De HSG Toan 920162017 10

Chứng minh vị trí này diện tích Δ MAB là lớn nhất 2/ Gọi B’ là điểm đối xứng của B qua trục Ox.. Khi N là giao điểm của AB’ với trục hoành ...[r]

CHUYÊN ĐỀ 29:

HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ SỰ TƯƠNG QUAN GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VỚI

ĐƯỜNG THẲNG,ĐƯỜNG THẲNG VỚI PARABOL.

I/ KIẾN THỨC CƠ BẢN:

-Vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a≠ 0)

Khi b = 0 ⇒ y = ax :Đồ thị là đường thẳng đi qua gốc toạ độ (0;0) và điểm M(1;a) Khi b ≠ 0: Cần xác định hai điểm phân biệt thuộc đồ thị

-Viết phương trình đường thẳng:

Viết dạng tổng quát đường thẳng y = ax + b ( a ≠ 0 ) (d)

D ựa vào dữ liệu bài toán lập hai pt có chứa ẩn a và b

Giải pt tìm a và b thay giá trị vừa tìm được vào pt đường thẳng (d)

-Tìm toạ độ giao điểm của hai đường thẳng y = ax + b (d) ;y = a’x+ b’ (d’)

Lập pt hoành độ giao điểm của (d) và (d’) :ax + b = a’x+ b’

Giải pt tìm nghiệm x (x=x0)

Kết luận (x0; y0) là toạ độ giao điểm hai dường thẳng

 Lưu ý : Chứng minh ba đường thẳng đồng quy : Tìm toạ độ giao điểm của hai trong ba đường thẳng , sau đó thay toạ độ này vào pt còn lại Nếu hai vế bằng nhau thì ba đường thẳng đồng quy

 Định tham số m để ba đường thẳng đồng quy: tương tự như trên khi thay toạ độ giao điểm vào pt còn lại ta được pt theo tham số m Giải pt này được giá trị m cần tìm

 Các công thức thường gặp :

Độ dài đoạn thẳng AB = (x B x A)2 (y B  y A)2

Toạ độ trung điểm I đoạn thẳng AB : xI = x A+xB

2 và yI = y A+y B

2

2/ Hàm số bậc hai:

-Vẽ đồ thị hàm số y = ax2 (a≠0)

-Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng y = ax + b với đồ thị hàm số y = ax2

Viết phương trình hoành độ giao điểm của (d) va ø( P) ax + b= ax2

Giải phương trình bậc hai theo ẩn x

II/ BÀI TẬP GIẢI MẪU

Bài1 : Trong mặt phẳng toạ độ 0xy cho tam giác ABC có cạnh AB: x- 2y +1 = 0 Cạnh AC :  3x – 4y +1 = 0 và I(4;3) là trung điểm của BC

a) Viết phương trình đường trung tuyến AI

b)

Viết phương trình cạnh BC

( Thay câu a) bởi: Tìm m để đường thẳng y = mx + 13 đồng qui với hai đường thẳng có phương trình là cạnh AB; AC)

Giải

a) Toạ độ giao điểm A là nghiệm của phương trình:

¿

x −2 y+1=0

3 x − 4 y +1=0

¿{

¿ Giảiû hệ ta được A(1;1)

Phương trình đường thẳng AI có dạng y = ax + b (d)

A,I (d) nên:

¿

4 a+b=3 a+b=1

¿{

¿ Giải hệ ta được: a= 32 ; b = 13

Vậy phương trình đường trung tuyến AI : y = 32x+1

3

-Tìm m để đường thẳng y = mx + 13 đồng qui với hai đường thẳng có phương trình là cạnh AB; AC: Ta tìm toạ độ giao điểm A của hai đường thẳng AB, AC

Thay toạ độ giao điểmA(1;1) vào y = mx + 13 ⇒ m = 32

b) Gọi C(m;n) thì B(8-m ; 6-n)

Giải thích cách suy ra toạ độ B: Vì I(4;3) trung điểm BC nên:

¿

8=m+x B 6=n+ y B

¿{

¿

Vì B,C thuộc AB, AC nên ta có phương trình:

¿

−m+2 n −3=0

3 m− 4 n+1=0

¿{

¿

⇔

¿

−m+2 n=3

3 m− 4 n=−1

¿{

¿ Giải hệ ta được: m=5 ; n= 4

⇒ C (5;4) ; B(3;2)

Phương trình đường thẳng BC : y = ax +b

BC thuộc đường thẳng nên:

¿

3 a+b=2

5 a+b=4

¿{

¿

⇔

¿

a=1 b=−1

¿{

¿ Vậy phương trình BC : y = x – 1

Bài 2: Trong mặt phẳng toạ độ 0xy cho các đường thẳng (d1) :mx – y – 2 = 0; (d2): 3x + my -5 = 0 1/ Tìm toạ độ giao điểm của (d1) và (d2)

