De dap an chuyen toan lam dong nam 2008_2009

Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, BO cắt AC tại M.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

LÂM ĐỒNG

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề thi gồm 1 trang)

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN

Ngày thi : 20 tháng 6 năm 2008

Môn thi : TOÁN

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu 1 : (1,5đ) Rút gọn biểu thức P = 2009 4 502  2009 4 502

Câu 2 : (1,5đ) Cho α là góc nhọn Rút gọn biểu thức M = sin6 α + cos6 α + 3sin2 αcos2 α

Câu 3 : (1,5đ) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q = –3x 6x 272  

Câu 4 : (1,5đ) Giải hệ phương trình

4x + 9y = 72

xy = 6







Câu 5 : (1,5đ) Giải phương trình (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) = 12

Câu 6 : (1,5đ) Tam giác ABC vuông tại A có BC = 2AB Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp

tam giác ABC, BO cắt AC tại M Chứng minh: BM = ( 3+1).OM

Câu 7 : (1đ) Chứng minh rằng nếu hai số nguyên dương a và b thỏa mãn hệ thức

a b 2  a b 5ab – 2  thì một trong hai số sẽ gấp đôi số còn lại

Câu 8 : (1,5đ) Gọi S, p và r lần lượt là diện tích, nửa chu vi và bán kính đường tròn nội tiếp

tam giác ABC Chứng minh : S = pr

Câu 9 : (1,5đ) Cho ba số không âm a, b và c Chứng minh : a + b + c  ab+ bc+ ca

Câu 10 : (1,5đ) Cho tam giác ABC cân tại A (A<90o), các đường cao AD và BE cắt nhau tại

H, biết DH = 2cm, BC = 8cm Tính diện tích tam giác ABC

cạnh a thỏa mãn M thuộc cạnh AB, N thuộc cạnh AC và P, Q thuộc cạnh BC Chứng minh :

AH BC a

Câu 12 : (1,5đ) Tìm số tự nhiên a biết a + 16 và a – 73 là các số chính phương.

Câu 13 : (1,5đ) Cho hàm số f(x) thỏa mãn f(x) + 3f(1

x) = 5x với mọi số thực x khác 0 Gọi

M là điểm thuộc trục hoành với hoành độ bằng 3 Chứng minh M thuộc đồ thị hàm số f(x)

Câu 14 : (1,5đ) Gọi AB là một dây cố định của đường tròn (O; R) và M là một điểm thuộc

đường tròn Chứng minh khi M di động trên đường tròn (O) thì trọng tâm G của tam giác ABM cũng di động trên một đường tròn cố định

- HẾT

-HỌ VÀ TÊN THÍ SINH : Số báo danh Chữ ký giám thị 1 : Chữ ký giám thị 2

1 : (1,5đ) P = 2009 2 2008  2009 2 2008 0,25đ =  2008 1 2   2008 1 2 = 2008 1  2008 1 0,75đ = 2008 1   2008 1 = 2008 1  2008 1 = 2 0,5đ

Câu 2 : (1,5đ)

M = sin6 α + cos6 α + 3sin2 αcos2 α

= (sin2 α)3 + (cos2 α)3 + 3sin2 αcos2 α 0,25đ = (sin2 α + cos2 α)(sin4 α – sin2 αcos2 α + cos4 α) + 3sin2 αcos2 α 0,25đ = sin4 α + 2sin2 αcos2 α + cos4 α (vì sin2 α + cos2 α = 1) 0,5đ = (sin2 α + cos2 α)2 = 12 = 1 0,5đ

= –3(x2 – 2x + 1 – 10) = –3[(x – 1)2 – 10] 0,75đ = –3(x – 1)2 + 30  30 Vậy max Q = 30 khi x = 1 0,5đ

Câu 4 : (1,5đ)

4x + 9y = 72 (1)

xy = 6 (2)







