Trong quá trình chứng minh bất đẳng thức dựa theo cách chứng minh bất đẳng thức riêng, ta làm sao tìm ra các bất đẳng thức riêng ? Việc tìm ra bất đẳng thức riêng như thế nào ?Sau đây là một số dạng toán vận dụng phương pháp chứng minh bất đẳng thức riêng và con đường đi tìm bất đẳng thức riêng ở mỗi dạng .
Trang 1PHẦN I- ĐẶT VẤN ĐỀ I/ Cơ sở lý luận
Theo nghị quyết 40/2000/QH10 của Quốc hội nước Cộng hoà xã hội Việt Nam - đã khẳng định: “Đổi mới giáo dục phổ thông là đổi mới chương trình giáo dục từ tiểu học tới trung học phổ thông” Muốn làm tốt và có hiệu quả điều đó -vấn đề đổi mới phương pháp dạy học phải là -vấn đề then chốt - trọng tâm
Đổi mới phương pháp dạy học là nhiệm vụ trọng tâm của mỗi ngành học, cấp học Năm học 2010-2011 việc đổi mới phương pháp dạy học đã trở thành nề nếp
và được duy trì có hiệu quả trong các nhà trường
Toán học là một khoa học trừu tượng có nguồn gốc từ thực tiễn và có ứng dụng rộng rãi trong thực tiễn Việc rèn luyện tư duy logíc là một trong những yêu cầu hàng đầu của dạy học toán ở nhà trường phổ thông Đặc biệt đối với việc bồi dưỡng học sinh giỏi, học sinh thi vào Trung học phổ thông Vì vậy người giáo viên phải nắm được phương pháp dạy học toán để phát huy hiệu quả tính tích cực, tự giác chủ động của học sinh, hình thành và phát triển năng lực tự học, trau dồi các phẩm chất linh hoạt, độc lập, sáng tạo của tư duy cho học sinh
Để đạt được mục tiêu quan trọng trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi, học sinh thi vào Trung học phổ thông đạt kết quả cao (bộ môn toán) người giáo viên cần thực hiện đảm bảo nguyên tắc: học sinh tự mình hoàn thành nhiệm vụ nhận thức với vai trò sự tổ chức hướng dẫn của giáo viên
II/Cơ sở thực tiễn
Qua nhiều năm giảng dạy bộ môn Toán học lớp 8, lớp 9 trong nhà trường, tôi nhận thấy mảng kiến thức "Bất đẳng thức" là đơn vị kiến thức thường xuyên xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi các cấp và thi vào Trung học phổ thông trung
Với học sinh :
Mảng kiến thức trên khi vận dụng trong thực tế bài làm của mình thường chưa định hình rõ về phương pháp cơ bản của từng dạng bất đẳng thức mà mới chỉ dừng lại ở
Trang 2mức độ chưa suy luận theo một logíc nhất định, kết quả đạt được trong các bài thi chỉ dừng lại ở mức độ trung bình
Đối với giáo viên: Khi giảng dạy các bài toán về bất đẳng thức còn chưa đi sâu về dạng, các dạng bài chưa đi theo một chuyên đề, còn tản mạn
