lớn nhất;

b) Tìm x để phân thức 2 5

2 11

 

 

B

x x đạt giá trị lớn nhất

HƯỚNG DẪN Dạng 1: Tìm điều kiện xác định của phân thức

a) 5 ;

2 6

x

x b) 2 2 ;

4





x

x x d) 3 2

27





x x Hướng dẫn a) x 3 b)x 2 c)x0; 1

2

x 

 d)x3

a) 4 ;

3 8

a

a b) 32 6 ;

2



b

b b c) 23 ;

5



y

Hướng dẫn

3



a b) b0; b 2 c)x d)y1;y2 Bài 3: Tìm x để giá trị mỗi phân thức sau được xác định:

a)

2

1

;

9 16



x

x b) 22 1 ;

6 9



 

x

x x c) 32 4 ;





x

x x d) 3 21



x

x x x

Trang 4

Hướng dẫn

3

x  b) x3 c)x 0;x  3

2

 d)x 0;x 1;x 3

Dạng 2: Biến đổi biểu thức hữu tỷ thành phân thức

a)

1

2

1

2







x

A

x

với x0 và 1;

2



x b)

2

4 1

2 2 1

2 4









 

y B

y

với y 2

Hướng dẫn

a) 2 1 : 2 1 2 1

2 1

x A



     



b)

2

B

Bài 5: Đưa các biểu thức sau thành phân thức:

a)

15 2

6 7

 



 

x

x A

x

với x0;3; 4 b) 2

2

1 3 9

1



y y

vớiy0

Hướng dẫn



A

a)

2 2

4

, 0, 0, 2

1 2



n n

m n

3 1

3





x

x x

Hướng dẫn

2



M

  x x  x x

N

Dạng 3: Thực hiện phép tính với các biểu thức hữu tỷ

Trang 5

Bài 7: Thực hiện các phép tính sau:

2 1 2 1

2

 

B

x x x x x với x0,x 3

Hướng dẫn

b)

 2

3 ( 3)( 3) 9 3

3 3



B

x

Bài 8: Rút gọn các biểu thức sau:

A

a ab a ab a b với a0,a 4 ;b

B

Hướng dẫn

a)

16





A

B

Bài 9: Cho biểu thức

2

'

P

a) Tìm điều kiện xác định;

b) Rút gọn phân thức;

c) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức P bằng 3;

2 d) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức bằng 9;

2

 e) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức bằng 1

Hướng dẫn a) Tìm được x 6;x0

b) Gợi ý: x34x26x36 ( x6)(x22x6)

Ta tìm được

2

2 6 2

 

 x x P

x

2 2







x

d) Tương tự câu c) tìm được x 6(KTM) hoặc x 1(TM)

e)P 1 x24x  6 0 (x2)2 2 0 ( vô nghiệm)

Vì (x2)2  2 2 0 với mọi x Do vậy x

Trang 6

Dạng 4: Tìm x để giá trị của một phân thức đã cho thỏa mãn điều kiện cho trước

Bài 10: Cho phân thức 2

1







x A

x với x1;

a) Tìm x để A1; b) Tìm x để A

Hướng dẫn

a) Ta có A >1 dẫn đến 3 0 1

1  

b) Ta có: 1 3

1

 



A

x nên A  (x1) nhận giá trị là Ư(3) Từ đó tìm được x  2;0; 2; 4 Bài 11: Cho phân thức 2 2 2

3

 





B

x với x3;

a) Tìm x để B0; b) Tìm x để B

Hướng dẫn

a) Ta có

2

       

x x x nên B  0 x 3

b) Ta có 2 8

3

  



B x

x nên B  (x3) nhận giá trị là Ư(8) Từ đó tìm được

 5; 1;1; 2; 4;5;7;11 

  

Bài 12:

a) Tìm x để phân thức 2 8

4 12



 

A

x x đạt giá trị lớn nhất;

b) Tìm x để phân thức 2 5

2 11

 

 

B

x x đạt giá trị lớn nhất

Hướng dẫn a) Ta có x24x12 ( x2)2 8 8 hay 2 1 1

4 128

 

x x dẫn đến M 1 Từ đó tìm được giá trị lớn nhất của M = 1 khi x = 2

b) Tương tự ta có x22x11 ( x1)210 10 hay 2 1 1 1

11 10   2

x x Giá trị nhỏ nhất của 1

2

 

N khi x = -1 Chú ý : Ở bài 12 Ta dựa vào lập luận

   

B.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN

Trang 7

Bài 1: Tìm điều kiện xác định của phân thức:

a)

16

9

4

2



x

4 4

1 2

2  

 x x x

c)

1

4

2



x

x x

x



2

3

a) 21 2

2x 1

x y x



c) 25x

6x 10

y

x



x y



a) 2 25 6

1

x

(x1)(x3) c) 22 1

x



Bài 4:Rút gọn các phân thức sau:

a) 5

10

2

xy y

6

x y xy

4

3 3

x y





3( )

x x y

x y

y x



 Bài 5: Rút gọn các phân thức sau:

a) 2 162 ( 0, 4)

4

x

x x

2 6

x x

 

