Bài giảng Sức bền vật liệu

Theo chương trình môn học Sức bền vật liệu được xây dựng để giảng dạy cho sinh viên ngành Cơ khí được xây dựng kế tiếp các nội dung cơ bản của Sức bền vật liệu đã được viết trong tập bài

BỘ LAO ĐỘNG – THƯƠNG BINH VÀ XÃ HỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT NAM ĐỊNH

TẬP BÀI GIẢNG

SỨC BỀN VẬT LIỆU

TB2015-01-12

Ban biên soạn:

Chủ biên: ThS Ngô Mạnh Hà Thành viên: ThS Bùi Đức Phương

NAM ĐỊNH, 2015

i

LỜI NÓI ĐẦU

Sức bền vật liệu là một phần kiến thức căn bản đối với kỹ sư thuộc các ngành

kỹ thuật, vì vậy môn học này được bố trí trong chương trình đào tạo của nhiều trường đại học như Đại học Bách khoa Hà Nội, Đại học Giao thông vận tải, Đại học Thuỷ lợi, Đại học Xây dựng,… Ở trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Nam Định, môn học này được giảng dạy cho sinh viên hệ đại học chuyên nghành Cơ khí Hiện nay, các trường đại học đều có tài liệu riêng giảng dạy về môn học này với nội dung, thời lượng và khối lượng kiến thức rất khác nhau do đặc thù của ngành

Chính vì vậy việc biên soạn một bài giảng môn học Sức bền vật liệu riêng cho sinh viên trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Nam Định là rất cần thiết Theo chương trình môn học Sức bền vật liệu được xây dựng để giảng dạy cho sinh viên ngành Cơ khí được xây dựng kế tiếp các nội dung cơ bản của Sức bền vật liệu đã được viết trong tập bài giảng Cơ học 1 giảng dạy cho sinh viên ngành Cơ khí trường Đại học Sư phạm

Kỹ thuật Nam Định, nội dung của môn học bao gồm 4 chương với các nội dung chính: Thanh chịu tải trọng phức tạp, hệ thanh siêu tĩnh, ổn định hệ thanh và tải trọng động

Cuốn bài giảng được viết trên cơ sở chương trình môn học Sức bền vật liệu Người biên soạn đã cố gắng trình bày những vấn đề cơ bản của Cơ học vật rắn biến dạng theo quan điểm hiện đại, đảm bảo tính sư phạm và yêu cầu chất lượng của một bài giảng giảng dạy đại học Những kiến thức trình bày trong bài giảng này là những kiến thức tối thiểu, cần thiết để sinh viên có thể học các môn học tiếp theo của các ngành Công nghệ hàn, công nghệ Ô tô, công nghệ chế tạo máy…

Cuốn bài giảng được biên soạn lần đầu nên chắc chắn còn nhiều thiếu sót Chúng tôi rất mong nhận được sư góp ý của các đồng nghiệp và các em sinh viên để

có điều kiện sửa chữa, hoàn thiện hơn cuốn bài giảng nhằm phục vụ tốt hơn cho công tác giảng dạy và học tập Các ý kiến đóng góp xin gửi về địa chỉ: Bộ môn Kỹ thuật cơ

