b Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều dương.. Tìm điểm M trên đường tròn để AM + 2MB đạt giá trị nhỏ nhất.. Chứng minh: MD vuông góc với BC.
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC HUYỆN KRÔNG NĂNG
TRƯỜNG THCS PHÚ XUÂN
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN CẤP THCS NĂM HỌC 2008 – 2009
Môn : Toán - Thời gian :150 (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (2,5 điểm)
a/ Chứng minh rằng : 3n4 – 14n3 + 21n2 – 10nM24 với mọi n∈N
b/ Chứng minh rằng với mọi số nguyên n lẻ thì :
Bài 2: (2,5 điểm)Rút gọn biểu thức:
Bài 3 : (3 điểm)
a) Cho a, b, c là các số không âm Chứng minh rằng :
a b a b ab
a b
+ + ≥ + + +
+ +
b) Cho x + y = 1 và x, y đều khác 0 Tìm giá trị lớn nhất của :
1
x +y +xy
Bài 4: (3 điểm) Cho phương trình : x2 – 2mx + m2 – 6m + 10 = 0 (1) (x là ẩn)
a) Xác định m để phương trình có nghiệm
b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều dương
c) Gọi x1, x2 là hai nghiệm phân biệt của (1), lập một phương trình bậc hai theo y có hai nghiệm là y1 = x1– 2x2, y2 = x2 – 2x1
Bài 5: (3 điểm) )Giải phương trình:
a) 3 2− +x x− − =1 1 0
b) x + y + z + 4 = 2 x−2 + 4 y−3 + 6 z−5
Bài 6: (3 điểm) Cho đường tròn tâm O bán kính R và hai điểm A, B nằm ngoài đường tròn sao cho OA = 2R Tìm
điểm M trên đường tròn để AM + 2MB đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 7: (3 điểm) Cho đ ường tròn tâm O v à đi ểm M ở trên đ ường tròn đ ó Đường tròn tâm M cắt đường tròn
tâm O tại hai điểm phân biệt A và B Gọi C là điểm ở trên đường tròn tâm M và ở miền ngoài đ ường tròn tâm O Đường thẳng AC cắt đường tròn tâm O ở D
Chứng minh: MD vuông góc với BC
Trang 2PHÒNG GIÁO DỤC HUYỆN KRÔNG NĂNG
TRƯỜNG THCS PHÚ XUÂN
KỲ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN CẤP THCS NĂM HỌC 2008 – 2009
Môn : Toán ĐÁP ÁN - BIỂU ĐIỂM
Bài 1: (2,5 điểm)
a) ( 1,5 điểm)
Ta có A = 3n4 – 14n3 + 21n2 – 10n = n(3n3 – 14n2 + 21n – 10) = n(3n3 – 3n2 - 11n2 + 11n + 10n – 10) (0,25 đ)
= n(n-1)(3n2 - 11n + 10) = n(n – 1)(3n2 – 6n – 5n + 10) = n(n – 1)(n – 2)(3n – 5) (0,25 đ)
= n(n – 1)(n – 2)(3n – 9 + 4) = 3n(n – 1)(n – 2)(n – 3) + 4n(n – 1)(n – 2) (0,25 đ)
+ Do n – 2 , n – 1, n là ba số nguyên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 2, 1 số chia hết cho 3
Mà (2,3) = 1 ; 2.3 = 6 nên: n(n – 1)(n – 2) M6
+ Ta lại có : n, n – 1, n – 2, n – 3 là 4 số nguyên liên tiếp, nên có 2 số chẵn liên tiếp và như vậy có 1 số chia hết cho 2 và số còn lại chia hết cho 4 Nên n(n – 1)(n – 2)(n – 3) M 8
Suy ra : 3n(n – 1)(n – 2)(n – 3) M 24 (2) (0,25 đ)
Từ (1) và (2) suy ra : A M 24 (đpcm) (0,25 đ) b)(1 điểm)
Ta có : n2 + 4n + 5 = (2k + 1)2 + 4(2k + 1) + 5 = (4k2 + 4k + 1) + (8k + 4) + 5
= ( 4k2 + 4) + (8k + 8) + 2 = 4k(k + 1) + 8(k + 1) + 2 (0,25 đ)
Vì k(k + 1) M2 (hai số nguyên liên tiếp), nên: 4k(k + 1) M 8 và 8(k + 1)M8 mà 2 không chia hết cho 8 (0,25 đ)
Suy ra : 4k(k + 1) + 8(k + 1) + 2 không chia hết cho 8
Bài 2: (2,5 điểm)
a) (1 đi ểm)
b) (1,5 điểm)
Ta có:B2 =
2
= 8 + 2 16 (10 2 5)− + = 8 + 2 6 2 5− = 8 + 2 5 2 5 1− + = 8 + 2 ( 5 1)− 2 (0,5 đ)
= 8 + 2( 5 1− )= 6 + 2 5 =( 5 1)+ 2 (0,25 đ)
Bài 3:(3 điểm)
a) (1,5 điểm)
a b a b ab
a b
+ + ≥ + + +
+ + + + + + + (0,5 đ)
Trang 3Hay 2 1 1
+ + + (1)
+ + + (2) (0,25 đ)
a b a b ab
a b