 

 c) 15 ( )23 ( ( ) 0)

x x y

y x y





Bài 6: Rút gọn, rồi tính giá trị các phân thức sau:

a) (2 23 2 )( 2)2

A



2



 với x 5,y10 Dạng 3: Thực hiện phép tính với các biểu thức hữu tỷ

Bài 7: Thực hiện phép tính:

Trang 8

a) x 5 1 x

2 1 4

a) 2x 4 2 x

b) 3x 2x 1 2 x

2 2

2 2 2 2

4 2

1 1

2

2 2

2 1

x x x

x x

x









 Bài 9: Thực hiện phép tính:



x

x x

2

3

2

x y x y x2 y2

2  1  3

x y

2 2

 

 Dạng 4: Tìm x để giá trị của một phân thức đã cho thỏa mãn điều kiện cho trước Bài 10: Tìm các giá trị nguyên của biến số x để biểu thức đã cho cũng có giá trị nguyên:

a) x3xx212



Bài 11:Tìm giá trị của biến x để:

a) P

x2 x

1

2 6



  đạt giá trị lớn nhất

2

1

2 1

 



  đạt giá trị nhỏ nhất

HƯỚNG DẪN

Trang 9

a)

16

9

4

2



x

điều kiện xác định 4

3

x  b)

4 4

1 2

2  

 x x

c)

1

4

2



x

điều kiện xác định x 1 d)

x x

x



2

3 5

điều kiện xác định 0,1

2

x   

a)

x2 y2

1

 điều kiện xác định 0

0

x y





 

2 2

2

2 1



  điều kiện xác định x1

x2 x

5

6 10



  điều kiện xác định  x 

( 3) ( 2)



2

x y

 



 

 Bài 3: Tìm điều kiện xác định của phân thức:

x

2

5 6

1

 

 điều kiện xác định x 1 b)

2 ( 1)( 3)điều kiện xác định 1

3

x x

 



 



x2 x

2 1

5 6



   x

x2 5x 6 0 x 3 x 2 0 x 23

d)

x2 y2 x

4

2 2

   điều kiện xác định x2y22x  2 0  x1 2y2 1 0( luôn đúng với mọi x y, )

Bài 4:Rút gọn các phân thức sau:

a) 5x

x

y

4 ( 0)

2  2x c) x y xy

xy

2 3

2

7

2xy



d) 2x42y

2

x y

x y

3 3







5 3

y x

15 ( ) ( ) 3( )





5



Bài 5: Rút gọn các phân thức sau:

Trang 10

a) x x x

x x

2 2

16 ( 0, 4) 4

x

2 4 3 ( 3)



4

x



x x y y x y

y x y

3

2

15 ( ) ( ,( ) 0)

xy y

2

2 ( , 0)

3x x y

y



3

x x y

y x y





x y

 Bài 6: Rút gọn, rồi tính giá trị các phân thức sau:

3

(2 2 )( 2)

( 4 )( 1)



2



3

(2 2 )( 2)

( 4 )( 1)



2

Thay x 1

2

 vào biểu thức A ta có:

1

A



b) B x x y xy

x y

3 3



 với x 5,y10

Ta có B x x y xy

x y

3 3





x y

x y x xy y

 



Thay x 5,y10 vào biểu thức B ta có: 5 1

5 10

B   

  Dạng 3: Thực hiện phép tính với các biểu thức hữu tỷ

a) x 5 1 x

5



8

x y



2 1 4 x2 5x 1

xy



Trang 11

d) xy x y xy x y

y x y x

y

a) 2x104 2 15x 2 2 3 2 2 2x 8

x

b) 3x 2x 1 2 x

2

2 2 2 2



2

 

4 2

1 1

2

2 2

2

1

x x x

x x

x











4  2

x



x

x x

2

3

4

2

4

x

x x



2

x

          

x

x 26x 2





2

x





x y x y x2 y2

2  1  3

x y x y2 x y  x y x yx y   x y x y3 

x y

2 2

 



 2 2 2

Trang 12

x y x y3x 3y 3 



x y





Dạng 4: Tìm x để giá trị của một phân thức đã cho thỏa mãn điều kiện cho trước

Bài 10: Tìm các giá trị nguyên của biến số x để biểu thức đã cho cũng có giá trị nguyên:

a) x x

x

3 2 2

1



 

2

x x

x

 

  Do xđể biểu thức nhận giá trị nguyên thì

   

1

Vậy x  1,0,2,3Thì biểu thức có giá trị nguyên

x

3 2 2 4

2



2

x x

x

 

Do xđể biểu thức nhận giá trị nguyên thì x 2 U  4    1, 2, 4 Ta có bảng giá trị:

2

Vậy x   2, 1,0, 2,3,6thì biểu thức có giá trị nguyên

x

3 2

2 1

x



1

2 1

x

  



Do xđể biểu thức nhận giá trị nguyên thì 2x 1 U   1  1

2

Vậy x 1,3 thì biểu thức có giá trị nguyên

Bài 11:Tìm giá trị của biến x để:

a) P

x2 x

1

2 6



1

1 5 x



 

Để Pmax thì  2

1 5 min

x  mà  2

1 5 5

5 Max P khi x 1

2 2

1

2 1

 



  đạt giá trị nhỏ nhất

Trang 13

ĐS: minQ 3 khi x 1

4

========== TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ==========

Định dạng
Số trang	13
Dung lượng	537,07 KB