Trước tình hình trên, sau khi nghiên cứu kỹ các tài liệu về mảng kiến thức này, tôi mạnh dạn đưa ra một ý tưởng chứng minh bất đẳng thức dựa vào chứng minh bất đẳng thức riêng với một mong ước là làm tài liệu bồi dưỡng, nhằm tạo điều kiện thuận lợi hơn cho người dạy và người học trong việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi
III/Mục đích nghiên cứu
Một vấn đề thường gặp trong đại số, làm cho học sinh lúng túng đó là
những bài toán về bất đẳng thức đại số Thông thường những bài toán về loại này
là những vấn đề khó Thực sự nó là một phần quan trọng của đại số và những kiến thức về bất đẳng thức trong đại số cũng làm phong phú hơn phạm vi ứng dụng đại
số trong cuộc sống
IV/Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu một số vấn đề về phương pháp chứng minh bất đẳng thức riêng trong các bài chứng minh bất đẳng thức Những bài toán về bất đẳng thức như vậy
có nội dung rất hấp dẫn và khó giải quyết Một trong những nguyên nhân gây khó giải quyết của nó là vì phương pháp tiếp cận, mổ xẻ vấn đề không phải là các phương pháp thông thường hay được áp dụng trong đại số
V/ Giới hạn của đề tài
Nghiên cứu về bất đẳng thức đặc biệt là phương pháp chứng minh bất đẳng thức riêng và bài tập vận dụng để giúp học sinh có thể học tốt hơn và hình thành những kiến thức, kĩ năng mới, vận dụng một cách linh hoạt, sáng tạo nhất, thông minh nhất trong việc học toán cũng như trong cuộc sống
PHẦN II - GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
Trang 3A/ CÁC KIẾN THỨC VÀ KỸ NĂNG CẦN THIẾT KHI CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Các kiến thức và kỹ năng cần thiết khi giải phương trình học sinh cần nắm được là: Các hằng đẳng thức đáng nhớ
Kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử
Kỹ năng biến đổi các biểu thức
Các quy tắc tính toán(các phép tính cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên luỹ thừa) giữa các biểu thức đại số
B/ MỘT SỐ DẠNG BÀI BẤT ĐẲNG THỨC
I Nội dung phương pháp
Một bất đẳng thức có thể mang trong nó những vẻ đẹp của toán học Cũng vậy, một ý tưởng được sử dụng trong việc chứng minh một bất đẳng thức có thể giúp ta khám phá một phương pháp hay để chứng minh nhiều bất đẳng thức khác
Ta bắt đầu từ một bài toán
Cho a,b,c>0
Chứng minh rằng : a +b3 3+b +c3 3+c +a3 3 a+b+c
Việc chứng minh bất đẳng thức trên có rất nhiều cách làm , một trong những cách
để chứng minh bất đẳng thức trên là chứng minh bất đẳng thức riêng
3 3
a +b a+b
2ab 2
3 3
b +c b+c 2bc 2
3 3
c +a c+a 2ca 2
