Gọi D và E lần lợt là hình chiếu của điểm H trên AB và AC.. a Tính độ dài đoạn DE.. Hỏi n có thể bằng 2006 đợc không?. Tại sao?. Phòng Giáo dục huyện Yên Thành đáp án, biểu điểm chấm môn
Trang 1đề thi học sinh giỏi huyện năm học 2006-2007
Môn: Toán lớp 9-Thời gian 120 phút
Bài 1:
Cho biểu thức: A= x − + x + + x
1 1 1
1 1 1
a) Tìm tập xác định và rút gọn biểu thức A
b) Tìm giá trị của x để A >A
Bài 2 :
Giải các phơng trình sau:
a) x+ 1 =x− 1
b) x+ 2 x− 1 + x− 2 x− 1 = 2
c) x +y +z +4 = 2 x− 2 + 4 y− 3 + 6 z− 5
Bài 3:
a) Cho 2 số không âm a và b
Chứng minh rằng: a+b≥ ab
2 , dấu “=”xảy ra khi nào?
b) Tìm cặp số x,y sao cho: x y− 1 +y x− 1= xy
c) Cho 0 < a, b, c < 2
Chứng minh có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau đây là sai:
a(2 - b) > 1; b(2 - c) > 1; c(2 - a) > 1
Bài 4:
Cho tam giác ABC vuông ở A,đờng cao AH Gọi D và E lần lợt là hình chiếu của điểm H trên AB và AC Biết BH=4cm, CH=9cm
a) Tính độ dài đoạn DE
b) Chứng minh: AD.AB = AE.AC
c) Chứng minh: AH3 =BC.BD.CE
Bài 5:
Cho n số a1; a2; ; an, mỗi số trong chúng bằng 1 hoặc bằng -1
và a1a2 + a2a3 + + ana1 = 0 Hỏi n có thể bằng 2006 đợc không? Tại sao?
Phòng Giáo dục huyện Yên Thành
đáp án, biểu điểm chấm môn toán 9
Trang 2(1,5®)
C©u a:1 ®iÓm, c©u b: 0,5 ®iÓm
a)TX§ = {x∈R/x> 0 ;x≠ 1 }
A=
x
x x
x
1
1
−
− + +
=2( (1) 1) ( 2(1)( 1) 1) 2 1
−
= +
−
+
=
−
+
x x
x
x x
x
x x
b) A>A⇔ A( 1 − A) > 0 ⇔A< 1 (§iÒu kiÖn:A≥0⇒
1 0
1 > ⇒ >
1 2 1 3 9
1
2 < ⇔ < − ⇔ < ⇔ >
−
VËy víi x>9 th× A >A
0.5
0.5 0.25 0.25
2
(3®)
C©u a:1 ®iÓm c©u b: 1 ®iÓm c©u c: 1®iÓm
a) x+ 1 =x− 1 §iÒu kiÖn:x≥ 1
2
) 1 (
1 = − +
⇔x x ⇔x(x− 1 ) = 0 ⇔ x= 0(lo¹i) hoÆc x=1 (Tháa m·n)
b) x+ 2 x− 1 + x− 2 x− 1 = 2
⇔ ( x− 1 + 1 ) 2 + ( x− 1 − 1 ) 2 =2
⇔ x− 1 + 1 + x− 1 − 1=2
§iÒu kiÖn x≥ 1
NhËn xÐt: x− 1 + 1 + x− 1 − 1 = x− 1 + 1 + 1 − x− 1 ≥ 2
DÊu b»ng xÈy ra khi:( x− 1 + 1 ).(1- x− 1 ) ≥0 ⇒2-x≥ 0 ⇒x
VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ:1≤x≤ 2
c) x+y+z+4 = 2 x− 2 + 4 y− 3 + 6 z− 5
§iÒu KiÖn :x≥ 2 ;y ≥ 3 ;z≥ 5
[( − 2 ) − 2 − 2 + 1] [+ ( − 3 ) − 4 − 3 + 4] [+ ( − 5 ) − 6 − 5 + 9]= 0
⇔ ( x− 2 − 1 ) 2+( y− 3 − 2 ) 2 + ( z− 5 − 3 ) 2 = 0
=
−
−
=
−
−
=
−
−
⇔
0 3 5
0 2 3
0 1 2
z y
x
=
=
=
⇔
14 7 3
z y
x
Lµ nghiÖm
0.25 0.5 0.25
0.25 0.25
0.25 0.25 0.25 0.5
0.25 3
(2,0®) C©u a:0,5 ®iÓm c©u b: 1 ®iÓm c©u c: 0.5 ®iÓm
a) v× a vµ b kh«ng ©m nªn tån t¹i avµ b
Ta cã( a− b) 2 ≥ 0 ⇔a+b− 2 ab ≥ 0 ⇔a+b≥ 2 ab
ab b a
≥
+
⇔
2
DÊu “=” x¶y ra khi a=b
b) §iÒu kiÖn : x≥1 ; y≥1
2 2
1 1 ) 1 ( 1
x− = − ≤ + − = ⇒ − ≤ (1)
0.25 0.25 0.25
Trang 3Tơng tự
2
1 2
y− ≤ ⇒ − ≤ (2)
Từ (1) và (2) ta có : x y− 1 +y x− 1 ≤xy
Dấu "="xảy ra ⇔
=
−
=
−
1 1
1
1
y
x
⇔
=
=
2
2
y
x
c) Giả sử các BĐT trên đều đúng Khi đó nhân vế với vế các BĐT lại
với nhau ta đợc:
a(2 - b)b(2 - c)c(2 -a) > 1 (1)
Ta lại có a(2 - a) = 2a - a2 = 1 - (1-a)2 ≤1
Tơng tự b(2 - b) ≤1
c(2 - c) ≤1
Do 0 < a, b, c < 2 nên a( 2 - a) > 0; b(2 - b) > 0; c(2 - c) > 0
Suy ra: a(2 - a)b(2 - b)c(2 - c) ≤1 Mâu thuẫn với (1)
Vậy có ít nhất một trong các BĐT đã cho là sai
0.5 0.25
0.25
0.25
4
(2,5đ)
Câu a: 1điểm; câu b: 1điểm; câu c: 0.5đ
a) Tứ giác ABCD là hình chữ nhật vì có 3 góc vuông⇒DE = AH
Tam giác ABC vuông ở A, có AH⊥BC, nên
AH2=BH.CH=4.9=36
⇒AH=6(cm) Vậy DE=6cm
b) Ta có AH2=AD.AB ; AH 2=AE.AC
⇒AD.AB=AE.AC
c) Ta có AH2=BH.CH
⇒AH4=BH2CH2=AB.BD.AC.CE=AH.BC.BD.CE
⇒AH3=BC.BD.CE
0.5
0.5 0.5 0.5
0.25 0.25
5
(1đ)
Vì aj = + 1 nên aiaj = + 1
Do đó tổng n số hạng a1a2 + a2a3 + + ana1 mỗi số hạng bằng 1 hoặc -1
Mà tổng này bằng 0 (g thiết) nên suy ra n chẵn
Giả sử n = 2k với k số hạng bằng 1, k số hạng bằng -1
Tích của n số hạng đó (a1a2)(a2a3) (ana1) = (a1a2 an)2 = 1
Nên số hạng bằng -1 phải là số chẵn, k = 2p
Vậy n = 2k = 4 p
Mà 2006 không chia hết cho 4, suy ra n không thể bằng 2006
0.5
0.25
0.25
Các cách giải khác đúng đều cho điểm tối đa
A
D
E
H