sở, Khoa cơ khí, Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Nam Định

Nhóm tác giả biên soạn

ii

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU i

MỤC LỤC ii

Chương 1 1

THANH CHỊU LỰC PHỨC TẠP 1

1.1 KHÁI NIỆM CHUNG 1

1.1.1 Thanh chịu lực đơn giản 1

1.1.2 Thanh chịu lực phức tạp 1

1.1.3 Ứng suất trên tiết diện 1

1.2 THANH CHỊU UỐN XIÊN 2

1.2.1 Khái niệm 2

1.2.2 Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang 3

1.2.3 Vị trí đường trung hoà 3

1.2.4 Biểu đồ ứng suất pháp trên mặt cắt ngang 4

1.2.5 Điều kiện bền 4

1.3 THANH CHỊU UỐN ĐỒNG THỜI KÉO (NÉN) 8

1.3.1 Khái niệm 8

1.3.2 Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang 8

1.3.3 Vị trí đường trung hoà 9

1.3.4 Biểu đồ ứng suất pháp trên MCN 9

1.3.5 Điều kiện bền 10

1.3.6 Khái niệm về lõi mặt cắt ngang 10

1.4 THANH CHỊU KÉO (NÉN) LỆCH TÂM 13

1.4.1 Biểu thức ứng suất trên tiết diện 13

1.4.2 Đường trung hoà khi kéo (nén) lệch tâm 15

1.5 THANH CHỊU UỐN VÀ XOẮN ĐỒNG THỜI 17

1.5.1 Thanh có mặt cắt tròn 18

1.5.2 Thanh có mặt cắt hình chữ nhật 19

CÂU HỎI ÔN TẬP CHƯƠNG 1 25

Chương 2 27

GIẢI HỆ SIÊU TĨNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP LỰC 28

2.1 KHÁI NIỆM CHUNG 28

2.2 NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP LỰC 29

2.2.1 Hệ cơ bản của hệ siêu tĩnh 29

2.2.2 Hệ tĩnh định tương đương 29

2.2.3 Tính hệ siêu tĩnh đối xứng 30

2.3 DẦM LIÊN TỤC 33

2.3.1 Định nghĩa 33

2.3.2 Phương trình ba mômen 33

2.3.3 Trường hợp đặc biệt 35

2.4 PHÉP NHÂN BIỂU ĐỒ VÊRÊXAGHIN 37

2.5 CÁCH TÍNH CHUYỂN VỊ TRONG HỆ SIÊU TĨNH 42

CÂU HỎI ÔN TẬP CHƯƠNG 2 43

Chương 3 44

iii

ỔN ĐỊNH CỦA THANH THẲNG CHỊU NÉN, UỐN 44

3.1 KHÁI NIỆM CHUNG 44

3.2 BÀI TOÁN EULER XÁC ĐỊNH LỰC TỚI HẠN 46

3.2.1 Thanh thẳng liên kết khớp ở hai đầu 46

3.2.2 Thanh thẳng có liên kết khác ở hai đầu 48

3.3 ỨNG SUẤT TỚI HẠN GIỚI HẠN ÁP DỤNG CÔNG THỨC EULER 49

3.3.1 Ứng suất tới hạn, độ mảnh 49

3.3.2 Giới hạn áp dụng công thức Euler 50

3.4 ỔN ĐỊNH CỦA THANH LÀM VIỆC NGOÀI GIỚI HẠN ĐÀN HỒI 50

3.5 PHƯƠNG PHÁP THỰC HÀNH TÍNH ỔN ĐỊNH 51

3.6 THANH CHỊU UỐN NGANG VÀ UỐN DỌC ĐỒNG THỜI 53

3.6.1 Khái niệm, phương trình vi phân của đường đàn hồi 53

3.6.2 Biểu thức gần đúng của độ võng 55

3.6.3 Biểu thức gần đúng của mô men uốn 56

3.6.4 Ứng suất và điều kiện bền 57

3.7 THANH CÓ ĐỘ MẢNH LỚN CHỊU NÉN LỆCH TÂM 57

3.8 ỔN ĐỊNH CỦA DẦM CHỊU UỐN 59

3.9 CÁC VÍ DỤ 61

3.10 CHỌN HÌNH DẠNG HỢP LÝ CỦA MẶT CẮT VÀ VẬT LIỆU 64

CÂU HỎI ÔN TẬP CHƯƠNG 3 65

Chương 4 67

TẢI TRỌNG ĐỘNG 67

4.1 KHÁI NIỆM CHUNG 67

4.1.1 Tải trọng tĩnh, tải trọng động 67

4.1.2 Phân loại tải trọng động 67

4.1.3 Các giả thiết khi tính toán 67

4.2 BÀI TOÁN CÓ GIA TỐC KHÔNG ĐỔI 68

4.2.1 Bài toán kéo vật nặng lên cao nhanh dần đều 68

4.2.2 Bài toán chuyển động quay với vận tốc góc không đổi 69

4.3 BÀI TOÁN CÓ GIA TỐC THAY ĐỔI THEO THỜI GIAN 72

4.3.1 Bậc tự do của hệ 72

4.3.2 Phương trình vi phân tổng quát của hệ một bậc tự do 72

4.4 BÀI TOÁN DAO ĐỘNG TỰ DO 73

4.4.1 Khái niệm chung về dao động 73

4.4.2 Dao động của hệ đàn hồi một bậc tự do 74

4.5 BÀI TOÁN VA CHẠM 77

4.5.1 Va chạm theo phương thẳng đứng 77

4.5.2 Va chạm theo phương nằm ngang 80

4.5.3 Kết luận chung về bài toán va chạm 82

CÂU HỎI ÔN TẬP CHƯƠNG 4 84

TÀI LIỆU THAM KHẢO 86

1

Chương 1 THANH CHỊU LỰC PHỨC TẠP

1.1 KHÁI NIỆM CHUNG

1.1.1 Thanh chịu lực đơn giản

Những trường hợp chịu lực của thanh khi kéo (nén), uốn phẳng, xoắn đã xét trong học phần Cơ học 1 được gọi là những trường hợp chịu lực đơn giản Lúc này, trên tiết diện của thanh chỉ tồn tại một loại ứng lực độc lập: hoặc lực dọc, hoặc mô men uốn đi kèm theo lực cắt, hoặc mô men xoắn

- Mô men xoắn: M z

Hình 1.1: Thanh chịu lực phức tạp tổng quát

1.1.3 Ứng suất trên tiết diện

Theo nguyên lý cộng tác dụng thì ứng suất và biến dạng của thanh khi chịu lực phức tạp sẽ bằng tổng ứng suất hoặc tổng biến dạng do từng lực gây ra riêng rẽ

Ứng suất pháp trên tiết diện chỉ do lực dọc, mô men uốn gây ra và bằng:

2

Ứng suất tiếp trên tiết diện chỉ do lực cắt, mô men xoắn gây ra và bằng:

 Q y    Q x M z

 r  r r r (1.2) Các ứng suất tiếp thành phần có phương khác nhau nên không chuyển được

biểu thức sang phép cộng đại số

Thành phần r Q y có phương chiều phù hợp với lực cắt Qy và có trị số:

y x y

x

Q S Q

I b

Thành phần r Q x có phương chiều phù hợp với lực cắt Qx và có trị số:

  x C y x

y

Q S Q

I h

Thông thường, đối với các dầm dài khi tính ứng suất và biến dạng có thể bỏ qua

ảnh hưởng của lực cắt so với ảnh hưởng của mô men uốn do đó trong các phần tính

toán tiếp theo, ta không xét đến ảnh hưởng của ứng suất tiếp r Q x ,r Q y

Thành phần r M z có trị số và phương chiều phụ thuộc vào dạng tiết diện, với

tiết diện tròn thì ứng suất tiếp có phương vuông góc với bán kính, có chiều phù hợp

với mô men xoắn nội lực M z và có trị số:

P

z

M M

I

   (1.3) 1.2 THANH CHỊU UỐN XIÊN

1.2.1 Khái niệm

Thanh chịu uốn xiên (uốn không gian) khi thanh chịu uốn trong cả hai mặt

phẳng quán tính chính Ứng lực trên tiết diện, khi bỏ qua các lực cắt sẽ bao gồm mô

men uốn M x và mô men uốn M y như hình vẽ 1.2a

Gọi M là vectơ tổng của các vectơ M x và M y , nằm trong mặt phẳng V chứa

trục z, nhưng không trùng với một mặt phẳng quán tính chính trung tâm nào Giao

tuyến của mặt phẳng này với mặt phẳng cắt ngang gọi là đường tải trọng Trong uốn

Hình 1.2:Thanh chịu uốn xiên

3

xiên đường tải trọng đi qua trọng tâm nhưng không trùng với một trục quán tính trung

tâm nào (hình 1.2b )

1.2.2 Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang

Theo nguyên lý cộng tác dụng, ứng suất pháp tại một điểm bất kì trên mặt cắt

ngang (MCN) có toạ độ x, y được tính theo công thức:

y x

z

M M

   (1.4)

Trong đó M x , M y coi là dương khi làm căng phần chiều dương của trục y, trục x

Trong kĩ thuật người ta dùng công thức sau để không cần chú ý đến dấu của M x,

M y và toạ độ x, y:

y x

z

M M

    (1.5)

Ta sẽ chọn dấu “ + ” hoặc dấu “ - ” trước mỗi số hạng tuỳ theo các mômen uốn

M x và M y gây ra ứng suất kéo hay nén ở điểm đang xét

Nếu gọi  là góc của đường tải trọng hợp với trục x (hình 1.2b):

sin cos

y

x x

y

M tg

theo chiều kim đồng hồ

1.2.3 Vị trí đường trung hoà

Từ (1.5) ta có phương trình đường trung hoà:

0

y x

M M

I  I  (1.6) Hay:

1 x y

I tg





  (1.8) Đường trung hoà là một đường thẳng đi qua trọng tâm của mặt cắt ngang và

không vuông góc với đường tải trọng như trong uốn phẳng

Từ biểu thức (1.8) ta nhận thấy đối với các mặt cắt ngang có vô số hệ trục quán

tính chính trung tâm như hình tròn, các đa giác đều cạnh sẽ có I x = I y nên tgtg = -1

4

thì không xảy ra hiện tượng uốn xiên phẳng Vì đường tải trọng sẽ trùng với một trục

quán tính chính trung tâm, còn đường trung hoà sẽ trùng với một trục quán tính chính

trung tâm thứ hai vuông góc với đường tải trọng Bài toán khi đó chỉ là uốn phẳng

1.2.4 Biểu đồ ứng suất pháp trên mặt cắt ngang

Theo (1.5) mặt ứng suất là mặt phẳng, nên ứng suất pháp phân bố đều trên

đường thẳng song song với đường trung hoà Do đó ta có thể vẽ biểu đồ phân bố ứng

suất pháp trên mặt cắt ngang trong hệ toạ độ như hình 1.3 Trục tung là đường trung

hoà, trục hoành vuông góc với đường trung hoà

Hình 1.3: Biểu đồ ứng suất pháp trên MCN của dầm chịu uốn xiên

1.2.5 Điều kiện bền

Điểm nguy hiểm là các điểm xa đường trung hoà nhất về phía kéo hoặc nén

Trạng thái ứng suất của điểm nguy hiểm là trạng thái ứng suất đơn

Điều kiện bền có dạng:

- Đối với vật liệu dẻo:  max   (1.9)

- Đối với vật liệu giòn:

 

 

max min

k n

max

y x

M M

   (1.12)

5

Trong đó :

max

x x

I W y

 ;

max

y y

I W x

Trong trường hợp này điều kiện bền sẽ là:

- Đối với vật liệu dẻo: x y  

M M

(1.15)

Hình 1.4: Một số mặt cắt nội tiếp hình chữ nhật

Từ điều kiện bền trên ta suy ra ba bài toán cơ bản sau:

