De KS HSG Toan 9 20152016

c Chứng minh đường thẳng HF luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn tâm O... aChứng minh AD..[r]

PHÒNG GD & ĐT NAM TRỰC

TRƯỜNG THCS NAM TOÀN

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG CẤP TRƯỜNG

NĂM HỌC : 2015 – 2016

MÔN: TOÁN 9

( Thời gian làm bài : 120 phút)

Bài 1: ( 1,5 điểm)

Cho

A

a) Nêu ĐKXĐ và rút gọn biểu thức A

b) Đặt B = A + x – 1 Tìm GTNN của biểu thức B

Bài 2: (1,5 điểm)

a, Cho x 1  3 2 3 4

Chứng minh rằng P  x3  3x2  3x 3  là một số chính phương

b, Tìm các cặp số nguyên (x; y) thoả mãn x2 – 5xy + 6y2 + 1 = 0

Bài 3: (2 điểm)

a) Tìm x, y biết : 1x + 1y + x+ y = 4

b) Giải phương trình :

3

2

x

Bài 4: (1,0 điểm)

Cho hai số thực x y , 0 CMR :

     

Bài 5: (2 điểm)

Cho tam giác ABC (góc B là góc tù),và ba đường trung tuyến AD =36 cm, BE=15cm, CF=39cm.Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC,và K là trung điểm của GC

a) Chứng minh: AD DK

b) Tính diện tích tam giác ABC

Bài 6: (2 điểm)

Cho điểm M nằm trên nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R (M không trùng với A và B) Trên nửa mặt phẳng chứa nửa đường tròn có bờ là đường thẳng

AB, kẻ tia Ax vuông góc với AB Đường thẳng BM cắt Ax tại I; tia phân giác của góc IAM cắt nửa đường tròn tâm O tại E, cắt IB tại F; đường thẳng BE cắt AI tại H, cắt

AM tại K

a) Chứng minh : 4 điểm F, E, K, M cùng nằm trên một đường tròn

b) Tứ giác AHFK là hình gì ?Vì sao ?

c) Chứng minh đường thẳng HF luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn tâm O

ĐÁP ÁN- BIỂU ĐIỂM

Bài 1: ( 1,5 điểm) Mỗi ý đúng cho 0,75 điểm

a) ĐKXĐ: x 0 

A

b) B = A + x – 1= 2 x x 1 x 2 x 1       x 1  2 2  2

Dấu “=” xảy ra  x 1 0    x 1  ( TM ĐKXĐ)

Vậy GTNN của biểu thức B=-2 khi x=1

Bài 2: ( 1,5 điểm) Mỗi ý đúng cho 0,75 điểm

a, Ta có:

1



          3 2.x3 x 1  3

Vậy P là số chính phương

b, x – 5xy 6y2  2 1 0  4x2 20xy 24y 2 4 0

(2x 5y) y 4 0 (2x 5y) y 4 (2x 6y)(2x 4y) 1

(x 3y)(x 2y) 1

KQ: (x; y) ( 5; 2); (5; 2) 

Bài 3: (2 điểm) Mỗi ý đúng cho 1 điểm

b) a) ĐKXĐ: x 0; y 0 

c)

1

x +

1

y + x+ y = 4

2 2

0

1

0

1













x

x x

y y

Vậy (x;y)=(1;1)

b)

 1 12  1 12 3

2



ĐKXĐ : x 1  3

2



      x

(*) Nếu x 2  phương trình (*)

 x x  x  x  x   x   x (TM)

Nếu 1 x 2   phương trình (*)

( TM) Vậy phương trình có nghiệm x=1; x=5

Bài 4: (1 điểm)

     

Bài 5: (2 điểm) Mỗi ý đúng cho 1 điểm

Hình vẽ:

a)Chứng minh AD DK:

Ta có DG=1

3 AD=

1

2

3BE=

2

3×15=10(cm);

GC=2

3CF=

2

3×39=26(cm)

DK là đường trung bình tam giác BGC nên: DK=1

2BG=

1

2×10=5(cm) và GK=1

2GC=

1

2× 26=13 (cm) Tam giác DGK có DK2+ DG2= 52+ 122=132=GK2

⇒ ΔDGK vuông tại D ( định lý Pi ta go đảo) , hay AD DK

b) Tính diện tích tam giác ABC:

BG // DK, AD DK ⇒ AD BG

SABC=SABD+SADC ; SABD= 1

2BG × AD=

10 ×36

2 =180(cm

2 )

SABD=SADC⇒ SABC=2 SABD=2 ×180=360 (cm2)

Bài 6: ( 2 điểm)

a) Các tam giác AEB, AMB vuông ( vì AB đường

kính) suy ra BEF KMF 90   0

Gọi C là trung điểm của KF ta có

1

2

hay EC CM CK CF   

Suy ra 4 điểm F, E, K, M cùng nằm trên một

đường tròn tâm C

b) Ta có AE vừa là đường cao vừa là phân giác của

tam giác AHK nên AH=AK và HE=EK

EC là đường trung bình của tam giác HKF nên EC

1

2



HF, mà EC=

1 2



KF nên HF=KF

K là trực tâm của tam giác FAB nên FK  AB, mà

AH  AB do đó AH//KF suy ra KFE EAH 

  suy ra AH=KF

Do đó AH=AK=KF=EH và AF HK  nên tứ giác

AHFK là hình thoi

c) Vì AHFK là hình thoi suy ra HF//AM, mà AM  BF nên HF BF  (1)

Mặt khác HK là trung trực của AF hay BH là trung trực của AF nên BF=AB=2R (2)

Từ (1) và (2) suy ra HF là tiếp tuyến đường tròn (B; 2R) cố định

HẾT

C

K

F

E

I

H

M

A