+ + ≥ + + +
b) (1,5 điểm)
Ta có:
x3 + y3 + xy = (x + y)(x2 + y2 – xy) + xy = x2 + y2 (do x + y = 1 (gt)) (0,25 đ)
= x2 + (1 – x)2 = 2x2 – 2x + 1 (do y = 1 – x) (0,25 đ)
=
2
− + = − +
(0,25 đ)
Do đó : x3 + y3 + xy =
2
2
x
− +
2
x +y +xy≥ (0,25 đ)
x− = ⇔ = ⇒ =x y
Như vậy : x3 + y3 + xy đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1
2 khi x = y =
1
2 (0,25 đ) Suy ra : A = 3 13
x +y +xy đạt giá trị lớn nhất bằng 2 khi x = y =
1
2 (0,25 đ)
Bài 4:(3 điểm) x2 – 2mx + m2 – 6m + 10 = 0 (1)
a) (0,5 điểm) Đi ều ki ện đ ể ph ư ơng tr ình (1) c ó nghi ệm l à:
∆ ' ≥ 0 ⇔m2 – (m2 – 6m + 10) ≥0
⇔ 6m ≥10 ⇔m ≥ 5
3 (0,5 đ)
b) (1 điểm) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt đều dương
5 3
' 0
5
3
m m
>
− >
∆ >
⇔ > ⇔ − + > ⇔ − + > ⇔ >
> >
(1,0 đ)
c) (1,5 điểm) Khi m > 5
3 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với :
1 2
2
1 2
2
S x x m
P x x m m
= + =
(0,25 đ)
Với y1 = x1 – 2x2 ; y2 = x2 – 2x1 ta có :
S1 = y1 + y2 = x1 – 2x2 + x2 – 2x1 = -(x1 + x2) = - 2m (0,25 đ)
Trang 4N C O
A
B M
P1 = y1y2 = (x1 – 2x2 )(x2 – 2x1) = 5 x1x2 – 2(x1 + x2)
= 5x1x2 - 2 {(x1 + x2)2 – 2x1x2 } = 9x1x2 - 2(x1 + x2)2
= 9(m2 – 6m + 10) – 2(2m)2 = m2 – 54m + 90 (0,25 đ)
Do đó y1, y2 là hai nghiệm của phương trình bậc hai:
y2 – S1y + P1 = 0 (0,25 đ)
⇔ y2 + 2my + m2 – 54m + 90 = 0 (0,5 đ)
Bài 5 : (3 điểm)
a) (1,5 điểm)3 2− +x x− − =1 1 0
Điều kiện x ≥ 1 Đặt : u = 3 2 x− , v = x−1 (v ≥0) (0,25 đ)
1(2)
u v
u v
+ =
+ =
(0,5 đ)
Từ (1) suy ra v = 1 – u, thay vào (2) ta được:
u3 + (1 – u)2 = 1 ⇔ u3 + u2 – 2u = 0 ⇔ u(u2 + u – 2) = 0 (0,25 đ)
⇔ = ⇔ =
= − =
(0,25 đ)
Vậy : S = {1;2;10} (0,25 đ)
b) (1,5 đi ểm) x + y + z + 4 = 2 x−2 + 4 y−3 + 6 z−5
⇔ (x – 2 - 2 x−2+ 1) + (y – 3 – 4 y−3+ 4) + (z – 5 - 6 z−5+9) = 0 (0,5 đ)
⇔ ( x−2 - 1)2 + ( y−3 - 2)2 + ( z−5 - 3)2 = 0 (0,5 đ)
( )
( )
2
2
2
14
5 3 0
x
z z
z
− − =
⇔ − − = ⇔ − − = ⇔ =
(0,5 đ)
Bài 6 (3 điểm)
Gọi C là giao điểm của OA với đường tròn và N là trung điểm của OC (0,25 đ)
Khi đó suy ra N là điểm cố định
Ô góc chung
2
OM OA
ON =OM = (0,25 đ)
Suy ra : ∆OMA ∽ ∆ONM (c-g-c) (0,5 đ)
Trang 5MA
NM
⇒ = ⇒ MA = 2NM (0,25 đ)
Ta có : MA + 2MB = 2(NM + MB) ≥ 2NB = hằng số (vì N, B cố định) (0,5 đ)
Dấu “=” xảy ra ⇔ N, M, B thẳng hàng
⇔ M là giao điểm của NB với đường tròn (0,5 đ) Vậy MA + 2MB đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2BN khi M là giao điểm của NB với đường tròn (0,5 đ)
Bài 7:(3 điểm)
Vẽ hình hai trường hợp, ghi gt, kl đúng (0,5 đ)
a)Tr ường h ợp 1: M và D nằm cùng phía đối với đường thẳng AB
Trong đ ường tròn tâm O ta c ó:
BAD BMD= (cùng chắn cung BD) (0,25 đ)
D C
M O
B
A
B
D
M O
Trong đ đ ư ờng đ tròn Tâm M ta có :
1
2
BAC= BMC (quan hệ giữa góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung BD) (0,25 đ)
2
Ta lại có : ∆BMC cân tại M (MB = MC bằng bán kính)
Do đó : phân giác MD đồng thời là đường cao (0,25 đ)
Vậy : MD ⊥BC (0,25 đ)
b)Trường hợp 2: M và D nằm khác phía đối với AB
Kẻ đường kính ME của đường tròn tâm O Gọi H là giao điểm của MD và BC (0,25 đ)
Trong đường tròn tâm M ta có:
1
2
ACB= AMB AME= (0,25 đ)
Trong đường tròn tâm O ta có:
AEM =ADM ( cùng chắn cung AM) (0,25 đ)
Do đó : ∆AME ∽∆HCD (g-g) (0,25 đ)
Suy ra : DHC EAMˆ = ˆ =900
Vậy : MD ⊥BC (0,25 đ)
Học sinh làm cách khác đúng vẫn được điểm tối đa