- Bài toán kiểm tra bền

- Bài toán tìm tải trọng cho phép

- Bài toán chọn kích thước MCN

Ví dụ 1.1

Một dầm công xon bằng gỗ, dài 2m, mặt cắt ngang hình chữ nhật (12  20)

cm2, ở đầu tự do chịu lực tập trung P = 2,4 kN Lực P đặt vuông góc với trục dầm và

xiên góc  = 30 o với trục Oy (hình 1.5a)

Xác định vị trí đường tải trọng và ứng suất pháp ở các điểm góc A, B, C, D trên mặt cắt ngang ở ngàm

Biểu đồ mô men uốn M x và M y được biểu diễn trên hình 1.5b,c

Vị trí đường tải trọng được xác định theo công thức:

y x

8

thép có số hiệu 20a

Xác định vị trí đường trung hoà Tra bảng với I(20a) ta có I x =2030cm 4;

I y =155cm 4’ Do đó tại mặt cắt ngàm, phương của đường trung hoà là :

max max

1.3.1 Khái niệm

Thanh chịu uốn đồng thời kéo (nén) khi ứng lực trên tiết diện gồm lực dọc N z,

mô men uốn M x , M y hoặc lực dọc và một trong hai mô men uốn này (hình vẽ 1.7)

Hình 1.7: Thanh chịu uốn đồng thời kéo

Hình 1.8: Ống khói và cột cầu treo chịu uốn đồng thời nén Hoặc ví dụ đối với ống khói, trọng lượng cột gây nén còn tải trọng gió q gây uốn

(hình 1.8a) Cột chống cầu treo khi chịu sức căng của dây treo không vuông góc với

trục thanh thì lúc đó phân tích lực căng dây thành hai thành phần: thành phần F 1 gây

uốn, thành phần F 2 gây nén (hình 1.8b)

1.3.2 Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang

9

Ứng suất pháp tại một điểm trên MCN được xác định theo công thức:

y x

z z

M M

I i A

 ; i y I y

A



I x , I y- mômen quán tính chính trung tâm của MCN;

x, y - toạ độ của điểm tính ứng suất

Công thức kỹ thuật có dạng:

y

z x z

“-” trước mỗi số hạng tuỳ theo lực dọc là kéo hay nén và các mômen uốn M x , M y gây

ra ứng suất kéo hay nén ở điểm đang xét

N i N i

(1.20)

Đường trung hoà trong trường hợp thanh chịu kéo (nén) đồng thời uốn là một đường thẳng không đi qua trọng tâm của MCN như trong uốn xiên

1.3.4 Biểu đồ ứng suất pháp trên MCN

Hình 1.9: Biểu đồ phân bố ứng suất pháp trên MCN thanh chịu uốn đồng thời kéo (nén)

- Đối với vật liệu dẻo:  max   (1.21)

- Đối với vật liệu giòn:  max   k ;  min   n (1.22) trong đó:

x k , y k : là toạ độ của điểm chịu kéo cách xa đường trung hoà nhất

x n , y n : là toạ độ của điểm chịu nén cách xa đường trung hoà nhất

 Nếu MCN của thanh có dạng như trên hình 1.9 thì lí luận tương tự như trong uốn xiên ta có:

1.3.6 Khái niệm về lõi mặt cắt ngang

Trong các công trình xây dựng ta thường gặp những vật liệu chịu nén tốt nhưng chịu kéo kém như gạch, đá, bê tông.v.v có khi hầu như vật liệu không chịu được kéo, như chỗ tiếp giáp giữa móng và nền đất Vì vậy trong quá trình thiết kế những bộ phận công trình chịu nén lệch tâm, ta phải tìm vị trí của điểm đặt lực sao cho trên mặt cắt chỉ xuất hiện ứng suất nén, nghĩa là sao cho đường trung hoà không cắt qua mặt cắt ngang Như vậy điểm đặt lực K phải nằm trong một miền nhất định bao quanh trọng tâm của mặt cắt Miền diện tích ấy được gọi là lõi của mặt cắt ngang Vậy lõi của mặt cắt ngang được xác định như sau:

- Xác định hệ trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt ngang

- Vẽ các đường trung hoà tiếp xúc với chu vi của mặt cắt ngang

Vị trí các đường trung hoà này được xác định bởi toạ độ a i , b i tương ứng Với

mỗi một đường ta xác định được một điểm K i (x i , y i ) tương ứng theo công thức:

11

i b

ki y i ki x i

Nối các điểm đặt K i ta được chu vi của lõi (hình 1.10)

Hình 1.10: Chu vi của lõi mặt cắt ngang

Hình dáng và kích thước của lõi chỉ phụ thuộc vào hình dáng và kích thước mặt cắt ngang nó không phụ thuộc vào trị số nội lực đặt trên mặt cắt, do đó lõi có thể xem

h k

z y y

N i x

M

  ;