Trang 4Trong quá trình chứng minh bất đẳng thức dựa theo cách chứng minh bất đẳng thức riêng, ta làm sao tìm ra các bất đẳng thức riêng ? Việc tìm ra bất đẳng thức riêng như thế nào ?
Sau đây là một số dạng toán vận dụng phương pháp chứng minh bất đẳng thức riêng và con đường đi tìm bất đẳng thức riêng ở mỗi dạng
II/ Con đường đi tìm bất đẳng thức riêng trong các dạng bất đẳng thức
1/Bất đẳng thức có các phân thức mà tử là đa thức bậc 2 và mẫu là đa thức bậc 1
Bài toán 1.Cho a,b>0
Chứng minh rằng :a2 +b2 a+b
b a (*) a/Phân tích
Ta nhận thấy các phân thức trong bất đẳng thức trên đều là phân thức mà tử là đa thức bậc 2 và mẫu là đa thức bậc 1 do đó vế phải của bất đẳng thức riêng là đa thức bậc nhất
Ta cần tìm x,y để xảy ra 2 bất đẳng thức riêng sau: a2 ax+by
2
b bx+ay
Khi đó ta cộng từng vế của hai bất đẳng thức trên ta được:
2
2 2 2
a ax+by
a
Như vậy so sánh bất đẳng thức (*) ta có x+y=1
Mặt khác :a2 ax+by
a2 abx+b2y (do b>0)
a2-abx-b2y0
(a-bx
2 )2
-2 2
b x
4 -b
2y0
Ta lựa chọn y= x2
4
để cho biểu thức -b x2 2
4 -b
2y=0
Trang 5Ta thay y= x2
4
vào x+y=1 giải ra ta được x y21
Khi đó ta có các bất đẳng thức riêng:
2 2
a 2a-b b
b 2b-a a
b/Lời giải
Chứng minh bất đẳng thức riêng
2
a 2a-b
b với a,b>0
Ta có a2 2a-b
b
a 2ab-b
a 2ab+b
2
(a-b) 0
( bất đẳng thức luôn đúng )
Do đó ta có a2 2a-b
b (1)
Chứng minh tương tự :
2
b 2b-a
a (2)
Từ (1) và (2) ta có a2+b2 a+b
Các bài toán áp dụng từ bài toán trên là:
1/ Cho a,b,c>0
Chứng minh rằng
2 2 2
a +b c a+b+c
b c a 2/Cho a,b ,c >0
Chứng minh rằng a + bc ca a + b c
Bài toán 2 Cho a,b,c>0
Chứng minh rằng a2 b2 c2 a+b+c
a+b b+c c+a 2 a/ Phân tích
Trang 6Ta nhận thấy các phân thức trong bất đẳng thức trên đều là phân thức mà tử là đa thức bậc 2 và mẫu là đa thức bậc 1 do đó vế phải của bất đẳng thức riêng là đa thức bậc nhất
Mặt khác: ta cần xác định vế phải của bất đẳng thức riêng một đa thức bậc nhất hợp lý, sao cho khi lựa chọn x,y một cách nhanh nhất
2
2
2
a ax+(a+b)y
a+b
b bx+(b+c)y
b+c
c cx+(c+a)y
c+a
a+b b+c c+a
So sánh bất đẳng thức cần chứng minh ta có x+2y =12 (1)
Mặt khác : từ bất đẳng thức a2 ax+(a+b)y
a+b 2
2
2
0
a ax(a+b)+(a+b)
a ax(a+b)-(a+b) 0
x(a+b) x (a+b)
y y
y
Ta lựa chọn y= x2
4
để cho biểu thức
2
x (a+b) -(a+b)
Ta thay y= x2
4
vào x+2y =1
2 giải ra ta được
1 1 4
x y
Ta được các bất đẳng thức riêng
2 2 2
4 4 4
a a-a+b a+b
b b-b+c b+c
c c-c+a c+a
b/Việc chứng minh các bất đẳng thức riêng rất đơn giản, sau đó ta cộng các bất đẳng thức riêng ta được bất đẳng thức cần phải chứng minh
Ta xét bài toán ở mức độ mạnh hơn
