Chứng minh rằng với mọi n thoả mãn điều kiện đề bài, Sn là số nguyên.. Vẽ đờng tròn O1 đờng kính AE và đờng tròn O2 đờng kính BE.[r]
Trang 1Sở giáo dục và đào tạo Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS
Tỉnh ninh bình năm học 2007 - 2008
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm 01 trang
Câu 1 ( 4,0 điểm)
Cho các số dơng: a; b và x = 2 ab
b2 +1 Xét biểu thức P =
√a+x +√a − x
√a+ x −√a − x+
1
3b
1 Chứng minh P xác định Rút gọn P
2 Khi a và b thay đổi, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của P
Câu 2 (3,0 điểm)
Tìm x; y; z thoả mãn hệ sau:
{y x33−3 y −2=4 − 2 z − 3 x −2=2− y
z3−3 z − 2=6 − 3 x
Câu 3 ( 4,0 điểm)
Với mỗi số nguyên dơng n ≤ 2008, đặt Sn = an +bn , với a = 3+√5
2 ; b =
3 −√5
1 Chứng minh rằng với n ≥ 1, ta có Sn + 2 = (a + b)( an + 1 + bn + 1) – ab(an + bn)
2 Chứng minh rằng với mọi n thoả mãn điều kiện đề bài, Sn là số nguyên
3 Chứng minh Sn – 2 = [ ( √5+1
2 )n −( √5− 1
2 )n]2 Tìm tất cả các số n để Sn – 2 là số chính phơng
Câu 4 (7,0 điểm)
Cho đoạn thẳng AB và điểm E nằm giữa điểm A và điểm B sao cho AE < BE Vẽ đờng tròn (O1) đờng kính AE và đờng tròn (O2) đờng kính BE Vẽ tiếp tuyến chung ngoài MN của hai
đờng tròn trên, với M là tiếp điểm thuộc (O1) và N là tiếp điểm thuộc (O2)
1. Gọi F là giao điểm của các đờng thẳng AM và BN Chứng minh rằng đờng thẳng EF vuông góc với đờng thẳng AB
2. Với AB = 18 cm và AE = 6 cm, vẽ đờng tròn (O) đờng kính AB Đờng thẳng MN cắt đ-ờng tròn (O) ở C và D, sao cho điểm C thuộc cung nhỏ AD Tính độ dài đoạn thẳng CD
Câu 5 ( 2,0 điểm)
Để lựa chọn học sinh khối lớp 9 có điểm tổng kết cao nhất các bộ môn để tham dự kiểm tra đánh giá chất lợng học kỳ I năm học 2007-2008, với tổng số 99 học sinh đợc các thày giáo, cô giáo lập danh sách đề nghị chọn kiểm tra đã có: 50 học sinh giỏi Toán; 45 học sinh giỏi Ngữ văn; 48 học sinh giỏi Tiếng Anh; 25 học sinh giỏi cả Toán và Ngữ văn; 22 học sinh giỏi cả Toán
và Tiếng Anh; 15 học sinh giỏi cả Ngữ văn và Tiếng Anh; 6 học sinh không giỏi bất cứ môn nào trong các môn trên Hãy tính số học sinh giỏi cả 3 môn Toán, Ngữ văn và Tiếng Anh