2 0

z x x

N i y

1.4 THANH CHỊU KÉO (NÉN) LỆCH TÂM

1.4.1 Biểu thức ứng suất trên tiết diện

14

Thanh chịu kéo lệch tâm khi ngoại lực tác dụng là các lực song song như không trùng với trục thanh Đây là trường hợp chịu lực thường gặp ở những cột, thanh chịu kéo nén vì hầu như ta không thể đặt lực đúng trọng tâm tiết diện

xz

y

xz

Nếu trên tiết diện có nhiều lực Fi đặt lệch tâm tại điểm tương ứng Ci (x Ci , y Ci ), thì giá trị lực F và điểm đặt C được tính theo kết quả của hợp lực

i

F  F (1.31)

i C C

i

F x x

I r A

bh

I r

bh

I r

A  



* Với tiết diện hình tròn rỗng có đường kính ngoài D và đường kính trong d:

x x

D

I r

Qua biểu thức tính ứng suất (1.33), ta có những nhận xét sau:

+ Bài toán kéo (nén) lệch tâm có thể tính theo trường hợp kéo (nén) đúng tâm

và uốn đồng thời và ngược lại bài toán kéo (nén) đúng tâm và uốn đồng thời cũng có thể tính theo bài toán kéo (nén) lệch tâm Trong trường hợp sau, lực và điểm đặt sẽ được tính theo công thức:

C

M x N

C

M y N



(1.34)

+ Định luật tác dụng tương hỗ: Ứng suất pháp tại điểm A do lực F đặt tại điểm

C gây ra cũng bằng ứng suất pháp tại điểm C do lực F đặt tại điểm A gây ra

+ Ứng suất pháp tại trọng tâm tiết diện do lực nén lệch tâm F gây ra không phụ thuộc vào vị trí điểm đặt lực và luôn bằng N/A

1.4.2 Đường trung hoà khi kéo (nén) lệch tâm

Phương trình đường trung hoà tìm theo điều kiện  = 0; từ (1.33), ta có:

r a x

 

2

x C

1

y x

a  b 

(1.36)

Hai thông số a và b là hoành độ và tung độ của giao điểm của đường trung hoà

với trục hoành và với trục tung như chỉ trên hình 1.15

x C

y a b

Hình 1.15: Vị trí đường trung hoà và điểm đặt lực C

Từ biểu thức (1.35) của a và b ta dễ dàng nhận thấy, ngoài những tính chất

chung, đường trung hoà khi kéo (nén) lệch tâm còn có đặc điểm riêng sau:

16

1- Đường trung hoà không phụ thuộc giá trị của tải trọng mà chỉ phụ thuộc vào

vị trí đặt tải trọng, đường trng hoà và điểm đặt lực luôn luôn nằm trong góc phần tư đối đỉnh của hệ trục toạ độ

2- Điểm đặt lực nằm trên trục x thì đường trung hoà nằm song song trục y và ngược lại

3- Khi điểm đặt di chuyển theo một đường thẳng thì đường trung hoà sẽ xoay quanh một điểm trên tiết diện

Ví dụ 1.4

Một cột mặt cắt hình vuông bị nén lệch tâm trên

trục y Ứng suất tại điểm A bằng 200 N/cm2, tại B bằng

cm N W

y P F

cm N y

I

y P F

P

B x

4012.10.40

40

4

cm y

F

I y

4040.3

406

200.40.40

3 2

3 2

N W

F y

W F P

x D

6 40

3 / 40 10 32 40

10 32

3 4 2

4

W

y P F

e h

1.5 THANH CHỊU UỐN VÀ XOẮN ĐỒNG THỜI

Thanh chịu uốn đồng thời xoắn là thanh chịu lực sao cho trên mọi mặt cắt ngang của nó chỉ có các thành phần nội lực là mô men uốn M x,M y và mô men xoắn M z

Hình 1.18: Thanh mặt cắt ngang tròn chịu uốn đồng thời xoắn

Bài toán này thường gặp trong các chi tiết máy Ví dụ như một trục truyền lực

2 2 max min

Vậy tại các điểm A và B ngoài ứng suất pháp cực trị còn có ứng suất tiếp lớn nhất Do đó, trạng thái ứng suất tại các điểm này là trạng thái ứng suất phẳng (hình 1.19) Điều kiện bền của các phân tố đó đƣợc viết theo các thuyết bền nhƣ sau:

Theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất:

M W

M W

20

Hình 1.20: Thanh mặt cắt ngang chữ nhật chịu uốn đồng thời xoắn

Trong trường hợp đang xét thì ứng suất cực trị đạt được tại các điểm góc B, D của mặt cắt:

maxB x y

M M

xoan

M W

Vì trị số ứng suất ở các điểm A, B, C là khác nhau nên khó có thể xác định được điểm nào nguy hiểm hơn Do đó, người ta thường kiểm tra bền cho cả ba phân tố ở ba điểm đó Trạng thái ứng suất của các điểm được biểu diễn như hình 1.21

- Đối với phân tố ở điểm B: phân tố ở trạng thái ứng suất đơn

 

y x max

M M

- Đối với điểm A: phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng:

Theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất:

- Đối với điểm C: phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng:

Theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất:

Một trục truyền bằng thép chịu lực nhƣ trên hình 1.22

Trọng lƣợng Puli G = 3kN, công suất và số vòng quay của môtơ là: W = 50kW,

td td x

Hình 1.22: Trục chịu uốn và xoắn đồng thời

Các biểu đồ nội lực được biểu diễn trên các hình 1.22b, c, d

Ví dụ 1.7

Một trục truyền bằng thép đặt trên các gối tựa A và B, mang các pu-li C và D Các kích thước cho trên hình 1.23 Pu-li C được kéo bởi mô tơ qua các đai truyền lực theo phương ngang và gây nên lực kéo P1 6kNtrên đai ttruyền Pu-li D nối với máy chịu tải cũng bằng các đai truyền lực theo phương ngang và có chiều ngược lại Trọng lượng của các pu-li là G1G2 1,8kN Hãy xác định đường kính của trục truyền Xem

23

trục truyền có mặt cắt ngang là không đổi trên suốt chiều dài trục và trọng lượng của trục phân bố đều với cường độ q 0, 45kN m/ Ứng suất cho phép khi kéo của vật liệu làm trục là    2

120MN m/ Bỏ qua ma sát tại các gối tựa

2

6.30

920

của lực kéo Trong bài toán này, ta lấy lực căng đai bằng 1/2 lực kéo

Như vậy, sức căng trong nhánh đai chủ động của pu-li 1 là:T1 1,5.P19  kN Trong nhánh bị động là: t10,5.P13  kN

Tương tự như vậy, đối với pu-li 2 ta có sức căng trong nhánh đai chủ động là:

Vậy mặt cắt nguy hiểm là mặt cắt tại D

Theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất, mô men tổng hợp gây ra tại D là:

25

CÂU HỎI ÔN TẬP CHƯƠNG 1

1 Nêu những ví dụ thực tế về thanh chịu lực phức tạp

2 Nêu những dạng ngoại lực chỉ gây ra trường hợp chịu lực đơn giản của thanh thẳng

3 Giải thích và nêu điều kiện áp dụng nguyên lý cộng tác dụng khi tính ứng suất và biến dạng của thanh chịu lực phức tạp

4 Phân loại bài toán phẳng và bài toán không gian khi thanh chịu lực phức tạp

5 Vì sao có thể nói thanh tiết diện tròn chỉ chịu uốn phẳng

6 Cách tính trị số ứng suất pháp lớn nhất trên tiết diện thanh chịu lực phức tạp khi tiết diện có hình dạng bất kỳ và khi tiết diện thanh có hình dạng đặc biệt như hình chữ nhật hoặc hình tròn

7 Nêu quan hệ giữa nội lực trong thanh với tải trọng tác dụng song song với trục thanh nhưng đặt lệch tâm (trường hợp một lực và trường hợp nhiều lực)

8 Viết các biểu thức chứng tỏ rằng đường trung hoà trên tiết diện thanh chịu kéo (nén) lệch tâm chỉ phụ thuộc vào vị trí điểm đặt lực mà không phụ thuộc độ lớn của lực

9 Dầm AB mặt cắt ngang hình chữ nhật b  h = (0,1  0,2) m 2 , chiều dài l = 4m

chịu uốn xiên như hình vẽ 1.25 Bỏ qua trọng lượng của dầm Hãy

- Vẽ các biểu đồ momen uốn cho dầm

- Xác định ứng suất lớn nhất phát sinh tại mặt cắt ngàm của thanh

10 Một cột mặt cắt hình vuông bị nén lệch tâm trên

trục y (hình 1.26) Ứng suất tại điểm A bằng 500 N/cm2, tại B bằng không

- Hỏi tải trọng tác dụng lên cột, độ lệch tâm và ứng suất lớn nhất trên cột

Tìm trị số ứng suất pháp lớn nhất phát sinh tại chân cột Kích thước trên hình

cho theo cm

11 Cột của nhà công nghiệp có tiết diện chữ nhật (2540)cm 2, chiều cao từ chân tới

vai cột là 5,1 m Trọng lượng phần mái truyền lên đỉnh cột là F 1 = 86 kN, lực của dầm

x y O

P

C

Hình 1.26 Hình 1.25

26

cầu tác động lên vai cột gồm hai thành phần: thành phần thẳng đứng F 2 = 62 kN đặt cách mép ngoài của cột một đoạn 42 cm và thành phần nằm ngang F 3 = 3,6 kN (hình 1.27)

12 Có hai cột kích thước ghi trên hình vẽ 1.28 chịu nén lệch tâm bởi những lực

khác nhau thế nào để ứng suất tại điểm C ở chân cột bằng nhau

13 Một cột bằng đá, trọng lượng riêng  = 20kN/cm 3, chịu tải trọng như trên hình 1.29 Xác định ứng suất nén lớn nhất và nhỏ nhất tại mặt cắt chân cột và chỉ vị trí của chúng trên mặt cắt ấy

