Ghi chú: Cán b coi thi không gi i thích gì thêm.
Trang 1H I TOÁN H C VI T NAM THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN N M 2013
Môn thi: GI I TÍCH
Th i gian: 180 phút
Bài 1: Cho x1 a và dãy x n c xác nh b i 2 2
1
1 n n 2 1
n x n x n Tìm lim n
n x
Bài 2: Tìm gi i h n 1
0
lim 2013
n n n
nx dx
Bài 3: Choα β 0 Hãy tìm hàm s f : 0; th a mãn i u ki n
f x x yα β f y y x v i m i x 0;
Bài 4: Cho hàm f x( ) liên t c trên o n [0; 1] và kh vi trong (0; 1), th a mãn f(0) 0;
(1) 1
f Ch ng minh r ng t n t i các s phân bi t x x1, 2, ,x2013 (0;1) sao cho
2013
1
2013 1007
k
kx
f x
2
f x f x , v i m i x [0;1]
Ch ng minh r ng 1
0
5 ( )
8
Hãy ch ra r ng d u ng th c không th xãy ra
Bài 6: Thí sinh ch n m t trong 6a, 6b
6a Cho a n là dãy s d ng sao cho chu i s
1
n n
a h i t Ch ng minh r ng t n t i dãy s
d ng b n sao cho lim n
n b và chu i
1
n n n
a b c ng h i t
6b Cho hàm f x( ) liên t c trên o n [0; 1] Ch ng minh r ng n u t n t i hàm g x( ) n i u
th c s (t c là n i u và g x( ) g y( ) n u x y ) và liên t c trên o n [0; 1] sao
cho 1
0 f x g( ) k( )x dx 0 v i m i k 0,1, 2, , 2013
Thì ph ng trình f x( ) 0 có ít nh t 2014 nghi m phân bi t n m trong kho ng (0; 1)
Hãy ch ra thí d n u b tính n i u c a hàm g x( )thì nh lý có h không úng
Ghi chú: Cán b coi thi không gi i thích gì thêm.
WWW.VINAMATH.COM
WWW.VINAMATH.COM
Bài 5: Cho f (x) là hàm d ng, liên t c trên o n