-
Hết -Họ và tên thí sinh : Số báo danh
Chữ kí giám thị 1 ……… Chữ kí giám thị 2 ………
hớng dẫn chấm thi môn toán
kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS năm học 2007-2008
Câu 1 (4,0 điểm)
1 (2,75 điểm)
Ta có: a; b; x > 0 ⇒ a + x > 0 (1)
0,25 0,25 0,25
đề thi chính thức
Trang 2Xét a – x =
b −1¿2
¿
a¿
¿
(2)
Ta có a + x > a – x ≥ 0 ⇒ √a+x −√a − x ≠ 0 (3)
Từ (1); (2); (3) ⇒ P xác định
Rút gọn:
Ta có: a + x =
b+1¿2
¿
a¿
b2+1=¿
a - x =
b −1¿2
¿
a¿
a − 2 ab
b2+1=¿
⇒ √a − x=|b− 1|√b2a+1
⇒ P =
(b+1)√b2a+1+|b− 1|√b2a+1 (b+1)√b2a+1−| b −1|√b a2+1
+ 1
3 b=
1
3 b
Nếu 0 < b < 1 ⇒ P = 2
2 b+
1
3 b=
4
3 b
Nếu b 1 ⇒ P = b+ 1
3 b=
3 b2+1
3 b
2 (1,25 điểm)
Xét 2 trờng hợp:
Nếu 0 < b < 1, a dơng tuỳ ý thì P = 4
3 b ⇒ P 4
3
Nếu b 1 , a dơng tuỳ ý thì P = b+ 1
3 b=(b3+
1
3 b)+2 b
3
Ta có: b
3+
1
3 b ≥
2
3 , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi b = 1 Mặt khác: 2 b
3 ≥
2
3 , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi b = 1 Vậy P 2
3+
2
3=
4
3 , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi b = 1 KL: Giá trị nhỏ nhất của P = 4
3
0,25 0,25 0,50
0,50
0,25 0,25
0,25 0,25 0,25
0,25 0,25
Câu 2 (3,0 điểm)
Biến đổi tơng đơng hệ ta có
1,00 0,50
Trang 3x+1¿2=2− y
¿
y +1¿2=2(2 − z )
¿
z +1¿2=3 (2− x)
¿
(x −2)¿
¿
Nhân các vế của 3 phơng trình với nhau ta đợc:
(x - 2)(y - 2) (z - 2)(x+1)2(y+1)2(z+1)2= - 6(x - 2)(y - 2) (z - 2)
⇔ (x - 2)(y - 2) (z - 2)
z+1¿2+6
y +1¿2¿
x +1¿2¿
¿
¿
= 0
⇔ (x - 2)(y - 2) (z - 2) = 0
⇔ x = 2 hoặc y = 2 hoặc z = 2
Với x = 2 hoặc y = 2 hoặc z = 2 thay vào hệ ta đều có x = y = z = 2
Vậy với x = y = z = 2 thoả mãn hệ đã cho
0,25 0,25 0,25 0,50 0,25
Câu 3 (4,0 điểm)
1 (1,0 điểm)
Với n ≥ 1 thì Sn + 2 = an+2 + bn+2 (1)
Mặt khác: (a + b)( an + 1 +bn + 1) – ab(an +bn) = an+2 + bn+2 (2)
Từ (1); (2) ta có điều phải chứng minh
2 (1,5 điểm)
Ta có: S1 = 3; S2 = 7
Do a + b =3; ab =1 nên theo 1 ta có: với n ≥ 1 thì Sn+2 = 3Sn+1 - Sn
Do S1, S2 Z nên S3 Z; do S2, S3 Z nên S4 Z
Tiếp tục quá trình trên ta đợc S5; S6; ; S2008 Z
3 (1,5 điểm)
Ta có Sn – 2 = [ ( √25+
1
2)2]n+[ ( √25−
1
2)2]n −2