14 Xác định max, min và vị trí trục trung hoà tại mặt cắt nguy hiểm của cột chịu tải

z

60 0

P=80kN

Hình 1.30

16 Cho thanh mặt cắt ngang hình chữ nhật chịu lực nhƣ hình vẽ 1.32 Hãy xác định

hệ số an toàn nch của thanh

Cho biết d=10mm

28

Chương 2 GIẢI HỆ SIÊU TĨNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP LỰC

2.1 KHÁI NIỆM CHUNG

Trong các công trình, các thanh được liên kết với nhau tạo thành một hệ kết cấu

làm nhiệm vụ chịu và truyền lực sang các bộ phận khác của công trình Tính bất biến hình là một yêu cầu cơ bản đối với hệ kết cấu, nghĩa là hệ cần giữ được điểm đặt lực,

không chuyển động như một cơ cấu Những hệ thanh không thoả mãn tính chất này

được gọi là hệ biến hình Đương nhiên rằng, trong kết cấu công trình, chúng ta chỉ sử dụng các hệ bất biến hình

Hệ bất biến hình gồm hệ tĩnh định và hệ siêu tĩnh

Hệ tĩnh định là hệ có số liên kết bằng số phương trình cân bằng tĩnh học

Hệ siêu tĩnh là hệ có số liên kết nhiều hơn số phương trình cân bằng tĩnh học Bậc siêu tĩnh của hệ được tính bằng số liên kết thừa

So với hệ tĩnh định, hệ siêu tĩnh có những đặc điểm sau:

 Nội lực trong hệ siêu tĩnh phân bố đều hơn, ứng suất và biến dạng nhỏ hơn so với

hệ tĩnh định có cùng kích thước và tải trọng

 Hệ siêu tĩnh có nhược điểm là dễ phát sinh các ứng suất khi nhiệt độ thay đổi, khi

có độ lún ở các gối tựa, khi gia công lắp ghép không chính xác

Số liên kết thừa của một hệ có thể là liên kết ngoại (liên kết cần thiết để giữ cho hệ được cố định) hay liên kết nội (liên kết giữa các phần đối với nhau trong cùng một hệ)

Hình 2.1: Các hệ siêu tĩnh

Xét một số hệ siêu tĩnh như hình 2.1 ta nhận thấy:

Hình 2.1a,e: hệ thừa 2 liên kết ngoại: bậc siêu tĩnh của hệ là 2

Hình 2.1b: hệ thừa 1 liên kết ngoại: bậc siêu tĩnh của hệ là 1

Hình 2.1c: hệ thừa 3 liên kết ngoại và 3 liên kết nội: bậc siêu tĩnh là 6

Hình 2.1d: hệ thừa 3 liên kết nội, bậc siêu tĩnh của hệ là 3

29

Khung khép kín (hình 2.1f) là siêu tĩnh bậc ba Vì muốn nối phần (A) và (B), cần 3 liên kết đơn hoặc 1 khớp và 1 liên kết đơn hay thay ba liên kết đơn bằng mối hàn cứng (hình 2.1g,h)

Khái niệm “liên kết thừa” chỉ có tính qui ước Bởi vì để đảm bảo cho hệ bất biến hình thì chúng là thừa, nhưng sự có mặt của chúng sẽ tạo cho kết cấu có độ cứng cao hơn và do đó, làm việc tốt hơn so với hệ tĩnh định

2.2 NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP LỰC

2.2.1 Hệ cơ bản của hệ siêu tĩnh

Hệ cơ bản là một hệ tĩnh định có được từ hệ siêu tĩnh đã cho bằng cách bỏ bớt các liên kết thừa Hệ siêu tĩnh có thể có nhiều hệ cơ bản (hình 2.2)

Hình 2.2: Các hệ cơ bản b,c,d,e từ hệ siêu tĩnh a

Cần chú ý rằng:

- Sau khi bỏ các liên kết thừa, hệ phải đảm bảo tính bất biến hình của nó

- Chỉ được phép giảm bớt các liên kết đơn chứ không được phép thêm liên kết đơn vào một mặt cắt bất kỳ

30

Hình 2.4: Hệ tĩnh định tương đương

Với mỗi phản lực liên kết X i ta có một điều kiện chuyển vị: chuyển vị i của hệ

theo phương của phản lực liên kết X i :  i 0 (2.1)

Nếu hệ siêu tĩnh có n bậc siêu tĩnh thì sẽ có n phương trình (2.1) Gọi là hệ

trong đó: ip là chuyển vị theo phương i của hệ cơ bản do tải trọng gây nên ik là

chuyển vị đơn vị theo phương i của hệ cơ bản do lực đơn vị đặt theo phương k gây

nên i là chuyển vị theo phương của lực X i do tải trọng và phản lực liên kết

Ta có thể biểu diễn hệ phương trình (2.2) dưới dạng ma trận Giải hệ (2.2) bằng phương pháp Gauss, Cramer, … hoặc giải qua các chương trình máy tính như MATLAB, MAPLE, …

