Một số bài tập nâng cao về sức bền vật liệu

Hai dầm nằm ngang có cùng chiều dài a và độ cứng chống uốn EJ, đặt chéo nhau trong không gian, cách nhau theo phương thẳng đứng một khoảng nhỏ  như trên hình A6a IK  , I là điểm giữa

LỜI NÓI ĐẦU

Nhằm đáp ứng nhu cầu học tập, nghiên cứu và giảng dạy môn Sức bền vật liệu trong các trường đại học, Bộ môn Cơ học, Khoa Xây dựng

Trường Đại học Sư phạm kỹ thuật TP HCM xuất bản cuốn Bài bập sức

bền vật liệu nâng cao Cuốn sách tổng hợp các bài toán Sức bền vật liệu

trong các kỳ thi Olympic Cơ học toàn quốc từ năm 1989 đến năm 2018, các đề thi đầu vào cao học môn Sức bền vật liệu của các trường đại học

kỹ thuật lớn và một số bài toán Sức bền vật liệu nâng cao Sách được dùng cho sinh viên các ngành Cơ khí, Xây dựng có nhu cầu tìm hiểu sâu

về môn học Sức bền vật liệu, tham gia vào các kỳ thi Olympic Cơ học hoặc thi đầu vào cao học

Trong quá trình biên soạn, mặc dù có nhiều cố gắng nhưng vẫn không thể tránh được những thiếu sót Các tác giả rất vui mừng nhận được sự đóng góp của bạn đọc để cuốn sách này ngày càng hoàn thiện hơn

Các tác giả

MUÏC LUÏC

Trang

LỜI NÓI ĐẦU 3

PHẦN A: TUYỂN TẬP OLYMPIC TOÀN QUỐC 7

PHẦN B: TUYỂN TẬP ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI

PHẦN A:

TUYỂN TẬP OLYMPIC TOÀN QUỐC

Bài A1 (Olympic 1989)

Vẽ biểu đồ nội lực của dầm AD như trên hình A1a

1

N A 

Dùng mặt cắt 1-1 cắt

qua đoạn AB, khảo sát

phần bên trái (hình A1b)

D C

B A

M=qa 2

Hình A1

d) c)

a)

N A

M=qa 2 P=3qa

q

D C

B A

M x

Q y

A

N A b)

3

qa 4 Q a

Từ đó vẽ được biểu đồ lực cắt trong đoạn AB, các đoạn còn lại vẽ theo nhận xét

0 z qa 6

1 3

z z a

qz 2

1 M

6

qa z a 18

q

a z 0 6

qa z a 6

M d 2 x

2

Bề lõm quay về phía dương của M x

a z

; 0 z 0

a

Căn cứ vào trên, vẽ được biểu đồ moment uốn trong đoạn AB, các đoạn còn lại vẽ theo nhận xét

Biểu đồ lực cắt (hình A1c), biểu đồ moment uốn (hình A1d)

Bài A2 (Olympic 1989)

Một thanh tròn AB chịu xoắn như trên hình 2 Trên mặt ngoài của đoạn AC và CB theo phương 0

45 so với trục thanh ta đo được biến dạng dài tỉ đối trên AC là 1 0 ; trên BC là 2  0 Biết các hằng số vật liệu là E, G và 

1) Vẽ biểu đồ nội lực của thanh AB và xác định giá trị M 0

2) Xác định tỷ số a 1 / a 2 để thỏa mãn điều kiện trên

A

M 0

a)

max 3

max 1

E W

.

3 3

0 AC

AC max AC

E W

.