Bài toán 3 Cho a,b,c>0
Trang 7Chứng minh rằng : a2 b2 c2 a+b+c
b+c c+a a+b 2
(Đề thi học sinh giỏi huyện Gia Lộc năm 2009-2010)
a/Phân tích
Dựa theo phương pháp chứng minh bất đẳng thức riêng và con đường đi tìm bất đẳng thức riêng ta đặt bất đẳng thức riêng như sau :
2
2
2
a ax+(b+c)y
b+c
b bx+(c+a)y
c+a
c ax+(a+b)y
a+b
b+c c+a a+b
So sánh bất đẳng thức cần chứng minh ta có x+2y =1
2 (1)
Ta xét một trong ba bất đẳng thức trên
Ta có a2 ax+(b+c)y
b+c
2
a ax(b+c)+(b+c) y
a ax(b+c)-(b+c) y
x(b+c) x (b+c)
Ta lựa chọn y= x2
4
để cho biểu thức
2
x (b+c)
Ta thay y= x2
4
vào x+2y =1
2 giải ra ta được
x=1 1 y=-4
Khi đó ta có các bất đẳng thức riêng
2 2 2
a a-b+c
b b-c+a
c a-a+b
b/ Chứng minh: Tương tự các bài toán trên
Bài toán 4
Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác
Trang 8Chứng minh rằng
-a+b+c a-b+c a+b-c
a/Phân tích
Ta tìm bất đẳng thức riêng
2
2
2
( (
a ax (-a+b+c)y
-a+b+c
a-b+c
c cx a+b-c)y
a+b-c
-a+b+c a-b+c a+b-c
So sánh bất đẳng thức cần chứng minh, ta có x+y=1
Mặt khác: Ta xét một trong các bất đẳng thức riêng
2
2
-
(
4
a ax (-a+b+c)y
-a+b+c
a ax(-a+b+c) (-a+b+c) y
a ax(-a+b+c) (-a+b+c) y 0
x(-a+b+c) x -a+b+c)
2
Ta lựa chọn y= x2
4
( 4
x -a+b+c) -a+b+c) y
Ta thay y= x2
4
vào x+y =1 giải ra ta được x=2y=-1
Khi đó ta có các bất đẳng thức riêng
2 2 2
- (
- (
- (
-a+b+c
b 2b a-b+c) a-b+c
c 2c a+b-c) a+b-c
b/Lời giải
Chứng minh tương tự các bài trên
Bài toán 5 Cho a,b,c là ba cạnh của tam giác
Chứng minh rằng : (a+b)2 (b+c)2 (c+a)2 4(a+b+c)
a+b-c -a+b+c a-b+c
Trang 9a/Phân tích
Ta tìm bất đẳng thức riêng
2
2
2
(a+b) x(a+b)+(a+b-c)y
a+b-c
(b+c) x(b+c)+(-a+b+c)y
-a+b+c
(c+a) x(c+a)+(a-b+c)y
a-b+c
(a+b) (b+c) (c+a) (2x+y)(a+b+c) a+b-c -a+b+c a-b+c
So sánh bất đẳng thức cần chứng minh , ta có 2x+y=4
Mặt khác: Ta xét một trong cac bất đẳng thức riêng
2
(
(a+b) a+b)+(a+b-c)y
a+b-c x
(
(a+b) a+b)(a+b-c)+(a+b-c) y
(a+b) a+b)(a+b-c)-(a+b-c) y
x x
2 0
x(a+b-c) x (a+b-c)
Ta lựa chọn y= x2
4
4
x (a+b-c) -(a+b-c) y
Ta thay y= x2
4
vào 2x+y =4 giải ra ta được 4
4
x y
Khi đó ta có các bất đẳng thức riêng :
2 2 2
4(
4(
4(
(a+b) a+b)- 4(a+b-c) a+b-c
(b+c) b+c)- 4(-a+b+c) -a+b+c
(c+a) c+a)- 4(a-b+c) a-b+c
b/Lời giải
Chứng minh bất đẳng thức riêng
2
4(
(a+b) a+b)- 4(a+b-c)
a+b-c với a,b,c là ba cạnh của tam giác
Ta có (a+b)2 4(a+b)- 4(a+b-c)
a+b-c
4(
(a+b) a+b)(a+b-c)-4(a+b-c)
(a+b) a+b)(a+b-c)+4(a+b-c)
Trang 10(a+b)-2(a+b-c) 0
( bất đẳng thức luôn đúng )
Do đó ta có (a+b)2 4(a+b)- 4(a+b-c)
2
4(
