Trờng hợp 2: Nếu hai tia Oy; Oz Thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ chứa tia Ox ta cã kÕt qu¶:... ĐỀ THI OLYMPIC HUYỆN Môn toán lớp 6.[r]
Trang 1ĐỀ THI OLYMPIC MÔN TOÁN – LỚP 6
(Thời gian làm bài 120 phút)
Câu 1:
a) Rút gọn A = 21.27 42.81 63.108
36 21 27 14 9 7
b) Tính B = 1400
10
260
10 140
10 56
10
c) So sánh 20092010 20092009 với 20102010
Câu 2:
Cho phân số A = 5 3
10
n
n
( n Z ) a) Tìm n để A có giá trị nguyên
b) Tìm n để A có giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn nhất đó?
Câu3:
a) Tìm x Z biết
5 999999
131313 636363
131313 353535
131313 151515
131313 :
11
10 70 3
2
x
b) Chứng minh rằng nếu a, b N và a + 5b 7 thì 10a + b cũng chia hết cho 7
c) Chứng tỏ rằng 6n + 5 và 2n + 1 nguyên tố cùng nhau
Câu 4:
Cho góc AMC = 60 Tia Mx là tia đối của tia MA, My là tia phân giác của CMx, MT là tia
phân giác của góc xMy
a) Tính AMy
b) Chứng minh góc CMT = 90
Câu 5:
2499
25
24 16
15 9
8 4
3
Chứng tỏ rằng S không phải là số tự nhiên
b) Có 64 người đi tham quan bằng hai loại xe, loại 12 chỗ và loại 7 chỗ ngồi Biết số người
đi vừa đủ số ghế ngồi Hỏi mỗi loại có mấy xe?
ĐỀ THI OLYMPIC HUYỆN
Môn toán lớp 6 Thời gian: 120 phút
Bài 1: 1) So sánh hai lũy thừa: 6315 và 3418
2) Tìm số dư trong phép chia 52010710 cho 12
Bài 2: 1) Chứng tỏ rằng 2011
n 2010 n 2011
chia hết cho 2 với mọi n N
2) Tìm x biết
2 5x 1 1 5
Bài 3: Hai vòi nước chảy vào một cái bể Vòi thứ nhất chảy đầy bể hết 3 giờ Vòi thứ hai chảy
đầy bể hết 5 giờ Hỏi trong một giờ, vòi nào chảy được nhiều nước hơn và nhiều hơn bao nhiêu ?
Bài 4: Vẽ hai tia Oy, Oz trên cùng một nửa mặt phẳng bờ Ox sao cho xOy1500, xOz 300 Vẽ các tia phân giác Oa, Ob của các góc xOy, xOz Tính số đo của aOb
Trang 2Bài 5: Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên x < 17 sao cho: 25 1 chia hết cho 17
ĐỀ THI OLIMPIC HUYỆN MÔN TOÁN LỚP 6
(Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1: a) Tìm các số tự nhiên a, b biết: a+b = 96 và ƯCLN(a;b) = 6
b) So sánh A và B biết: A =
2011 2011 ; B = 20112013 20112012
Bài 2: a) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất biết rằng số đó chia cho 9 dư 5, chia cho 7 dư 4, chia cho 5
d-ư 3
b) Tính giá trị biểu thức P =
Bài 3: Giáo viên chủ nhiệm lớp 6A điều học sinh đi lao động, theo kế hoạch ban đầu số học sinh
nữ bằng 25 % số học sinh nam, sau đó có một học sinh nữ có lý do xin vắng nên giáo viên thay bằng một bạn nam để số lượng không thay đổi, vì vậy số học sinh nữ bằng 20 % số học sinh nam Tìm số học sinh nam, nữ trong buổi lao động?
Bài 4: Cho xOy 100 0, vẽ tia Oz sao cho: xOz 60 0
a) Tính yOz
b) Tính xOm biết Om là tia phân giác của yOz.
Bài 5: Tìm số nguyên tố abcd sao cho ab; ac là các số nguyên tố và b2 cd b c.
ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN 6
Thời gian làm bài 120 phút
Bài 1: a) Rút gọn biểu thức
6 3 5 7.9 2 A
2.4 5 2 3
b) Tìm x biết: 2 x 4 x 1 2 2x
Bài 2: Đàn gà nhà bạn An chưa đến 50 con và là một số khi chia cho 4, cho 5, cho 6 có số dư
theo thứ tự là 1; 4; 5 Tính số gà nhà bạn An ?
Bài 3: Không quy đồng tử hoặc mẫu, hãy so sánh
106
204 và
107
206
Bài 4: Trên tia At lấy các điểm B và C sao cho AB = 6cm, AC = 4cm O là một điểm không nằm
trên đường thẳng AB sao cho AOC 40 0 và COB 60 0
a) Tính AOB
b) Trên đường thẳng AB xác định D sao cho AD = 3cm Tính DB ?
Trang 3Bài 5: Các số tự nhiên a, b, c thỏa mãn a2b2 c2 Chứng minh rằng abc 3ab 3
ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN 6 NĂM HỌC 2014-2015
Thời gian làm bài 120 phút
Bài 1: Tìm x biết
a) 3 x 2 7 4 32.74
b)
2727 101 3x 2
7575 303 5 5
Bài 2: a) Cho biểu thức M 1 2 3 4 35 36 Tìm các số nguyên x, y sao cho
5x 2xy M
b) Cho dãy số tự nhiên lẻ từ 1 đến x Tìm x sao cho số chữ số của dãy gấp 3 lần số số hạng của dãy
Bài 3: a) Tìm các số tự nhiên n để phân số
18n 3 21n 7
có thể rút gọn được
b) Tìm các phân số theo thứ tự bằng các phân số
6 44 30
; ;
10 77 55 sao cho mẫu phân số thứ
nhất bằng tử của phân số thứ hai, mẫu của phân số thứ hai bằng tử của phân số thứ ba
Bài 4: Cho hai tia đối nhau OA, OB Trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là đường thẳng AB
vẽ các tia OC, OD sao cho BOC 40 0 và BOD 140 0
a) Hai tia OC, OD có phải là hai tia đối nhau không ? Vì sao ?
b) Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB có chứa điểm C vẽ các tia OE, OF sao cho BOC BOE BOF Chứng tỏ rằng COE COF
Trang 4ĐỀ THI OLYMPIC MÔN: TOÁN – LỚP 6
(Thời gian làm bài 120 phút)
-Câu 1:
a) Rút gọn A = 21.27 42.81 63.108
36 21 27 14 9 7
b) Tính B = 1400
10
260
10 140
10 56
10
c) So sánh 20092010 20092009 với 20102010
Câu 2:
Cho phân số A = 5 3
10
n
n
( n Z ) c) Tìm n để A có giá trị nguyên
d) Tìm n để A có giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn nhất đó?
Câu3:
a) Tìm x Z biết
5 999999
131313 636363
131313 353535
131313 151515
131313 :
11
10 70 3
2
x
b) Chứng minh rằng nếu a, b N và a + 5b 7 thì 10a + b cũng chia hết cho 7
c) Chứng tỏ rằng 6n + 5 và 2n + 1 nguyên tố cùng nhau
Câu 4:
Cho góc AMC = 60 Tia Mx là tia đối của tia MA, My là tia phân giác của CMx, MT là tia
phân giác của góc xMy
c) Tính AMy
d) Chứng minh góc CMT = 90
Câu 5:
2499
25
24 16
15 9
8 4
3
Chứng tỏ rằng S không phải là số tự nhiên
d) Có 64 người đi tham quan bằng hai loại xe, loại 12 chỗ và loại 7 chỗ ngồi Biết số người
đi vừa đủ số ghế ngồi Hỏi mỗi loại có mấy xe?
-Híng dÉn chÊm thi Olympic M«n: to¸n – líp 6
Trang 5Câu 1: ( 5 điểm)
a) (2điểm) A = 7 9+14 27+21 36
21 27+42 81+63 108=
7 9 (1+2 3+3 4)
21 27(1+2 3+3 4 )=
7 9
21 27=
1 9
b) (1,5điểm)
B = 10
56+
10
140+
10
260+ +
10
1400=¿
5
28+
5
70+
5
130 + +
5 700
= 5
4 7+
5
7 10+
5
10 13+ +
5
25 28 =
¿
5
3.¿ 3
4 7+
3
7 10+
3
10 13+ +
3
25 28¿
=
¿
5
3.¿
1
4−
1
7+
1
7−
1
10+
1
10 −
1
13+ +
1
25−
1
28¿=
5
3 (
1
4−
1
28)=
5
3.
6
28=
5 14
c)(1,5điểm) Ta có 20092010+20092009 = 20092009(2009+1)=20092009 2010
20102010=20102009.2010
Vì 20092009<20102009=> 20092010
+20092009<20102010
Câu 2 (3điểm)
a) (2điểm) A= 2(5 n −3)+6
5 n −3 =2+
6
5 n −3
A Z
¿ 6
5 n −3 ∈ Z ⇔ 5 n− 3 ∈
¿
Ư(6) = 1,-1;2;-2;3;-3;6;-6
b)(1điểm) A= 2(5 n −3)+6
5 n −3 =2+
6
5 n −3
A có giá trị lớn nhất ⇔ 6
5 n −3 có GTLN ⇔ 5n – 3 là số nguyên dơng nhỏ nhất ⇔
5n – 3 = 2 ⇔ 5n = 5 ⇔ n = 1 Khi đó GTLN của A là 5
Câu 3: (6 điểm)
a) (2 điểm)
2
3 x −
780
11 :(
13
15+
13
35+
13
63+
13
99)=−5 ⇔ 2
3x −
780
11 :[132 (
2
3 5+
2
5 7+
2
7 9+
2
9 11)]=−5
⇔ 2
3x −
780
11 :[132 (
1
3−
1
11)]=−5 ⇔ 2
3x −
780
11 :(
13
2 .
8
33)=− 5⇔ 2
3x − 45=− 5 ⇔ 2
3x=40 ⇔ x=60
b) (2 điểm) Xét hiệu 5(10a + b) – (a + 5b) = 49a ⋮ 7 mà a + 5b ⋮ 7 => 5(10a + b) ⋮
7
do (5;7) = 1 => 10a + b ⋮ 7 (đpcm)
c) (2 điểm) Gọi ƯCLN(2n + 1; 6n +5) = d = > 6n +5 ⋮ d và 2n + 1 ⋮ d =>
6n + 5 – 3(2n + 1) ⋮ d => 2 ⋮ d Do d là ớc của số lẻ => d = 1 => (2n + 1; 6n +5) = 1
Câu 4: (3 điểm) y C
a) (2 điểm)Vì góc xMC và góc CMA kề bù =>
gócxMC = 180 °− 60°=120 °
Vì My là tia phân giác của góc xMC
=> góc xMy = 60 ° mà góc góc xMy kề bù với T
góc AMy => góc AMy = 180 °− 60=120 °
60 °
x M A
b)( 1 điểm)
Trang 6Do MC là ti phân giác của góc AMy MT là tia phân giác của yMx
mà góc AMy và góc yMx là hai góc kề bù => My năm giữa 2 tia MC và MT
gócCMT = góc CMY + góc yMT = 1
2. góc AMy +
1
2 góc yMx =
1
2 .120
+ 1
2 .60 = 90 °
Câu 5: (3 điểm) (Mỗi câu đúng cho 1,5 điểm)
a) Ta có S=1 −1
4+1 −
1
9+1−
1
16+1 −
1
25+ +1 −
1 2500
¿1+1+1+ +1−(1
22+1
32+ 1
42+ 1
52+ + 1
502)
49 s/h B
= 49 – B
B = 1
22+ 1
32+ 1
42+ 1
502< 1
1 2+
1
2 3+
1
3 4+ .+
1
49 50=1−
1
50<1
Ta lại có
B =
1
22+
1
32+
1
42+
1
502>
1
2 3+
1
3 4+
1
4 5+ +
1
50 51=
1
2−
1
51=
49
102>
49
147=
1 3
=> 1
3<B<1 ⇒ 48 < S < 49 => (đpcm)
b) Gọi x là loại số xe 12 chỗ
y là loại số xe loại 7 chỗ ( ĐK x , y N❑ )
Ta có 12x + 7y = 64 (1)
Ta thấy 12x ⋮ 4 , 64 ⋮ 4 => 7y ⋮ 4 mà (4;7) =1 => y ⋮ 4.(2)
Từ (1) => 7y < 64 => y < 10 Kết hợp với (2) = > y = 4; 8
Với y = 4 => 12x +28 = 64 => x = 3 (TM)
Với y = 8 => 12x + 56 = 64 => 12x = 8 Không thoả mãn
Vậy có 3 xe loại 12 chỗ và 4 xe loại 7 chỗ
ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN 6
Thời gian làm bài 120 phỳt
Bài 1: Tỡm x biết
a) 3 x 2 7 4 32.74
b)
2727 101 3x 2
7575 303 5 5
Bài 2: a) Cho biểu thức M 1 2 3 4 35 36 Tỡm cỏc số nguyờn x, y sao cho
5x 2xy M
b) Cho dóy số tự nhiờn lẻ từ 1 đến x Tỡm x sao cho số chữ số của dóy gấp 3 lần số số hạng của dóy
Bài 3: a) Tỡm cỏc số tự nhiờn n để phõn số
18n 3 21n 7
cú thể rỳt gọn được
b) Tỡm cỏc phõn số theo thứ tự bằng cỏc phõn số
6 44 30
; ;
10 77 55 sao cho mẫu phõn số thứ
nhất bằng tử của phõn số thứ hai, mẫu của phõn số thứ hai bằng tử của phõn số thứ ba
Trang 7Bài 4: Cho hai tia đối nhau OA, OB Trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là đường thẳng AB
vẽ các tia OC, OD sao cho BOC 40 0 và BOD 140 0
a) Hai tia OC, OD có phải là hai tia đối nhau không ? Vì sao ?
b) Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB có chứa điểm C vẽ các tia OE, OF sao cho BOC BOE BOF Chứng tỏ rằng COE COF
BÀI GIẢI Bài 1: a)
4
b)
101 27 1 3x 2 26 3x 2 1 3x 2 x 2
Bài 2: a) Ta có M 1 1 118 1 18
5x 2xy 18 x 2y 5 18
(*)
Vì (2y – 5) là số nguyên lẻ nên x chẵn Từ đó ta có x {-18, -6, -2, 2, 6, 18} lần lượt thay vào (*)
ta được x, y cần tìm là (x, y) {(-18, 2); (-6, 1); (-2, -2); (2, 7); (6, 4); (18, 3)}
b) Số chữ số gấp 3 lần số số hạng thì x ít nhất cũng phải có trên 3 chữ số
Số hạng tử có 1 chữ số là 5 Số hạng tử có 2 chữ số là 45 từ 11 đến 99 Số hạng tử có 3 chữ số là 450 từ 101 đến 999 Số hạng tử có 4 chữ số là 4500 từ 1001 đến 9999 Nếu xét đến hạng
tử cuối của dãy các hạng tử 4 chữ số thì số số hạng là 5000 Số các chữ số là
4.4500 3.450 2.45 1.5 19445 số lớn hơn 3 lần 5000 số số hạng Nên x < 9999 Khi đó số số
hạng tử là
x 1
2
Số các chữ số là 1.5 2.45 3.450 4.x 999 3.x 1 1445 2 x 999 3x 3
18n 3 d 7 18n 3 d
21n 7 d 6 21n 7 d
d {1, 3, 7, 21} Để phân có thể rút gọn được thì d 1 mà (21n + 7) không chia hết cho 3 và cho 21 nên d = 7 Khi đó 18n 3 7 21n 3 3n 7 3 n 1 7
, vì (3, 7) = 1 nên
n 1 7 n 7k 1
(Với k là số tự nhiên)
b) Ta có
6 3 3a
10 5 5a;
44 4 4b
77 7 7b;
30 6 6c
55 11 11c (a, b, c là các số nguyên dương)
Theo bài ra
5a 4b 4b 5 b 5 6c 7b 7b 6 b 6
b BC(5, 6) hay b = 30k (k nguyên dương)
5a = 4 30k a = 24k và 6c = 7 30k c = 35k
Vậy các phân số cần tìm là
3a 3.24k 72k 5a 5.24k 120k ;
4b 4.30k 120k 7b 7.30k 210k ; 6c 6.35k 210k
11c 11.35k 385k
Trang 8Bài 4: a) Vì tia OC, OD ở 2 nửa mặt phẳng đối nhau
có bờ AB nên tia OB nằm giữa tia OC và tia OD
Do đó COD BOC BOD 40 01400 1800
Suy ra 2 tia OC và OD tạo thành đường thẳng CD
nên đối nhau
b) - Vì 2 tia OC, OE nằm cùng nửa mặt phẳng bờ tia OB
và BOC BOE nên tia OC nằm giữa tia OE và OB (1)
- Vì 2 tia OE, OF nằm cùng nửa mặt phẳng bờ tia OB
và BOE BOF nên tia OE nằm giữa tia OF và OB (2)
Từ (1) và (2) suy ra tia OE nằm giữa tia OC và OF do đó
COE EOF COF COE COF
ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN 6
Đề thi chính thức Thời gian làm bài 120 phút
Bài 1: a) Rút gọn biểu thức
6 3 5 7.9 2 A
2.4 5 2 3
b) Tìm x biết: 2 x 4 x 1 2 2x
Bài 2: Đàn gà nhà bạn An chưa đến 50 con và là một số khi chia cho 4, cho 5, cho 6 có số dư
theo thứ tự là 1; 4; 5 Tính số gà nhà bạn An ?
Bài 3: Không quy đồng tử hoặc mẫu, hãy so sánh
106
204 và
107
206
Bài 4: Trên tia At lấy các điểm B và C sao cho AB = 6cm, AC = 4cm O là một điểm không nằm
trên đường thẳng AB sao cho AOC 40 0 và COB 60 0
a) Tính AOB
b) Trên đường thẳng AB xác định D sao cho AD = 3cm Tính DB ?
Bài 5: Các số tự nhiên a, b, c thỏa mãn a2b2 c2 Chứng minh rằng abc 3ab 3
BÀI GIẢI
Bài 1: a)
12 14
2 3 15 14
A
b)
Bài 2: Gọi đàn gà nhà bạn An là x (con) với x N; 0 < x < 50 Theo bài ra ta có
x = 4m + 1 (m N) 2x + 2 = 8m + 4 chia hết cho 4
D
O
0
40
0
140
Trang 9x = 5n + 4 (n N) 2x + 2 = 10n + 10 chia hết cho 5
x = 6p + 5 (p N) 2x + 2 = 12p + 12 chia hết cho 6
Do đó 2x + 2 B(4, 5, 6) mà BCNN(4, 5, 6) = 60 B(4, 5, 6) = {0, 60, 120, }
Vì 2x + 2 < 102 nên 2x + 2 = 60 2x = 58 x = 29
Vậy đàn gà nhà bạn An có 29 con
Bài 3: Ta có
106 102 4 1 1
;
107 103 4 1 2
206 206 2 103
mà
103 102 51 Do đó
107 106
206204
Bài 4: a) Vì AB > AC nên tia OC nằm giữa hai tia OA và OB
Do đó AOB AOC COB 40 0600 1000
b) TH1: Điểm D thuộc tia At
Vì AD < AB nên điểm D nằm giữa A và B
Do đó DB = AB – AD = 6 – 3 = 3 (cm)
TH2: Điểm D thuộc tia đối tia At
Khi đó điểm A nằm giữa D và B nên
DB = AD + AB = 3 + 6 = 9 (cm)
Bài 5: Giả sử cả ba số a, b, c đều không chia hết cho 3 Khi đó a2, b2, c2 chia cho 3 đều có cùng số
dư là 1
nên mâu thuẩn với giả thiết a2b2 c2 Do đó trong ba số a, b, c có ít nhất 1 số chia hết cho 3
suy ra abc 3ab 3
ĐỀ THI OLIMPIC HUYỆN MÔN TOÁN LỚP 6
(Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1: a) Tìm các số tự nhiên a, b biết: a+b = 96 và ƯCLN(a;b) = 6
b) So sánh A và B biết: A = 20112012 20112011; B = 20112013 20112012
Bài 2: a) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất biết rằng số đó chia cho 9 dư 5, chia cho 7 dư 4, chia cho 5
d-ư 3
b) Tính giá trị biểu thức P =
Bài 3: Giáo viên chủ nhiệm lớp 6A điều học sinh đi lao động, theo kế hoạch ban đầu số học sinh
nữ bằng 25 % số học sinh nam, sau đó có một học sinh nữ có lý do xin vắng nên giáo viên thay bằng một bạn nam để số lượng không thay đổi, vì vậy số học sinh nữ bằng 20 % số học sinh nam Tìm số học sinh nam, nữ trong buổi lao động?
O
D
0
40 60 0
O
0
40 60 0
Trang 10Bài 4: Cho xOy 100 0, vẽ tia Oz sao cho: xOz 60 0.
a) Tớnh yOz
b) Tớnh xOm biết Om là tia phõn giỏc của yOz.
Bài 5: Tỡm số nguyờn tố abcd sao cho ab; ac là cỏc số nguyờn tố và b2 cd b c.
-Hết -ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM TOÁN 6
Bài 1: (5đ)
a) ( 3đ) Từ ƯCLN(a;b) = 6, đặt a = 6m; b = 6n với (m;n) = 1 ta có:
a+b = 6(m+n) hay 6(m+n) = 96 suy ra m+n = 16 Ta có các trờng hợp sau:
b) (2đ) Ta có:
A =
B = 20112013 20112012 20112012 2011 1 2011 2010 2012
Do 20112012 > 20112011 nên B > A.
Bài 2: (5đ)
a) (3đ) Ta có: A = 9k +5 (k N) 2A = 9k1+10 (2A -1) 9
A = 7m +4 (m N) Suy ra: 2A = 7m1+8 Hay: (2A -1) 7
A = 5n +3 (n N) 2A = 5n1+6 (2A -1) 5
Mặt khác: BCNN(9;7;5) = 315 nên (2A -1) 315 mà A nhỏ nhất nên 2A -1 = 315 Hay A
= 158
b) Ta có: P =
P =
2 5 9 14 189
3 6 10 15 190 Quy luật các mẫu là:
2.3 3.4 4.5 5.6 19.20
P =
2.2 2.5 2.9 2.14 2.189
1.4 2.5 3.6 4.7 18.21
2.3 3.4 4.5 5.6 19.20=
2.3.4.5 19(3.4.5.6 20) 19 3 19