MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC GRUSS TRONG KHÔNG GIAN n CHUẨN

www.facebook.com/toihoctoan

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

HUỲNH ĐỨC KHÁNH

TRONG KHÔNG GIAN n CHUẨN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Bình Định - Năm 2013

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

HUỲNH ĐỨC KHÁNH

TRONG KHÔNG GIAN n CHUẨN

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa họcPGS TS ĐINH THANH ĐỨC

Bình Định - Năm 2013

Mở đầu 1

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 3

1.1 Không gian 2-tích vô hướng, không gian tuyến tính 2-chuẩn 4

1.1.1 Không gian 2-tích vô hướng 4

1.1.2 Không gian tuyến tính 2-chuẩn 7

1.2 Không gian n-tích vô hướng, không gian tuyến tính n-chuẩn 11

1.2.1 Không gian n-tích vô hướng 11

1.2.2 Không gian tuyến tính n-chuẩn 11

1.3 Trực giao trong không gian 2-chuẩn và trong không gian n-chuẩn 13 1.3.1 Trực giao trong không gian 2-chuẩn 13

1.3.2 Trực giao trong không gian n-chuẩn 14

1.4 Một số định lý cơ bản 14

Chương 2 Một số dạng bất đẳng thức Gr¨uss 19

2.1 Một số dạng bất đẳng thức Gr¨uss trong không gian 2-chuẩn 20

2.1.1 Một số dạng bất đẳng thức Gr¨ uss trong không gian 2-chuẩn thực 20

2.1.2 Một số dạng bất đẳng thức Gr¨ uss trong không gian 2-chuẩn tổng quát 30

2.2 Một số dạng bất đẳng thức Gr¨uss trong không gian n-chuẩn 41

Kết luận 44

Tài liệu tham khảo 45

Quyết định giao đề tài luận văn 47

Trong Toán học, có rất nhiều bài toán vô cùng phức tạp, nhưng nếu sử dụngcông cụ khác thì có thể vô cùng khó khăn để giải quyết chúng nhưng nếu ápdụng bất đẳng thức thích hợp thì bài toán sẽ là điều vô cùng dễ dàng Hoặc cónhiều định lí, mệnh đề, hệ quả muốn hoàn thành việc chứng minh các đánh giá,ước lượng thì điều cần thiết không thể thiếu sự xuất hiện của bất đẳng thức.Cùng với vai trò của các bất đẳng thức như bất đẳng thức Holder; Bất đẳngthức Minkowski; , năm 1935, nhà toán học người Đức GERHARD GR ¨USS đãchứng minh một bất đẳng thức tích phân cho sự liên hệ giữa tích phâncủa một tích hai hàm số và tích phân của từng hàm số và nó được mangtên ông đó là bất đẳng thức Gr¨uss, nó cho nhiều ứng dụng và áp dụng nhiềutrong lĩnh vực khác nhau của Toán học.

Hiện nay rất nhiều nhà toán học trên thế giới như S S Dragomir, Y J Cho,

S M Kang, S S Kim, J S Jung, Pau C S Lin, Seong Sik Kim, AleksanderMisiak, J Roumeliotis, Y H Kim, M Mati´c, N Urievi´c, Dah-Yan Hwang, Gou-Sheng Yang, D S Mitrinovi´c, J E Peˇcari´c, A M Fink, I Budimir vv nghiêncứu về bất đẳng thức này và có nhiều kết quả của nó trong các không gian Hilbert,không gian vectơ tuyến tính, không gian n-chuẩn,

Dưới sự hướng dẫn của Thầy PGS TS ĐINH THANH ĐỨC, đề tài Một sốbất đẳng thức Gr¨uss trong không gian n -chuẩn đã được chọn làm đề tàiluận văn Thạc sĩ toán học Nội dung luận văn, ngoài phần Mở đầu, Kết luận vàTài liệu tham khảo, được chia làm hai chương:

Chương 1, Một số kiến thức chuẩn bị Chương này trình bày lại các kiếnthức cơ bản liên quan đến luận văn như: không gian 2-tích vô hướng, không giantuyến tính 2-chuẩn, không gian n-tích vô hướng, không gian tuyến tính n-chuẩn,trực giao trong không gian tuyến tính 2-chuẩn và trực giao trong không giantuyến tính n-chuẩn Ngoài ra, tác giả còn nêu ra và chứng minh một số định lý

cơ bản để dùng cho chương 2

Chương 2, Một số dạng bất đẳng thức Gr¨uss Đây là nội dung chính củaluận văn Trong chương này trình bày một số dạng bất đẳng thức Gr¨uss trongkhông gian 2-chuẩn và cả trong không gian n-chuẩn

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của Thầy PGS.