Ta có thể tính được ip và ik theo công thức Mo sau:

i

l n

i k ik

i 1 0

M M

dzEJ



i

l n

i p ip

i 1 0

M MdzEJ



Sau khi xác định được các phản lực liên kết X i , đặt các phản lực liên kết X i cùng

với tải trọng lên hệ cơ bản ta được một hệ tĩnh định tương đương

Giải hệ siêu tĩnh bằng phương pháp lực ta có các bước sau:

Bước 1 Xác định bậc siêu tĩnh và chọn hệ cơ bản

Bước 2 Xác định hệ tĩnh định tương đương bằng cách đặt vào hệ cơ bản các phản

lực liên kết tương ứng với các liên kết thừa đã bỏ đi

Bước 3 Thiết lập hệ phương trình chính tắc

2.2.3 Tính hệ siêu tĩnh đối xứng

a Định nghĩa

Hệ đối xứng là hệ có ít nhất một trục đối xứng

31

Hệ đối xứng chịu tải trọng đối xứng khi tải trọng đặt lên phần này là ảnh của tải trọng đặt lên phần kia qua gương phẳng đặt tại trục đối xứng và vuông góc với mặt phẳng của hệ

Nếu tải trọng của phần này là ảnh của phần kia nhưng có chiều ngược lại thì ta gọi là hệ đối xứng chịu tải trọng phản đối xứng

Hình (2.5a,b,c) : Hệ siêu tĩnh đối xứng, hệ chịu tải trọng đối xứng, hệ chịu tải trọng phản đối xứng

Hình 2.5 : Hệ siêu tĩnh đối xứng

b Tính chất

Tương tự, nội lực cũng có tính chất đối xứng hoặc phản đối xứng

Trong mặt phẳng: Nz , Mx có tính đối xứng, Qy có tính phản đối xứng

Trong không gian: Nz, Mx, My là đối xứng, Qx, Qy và Mz phản đối xứng

Hình 2.6: Nội lực trong mặt phẳng

Hình 2.7: Nội lực trong không gian

Tính chất của hệ siêu tĩnh đối xứng:

Nếu một hệ siêu tĩnh đối xứng chịu tải trọng đối xứng thì nội lực phản đối xứng trên mặt cắt trong mặt phẳng đối xứng của hệ là bằng không Ngược lại nếu tải trọng là phản đối xứng thì nội lực đối xứng phải bằng không

Chú ý các nhận xét sau: Khi hệ là đối xứng chịu tải trọng đối xứng thì biểu đồ

mômen là đối xứng, ngược lại nếu tải trọng phản đối xứng thì biểu đồ mômen là phản đối xứng

Chứng minh: Giả sử có hệ siêu tĩnh đối xứng chịu tải phản đối xứng (hình 2.8b)

Chọn hệ cơ bản bằng cách cắt đôi khung Phải chứng minh các thành phần nội lực đối

xứng X 1 và X 2 trên mặt cắt là bằng không

34

và các ẩn số chỉ là các mômen uốn nội lực Mi (h×nh 2.10c) (Mi>0 làm căng thớ dưới)

Phương trình chính tắc: viết theo điều kiện góc xoay tương đối giữa hai mặt

cắt tại gối tựa đó phải bằng không

Ví dụ tại gối tựa thứ “i”:

11M1 + 12M2 +…+ i,i-1Mi-1 + i,iMi + i,i+1Mi+1 +…+ 1nMn + ip = 0

Các hệ số i1 = i2 = …= i(i-2) = … = 0, do lực tác dụng trên hai nhịp ở trên hai gối tựa thứ “i” chỉ ảnh hưởng đến góc xoay của gối tựa trên hai nhịp đó Phương trình chính tắc của hệ có dạng sau:

i,i-1Mi-1 + i,iMi + i,i+1Mi+1 + ip = 0 (2.7) Các hệ số và số hạng tự do trong (2.7):

Thay các trị số đó vào phương trình chính tắc, ta có:

Cộng các biểu đồ Mp, M1, M2 ta đƣợc biểu đồ Mx (hình 2.11f) Sau khi tính phản lực các gối tựa của biểu đồ Mp, M1, M2 và cộng các vectơ phản lực, ta thu đƣợc biểu

Ðộ cứng EJx của đoạn nhịp này đƣợc xem là lớn vô cùng và chiều dài của nhịp đó đƣợc xem là bằng không (hình 2.12)

36

Hình 2.12 : Dầm liên tục có đàu thừa và đầu ngàm

Phương trình ba mômen được áp dụng đối với từng nhịp cạnh như phần trên

Ví dụ 2.2:

Vẽ biểu đồ nội lực của dầm chịu lực như hình vẽ (2.13a)

Hình 2.13 : Hình ví dụ 2.2

Giải:

Hệ cơ bản và thứ tự các nhịp, các gối tựa được đánh số như hình 2.13b Biểu đồ

Mp do tải trọng gây nên trên hệ cơ bản như hình 2.13c

Mômen thu gọn ở gối tựa cuối cùng được xem là mômen liên kết trên mặt cắt của gối tựa đó Vì vậy trên biểu đồ mômen Mp không có mômen đó Với các gối tựa (1), (2), ta thiết lập được các phương trình ba mômen như sau: