Tìm vị trí của C để chu vi tứ giác ABDC bằng 28cm, khi đó tính phần diện tích của tứ giác nằm ngoài O.. Bài 5: 3 điểm Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là số nguyên và hai [r]
Trang 1Sở Giáo dục & Đào tạo Kỳ thi chọn HSG truyền thống 19/4
Môn: Toán lớp 9
Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1: (4 điểm)
Cho A =
1+x¿3
¿
1 − x¿3
¿
√ ¿
√1−√1 − x2 ¿
¿
1 Rút gọn A
2 Tìm x biết A 12
Bài 2: (4 điểm)
1 Giải hệ phương trình:
¿
3 xy=4( x+ y )
5 yz=6( y +z )
7 zx=8 (z+ x)
¿ { {
¿
2 Giải phương trình: x4 + 9 = 5x(3 – x2)
Bài 3: (4 điểm)
1 Cho a, b > 0 Chứng minh rằng: a+b2 ≥√ab
2 Chia 10 số: 2; 3; 4; 5; 7; 8; 9; 10; 12; 14 làm thành hai nhóm rồi lấy tích các số trong mỗi nhóm Gọi M là tổng của hai tích số đó Tìm giá trị nhỏ nhất của M và chỉ ra ít nhất 4 cách chia sao cho M nhỏ nhất
Bài 4: (5 điểm)
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB Gọi Ax, By là các tiếp tuyến tại A và B của (O) Tiếp tuyến tại điểm M tuỳ ý của (O) cắt Ax và By lần lượt tại C và D
1 Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp OCD
2 Cho AB = 8cm Tìm vị trí của C để chu vi tứ giác ABDC bằng 28cm, khi đó tính phần diện tích của tứ giác nằm ngoài (O)
Bài 5: (3 điểm)
Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là số nguyên và hai lần số đo diện tích bằng ba lần số đo chu vi
-
Trang 2HẾT -HƯỚNG DẪN
Bài 1: (4 điểm)
1 A xác định khi: –1 x 1
A = √(√1− x −√1+x)2
2 .[(√1+x +√1− x)(2−√1 − x2)]
2−√1 − x2
= |√1− x −√1+x|.(√1+x +√1 − x)
¿
√2 x khi 0 ≤ x ≤1
−√2 x khi −1 ≤ x ≤ 0
¿ {
¿
2 A 12
Khi 0 x 1 thì √2 x ≥1
2√2
Khi –1 x 0 thì −√2 x ≥1
2 x ≤ − 1
2√2
Vậy A 12 −1 ≤ x ≤− 1
2√2 hoặc 1
2√2≤ x ≤ 1
Bài 2: (4 điểm)
1 Nhận xét: x = y = z = 0 là 1 nghiệm của hệ
Nếu x 0 thì y và z 0, khi đó chia các vế của từng phương trình cho xy; yz; zx, ta được:
¿
3 xy=4( x+ y )
5 yz=6( y +z )
7 zx=8 (z+ x)
¿ { {
¿
¿
3
1
x+
1
y
5
1
y+
1
z
7
1
z+
1
x
¿ { {
¿
¿
3
1
x+
1
y
5
1
y+
1
z
7
1
z+
1
x
59
1
x+
1
y+
1
z
¿ { { {
¿
¿
19
1
x
17
1
y
23
1
z
¿ { {
¿
¿
x =48
19
y=48
17
z=48
23
¿ { {
¿
Trang 32 Vì x = 0 không phải là nghiệm của nên chia 2 vế của phương trình cho x2, ta được:
x4 + 9 = 5x(3 – x2) (x −3
x)2+ 5(x −3
x)+6=0
x −3
x=−2
¿
x −3
x=−3
¿
¿
¿
¿
x2+2 x − 3=0
¿
x2
¿
¿
¿
¿
x=1
¿
x=−3
¿
x= −3 ±√21
2
¿
¿
¿
¿
(có thể dùng PP nhẩm nghiệm để đưa về phương trình tích)
Bài 3: (4 điểm)
1 a, b > 0, ta có: (√a −√b)2=a+b − 2√ab ≥ 0
a+b2 ≥√ab
2 Gọi a và b là các tích số trong từng nhóm thì:
ab = 2.3.4.5.7.8.9.10.12.14 = 210.34.52.72
M = a + b 2 √ab = 2.25.32.5.7 = 20160 MinM = 20160 a = b = 10080
Và có ít nhất 4 cách chia như sau:
2; 7; 8; 9; 10 3; 4; 5; 12; 14 8; 9; 10; 14 2; 3; 4; 5; 7; 12 2; 4; 9; 10; 14 3; 5; 7; 8; 12 2; 3; 10; 12; 14 4; 5; 7; 8; 9
Bài 4: (5 điểm)
1 OCD vuông tại O (OC và OD là phân giác 2 góc kề bù)
I là trung điểm của CD thì IO = IC = ID và IO AB tại O Nên AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp OCD
Trang 42 Đặt AC = x (cm) và BD = y (cm)
CABDC = AB + 2(AC + BD) x + y = 10 Mặt khác : OM2 = MC.MD xy = 16
Giải hệ:
¿
x+ y=10
xy=16
¿ {
¿
ta được
¿
x =2 y=8
∨
¿x=8 y=2
¿ {
¿ Vậy C cách A 1 đoạn AC = 2cm và BD = 8cm
hoặc AC = 8cm và BD = 2cm
Cả 2 trường hợp trên hình thang vuông ABDC có cùng diện tích:
S1 = 40 (cm2) Diện tích nửa hình tròn (O):
S2 = 8 (cm2) Vậy phần diện tích tứ giác ABDC nằm ngoài đường tròn:
S = S1 – S2 = 40 – 8 (cm2)
Bài 5: (3 điểm)
Gọi a, b, c lần lượt là cạnh huyền và 2 cạnh góc vuông của vuông Khi đó: a, b, c N và a 5; b, c 3
Ta có hệ phương trình:
¿
a2
=b2 +c2 (1)
bc=3 (a+b +c)(2)
¿ {
¿ (1): a2 = b2 + c2 = (b + c)2 – 2bc = (b + c)2 – 6(a + b + c)
a2 + 6a + 9 = (b + c)2 – 6(b + c) + 9
(a + 3)2 = (b + c – 3)2
a + 3 = b + c – 3
a = b + c – 6
(2): bc = 3(b + c – 6 + b + c) = 3(2b + 2c – 6)
(b – 6)(c – 6) = 18
Nên ta có các trường hợp sau:
1 b – 6 = 1 và c – 6 = 18 thì b = 7; c = 24 và a = 25
2 b – 6 = 2 và c – 6 = 9 thì b = 8; c = 15 và a = 17
3 b – 6 = 3 và c – 6 = 6 thì b = 9; c = 12 và a = 15