TS ĐINH THANH ĐỨC Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sự kínhtrọng sâu sắc nhất đến Thầy hướng dẫn, Thầy đã tận tình trong việc giảng dạy,cũng như giúp đỡ và truyền đạt cho tác giả những kiến thức quý báu và kinhnghiệm trong quá trình nghiên cứu khoa học, để tác giả hoàn thành luận vănnày một cách tốt nhất Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn quý thầy cô trongBan giám hiệu, Phòng sau Đại học, Khoa Toán, Trung tâm Thông tin - Tư liệuTrường Đại học Quy Nhơn, cùng quý thầy cô tham gia giảng dạy cho lớp Caohọc Toán khóa 14 đã tạo điều kiện giúp đỡ cho tác giả trong quá trình học tập

và nghiên cứu

Nhân đây, tác giả cũng xin cảm ơn các anh chị em học viên lớp Cao học Toánkhóa 14, gia đình và bạn bè đã quan tâm, động viên và giúp đỡ tác giả trongquá trình học tập và hoàn thành luận văn này

Cuối cùng, mặc dù tác giả đã có sự đầu tư nghiêm túc, sự cố gắng và nỗ lựchết sức, nhưng do điều kiện thời gian, trình độ kiến thức có hạn, kinh nghiệmnghiên cứu khoa học còn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót.Tác giả rất mong nhận được sự thông cảm, những lời góp ý chân thành của quýthầy cô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

Các khái niệm về 2-tích vô hướng và không gian 2-tích vô hướng đã được chú

ý nghiên cứu của nhiều tác giả trong ba thập kỷ qua Một bài trình bày có hệthống về các kết quả gần đây liên quan đến lý thuyết về không gian 2-tích vôhướng cũng như một danh sách đầy đủ các tài liệu tham khảo liên quan có thểđược tìm thấy trong cuốn sách [1]

Các khái niệm về không gian tuyến tính 2-chuẩn được đưa ra và nghiên cứubởi S G¨ahler vào năm 1960 Chủ đề đã được nghiên cứu bởi những nhà toánhọc lớn như A White, Y J Cho, R W Freese, S C Gupta, A H Siddique

và những người khác, họ đóng góp rất nhiều cho việc mở rộng này của nghànhToán học Gần đây nhiều nhà toán học đã đưa ra những kết quả trong khônggian 2-chuẩn, tương tự với điều đó trong không gian định chuẩn cổ điển

Một số tính chất trong không gian 2-tích vô hướng tương tự như không giantích thông thường Các không gian này thỏa mãn một nguyên lý hoàn toàn tương

1.1 Không gian 2-tích vô hướng, không gian tuyến

tính 2-chuẩn

1.1.1 Không gian 2-tích vô hướng

Định nghĩa 1.1 [1] Cho X là không gian tuyến tính có số chiều lớn hơn 1 trêntrường số K (K=R,C)và (·, ·|·) là một hàm K-giá trị trên X × X × X thỏa mãncác điều kiện sau

(2I1) (x, x|z) ≥ 0,

(2I2) (x, x|z) = (z, z|x),

(2I3 ) (x, y|z) = (y, x|z),

(2I4) (αx, y|z) = α (x, y|z) với mọi α ∈K,

(2I5) (x + x0, y|z) = (x, y|z) + (x0, y|z)

Khi đó (·, ·|·) được gọi là 2-tích vô hướng trênX và (X, (·, ·|·)) được gọi là mộtkhông gian 2-tích vô hướng (hoặc một không gian 2-tiền Hilbert )

Từ định nghĩa của 2-tích vô hướng (·, ·|·), ta có một số tính chất (xem [1])1) Nếu K =R, thì (2I3 ) trở thành

4) Cho tùy ý ba vectơ x, y, z ∈ X, xét vectơ u = (y, y| z) x − (x, y| z) y Từ

(2I1 ), ta biết rằng (u, u| z) ≥ 0 với đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi u và x làphụ thuộc tuyến tính Từ bất đẳng thức (u, u| z) ≥ 0 có thể viết rằng

Bất đẳng thức (1.9) là nội dung của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trongkhông gian 2-tích vô hướng

Ví dụ 1.1 Cho (X, (·, ·|·)) là một không gian tích vô hướng thì 2-tích vô hướng

(x, y| z) :=

( x| y) ( x| z) ( y| z) ( z| z)

nên(x, y |z ) = (y, x |z ) (2I4) Ta có

1.1.2 Không gian tuyến tính 2-chuẩn

Định nghĩa 1.2 [1] Cho X là không gian tuyến tính có số chiều lớn hơn 1 trêntrường số K (K =R,C) và k·, ·k là hàm lấy giá trị thực trênX × X thỏa mãn cácđiều kiện sau

xác định một 2-chuẩn trên X Khi đó ta nói chuẩn kx, yk được cảm sinh từ tích

vô hướng (x, x|y)

Chứng minh Ta kiểm tra các tính chất của 2-chuẩn

Từ định nghĩa của 2-chuẩn k·, ·k, ta có một số tính chất sau (xem [1])

kx + y, zk2+ kx − y, zk2= 2 kx, zk2+ ky, zk2
, ∀x, y, z ∈ X. (1.11)Thật vậy, ta có

2-tích vô hướng (·, ·|·) trên X theo điều kiện (1.10).

5) Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz (1.9) được viết lại

|(x, y| z)| ≤ (x, x| z)12 (y, y| z)12 = kx, zk ky, zk (1.12)Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x, y, z phụ thuộc tuyến tính

Với bất kìx1, x2, , xn trong X khác không, cho V (x1, x2, , xn) kí hiệu khônggian con củaXđược sinh ra bởix1, x2, , xn Bất cứ khi nào kí hiệuV (x1, x2, , xn)

được dùng, nó sẽ được hiểu x1, x2, , xn độc lập tuyến tính

Ví dụ 1.3 Xét không gian tuyến tính Pn là tập hợp các đa thức có bậc nhỏ hơnhoặc bằng n nhận giá trị trên đoạn [0, 1] Cho dãy {xi} 2n

nhưng phải là những điểm cố định phân biệt trên đoạn [0, 1] Với f, g ∈ Pn tađịnh nghĩa

Khi đó k·, ·k là 2-chuẩn trên Pn

Chứng minh (2N1) Nếu f và g phụ thuộc tuyến tính thì kf, gk = 0

Nếu

2n

X

i=0

|f (xi) g (xi)| = 0 thì f (xi)g(xi) = 0 với mọi i = 0, 1, , 2n Suy ra hoặc

f hoặcg phải triệt tiêu tại ít nhất n + 1điểm Vì deg f ≤ nvà deg g ≤ n nên hoặc

(2N2)Nếukf, gk = 0thìf vàg phụ thuộc tuyến tính Do đókg, f k = 0 = kf, gk.Ngoài ra ta có

(2N3 ) Lấy α ∈R Nếu α = 0 thì k0.f, gk = 0 = 0 kf, gk Xét trường hợp α 6= 0

thuộc tuyến tính Do đó trường hợp này ta cũng có kαf, gk = 0 = α kf, gk Ngoàira,

Ví dụ 1.4 Trên không gian Lp(X) ta có thể định nghĩa 2-chuẩn như sau

kf, gkp=





1 2

1.2 Không gian n -tích vô hướng, không gian tuyến

tính n -chuẩn

1.2.1 Không gian n -tích vô hướng

Định nghĩa 1.3 [1] Cho n là một số tự nhiên lớn hơn 1, X là một không giantuyến tính có chiều lớn hơn hoặc bằngn và (·, ·|·, , ·) là một hàm lấy giá trị thực

n+1

thỏa mãn các điều kiện sau

(nI1) (i) (a, a|a2, , an) ≥ 0,

(ii) (a, a|a2, , an) = 0 nếu và chỉ nếu a, a2, , an phụ thuộc tuyến tính,

(nI2) (a, b|a2, , an) = (b, a|a2, , an),

(nI3 ) (a, b|a i 2 , , a i n ) = (a, b|a 2 , , a n ) với mỗi nhóm hoán vị (i 2 , , i n ) của

(2, , n),

(nI4) (a, a|a2, a3 , an) = (a2, a2|a, a3 , an),

(nI5) (αa, b|a2, , an) = α (a, b|a2 , an) với mỗi số thực α,

(nI6 ) (a + a0, b|a 2 , , a n ) = (a, b|a 2 , , a n ) + (a0, b|a 2 , , a n )

Khi đó (·, ·|·, , ·) được gọi là n-tích vô hướng trên X và (X, (·, ·|·, , ·)) đượcgọi là không gian n-tích vô hướng

1.2.2 Không gian tuyến tính n -chuẩn

Định nghĩa 1.4 [1] Cho n là một số tự nhiên lớn hơn 1, X là một không giantuyến tính có chiều lớn hơn hoặc bằng n và k·, , ·k là một hàm giá trị thực xácđịnh trên Xn và thỏa mãn các điều kiện sau

(nN1) ka1, , ank = 0 nếu và chỉ nếu a1, , an phụ thuộc tuyến tính,

(nN2 ) ka 1 , , a n k = ka i 1 , , a i n k với mỗi nhóm hoán vị (i 1 , , i n ) của (1, , n),

(nN3) kαa1, , ank = |α| ka1, , ank với mọi số thực α,

(nN4) ka1+ a10, a2, , ank ≤ ka1, a2, , ank + ka10, a2, , ank

Khi đó k·, , ·k được gọi là n-chuẩn trên X và (X, k·, , ·k) được gọi là mộtkhông gian tuyến tính n-chuẩn

Cũng như trong không gian 2-tích vô hướng, ta có bất đẳng thức Schwarz trong không gian n-tích vô hướng

Cauchy-|(a, b|a2, , an)| ≤p(a, a|a2, , an)p(b, b|a2, , an). (1.13)Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a, b, a2, , an phụ thuộc tuyến tính

Áp dụng (nI1) đến (nI6) và (1.13), dễ dàng thấy rằng công thức

ka1, a2, , ank =p(a1, a1|a2, , an) (1.14)xác định một n-chuẩn trên X và được gọi là n-chuẩn sinh bởi n-tích vô hướng

( a| b) ( a| a2) · · · ( a| an) ( a2| b) ( a2| a2) · · · ( a2| an)

. .

( an| b) ( an| a2) · · · ( an| an)

là một n-tích vô hướng trên X và được gọi là n-tích vô hướng cơ bản Khi đón-chuẩn sinh bởi tích vô hướng này chính là thể tích hình hộp sinh bởi các vectơ

a1, , an

Với X =Rn ta có n-chuẩn

ka 1 , , a n k = |det(aij)|

với a i = (a i1 , , a in ) ∈Rn, i = 1, 2, , n

1.3 Trực giao trong không gian 2-chuẩn và trong

không gian n -chuẩn

Trong không gian định chuẩn có các công thức khác nhau cho trực giao giữahai vectơ Ít nhất, có ba định nghĩa nổi tiếng của trực giao, cụ thể là Pythagorean,cân và Birkhoff-James trực giao Trong không gian tích vô hướng, ba định nghĩa

là tương đương với trực giao bình thường

1.3.1 Trực giao trong không gian 2-chuẩn

Như trong không gian định chuẩn, một số nhà nghiên cứu đã nghiên cứu cáckhái niệm của tính trực giao trong không gian 2-chuẩn Ví dụ, lấy ý tưởng từPythagorean, cân và Birkhoff-James trực giao Khan và Siddiqui (xem [15]) đãđịnh nghĩa tính trực giao trong không gian 2-chuẩn như sau Cho (X, k·, ·k) làmột không gian 2-chuẩn và x, y ∈ X

(A1) x⊥Py ⇔ kx, zk2+ ky, zk2 = kx + y, zk2 với mọi z ∈ X

(A2) x⊥Iy ⇔ kx − y, zk = kx + y, zk với mọi z ∈ X

(A3 ) x⊥BJy ⇔ kx, zk ≤ kx + αy, zk với mọi α ∈R, z ∈ X

Trong [16], Gunawan cho thấy rằng định nghĩa trên “quá chặt chẽ” để người

ta không thể tìm thấy hai vectơ khác không x và y trực giao trong trường hợptiêu chuẩn Họ sửa đổi lại khái niệm tính trực giao như sau

(B1) x⊥Py ⇔ tồn tại một không gian con V ⊆ X với codim(V ) = 1 sao cho

kx, zk2+ ky, zk2 = kx + y, zk2 với mọi z ∈ V

(B2) x⊥Iy ⇔ tồn tại một không gian con V ⊆ X với codim(V ) = 1 sao cho

kx − y, zk = kx + y, zk với mọi z ∈ V

(B3) x⊥BJy ⇔ tồn tại một không gian con V ⊆ X với codim(V ) = 1 sao cho

kx, zk ≤ kx + αy, zk với mọi α ∈ R, z ∈ V

Định nghĩa 1.5 [1] (G-trực giao trong không gian2-tích vô hướng) Cho(X, (·, ·|·))

là một không gian 2-tích vô hướng Với x, y ∈ X, ta nói x là G-trực giao với y,

kí hiệux⊥Gy nếu và chỉ nếu tồn tại một không gian conV ⊆ X với codim(V ) = 1

sao cho (x, y|z) = 0 với mọi z ∈ V

1.3.2 Trực giao trong không gian n -chuẩn

Như trong không gian 2-tích vô hướng và không gian 2-chuẩn, chúng ta địnhnghĩa các khái niệm G-trực giao trong không gian n-tích vô hướng và P-, I- và