2/ Tìm các giá trị của m để giao điểm của (d1) và (d2)

Có toạ độ (x;y) thoả điều kiện x>0; y<0

3/ Ứng với giá trị m nguyên dương tìm được ở câu 2), vẽ đồ thị (d1) ,ø (d2) trong cùng hệ trục toạ độ

1/ Tìm toạ độ giao điểm của (d1) ,ø (d2) là nghiệm của phương trình:

¿

mx − y −2=0

3 x+my −54=0

¿{

¿

Từ (1) ⇒ x = 2+ y m (3)

Thế (3) vào (2) ta được :y= 2 m+5

m2+3

Vậy toạ độ giao điểm : (2m+5

m2+3 ;

5 m− 6

m2+3 )

2/Theo đề :

¿

x>0

y <0

⇔

¿2 m+5

m2+3 >0

5 m+6

m2+3 <0

¿{

¿

⇔ m> − 5

2

m<6

5

¿ {

Vậy , − 52 <m<6

5

3/ Giá trị m nguyên dương thoả − 52 <m<6

5 là m =1 Khi m=1 thì (d1) : y = x - 2

(d2) :y =-3x +5

Vẽ (d1) và(d2) trên cùng hệ trục Oxy (Tự vẽ)

Bài 3: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC biết pt đường thẳng qua ba cạnh của nó

là AB: 2x + 3y -5=0 ;

AC :x+7y -19 = 0 ; BC: x-4y + 3 = 0

1/Tìm toạ độ ba đỉnh A,B,C

2/ Tính diện tích tam giác ABC

Giải

1/ Tìm toạ độ giao điểm A giải hpt :

¿

2 x +3 y −5=0 x+7 y −19=0

⇔

¿2 x +7 y=5 x+7 y=19

⇒ A(− 2;3)

¿{

¿ Tương tự :B(1;1) ;C(5;2)

2/Viết pt đường thẳng qua A và vuông góc với BC có dạng y = ax + b (d)

(d) vuơng gĩc với BC nên a = -4

A (d )⇒ xA=−2 ; yA=3

Thay a = -4 ;xA = -2 ;yA = 3 vào (d) ta được b = -5

Vậy ,(d) : y = -4x -5

Tìm chân đường cao H: H là giao điểm của đường thẳng (d) và đường thẳng BC

¿

4 x + y=−5

x − 4 y =−3

⇔

¿x= −23

17

17

¿{

¿

H( 17− 23 ; 7

17 )

Tính chiều cao AH: Aùp dụng cơng thức tính khoảng cách qua hai điểm ta được (

y H − y A

¿

x H − x A¿2+ ¿

¿

.AH= √2057

17

Khoảng các hai điểm B,C : √42+12

=√17

Diện tích tam giác : S = 1

2AH BC=

1

2

√2057

1

2√2057

11

2 (đvdt) Bài 4: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho (P) y = 14 x2

và (d) y = − 12 x+2

1/ Gọi A ,B là các giao điểm của (P) và (d) Tìm điểm M trên cung AB của (P) sao cho diện tích tam giác MAB lớn nhất

2/ Tìm điểm N trên trục hồnh sao cho NA + NB ngắn nhất

Giải

1/ Tìm toạ độ giao điểm A,B của (P) và (d) :

Phương trình hồnh độ giao điểm : 14 x2=− 1

2 x+2 ⇔ x2

+2 x − 8=0

Giải ta được : x1 = -4 ; x2 = 2 A(-4;4) ;B(2;1)

Phương trình đường thẳng (d’) song song (d) cĩ dạng : y = − 12 x+m

Ta cĩ : (d’) tiếp xúc (P) ⇔ pt hồnh độ giao điểm (d’) và (P) cĩ nghiệm kép : x2 + 2x - 4m = 0

4

Chứng minh vị trí này diện tích ΔMAB là lớn nhất

2/ Gọi B’ là điểm đối xứng của B qua trục Ox B’(2;-1) Ta cĩ :NA + NB = NA + NB’ AB '

khơng đổi

Vậy , NA + NB ngắn nhất bằng AB’

Khi N là giao điểm của AB’ với trục hồnh

Ta có : AB’ : y = − 56 x +2

3 và y = 0 Suy ra : N( 45;0¿

Lưu ý : Cần vẽ hình vào (tự vẽ)

Bài 5 :

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho (P) :y = -x2 và đường thẳng (d) qua điểm I(0:-1) có hệ số góc bằng k

1/ Viết pt đường thẳng (d) Cm: Với mọi giá trị của k đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B