(b+c) b+c)- 4(-a+b+c)
2
4(
(c+a) c+a)- 4(a-b+c)
Từ (1) , (2) và (3) ta có (a+b)2 (b+c)2 (c+a)2 4(a+b+c)
a+b-c -a+b+c a-b+c
2/Bất đẳng thức có các phân thức mà tử là đa thức bậc 3 và mẫu là đa thức bậc 2
Bài toán 6 Cho a,b,c>0
Chứng minh rằng : 3+b3+ 3+ 3+ 3+ 3
(Đề thi vào 10 THPT chuyên Lê Hồng Phong TPHCM năm 2000-2001)
a/ Phân tích
Ta đi tìm bất đẳng thức riêng
3 3
3 3
3 3
+b
+
+
2ab
b c bx+cy
2bc
c a cx+ay
2bc
(
a +b b +c c +a (x+y) a+b+c) 2ab 2bc 2ca
So sánh bất đẳng thức cần chứng minh, ta có x+y=1
Mặt khác: Ta xét một trong các bất đẳng thức riêng
3 3
a +b ax+by
2ab
a +b 2a bx+2ab y
a +b 2a bx-2ab y
Do a,b vai trò như nhau nên ta chọn x=y kết hợp với x+y=1 ta có x=y=1
2
Trang 11Khi đó ta có bất đẳng thức riêng :
3 3
3 3
3 3
+b
2 +
2 +
2
2ab
2bc
2bc
b/ Lời giải:
Chứng minh bất đẳng thức riêng: 3+b3
2
2ab với a,b >0
Ta có :
3 3
3 3
a +b a+b
a +b ab(a+b)
(a+b)(a -ab+b ) ab(a+b) 0
2 0
(a+b)(a-b)
( bất đẳng thức luôn đúng )
Do đó ta có 3 3
2
a +b a+b
Chứng minh tương tự: b +c3 3 b+c
2bc 2 (2)
3+ 3
2
2bc (3)
Từ (1), (2) và (3) ta cộng từng vế của các bất đẳng thức ta được
3 +b 3 3 + 3 3 + 3
Bài toán 7.Cho a,b,c >0
Chứng minh rằng 2 a32 2 b23 2 c23 a+b+c
a +b +ab b +c +bc c +a +ca 3 a/ Phân tích
Ta đi tìm bất đẳng thức riêng
3
2 2
3
2 2
3
2 2
a +b +ab
b +c +bc
c +a +ca
a +b +ab b +c +bc c +a +ca x y
Trang 12So sánh bất đẳng thức cần chứng minh, ta có x+y=1
3(*) Mặt khác: Ta xét một trong các bất đẳng thức riêng
3
2 2
a
ax+by
a +b +ab
a (ax+by)(a +b +ab)
(1-x)a - ab x- a bx - a by-ab y -b y 0
Ta lựa chọn sao cho hệ số của a3 và hệ số của b3 bằng nhau, tức là 1-x=y (**)
Từ (*) và (**) ta có hệ
2 1- x = -y x =
3 1
1
x + y =
y =
Khi đó ta có các bất đẳng thức riêng : 2 23 2 ; 2 23 2
3
2 2
2
b/ Lời giải
Tương tự chứng minh các bài trên
Bài toán 8.Cho a,b,c >0
Chứng minh rằng 41a3 b23 41b c3 23 41c a3 23 5(a+b+c)
a/ Phân tích
Ta đi tìm bất đẳng thức riêng, ta dựa vào các phân thức để xác định vế phải của từng bất đẳng thức riêng
3 3
2
3 3
2
3 3
2
41a b ax+by
ab+7a
41b c bx+cy
bc+7c
41c a cx+ay
ca+7a
Đối chiếu với bất đẳng thức cần chứng minh , ta có x+y=5
Mặt khác từ một bất đẳng thức riêng, ta có :
Trang 133 3
2
41a b ax+by
ab+7a
41a b ax+by)(ab+7a
41a b a bx+7a x+ab y+7a by
(7x-41)a a bx+ab y+7a by+b 0
Ta lựa chọn sao cho hệ số của a3 và hệ số của b3 bằng nhau, tức là 7x- 41=1 kết hợp với x+y=5 ta được x=6, y=-1
Khi đó ta có các bất đẳng thức riêng
b/Lời giải
Chứng minh bất đẳng thức riêng
3 3
2 6
ab+7a
với a,b>0
Ta có 41a3 b23 6a-b
