CHUYEN DE PT DA THUC THANH NHAN TU CAC PP CUC HAY

CHUYÊN Đề Phân Tích đa thức thành nhân tử Đ1: PP đặt nhân tử chung Đ2: PP dùng hằng đẳng thức.. đã học trong SGK Đ3: PP nhóm nhiều hạng tử Đ4: PP tách hạng tử hoặc thêm bớt.. * Có nhiề

CHUYÊN Đề

Phân Tích đa thức thành nhân tử

Đ1: PP đặt nhân tử chung

Đ2: PP dùng hằng đẳng thức (đã học trong SGK) Đ3: PP nhóm nhiều hạng tử

Đ4: PP tách hạng tử hoặc thêm bớt

Dạng1: f(x) = ax2 + bx +c

VD1: f(x) = x2 + x - 6

C1, = x2 + 3x - 2x - 6 = x(x + 3) - 2(x + 3) = (x+ 3)(x - 2)

C2, = x2 - 9 + x + 3 =(x - 3)(x + 3) +(x + 3) =(x +3)(x - 2)

C3, = (x2 + 6x + 9)- 5x - 15 =(x + 3)2 - 5(x + 3) =(x +3)(x + 3 - 5) =(x + 3)(x - 2)

1 1 1

C4, =x2 + 2.x. - + - - - - 6

2 4 4

1 25 =(x + -)2 -

2 4

1 5 1 5 =(x + - - )(x + - + )

2 2 2 2 =(x - 2)(x - 3)

C5, =x2 - 4x + 4 + 5x - 10 =(x - 2)2 + 5(x - 2) =(x - 2)(x - 2 + 5) =(x - 2)(x + 3)

Nhận xét: * Mục đích làm xuất hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức.

* Có nhiều cách tách hoặc thêm bớt hạng tử

* Cách 1 và cách 4 dể phát hiện

Tổng quát: f(x) = ax2 + bx + c

C1, Tách b = b1 + b2 Thoả mản b1.b2 = a.c

C2, B1, Đa f(x) về dạng: x2 + bx + c

b b b2

B2, f(x) = x2 + 2.x. - +( )2 - + c

2 2 4

b b2 - 4c b2 - 4c

= (x + )2 - - (Nếu - = m2)

2 4 4

b b = (x + - - m)(x + - + m)

2 2

Chú ý: Nếu mọi (b1,b2) không thoả mãn b1.b2 = ac

b2 - 4c Hoặc - không viết đợc dới dạng m2 thì f(x) không pt đợc 4

VD2: Ptđt x2 + 4x - 5

C1, = x2 + 5x - x - 5 C2, = x2 + 2.2x + 4 - 9 = x(x + 5) - (x + 5) = (x + 2)2 - 32

= (x + 5)(x - 1) = (x + 5)(x - 1) PVD: f(x) = x2 + 4x - 3

C1, Có ac = 1.(- 3) = -1.3 C2, = x2 + 4x + 4 - 7

Nhng 1 + (-3) = -2≠ 4 = b = (x + 2)2 - 7

- 1 + 3 = 2 ≠ 4 = b Số 7 không phải số chính phơng Nên f(x) không pt đợc trên Q Dạng2: f(x) là đa thức bậc cao (kết hợp với pp khác)

Bài tập:

Ptđt thành nhân tử:

a, x2 - 2x - 3 = (x – 3)( x + 1)

b, 4x2 - 4x – 3 = (2x – 3)(2x + 1)

c, 6x2 - 11x + 3 = (3x – 1)(2x – 3)

d, 2x2 + 3x - 27 = (x – 3)(2x + 9)

e, 3x2 - 8x + 4 = (x – 2)(3x – 2)

g, 2x2 -5xy + 3y2 = (x – 3y)(2x – y)

h, 2x2 - 5xy - 3y2 = (x – 3y)(2x + y)

i, 2x2 + 5xy - 7y2 = (2x + 7)(x – y)

Đ5: PP đổi biến

VD1: f(x) = x4 - 8x2 + 12 Đặt : x2 = t

f(t) = t2 - 8t + 12 = (t - 2)(t - 6) Thay t = x2

f(x) = (x2 - 2)(x2 - 6)

VD2: f(x) = (x2 +x)2 + 4x2 + 4x - 12 = (x2 + x)2 + 4(x2 +x) - 12 Đặt x2 + x = t f(t) = t2 + 4t - 12