= [ ( √5+12 )n]2+[ ( √5 −12 )n]2−2[ ( √5+12 )( √5 −12 ) ]n
= [ ( √5+ 12 )n −( √5− 12 )n]2 đpcm
Đặt a1 = √5+1
2 ; b1 =
√5 −1
2 ⇒ a1 + b1 = √5 ; a1b1 = 1 Xét Un= a1n+b1n
Với n ≥ 1 thì Un+2 = (a1 + b1)(a1n+1 + b1n + 1) – a1b1(a1 + b1 ) ⇒ Un+2 = √5 Un+1 – Un
Ta có U1 = 1 Z; U2 = √5 Z; U3 = 4 Z; U4 = 3 √5 Z;
Tiếp tục quá trình trên ta đợc Un nguyên ⇔ n lẻ
Vậy Sn – 2 là số chính phơng ⇔ n = 2k+1 với k Z và 0 k ≤ 1003
0,25 0,50 0,25 0,50 0,50 0,25 0,25
0,25
0,25 0,25
0,25
0,25 0,25
Câu 4 (7,0 điểm)
I
N
D
F
Trang 41 (4,0 ®iÓm) O1M; O2N MN ⇒ O1M/ / O2N
Do O1; E; O2 th¼ng hµng nªn ∠ MO1E = ∠ NO2B
C¸c tam gi¸c O1ME; O2NB lÇn lît c©n t¹i O1 vµ O2 nªn ta cã: ∠ MEO1= ∠ NBO2 (1)
MÆt kh¸c ta cã: ∠ AME = 900 ⇒ ∠ MAE + ∠ MEO1= 900
(2)
⇒ ∠ MAE + ∠ NBO2 = 900 ⇒ ∠ AFB = 900
⇒ Tø gi¸c FMEN cã 3 gãc vu«ng ⇒ Tø gi¸c FMEN lµ h×nh ch÷ nhËt
⇒ ∠ NME = ∠ FEM
(3)
Do MN MO1 ⇒ ∠ MNE + ∠ EMO1 = 900
(4)
Do tam gi¸c O1ME c©n t¹i O1 ⇒ ∠ MEO1 = ∠ EMO1
(5)
Tõ (3); (4); (5) ta cã: ∠ FEM + ∠ MEO1= 900 hay ∠ FEO1 = 900 (®pcm)
2 (3,0 ®iÓm)
Ta cã EB = 12 cm ⇒ O1M = 3 cm < O2N = 6 cm
⇒ MN c¾t AB t¹i S víi A n»m gi÷a S vµ B
Gäi I lµ trung ®iÓm CD ⇒ CD OI ⇒ OI// O1M //O2N ⇒ O1M
O2N =
SO1
SO2
⇒ SO2 = 2SO1 ⇒ SO1+O1O2 = 2SO1 ⇒ SO1= O1O2
Do O1O2 = 3 + 6 = 9 cm ⇒ SO1= O1O2 = 9 cm ⇒ SO =SO1 + O1O = 15cm
MÆt kh¸c: OI
SO
SO1 ⇒ OI = 5 cm XÐt tam gi¸c COI vu«ng t¹i I ta cã: CI2 + OI2= CO2 ⇒ CI2 + 25 = CO2
Ta cã: CO = 9 cm ⇒ CI2 + 25 = 81 ⇒ CI = √56
⇒ CD = 4 √14 cm
0,50 0.50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,25 0,25 0,25 0,25 0,50 0,25 0,50 0,50
0,25 0,25 0,25
C©u 5 (2,0 ®iÓm)
Gäi x lµ sè häc sinh giái c¶ 3 m«n To¸n, Ng÷ v¨n vµ TiÕng Anh ( x > 0; x Z)
Sè häc sinh chØ giái mét m«n To¸n lµ: 50 - 25 - (22 - x)
Sè häc sinh chØ giái mét m«n Ng÷ v¨n lµ: 45 - 25 - (15 - x)
Sè häc sinh chØ giái mét m«n TiÕng Anh lµ: 48 - 22 - (15 - x)
Do cã 6 häc sinh kh«ng giái bÊt kú m«n nµo trong c¸c m«n trªn nªn ta cã:
99 - 6 = 50 - 25 - (22 - x) + 45 - 25 - (15 - x) + 48 - 22 - (15 - x) + 25 + (22 - x) + (15 - x)
⇔ x = 12
Sè häc sinh giái c¶ 3 m«n lµ 12 häc sinh
0,25 0,50 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25
C S