MỘT PHƯƠNG PHÁPCHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC – CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC RIÊNG Một bất đẳng thức có thể mang trong nó những vẻ đẹp của toán học.Cũng vậy, một ý tưởng được sử dụng trong việc chứng minh một bất đẳng thức có thể giúp ta khám phá một phương pháp hay để chứng minh nhiều bất đẳng thức khác .
Trang 1Họ Và Tên : Bùi Duy Chuân
Gv: THCS Lai Vu – Kim Thành - Hải Dương
MỘT PHƯƠNG PHÁPCHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC – CHỨNG
MINH BẤT ĐẲNG THỨC RIÊNG ( Bài viết tiếp theo bài đã được đăng trên tạp chí T1/2012)
Một bất đẳng thức có thể mang trong nó những vẻ đẹp của toán học.Cũng vậy, một ý tưởng được sử dụng trong việc chứng minh một bất đẳng thức có thể giúp ta khám phá một phương pháp hay để chứng minh nhiều bất đẳng thức khác
1/Bất đẳng thức có các phân thức mà tử là đa thức bậc 2 và mẫu là đa thức bậc 1
Bài toán 1.Cho a,b>0
Chứng minh rằng :a2 +b2 a+b
a/Phân tích
Ta nhận thấy các phân thức trong bất đẳng thức trên đều là phân thức mà tử là đa thức bậc 2 và mẫu là đa thức bậc 1 do đó vế phải của bất đẳng thức riêng là đa thức bậc nhất
Ta cần tìm x,y để xảy ra 2 bất đẳng thức riêng sau: a2 ax+by
2
Khi đó ta cộng từng vế của hai bất đẳng thức trên ta được:
2
2
a
Như vậy so sánh bất đẳng thức (*) ta có x+y=1
Mặt khác :a2 ax+by
a2 abx+b2y (do b>0)
a2-abx-b2y0
(a-bx
2 )2
-2 2
b x
4 -b2y0.
Ta lựa chọn y= x2
4
để cho biểu thức -b x2 2
2y=0
Ta thay y= x2
4
1
x y
Khi đó ta có các bất đẳng thức riêng:
2
2
b
a
b/Lời giải
Chứng minh bất đẳng thức riêng
Trang 2b với a,b>0
Ta có a2 2a-b
2
Do đó ta có a2 2a-b
Chứng minh tương tự :
2
Từ (1) và (2) ta có a2+b2 a+b
Bài toán 2 Cho a,b,c>0
a/ Phân tích
Ta nhận thấy các phân thức trong bất đẳng thức trên đều là phân thức mà tử là đa thức bậc 2 và mẫu là đa thức bậc 1 do đó vế phải của bất đẳng thức riêng là đa thức bậc nhất
Mặt khác: ta cần xác định vế phải của bất đẳng thức riêng một đa thức bậc nhất hợp lý, sao cho khi lựa chọn x,y một cách nhanh nhất
2
2
2
a+b
b+c
c+a
a+b b+c c+a
So sánh bất đẳng thức cần chứng minh ta có x+2y =12 (1)
Mặt khác : từ bất đẳng thức a2 ax+(a+b)y
2 2
2
0
y y
y
Ta lựa chọn y= x2
4
2
x (a+b) -(a+b)
Ta thay y= x2
4
2 giải ra ta được
1 1 4
x y
Trang 3Ta được các bất đẳng thức riêng
2
2
2
4 4 4
a+b
b+c
c+a
b/Việc chứng minh các bất đẳng thức riêng rất đơn giản, sau đó ta cộng các bất đẳng thức riêng ta được bất đẳng thức cần phải chứng minh
Ta xét bài toán ở mức độ mạnh hơn
Bài toán 3 Cho a,b,c>0
a/Phân tích
Dựa theo phương pháp chứng minh bất đẳng thức riêng và con đường đi tìm bất đẳng thức riêng ta đặt bất đẳng thức riêng như sau :
2
2
2
b+c
c+a
a+b
b+c c+a a+b
So sánh bất đẳng thức cần chứng minh ta có x+2y =1
2 (1)
Ta xét một trong ba bất đẳng thức trên
2
a ax(b+c)-(b+c) y
Ta lựa chọn y= x2
4
2
x (b+c)
Ta thay y= x2
4
2 giải ra ta được
x=1 1 y=-4
Khi đó ta có các bất đẳng thức riêng
2
2
2
Trang 4b/ Chứng minh: Tương tự các bài toán trên
Bài toán 4
Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác
Chứng minh rằng
-a+b+c a-b+c a+b-c
a/Phân tích
Ta tìm bất đẳng thức riêng
2
2
2
( (
-a+b+c
a-b+c
a+b-c
-a+b+c a-b+c a+b-c
So sánh bất đẳng thức cần chứng minh, ta có x+y=1
Mặt khác: Ta xét một trong các bất đẳng thức riêng
2
2
-
(
4
-a+b+c
a ax(-a+b+c) (-a+b+c) y 0
2
Ta lựa chọn y= x2
4
( 4
Ta thay y= x2
4
vào x+y =1 giải ra ta được x=2y=-1
Khi đó ta có các bất đẳng thức riêng
2
2
2
- (
- (
- (
-a+b+c
a-b+c
a+b-c
b/Lời giải
Chứng minh tương tự các bài trên
Bài toán 5 Cho a,b,c là ba cạnh của tam giác
Chứng minh rằng : (a+b)2 (b+c)2 (c+a)2 4(a+b+c)
a/Phân tích
Ta tìm bất đẳng thức riêng
Trang 52
2
a+b-c
-a+b+c
a-b+c
So sánh bất đẳng thức cần chứng minh , ta có 2x+y=4
Mặt khác: Ta xét một trong cac bất đẳng thức riêng
2
(
a+b-c x
(
x x
Ta lựa chọn y= x2
4
4
x (a+b-c) -(a+b-c) y
Ta thay y= x2
4
vào 2x+y =4 giải ra ta được x y44
Khi đó ta có các bất đẳng thức riêng :
2
2
2
4(
4(
4(
a+b-c
-a+b+c
a-b+c
b/Lời giải
Chứng minh bất đẳng thức riêng
2
4(
Ta có (a+b)2 4(a+b)- 4(a+b-c)
4(
2
Do đó ta có (a+b)2 4(a+b)- 4(a+b-c)
2
4(
2
4(
Từ (1) , (2) và (3) ta có (a+b)2 (b+c)2 (c+a)2 4(a+b+c)
Trang 62/Bất đẳng thức có các phân thức mà tử là đa thức bậc 3 và mẫu là đa thức bậc 1
Bài toán 6.Cho a,b,c>0
Chứng minh rằng:
a/Phân tích
Ta dựa vào các phân thức để nhận định vế phải của bất đẳng thức riêng là đa thức bậc 2
3
3
3
a
a x+yab+zb
b
b
b x+ybc+zc
c
c
c x+yca+za
a
Đối chiếu bất đẳng thức cần chứng minh, ta có :y1;x z 0
Mặt khác: từ bất đẳng thức
3
a
a x+yab+zb
3
a
a x+yab+zb
b
Ta lựa chọn sao cho hệ số của a3 và hệ số của b3 bằng nhau, tức là -z=1 kết hợp với x+z=0 ta được x=1, z=-1
Khi đó ta có các bất đẳng thức riêng
3
3
3
a
a +ab - b
b
b
b + bc - c
c
c
c +ca - a
a
b/ Lời giải
Chứng minh bất đẳng thức riêng
3
a
a +ab - b
Ta có
3
a
a +ab - b
a - a b - ab + b 0
Trang 72 2
(a+b)(a -ab+b )-ab(a+b) 0
2
0
(a+b)(a-b)
Do đó ta có
3
a
a +ab - b
Chứng minh tương tự:
3
b
b + bc - c
3
c
c +ca - a
Từ (1),(2) và (3) ta cộng từng vế của các bất đẳng thức ta được
Bài toán 7 Cho a,b,c >0
Chứng minh rằng :
3(a +b +c )-(ab+bc+ca)
a/Phân tích
Ta đi tìm bất đẳng thức riêng
2a+3b
2b+3c
2c+3a
(x+z)(a +b +c )+y(ab+bc+ca)
Dựa vào bất đẳng thức cần chứng minh ta được x+z=3,y= -1
Mặt khác: từ bất đẳng thức riêng ta có
2a+3b
Ta lựa chọn sao cho hệ số của a3 và hệ số của b3 bằng nhau, tức là 3-2x=7-3z hay 3z-2x=4 kết hợp với x+z=3 ta được z=2, x=1
Khi đó ta có các bất đẳng thức riêng :
Trang 83 3
2a+3b
2b+3c
2c+3a
b/Lời giải: Chứng minh bất đẳng thức riêng
2a+3b
Ta có
2a+3b
(a+b)(a -ab+b )-ab(a+b) 0
(a+b)(a-b)
Do đó ta có
2a+3b
Chứng minh tương tự
2b+3c
2c+3a
Từ (1),(2) và (3) ta cộng từng vế của các bất đẳng thức ta được
3(a +b +c )-(ab+bc+ca)
Các bài tương tự
1/ Cho a,b,c>0
Chứng minh rằng:
2/ Cho a,b,c >0
Chứng minh rằng :
3(a +b +c )-(ab+bc+ca)