= ( t - 2)( t + 6) Thay t = x2 + x f(x) = (x2 + x - 2)(x2 + x + 6)

= (x + 2)(x - 1)(x2 + x + 6)

VD3: f(x) = (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) - 12

C1, Đặt x2 + x = t f(t) = (t + 1)(t + 2) -12 = t2 + 3t + 2 - 12 = t2 + 5t - 2t - 10 = t(t + 5) - 2(t + 5)

= (t + 5)(t - 2) f(x) = (x2 + x + 5)(x2 + x - 2) = (x + 2)(x - 1)(x2 + x + 5)

C2, Đặt x2 + x + 1 = y f(t) = t(t +1) - 12 = t2 + t -12 = (t - 3)(t + 4) f(x) = (x2 + x + 1 - 3)(x2 + x + 1 + 4) = (x + 2)(x - 1)(x2 + x + 5)

Tổng quát:

B1, Viết f(x) = f(g(x)) = f(t) Với t = g(x)

B2 Ptđt f(t) Thành nhân tử

B3, Thay t = g(x) vào f(t), rồi pt f(x)

Bài tập:

Phân tích đa thức thành nhân tử

a, (x2 + 3x + 1)2 + 2x2 + 6x – 13

= (x2 + 3x + 1)2 +2(x2 + 3x + 1) – 15

= t2 + 2t – 15

= (t + 5)(t – 3)

= (x2 + 3x + 6) (x2 + 3x - 2)

b, x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128

= (x2 + 10x)(x2 + 10x + 24) +128

= t (t + 24) + 128

= t2 + 24t + 128

= t2 + 16t + 8t + 128

= (t + 16)(t + 8)

= (x2 + 10x + 16) (x2 + 10x + 8)

= (x + 8)(x + 2)( x2 + 10x + 8)

c, (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 3

= (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) – 3

= t (t + 2) – 3

= t2 + 2t – 3

= (t + 1)2 – 4

= (t + 3)(t – 1)

= (x2 + 5x + 7)(x2 + 5x + 3)

d, x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + 1



















6 7 6

x x x

x x













































x

x x

x x

Đặt

x

x 1 = t

 t2 = 2 12

x

x  - 2

= x2 (t2 + 6t + 9) = x2 (t + 3)2

2

2 2

2 3 1 x  3x 1

x

x x x

C2, ( thêm bớt dùng hằng đẳng thức (a + b + c)2 ) = x4 + 9x2 + 1 + 6x3 – 2x2 – 6x

Đ6: Phân tích đa thức thành nhân tử

bằng cách nhẩm nghiệm

Kiến thức liên quan: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d

(có thể áp dụng đ/v bậc cao hơn)

*1, f(x) có nghiệm x = α ⇔ f(α) α) = 0  f(x) = (x - α).g(x)

*2, Sơ đồ Hoóc ne: ( Thực hiện đợc với ∀ x  R )

α

a1

= a = a α +bb1 = b1 α +cc1 = c1 α +dd1 Ư(d)

*3, Nghiệm hữu tỉ của đa thức (nếu có) có dạng -

Ư+(a)

*4, Đặc biệt:

f(x) có tổng các hệ số bằng không ⇔ f(1) = 0

f(x) có tổng các hệ số bậc chẳn bằng tổng các hệ số bậc lẻ ⇔ f(- 1) = 0

VD1: f(x) = x3 + 3x2 - 4

F(x) có tổng các hệ số bằng 0 f(x) có nghiệm x = 1

Vậy f(x) = (x - 1)(x2 + 4x + 4)

= (x - 1)(x + 2)2

Trình bày:

C1, x3 + 3x2 - 4 C2, x3 + 3x2 - 4

= x3 - x2 + 4x2- 4 = x3 - 1 + 3x2 -3

= x2(x - 1) + 4(x2 - 1) = (x - 1)(x2 + x + 1) + 3(x2-1) = (x - 1)(x2 + 4x + 4) = (x - 1)(x2 + x + 1 + 3x + 3) = (x - 1)(x + 2)2 = (x - 1)(x + 2)2

VD2: f(x) = 2x3 - 5x2 + 8x - 3

Ư(-3) = { -1 ; 1 ; - 3 ; 3 }

Ư(2) = { 1 ; 2 } 1 3

Nghiệm hữu tỉ nếu có là: ± 1 ; ± - ; ± 3 ; ±

Thử nghiệm: f(1/2) = 0  f(x) có nhân tử (x - 1/2) hay (2x - 1)