3 3

0 CB

CB max CB

4

4 1

CB 2 CB z AC

1 AC z CB

0 3 0

Bài A3 (Olympic 1989)

Dầm cứng tuyệt đối AB, đầu B tựa trên cột bê tông BE có kích thước

và liên kết như hình A3a Cột bê tông có module đàn hồi E 2, diện tích mặt cắt ngang F 2, chiều dài a 2 và moment quán tính đối với trục x là J 2 Thanh CD có module là E 1, diện tích mặt cắt ngang F 1 và chiều dài a 1 Hãy khảo sát giá trị lớn nhất của ứng suất tại mặt cắt ngàm của cột

BE khi lực P di chuyển từ A đến B Biết:

2 2 2 1 1 2 2 2

1

a

J E 2 F E 2 F E

; 2

a a

Giải

Đây là hệ siêu tĩnh bậc 1 Xét thanh AB (hình A3e):

0 z P 2

a N a N



z P a

2 N N

1 C C

d

B

F E

a N F E

a N 2

Dời lực N B về tâm của cột (hình A3c), chuyển vị tại B trên cột do biến dạng dọc của cột và góc xoay của mặt cắt B của cột:

2 2 C 1 1 B 2 2

1

1

a 32

b a 8 N F F

N a 32

b a 8

Pa 64 N

Pz a

2 N a 32

b a

2 2

E x max

F

N W

b/4

N B A

Với: z

b a 72

Pab 16 4

b N

Pa 64 N

Pa 32 b

1 z b a 72

Pa 64 b

6 z b a 72

Pab 16

2 2 2 2

2 2 3

2 2

b b a 72

Pa 160 b

1 z b a 72

Pa 64 b

6 z b a 72

Pab 16

2 2 2 2

2 2 3

2 2

b b a 72

Pa 32





2 min

b b a 72

Pa 160

b b a 72

Pa 32 0

b b a 72

Pa 160 0





Bài A4 (Olympic 1990)

Thanh OD tuyệt đối cứng được treo tại khớp A và D, dây kim loại ABCD đi qua các ròng rọc B và C, chịu lực như trên hình 4a Biết dây

có diện tích mặt cắt ngang F, module đàn hồi E, bỏ qua ma sát ở các ròng rọc

1) Tính mặt cắt này của dây kim loại không bị dịch chuyển theo phương dọc trục dây? Vị trí đó có phụ thuộc vào điểm đặt lực P trên thanh OD không?

2) Hãy xác định chuyển vị của điểm đặt lực P

3) Cho P15 KN, hãy tìm vị trí điểm đặt lực P để dây kim loại đẩm bảo điều kiện bền Cho 2

cm 1

cm / kN 10

a

a

E

Giải

1) Mặt cắt của dây không bị dịch chuyển

Trường hợp tổng quát, lực P tác dụng cách điểm O một đoạn z (hình A4a)

Xét thanh OD (hình A4b):

a 3

Pz N 0 a 2 N a N z P

x z P EF

x a z P EF

x a N D

3

x a z P aEF 3

x z P 2

z P EF 3

z P a

z a

3 aEF 3

2 / a

F 3 z aF

3

z P F

N



Bài A5 (Olympic 1990)

Cho một hệ chịu lực như trên hình A5a Độ cứng chống uốn của dầm

AB là EJ , của dầm CD là 0 , 5 EJ

1) Hãy xác định khe hở  giữa dầm CD và AB sao cho dưới tác dụng của lực P, dầm CD vừa chạm vào dầm AB tại K (K là điểm giữa nhịp của dầm AB)

2) Nếu giảm khe hở  một lượng sao cho moment uốn lớn nhất phát sinh trong dầm CD giảm đi một lượng là M Pa / 4 thì giá trị lớn nhất của moment uốn phát sinh trong dầm AB trong trường hợp này là bao nhiêu?

Chuyển vị của điểm I gồm 2 phần, do dầm CD bị võng và do dầm

AB bị võng kéo theo điểm C đi xuống:

C 0

I

y Hình A5h, i là trạng thái " k 2 " và biểu đồ moment uốn để tính y C Hình A5k, l là trạng thái " k 3 " và biểu đồ moment uốn để tính y K

EJ

Pa 3

1 2

a 3

2 a 2

Pa 2

1 EJ 5 , 0

1 2 M M

EJ

1

y

3 1

1 P 1

C A a)

   

EJ

Pa 12

11 4

a a 2

Pa 3

a a 2

Pa 2

1 EJ

1 2 M M

EJ

1

y

3 3

2 P

11 EJ

Pa 3

2 EJ

Pa 3

EJ

Pa 12



2) Giá trị moment uốn lớn nhất phát sinh trong dầm AB

Theo giả thiết, để moment uốn lớn nhất phát sinh trong dầm CD giảm đi một lương M Pa / 4, lúc đó tại K sẽ phát sinh phản lực N để gây ra moment uốn trong dầm CD đúng bằng M Pa / 4, theo hình A5c điều kiện trên được viết ra:

PN a / 2Pa / 4 N P / 2 và lúc này dầm AB chịu lực như trên hình A5m, có biểu đồ moment uốn như trên hình A5n

Moment uốn lớn nhất phát sinh trong dầm AB:

4

Pa 3

M x , max 

So vơi trường hợp đầu thì moment uốn đã tăng lên một lượng

Pa Pa Pa

a a

a a

a a

1

P K 

D K

C

D C

I

P

a a

I I

a/2 A

B 3a/4



P

B

D K

M

1 k

M

2 k

M

3 k

e) f) g) h) i)

Bài A6 (Olympic 1990)

Hai dầm nằm ngang có cùng chiều dài a và độ cứng chống uốn EJ, đặt chéo nhau trong không gian, cách nhau theo phương thẳng đứng một khoảng nhỏ  như trên hình A6a (IK  , I là điểm giữa của nhịp AB,

K là điểm giữa của nhịp CD) Lực phân bố đều q theo phương thẳng đứng tác dụng lên dầm AB

1) Hãy xác định trị số q 0 của lực phân bố để dầm AB vừa chạm dầm CD

2) Hãy xác định độ võng tại I của dầm AB khi trị số của lực phân bố

a

EJ 384

D

C

B A

q

a/2 a/2

Na EJ 384

qa

5

y

3 4

Na EJ

48

Na EJ

384

qa

3 4 a 16

EJ 384 qa

qa 768

5 a

16

EJ 384 qa

5 EJ 48

a EJ 384

qa

5

y

4 3

4 3

4

a 5

EJ 384 4 q 4

1 2 2

1 a

5

EJ 384 4 EJ

Bài A7 (Olympic 1991)

Một kết cấu chịu lực như trên hình A7a Thanh AB có mặt cắt chữ nhật bh với h thẳng đứng, thanh BC có mặt cắt hình tròn đường kính

d Trên mặt trên cùng của thanh AB gá các tensomet đòn hướng thẳng

đứng với chuẩn đo là L (cm) để đo dịch chuyển theo phương dọc trục của thanh Ở bất cứ tensomet nào người ta cũng đọc được độ dịch chuyển của kim như nhau và bằng s khoảng chia, giá trị của mỗi khoảng chia là

1) Xác định tải trọng tập trung tại A

Do biến dạng dọc trục tại các điểm trên mặt trên của thanh AB không đổi nên thanh AB chịu uốn thuần túy hoặc kéo – nén đúng tâm hoặc cả hai trường hợp trên

Do biến dạng nghiêng góc 0

45 và 135 0 so với trục thanh của thanh

BC bằng nhau về độ lớn nhưng ngược dấu nên thanh BC chịu xoắn thuần túy Do đó, thanh AB không có lực dọc mà chỉ chịu uốn thuần túy Moment uốn trên thanh AB sẽ là moment xoắn trên thanh BC và bằng moment tác dụng tại A (hình A7b):

z AB x

 Tính theo biến dạng đo được trên thanh AB, theo giả thiết:

4 max

A x

AB x

bh

6 W

M W

10 Es bh

M

4 2

định luật Hooke): 45  1 3 max

E

1 E

E 1

z max

d

M 16 W

16

Et d

Et d L

L 10 10 16

6 d

bh

4 2 3

L 2

75 1

t s

L 10 16

6 d

bh

2 3

2

Điều kiện đồng bền: max   , và max   max tính theo (1),



   

s

L L

10

t 100

h 16

3 E 2

10 10 E 2

4 3

3 d

3) Chuyển vị thẳng đứng của điểm A

Chuyển vị thẳng đứng tại A là tổng của những chuyển vị cơ bản sau (hình A7b):

 Do trục AB bị uốn :

A 3 2 3

2 A

x

2 AB A uon

AB

Ebh 3

d 800 12

/ h b E 2

3 / d 20 M EJ

2

a M

d L

6

10 Es bh Ebh 3

d

3

2 uon

A AB

BC A AB BC B xoan

BC

Ed 3

10 16 3

d 20 32 / d E 4 , 0

d 10 M a

GJ

a M a

d 10 1

10 16

Et d Ed

3

10 16

2 3 2

3 xoan

BC

Hình A7

b) a)

 BC xoan A





 BC B



M A

A B





d 10 L

s h 225

d 2 xoan BC A uon AB

A

Bài A8 (Olympic 1991)

Một dầm chịu lực như trên hình A8a, có mặt cắt ngang như hình A8b Dầm làm bằng vật liệu dòn có ứng suất cho phép khi kéo là

a 2

x a

Moment tại mặt cắt qua C:

P 2

x 2 c P 2

x a 2 a Y

Biểu đồ moment uốn (hình A8e)

P(c-2x)/2 P.x

b

4b 2b 4b

D C B

Xác định đặc trưng hình học (hình A8d):

b b

8 b

b b b

b

2 2

2 3

12

b b b

b 12

b

 Xét điều kiện bền tại mặt cắt qua B:

Tọa độ điểm chịu kéo lớn nhất: y max k  b ; Tọa độ điểm chịu nén lớn nhất: y max n  b

 

1 2

y

y

n

k n



 Xét điều kiện bền tại mặt cắt qua C:

Tọa độ điểm chịu kéo lớn nhất: y max k  b ; Tọa độ điểm chịu nén lớn nhất: y max n  b

 

1 2

P x 2 c

J 2 J

Bài A9 (Olympic 1991)

Dầm thép DE theo thiết kế sẽ chịu được lực phân bố đều q 0 như trên hình A9a Để tăng khả năng chịu lực của dầm, người ta gia cường như trên hình A9b, trong đó AA 1 và BB 1 là tuyệt đối cứng có chiều dài c Dây AB làm bằng cùng một loại vật liệu với dầm, có diện tích mặt cắt ngang F 1

và được kéo trước bởi một lực X 1 nào đó

1) Xác định trị số của lực X 1, sao cho ứng suất lớn nhất tại các mặt cắt nguy hiểm của dầm là như nhau và không vượt quá trị số lớn nhất của ứng suất của dầm khi chưa gia cường

2) Sau khi gia cường dầm có thể chịu được lực phân bố q bằng bao nhiêu lần so với q 0?

Cho diện tích mặt cắt ngang của dầm là F, moment quán tính là J

và module đàn hồi của vật liệu dầm là E

Giải

1) Xác định lực kéo trước X 1

Gọi X là lực dọc phát sinh trong thanh AB kể cả lực kéo trước, X 0

là lực dọc phát sinh trong thanh AB do lực phân bố q gây ra, ta có:

min max

W

qa 08 , 0

c X qa 125 , 0

x

2 K

c X qa 125 , 0 W

qa 045 , 0 X

0,125qa 2 0,08qa 2

q

c 1

c

c

B A

0,2a

K

A 1

M - hình A9k: Biểu đồ moment uốn trong dầm DE do tải trọng q

gây ra trong hệ cơ bản

1 F

1 E

a 6 , 0 EJ

c a 6 , 0 EF

a 6 , 0 EF

1 11

EJ

c qa 066 , 0 c a 6 , 0 8

a 6 , 0 q 3

2 EJ

1 EJ

c a 6 , 0 qa 08 ,

2 2

1

3 0

c F

J F J

c qa 11 , 0 J

c F

1 F

1 E

a 6 , 0 / EJ

c qa 066 , 0

1 x

2 2 1

2

x

2 1

FF c JF JF

cF 11 , 0 W

cF

045 , 0 F qa c F

J F J

c qa 11 , 0 F

W c

qa 045

2 0 2

a q 125 , 0 qa

08

,

0  q1,5625 q 0 Có nghĩa q tăng lên 56 , 25 %

so với q 0

Bài A10 (Olympic 1992)

