www.facebook.com/toihoctoan
Trang 1BẤT ĐẲNG THỨC THƯỜNG SỬ DỤNG TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC 1.Bất đẳng thức cosi: a b 2 ab
2.Bất đẳng thức Bunhiacopki:
Chứng minh : a2y2 2abxy b x 2 2 0 (ay bx )20 3.Bất đẳng thức Cosi-Svac cho 3 số:
2 2 2 2 2 2 2
ax by cz a b c x y z
CM a y abxy b x a z acxz c x b z bcyz c y
ay bx az cx bz cy
4.Bất đẳng thức Holder:
Tiếp tục
cặp(b,y,n)
và (c,z,p) rồi cộng vế theo vế
5.Một số hệ quả:
1
x y x y
CM a y x y b x x y a b xy ay bx
2 2 2 ( )2
2.a b c a b c
x y z x y z
Chứng minh tương tự
4
1a 1b 1c 1abc
ax by 2 (a2b2)(x2y2)
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
:
3
axm byn czp a b c x y z m n p
CM
Trang 26.Các bất đẳng thức quan trọng khác:
1
a b a b
Mở rộng:
2 2 2 2 2 2 ( )
x y y z x z xyz x y z
2
2
a b c ab bc ac
C m a b c ab bc ac a b c ab bc ac ab bc ac
a b c ab bc ac
Mở rộng:
2
(xy yz xz ) 3xyz x y z( )
2
2 2 2
2
2 2 2 2 2 2
4
3
a b c
a b c
2
3 2 3
a b c
a b c abc
c a b
a b c
a b c
c a b
2 2 2
6
ab bc ac
a b c
2 2 2
2 2 2
2
a b c ab bc ac
a b ab b c bc a c ac
a b c ab bc ac
Trang 34 4 3 3
8
a b a b b a
C m a a b b a b a b a b ab
Mở rộng:
3 3 ( ) ; 5 5 2 2( )
a b ab a b a b a b a b
9
8
1
8
a b c ab bc ac a b b c a c
C m a b b c a c abc
a b c ab bc ac abc a b b c a c a b b c a c
Dạng khác: (a b c ab bc ac )( ) 9 abc
2 2
a b ab a b
2
ab
a b ab
C m
Dạng tương tự:
a b ab ab
C m a b ab ab ab a b ab ab
13 1a 1b 1 1 a b
C/m: bình phương 2 vế
2 2 2
2 2 2
7
a b c a b c
b c a b c a
Trang 415 1 a 1 b 1 c 8
2
16
2 1
4
ab bc ac a b c
a b b c a c
ab
a b
2 2 3 3
17
a b a b a b
C/m:a4 + b4 2a2b2 a4 + b4 + c4 a2b2 + b2c2 + c2a2
a2b2 + b2c2 2ab2c a2b2 + b2c2 + c2a2 abc(a + b + c)
a4 + b4 + c4 abc(a + b + c) , chia abc
a3
b3
c3
19.
1
a(a+c) +
1
C/m:
1
a(a+c) +
1
b(b+a) +
1
c( c+b) ¿
3
3
√ abc(a+b)( b+c)(c+a )
a + b + c ¿33√abc , a + b + c =
1
2 (a+ b+b+c+c+a) ¿
3 2
3
(a+b+c) 2 ¿9
2
3
thay vào đpcm
14
xy x y xy x y xy x xy y x y xy
xy x y xy