Trình bày:

f(x) = 2x3 - 5x2 + 8x - 3

= 2x3 - x2 - 4x2 + 2x + 6x - 3

= x2(2x - 1) - 2x(2x - 1) + 3(2x - 1)

= (2x - 1)(x2 - 2x + 3)

Bài tập

Bài 1: Phân tích đt thành nhân tử

a, x3 - x2 - 4 = ( x – 2 )( x2 + x + 2 )

b, 2x3 – 5x2 – x + 6 = ( x + 1 )( x – 2 )( 2x – 3 )

c, 3x3 + 5x2 - 5x + 1 = ( 3x – 1 )( x2 + 2x – 1 )

d, 2x4 - 3x3 + 2x2 – 1 = ( x – 1 )( 2x + 1 )( x2 – x + 1 )

e, 2x4 + x3 - 4x2 + x – 6 = ( x + 2 )( 2x – 3 )( x2 + 1 )

f, x5 - 6x3 + x2 + 8x – 4 = ( x – 1 )( x – 2 )( x + 2 )( x2 + x + 1)

g, x4 + 2x3 + x2 + x + 1 = ( x + 1 )( x2 + x - 1 )

h, 2x3 – 3x2 + 3x - 1 = ( 2x – 1 )( x2 - x + 1 )

i, 3x3 – 14x2 + 4x + 3 = ( 3x + 1 )( x2 - 5x + 3 )

Đ7 : PP hệ số bất định

Tổng quát : dạng bậc ba

f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (1)

= (x + m)(ax2 + b' x + c' ) (*)

= ax3 + (am + b' )x2 + (b' + c' )x + c'm (2)

Đồng nhất hai đa thức (1) và (2) ta có :

am + b' = b

b' + c' = c  b'= ? , c'= ? , m = ?

c'm = d

Thay b' , c' , m vào (*) ta có dạng phân tích

Chú ý : Ta chỉ cần chọn một nghiệm nguyên nên ta có thể chọn trớc giá trị của c và m sao cho c m = d’ và m sao cho c’m = d ’ và m sao cho c’m = d

VD1: f(x) = x3 + 4x2 + 5x + 2 (1)

= (x + m)(x2 + b'x + c' )

= x3 + (m + b')x2 + (b'm + c' )x + c'm (2)

m + b' = 4 m = 1 m = 2

Từ (1) và (2)  b'm + c' = 5  b' = 3 Hoặc c’ và m sao cho c’m = d = 1

c'm = 2 c' = 2 b’ và m sao cho c’m = d = 2

f(x) = (x + 1)(x2 + 3x + 2) Hoặc f(x) = (x + 2)(x2 + 2x + 1) = (x + 1)2(x + 2) = (x + 1)2(x + 2)

Trình bày : f(x) = x3 + x2 + 3x2 + 3x + 2x + 2

= x2(x + 1) + 3x(x + 1) + 2(x + 1)

= (x + 1)(x2 + 3x + 2)

= (x + 1)2(x + 2)

( Bài này có thể dùng pp nhẩm nghiệm.)

VD2 : f(x) = x4 + 6x3 +7x2 + 6x + 1

Đa thức không có nghiệm hữu tỉ, nên f(x) có thể pt thành dạng : (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) ( Nên chọn b = 1 , d = 1 )

= x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd

Đồng nhất đa thức ta có :

a+c = 6

ac + b + d = 7  a = b = d = 1 ; c = 5

ad + bc = 6

bd = 1

Trình bày : f(x) = x4 + x3 + x2 + 5x3 + 5x2 + 5x + x2 + x + 1

= x2(x2 + x + 1) + 5x(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)

= (x2 + x + 1)(x2 + 5x +1)

Chú ý : Chỉ nên sử dụng cách này trong trờng hợp bất đắc dĩ

Dựa vào kết quả pt trên để trình bày theo pp thêm, bớt

Bài tập

Bài 1: Pt đt thành nhân tử

a, x4 + 324 = ( x2+ 6x + 18 )( x2- 6x + 18 )

b, 4x4 + 4x3 +5x2 + 2x + 1 = ( 2x2+ x + 1)2

c, x4 - 8x + 63 = ( 1x2+ 4x + 9 )( 1x2- 4x + 7 )

d, 3x2 + 22xy +11x +37x +7y2 + 10

= ( x+ 7y + 2 )( 3x+ y + 5 )

H

ớng dẫn : d, dạng pt là : (ax + by + c)(a'x + b'y + c' )

Bài2: Pt đt thành nhân tử

a, 4x4 + 6x3 +11x2 + 6x + 1 = (x2 + 3x + 1)2

b, 3x2 – 22xy – 4 x + 8y + 7y2 + 1

= (3x – y – 1)(x – 7y – 1)

c, 12x2 + 5x – 12y2 + 12y – 10xy – 3

= (4x – 6y + 3)(3x + 2y – 1) Đ8 : PP giá trị riêng

Tổng quát: B1, Đoán nghiệm của đt f(x) chẳng hạn x = a, b,

B2, f(x) = k(x - a)(x - b) (1)

B3, Chọn x = m (bất kì ) Thay vào (1) tìm đợc k dạng pt

VD1: f(x) = x3 - 19x + 30

Nhẩm nghiẹm đợc x = 2 ; 3 ; - 5

F(x) = k(x - 2)(x - 3)(x + 5)

Thay x = 0 vào (1) ta có 30 = k.(-2)(-3)( 5)

30 = 30 k  k = 1

f(x) = (x - 2)(x - 3)(x + 5)

VD2: P = ab(a - b) + bc(b - c) +ca(c - a)

Nếu thay a = b  P = 0  P có nhân tử (a - b)

b = c  P = 0  P (b - c)

c = a  P = 0  P (c = a)

 P = k(a - b)(b - c)(c - a) (1)

Thay (a; b; c) = (0; 1; 2) vào (1)

 0 + (-2) + 0 = k(-1)(-1).2  k = -1

 P = - (a - b)(b - c)(c - a)

VD3: P = (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3

Thay a = - b  P = 0  P chứa nhân tử (a + b)

Tơng tự P chứa nhân tử (b + c)(c + a)

P = k(a + b)(b + c)(c + a)

Đa thức đúng với mọi (a; b; c ) nên cũng đúng với (1; 0; 1)

 6 = k.2  k = 3

 P = 3(a + b)(b + c)(c + a)

Chú ý: PP này thờng dùng đối với đa thức nhiều biến và các biến có

vai trò tơng đơng

Bài tập : Bài1: Pt đt thành nhân tử

a, a(b + c - a)2+ b(c + a - b)2+ c(a + b - c)2+ (a + b - c)(b + c - a)(c + a - b)

= 4abc

b, a(m - a)2 + b(m - b)2 + c(m - c)2 - abc với 2m = a + b + c

= - 2(m – a)(m –b)(m – c)

=

4

1

(a – b – c)(b – a – c)(c – a – b)

c, x2(y – z) + y2(z – x) + z2 (x – y)

= (y – z)( x – y)( x – z)

d, ababbcbcaca c  abbca c

Bài 2

Cho a2 + b2 = 1, c2 + d2 = 1, ac + bd = 0 C/m : ab + cd = 0

Giải

Ta có : ab + cd = ab.1 + cd.1 = ab(c2 + d2) + cd(a2 + b2)

= abc2 + abd2 +a2cd + b2cd = (ac + bd)(ad + bc) = 0 (ad + bc) = 0

Bài tập tổng hợp

Pt đt thành nhân tử

( Sử dụng hằng đẳng thức, hoặc pp hệ số bất định )

a, x4+ 4 = ( x2 + 2 )2 – 4x2

= ( x2+ 2x + 2 )( x2- 2x + 2)

b, x4+ 64 = ( x2 + 8 )2 – 16x2

= (x2+ 4x + 8 )( x2- 4x + 8)

c, ( x2 – 8 )2 + 36 = x4 – 16x2 + 100

= ( x2 + 10 )2 – 36x2

= ( x2+ 6x + 10 )( x2- x + 10 )

d, 64x4 + 1 = ( 8x2 + 1)2 – 16x2

= ( 8x2+ 4x + 1 )( 8x2- 4x + 1)

e, (1 + x2)2 – 4x(1 – x2) = (1 - x2)2 + 4x2 – 4x(1 – x2)

= [(1 – x2) – 2x]2

= (x2 + 2x – 1)2

( e, Có thể khai triển thành đa thức đối xứng )

Tài liệu tham khảo : Phát triẻn ĐS 8 _ BDHS giỏi ĐS 8