Dầm AB liên kết bởi hai gối tựa, chịu uốn bởi các moment M 1 M

và M 2 2 M như trên hình A10a dầm dài a mặt cắt ngang hình chữ nhật

có kích thước bh, vật liệu có module đàn hồi E, hệ số Poisson  Tại điểm C trên đường trung gian của mặt ngoài, bằng các phương tiện thí nghiệm, người ta xác định được biến dạng dài tỉ đối theo phương nghiêng với trục thanh một góc 0

45 có giá trị 0

Hình A10

M 2 =2M B A

a/3

a a

b h

M 1 =M

x y

1) Xác định giá trị moment uốn M

2) Đường đàn hồi của dầm có dạng như đường nét liền hay đường nét đứt biểu thị trên hình 10b (tiếp tuyến của đường nét đứt tại A trùng với trục thanh, điểm uốn của cả hai đường cách A một đoạn a / 3) 3) Giá trị moment M thay đổi thế nào khi M và 1 M tác dụng 2

ngược chiều nhau

4) Phân tích trạng thái ứng suất tại các điểm trên mặt cắt ngang cách gối tựa A một khoảng a / 3 trong cả hai trường hợp (khi M và 1 M tác 2

dụng cùng chiều và ngược chiều)

Giải

1) Xác định giá trị moment uốn M

Biểu đồ moment uốn (hình A10c), dựa vào biểu đồ moment uốn suy

M 9 bh

1 a

M 3 2

3 F

Q 2

2 M abh 2

M 9 1

2) Dạng của đường đàn hồi

Gọi D là điểm cách gối A một đoạn a / 3, tạo trạng thái “k” (hình A10e) và biểu đồ moment uốn của trạng thái “k” (hình A10f) để tính độ võng tại D:

   

EJ

Ma 81

3 9

a 3

1 a 3

2 M 2 2

1 9

a 3

1 a 3

1 M 2

1 EJ

1 M M

EJ

1

y

2 k

3 F

Q 2

6 M abh

M 2

3 1

Giá trị của M tăng 3 lần so với khi M và 1 M cùng chiều và giữ 2

nguyên số đo 0

4) Phân tích trạng thái ứng suất tại mặt cắt D (cách A một đoạn a / 3)

 Trường hợp moment M và 1 M quay cùng chiều, nội lực 2

trên mặt cắt qua D (hình A10g):

a

M 3 Q

; 4

M

3

M x  y (hình A10h)

Các điểm ở mép trên và dưới là trạng thái ứng suất đơn

Các điểm nằm trên đường trung hòa có trạng thái ứng suất trượt thuần túy

Các điểm còn lại ở trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt

3M/a

2M M

M 2 =2M B A

a/3

a a

b h

M 1 =M

x y

g)

h)

Bài A11 (Olympic 1992)

Một trục tròn ngàm hai đầu chịu lực như trên hình A11a Biết

cm

40

a , d 20 cm, module đàn hồi khi trượt của vật liệu là

2 6

cm /

1) Xác định ứng suất tiếp lớn nhất phát sinh trong trục

2) Vẽ biểu đồ biểu thị góc xoay của các mặt cắt

Giải

1) Xác định ứng suất tiếp lớn nhất

Loại bỏ liên kết tại D (hình A11b), góc xoay tại D bằng không:

M 3

2 M 0 GJ

a M GJ

a 5 M GJ

a 6 M

D D

xoắn trên hình A11d

Theo giả thiết: 0 , 01 rad

GJ 3

a 4 M rad 01 , 0

d M 3

2 W

M 3

2 W

Gd 10 a

4

GJ 10 3 J

d 3

cm

N 10 cm

N 40

4

20 10 8

C

M M

d

d

a)

Hình A11

2) Biểu đồ góc xoay

rad 005 , 0 2 GJ 3

Biểu đồ như hình A11d

Bài A12 (Olympic 1992)

Một kết cấu chịu lực như trên hình 12a Các dầm AB, CE , E 1 K có

cùng độ cứng chống uốn EJ Lực P di chuyển trên dầm AB từ A đến

B (trong quá trình chịu lực dầm AB không tiếp xúc với dầm CE ) Đầu

E của dầm CE cách đầu E của dầm 1 E 1 K một khoảng:

EJ

Pa 2



1) Khảo sát di chuyển thẳng đứng của điểm E khi P di chuyển

từ A đến B (vẽ đồ thị biểu diễn sự biến thiên của chuyển vị thẳng đứng của điểm E phụ thuộc vào khoảng cách từ điểm đặt lực P đến gối A)

2) Khảo sát sự biến thiên của moment uốn lớn nhất phát sinh trong dầm E 1 K khi P di chuyển từ A đến B (vẽ đồ thị)

0,005rad 0,005rad

M/3

D B A

C

M M

C

M M

x a 2 P Y 0 a Y x a 2 P

a

E 1

E D

A 1

C

Y A =P(2a-x)/2a N B =P.x/2a

P.x/2 P(a-x)/2

a a

A 1

C

B A

P x

A 1 C

B A

P x



K

Biểu đồ moment uốn do tải trọng gây ra (hình A12c) Trạng thái “k”

và biểu đồ moment uốn của trạng thái “k” (hình A12d,e)

x P 2

1 6

a a 2

x P 2

1 3

a a 2

x a P 2

1 3

a a 2

x a P 2

1 EJ

1

y E

Rút gọn: 5 x 2 a

EJ 8

Pa y

Pa 2

1 a x 5 EJ 8

Pa y

3 2

Phương trình tương thích chuyển vị tại E:

 

EJ

a N 3

a 2 a a N 2

1 3

a a a N 2

1 EJ

1

y

3 E E

E N

a N 3

a a a N 2

1 EJ

1

y

3 E E

Thay (3), (4) vào (2) rồi thay (2), (5) và

EJ 2

Pa 3



 vào (1):

 

EJ 2

a P EJ 3

a N EJ

a N a 2 x

x P 32

5 EJ 2

Pa P 16

9 a

x P 32

15 EJ

3

a

y

2 3

6 khi ,

a 2 x EJ

Pa 32

5

; a 5

6 x 0 khi ,

a 2 x 5 EJ

EJ

Pa 2

EJ

Pa 5

6 khi ,

Pa 16

9 x P 32 15

; a 5

6 x 0 khi ,

0 a N

M x E , 1 max K E

M max

y E

x x

a 5

2

a 5

a

a 5 6

a

a

Pa 8 3

Khi x a, Pa

8

3

M x E , max 1 K  Biểu đồ quan hệ E K

max , x

1

M

x như trên hình A12m

Bài A13 (Olympic 1993)

Một trục tròn gồm hai đoạn đường kính khác nhau, làm bằng cùng loại vật liệu, ngàm hai đầu chịu xoắn bởi moment M như trên hình A13a Cho d 1 5 cm, d 2 7 cm, a150 cm, b250 cm,

m / kN

1 B

2 2

B 1

B B

aJ aJ bJ

xJ M M

0 GJ

x M GJ

a M GJ

a b M 0

1 B

2 B 1

B 2

max, 1

max,

W W

MW M

W

M M W

5 150 7

150 7

250 d

d d

ad ad bd

4 4

4 3

2 3 1 1

4 1 4 2 4

kN 16

7 5 6 M

3 3





Bài A14 (Olympic 1993)

Cho trước các biểu đồ nội lực của khung như trên hình A14 Xác định tải trọng tác dụng lên khung

Q B p  hướng xuống (thuận chiều kim đồng hồ)

Phương trình X 0 thỏa, phương trình Y 0 dôi ra lượng

qa

4 hướng xuống nên tại B có một lực tập trung P4 qa hướng lên

 Trên đoạn BC:

qa 2

Q BC  mà M BC 0 nên phải có: m BC m 2Q BC 2 qa (xoay ngược chiều kim đồng hồ)



M Q

2qa

qa qa

2qa 2qa

C   hướng sang trái (ngược chiều kim đồng hồ)

Phương trình X 0 và Y 0 đều thỏa nên không có lực tập trung tác dụng lên C

 Trên đoạn CD:

qa

Q CD  mà M CD 0 nên phải có: m CD m 3 Q CD qa (xoay thuận chiều kim đồng hồ)

 Tại D:

qa 2

Bài A15 (Olympic 1993)

Một kết cấu như trên hình A15a Lực P tác dụng tại nút A có giá trị không đổi quay đủ chậm trong mặt phẳng ABC (không gây lực quán tính cho các phần tử kết cấu)