Từ (1)  4x2 – 12 xy + 9y2 = 72 – 12xy kết hợp với (2)

 (2x – 3y)2 = 72 – 12.6 = 0  2x – 3y =0  2x = 3y 0,75đ  2x2 = 3xy = 3.6 = 18  x2 = 9

 x = 3 y = 2

x = 3 y = 2





 Vậy hệ có hai nghiệm (3; 2) và (–3; –2) 0,75đ

Câu 5 : (1,5đ) (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) = 12

Đặt x2 + x + 1 = t  t(t+1) = 12  t2 + t –12 = 0 0,5đ



2 2

4

t = 3 x + x + 1 = 3 x= 1 ; x = 2

t = x + x + 1 = 4 (voâ nghieäm)



Câu 6 : (1,5đ)

Kẻ OHAB  BM BA

OM HA (định lý Talet) =BH HA

HA



=BH 1

Chứng minh HBO 30  o  BH o

cotg30

Vậy BM 3 1

Câu 7 : (1,0đ)

(a + b)2 + (a – b)2 = 5ab  a2 + 2ab + b2 + a2 – 2ab + b2 = 5ab 0,25đ

 2a2 + 2b2 – 5ab = 0  2a2 – 4ab + 2b2 – ab = 0 0,25đ

 2a(a – 2b) + b(2b – a) = 0  2a(a – 2b) – b(a – 2b) = 0 0,25đ

 (a – 2b)(2a – b) = 0  a = 2b hoặc b = 2a (đpcm) 0,25đ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

LÂM ĐỒNG

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN

Ngày thi : 20 tháng 6 năm 2008

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC

Môn : TOÁN

45

30

H

O M

C B

A

Câu 8 : (1,5đ)

Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp

SABC= SOAB + SOBC+ SOCA = 1r.AB+ r.BC+ r.CA1 1

= 1 r(AB+BC+CA)

Câu 9 : (1,5đ) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm ta có:

a b

ab

2



 ; bc b c

2



 ; ca c a

2



Công vế theo vế của các bất đẳng thức trên ta được:

ab+ bc+ ca a b b c c a

   ab bc ca a b c   (đpcm) 1,0đ

Câu 10 : (1,5đ)

 DE2 = DA DH mà DE = 4

(trung tuyến ứng cạnh huyền trong BEC) 0,5đ

 DA = 8  SABC = 1

2AD.BC =1

Câu 11 : (1,0đ )

Gọi K là giao điểm AH và MN

Chứng minh được AK MN=

AH BC 

AH KH MN=



0,5đ

 AH a= a



BC AH 

Câu 12 : (1,5đ) Tìm số tự nhiên a biết a + 16 và a – 73 là các số chính phương.

Vì a + 16 và a – 73 là các số chính phương

Đặt a + 16 = m 2, a – 73 = n 2 với m, n N 0,25đ

 m2 – n2 = 89  (m – n)(m + n) = 89 0,25đ

Vì 89 là số nguyên tố và m – n < m + n nên m n 1

m n 89

 





 



n 44









Câu 13 : (1,5đ)

Lấy x = 3  f( 3) + 3f( 1

Lấy x = 1

3  f( 1

3) + 3f( 3) = 5 1

3  3f( 1

3) + 9f( 3) = 15 1

3 = 5 3 (2) 0,5đ Trừ vế với vế (2) cho (1)  8f( 3) = 0  f( 3) = 0

 đồ thị hàm số f(x) đi qua điểm M( 3; 0) (đpcm) 0,5đ

Câu 14 : (1,5đ)

AB cố định  trung điểm D của AB cố định 0,25đ Lấy I thuộc đoạn OD sao cho DI = DO/3

Chú ý: Nếu HS giải bằng cách khác thì giám khảo phân bước tương ứng để cho điểm.

- HẾT

-4 4

A

D

4 2

N A

H B

M

C K

O

A

r r r

G I

M

O

D