ab+7a
-41a b a-b)(ab+7a
41a b 6a b+42a ab 7a b
3 3 2 2
+
-a b -ab -a b 0
(a+b)(a -ab+b )-ab(a+b) 0
2 0
(a+b)(a-b)
( bất đẳng thức luôn đúng )
Do đó ta có 41a3 b23 6a-b
ab+7a
(1)
Chứng minh tương tự :41b c3 23 6b-c
bc+7c
(2)
3 3 2
41c a 6c-a ca+7a
(3)
Từ (1),(2) và (3) ta cộng từng vế của các bất đẳng thức ta được
Các bài tập tương tự
Cho a,b,c >0 Chứng minh rằng
a/
a+b+c ab+3b bc+3c ca+3a
(Đề thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi tỉnh huyện Kim Thành năm 2007-2008)
41a b a-b ; 41b c b-c ; 41c a 6c-a
Trang 144(a+b+c) 6a +ab 6b +bc 6c +ca
3/Bất đẳng thức có các phân thức mà tử là đa thức bậc 3 và mẫu là đa thức bậc 1
Bài toán 9.Cho a,b,c>0
Chứng minh rằng:
(Đề thi vào 10 chuyên toán, Đại học quốc gia Hà Nội năm 1996-1997)
a/Phân tích
Ta dựa vào các phân thức để nhận định vế phải của bất đẳng thức riêng là đa thức bậc 2
3
3
3
a
a x+yab+zb
b
b
b x+ybc+zc
c
c
c x+yca+za
a
2 2 2
+ + (x+z)(a +b +c )+y(ab+bc+ca)
Đối chiếu bất đẳng thức cần chứng minh, ta có :y1;x z 0
Mặt khác: từ bất đẳng thức
3
a
a x+yab+zb
b 3
a
a x+yab+zb
b
a a bx+yab +zb
a - a bx-yab - zb 0
Ta lựa chọn sao cho hệ số của a3 và hệ số của b3 bằng nhau, tức là -z=1 kết hợp với x+z=0 ta được x=1, z=-1
Khi đó ta có các bất đẳng thức riêng
Trang 153
3
a
a +ab - b
b
b
b + bc - c
c
c
c +ca - a
a
b/ Lời giải
Chứng minh bất đẳng thức riêng
3
a
a +ab - b
b với a,b>0
Ta có
3
a
a +ab - b
b
a a b+ab - b
a - a b - ab + b 0
(a+b)(a -ab+b )-ab(a+b) 0
2 0
(a+b)(a-b)
( bất đẳng thức luôn đúng )
Do đó ta có
3
a
a +ab - b
Chứng minh tương tự:
3
b
b + bc - c
3
c
c +ca - a
Từ (1),(2) và (3) ta cộng từng vế của các bất đẳng thức ta được
Bài toán 10 Cho a,b,c >0
Chứng minh rằng :
2 2 2
3(a +b +c )-(ab+bc+ca)
a/Phân tích
Ta đi tìm bất đẳng thức riêng
Trang 163 3
xa yab+zb 2a+3b
xb ybc+zc 2b+3c
3c 7a
xc yca+za 2c+3a
2 2 2
(x+z)(a +b +c )+y(ab+bc+ca)
Dựa vào bất đẳng thức cần chứng minh ta được x+z=3,y= -1
Mặt khác: từ bất đẳng thức riêng ta có
xa yab+zb 2a+3b
3a 7b (xa yab+zb )(2a+3b)
3a 7b 2xa 3xa b 2a by 3ab y+2zab +3zb
(3-2x)a +(7-3z)b 3xa b 2a by 3ab y+2zab
Ta lựa chọn sao cho hệ số của a3 và hệ số của b3 bằng nhau, tức là 3-2x=7-3z hay 3z-2x=4 kết hợp với x+z=3 ta được z=2, x=1
Khi đó ta có các bất đẳng thức riêng :
a ab+2b 2a+3b
b bc+2c 2b+3c
3c 7a
c ca+2a 2c+3a
b/Lời giải: Chứng minh bất đẳng thức riêng
a ab+2b 2a+3b
với a,b>0
Ta có
a ab+2b 2a+3b
3a 7b (2a+3b)(a ab+2b )
3a 7b 2a 2a b+4ab 3a b -3ab +6b
a b - a b - ab 0
(a+b)(a -ab+b )-ab(a+b) 0