Hãy xác định giá trị của các góc để diện tích mặt cắt ngang thanh bé nhất và đảm bảo điều kiện bền, Thanh AB và AC có cùng độ cứng chống kéo nén EF, các kích thước khác cho trên hình A15a

M Q

P=4qa

2qa qa 2qa

2qa

qa P=4qa 2qa

qa qa

2qa 2qa

F

F  khi N maxmin

Khi P quay trong mặt phẳng thì vai trò chịu lực của hai thanh AB

và AC lần lượt như nhau nên chỉ cần xét cho một thanh AB Tách nút A (hình A15b):

P sin N sin N

P cos N cos N

cos 2

A

C a)

sin cos

.sin cos

P cos

sin 2

P cos

sin sin

cos 2

P N

P cos

sin sin

cos 2

P cos

sin sin

cos 2

P d

P

 Để N max đạt giá trị min thì: 0

45 1

Bài A16 (Olympic 1993)

Một kết cấu chịu lực như trên hình A16a Dầm AD có độ cứng

chống uốn EJ Thanh BM và CN có cùng độ dài a và độ cứng EF Thanh MN cứng tuyệt đối Cho 2

a / EJ

EF  Các kích thước khác cho trên hình A16a

1) Tính trị số moment uốn cực đại của dầm AD khi Q đặt tĩnh tại D

2) Tính hệ số động của hệ khi vật Q rơi từ độ cao ha lên mặt cắt

D C

B A

a a)

O

Giải

1) Tính trị số moment uốn cực đại khi Q đặt tĩnh

Hệ siêu tĩnh bậc nhất, hệ cơ bản như hình A16b Phương trình chính tắc:

11

P 1 1 P

1 1

1 BM

624 M

D t







Qa 203

t

đ

Qa

EJ 10125

406 1

1 Qa 10125

EJ 203 a 2 1 1

h 1 1

396 X

2 N

1 2 2 1 2 th

a

EJ L

203 a

a

EJ Q

203

396 P

2 2

1 2 th

D C

B A

a

b)

X 1 N M

e)

f)

h)

D C

B A

D C

B A

a

a)

O

Bài A17 (Olympic 1994)

Cho hai ống thép, ống thứ nhất có đường kính ngoài 90 mm, đường kính trong 80 mm; ống thứ hai có đường kính ngoài 100 mm, đường kính trong 90 mm Hai ống có chiều dài bằng nhau được lồng hoàn toàn vào nhau Cho ống bên trong xoắn bởi moment M 0 2000 Nm, sau đó hàn các đầu ống vào nhau

1) Xác định ứng suất tiếp lớn nhất xuất hiện trong mỗi ống khi cắt

max ,

1

1

5 , 4

242 J

max , 2

2

5

337,623 J

Tương thích biến dạng xoắn giữa ống trong và ống ngoài:

2 2 1 1 1

0 2

1

0

GJ

L M GJ

L M GJ

L M

N 10 2 337,623 242

337,623 M

J J

J M

2 1

2 2

2 2

116500



Ứng suất tiếp lớn nhất trên ống ngoài:

2 2

N 67,5246

116500 W

2) Vẽ biểu đồ ứng suất tiếp trên mặt cắt

Biểu đồ ứng suất tiếp trên mặt cắt của hai ống như trên hình A17c

Bài A18 (Olympic 1994)

Một kết cấu chịu lực như trên hình A18a thanh AB có phương thẳng đứng, chiều dài các thanh bằng nhau và bằng a, diên tích mặt cắt ngang của thanh AB và AC như nhau và bằng F , của thanh AD bằng 2 F Các thanh cùng làm bằng một loại vật liệu có module đàn hồi E

1) Tìm giá trị góc  ( tạo bởi phương của lực P và phương thẳng đứng) để cho chuyển vị của nút A chỉ theo phương thẳng đứng

2) Tìm giá trị lực P nếu biết chuyển vị thẳng đứng của nút A bằng 

a)

2166N/cm 2

1725N/cm 2

3,a,2F 2,a,F

a)

D

C B

A

30 0

30 0 1,a,F