2/ Cm :|xA –xB| 2 (xA;xB là hoành độ của A và B)

3/ Cm: ΔOAB vuông

Giải

1/ Phương trình đường thẳng (d) là : y = kx - 1

Pt hoành độ giao điểm (d) và (P) : x2 + kx – 1 = 0

+4 >0 ∀ k ∈ R¿

¿ Nên (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A v2 B

2/ Theo định lí Vi-ét : xA.xB =-1 ⇒ xB= − 1 x

A Ta có :|xA-xB|=|xA+ x1

A |=|xA|+ | x1

A | 2

3/ Ta có : A(xA; -xA2) ; B(xB;- xB2); O(0;0)

OA = √x A2+x A4

OB = √x B2+x B4

AB =

y − y A¿2

¿

x B − x A¿2+¿

¿

OA2 + OB2 = (xA2+xB4) + (xB2+xB4) = AB2

Vậy,tam giác OAB vuông tại O

Cách khác : OA :y = -xA.x

OB : y = -xB.x

Ta có : Tích hai hệ số góc của OA và OB bằng (-xA).(-xB)=-1

Nên OA OB

<III> BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN :

Cho hàm số y = − x2

2 (P)

a/ Vẽ (P)

b/ Gọi (D) là đường thẳng qua điểm A(0;-4) và có hệ số góc bằng -1

i/ Viết pt đường thẳng (D)

ii/ Xác định toạ độ giao điểm B,C của (P) và (D) ( B là điểm có hoành độ âm )

c/ Gọi M (D) và N (P) sao cho

¿

x M+x N=− 2

2 y N −3 y M=2

¿{

¿

.Xác định toạ độ M và N

Hướng dẫn

a/ Tự giải

b/ i/ Phương trình đường thẳng (D) y = -x-4

ii/ B(-2 ;-2) C(4;-8)

c/ Đặt t = xM ⇒ y M=−t −4 xN = -t -4

xN = -t-2 ⇒ yN = - −t − 2¿

2

¿

¿

¿ Theo đề :

-(t-2)2- 3(-t-4) = 2 ⇔ t2 + t -6 = 0 ⇔t1=−3 ;t2=2

t1 = -3 :M(-3;-1) ;N(1; − 12 )

t2 = 2 :M(2;-6);N(-4;-3)

*Phương trình tiếp tuyến

Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho (P) :y = x2

a/ Viết pt tiếp tuyến với (P) song song với đường thẳng y = 2x – 3

b/ Gọi M(x0;y0).Tìm sự liên hệ giữa x0 ,y0 để từ M có thể kẻ được hai tiếp tuyến với (P)

Giải

a/ Hệ số góc tiếp tuyến là 2

Pt tiếp tuyến có dạng y = 2x +b

Theo đề bài pt x2 = 2x +b có nghiệm kép ⇔ x2

Vậy pt đường thẳng cần tìm có pt y = 2x – 1

b/ Gọi a là hệ số góc tiếp tuyến d qua M thì npt tiếp tuyến có dạng y= ax + b1

M(x0; y0) d ⇔ y0= ax0+b1⇔ b1=y0−ax0

Do đó , d :y = ax + y0 - ax0

Theo đềbài thì pt hoành độ giao điểm của (P) và d phải có nghiệm kép ⇔ x2

=ax + y0−ax0 có nghiệm kép ⇔ x2

− ax0+ax0− y0=0(1)

Rõ ràng số nghiệm pt (1) (ẩn số a) s4 cho biết số tiếp tuyến kẻ từ M đến (P)

Như vậy : Từ M kẻ đuợc 2 tiếp tuyến với (P) 2 x0¿2−4 y0

⇔ Δ '=¿ >0

⇔ x02− y0>0(2) Hệ thức (2) chỉ rằng điểm M phải thuộc miền ngoài của (P)

Chú ý : Lập luận dựa vào các phép toán đã được thực hiện trên ta có thể chỉ ra thêm :

M (P) có đúng một tiếp tuyến qua M

M ( miền trong của (P)) không có tiếp tuyến qua M

Bài tập :

Bài 1: Cho (P) y = − 14 x2 và (d) y = mx – 2m - 1

1/Tìm m sao cho (D) tiếp xúc với (P)

2/ Chứng tỏ (D) luôn luôn đi qua điểm cố định A (P)

Bài 2:Trong hệ trục toạ độ , gọi (P) và (D) lần lượt có đồ thị của y= − x2

4 ; y = x + 1 1/ Chứng tỏ (D) tiếp xúc với (P)

2/ Viết phương trình đường thẳng (d) song song với (D) và cắt (P) tại diểm có tung độ bằng -4