BJ - trực giao trong không gian n-chuẩn như sau

Định nghĩa 1.6 [1] (G-trực giao trong không gian n-tích vô hướng) Cho

G-trực giao với y, kí hiệu x⊥Gy nếu và chỉ nếu tồn tại một không gian con

V ⊆ X với codim(V ) = 1 sao cho (x, y| x2, , xn) = 0 với mọi x2, , xn ∈ V

Định nghĩa 1.7 [17] (P-, I-, và BJ-trực giao trong không gian n-chuẩn) Cho

a) x⊥Py ⇔ tồn tại một không gian con V ⊆ X với codim(V ) = 1 sao cho

kx, x2, , xnk2+ ky, x2, , xnk2= kx + y, x2, , xnk2 với mọi x2, , xn ∈ V

b) x⊥Iy ⇔ tồn tại một không gian con V ⊆ X với codim(V ) = 1 sao cho

kx − y, x2, , xnk = kx + y, x2, , xnk với mọi x2, , xn ∈ V

c) x⊥BJy ⇔ tồn tại một không gian con V ⊆ X với codim(V ) = 1 sao cho

kx, x2, , xnk ≤ kx + αy, x2, , xnk với mọi x2, , xn ∈ V và α ∈ R.

1.4 Một số định lý cơ bản

Cho(X; (·, ·| ·)) là một không gian 2-tích vô hướng trên trường K (K=R,C).Nếu (fi)1≤i≤n là các vectơ độc lập tuyến tính trong không gian 2-tích vô hướngtrên X, và mỗi z ∈ X, (f i , f j | z) = δ ij với mọi i, j ∈ {1, , n}, ở đây δ ij là hệ sốKronecker (ta nói rằng họ (f i )1≤i≤n là z-trực giao), khi đó bất đẳng thức sautương ứng với bất đẳng thức Bessel (xem [18])

n

X

i=1

Định lý 1.1 [2] Cho a, x, z, A là các vectơ trong không gian 2-tích vô hướng

(X, (·, ·| ·)) trên trường K (K=R,C), với a 6= A Khi đó

I1 = I2 = Re [(x, a| z) + (A, x| z)] − Re (A, a| z) − kx, zk2.

Định lý 1.2 [2] Cho x, z, e ∈ X là các vectơ trong không gian 2-tích vô hướng

(X, (·, ·| ·)) trên trường K (K=R,C), với ke, zk = 1 Khi đó ta có kết quả sau đây

Định lý 1.3 [3] Cho (X, (·, ·| ·)) là một không gian 2-tích vô hướng trên trường

K (K=R,C) và {ei}i∈I là một họ của z–vectơ trực giao trong X, F là một phầnhữu hạn của I và mi, Mi ∈K (i ∈ F) Khi đó

Áp dụng Định lý 1.1 và (1.28) ta được điều cần chứng minh 

Định lý 1.4 [3] Cho (X, (·, ·| ·)) là một không gian 2-tích vô hướng trên trường

K (K=R,C) và {ei}i∈I là một họ của z–vectơ trực giao trong X, F là một phầnhữu hạn của I và m i , M i ∈ K (i ∈ F) và x là vectơ trong X sao cho một tronghai điều kiện (1.26) hoặc (1.27) thỏa mãn Khi đó ta có bất đẳng thức

K (K=R,C) và {ei}i∈I là một họ của z–vectơ trực giao trong X, F là một phầnhữu hạn của I và mi, Mi ∈ K (i ∈ F) và x là vectơ trong X sao cho một tronghai điều kiện (1.26) hoặc (1.27) thỏa mãn Khi đó ta có bất đẳng thức

Mi+ mi

2 − (x, ei| z)

2

(1.32)

 

Mj+ mj2

M i + m i

2

... giao Trong khơng gian tích vô hướng, ba định nghĩa

là tương đương với trực giao bình thường

1.3.1 Trực giao khơng gian 2-chu? ?n< /h3>

Như không gian định chu? ?n, số nhà nghi? ?n. .. đượcgọi không gian n- tích vơ hướng

1.2.2 Khơng gian tuy? ?n tính n -chu? ?n< /h3>

Định nghĩa 1.4 [1] Cho n< /small> số tự nhi? ?n l? ?n 1, X khơng giantuy? ?n tính có... 17

1.3.2 Trực giao khơng gian n -chu? ?n< /h3>

Như khơng gian 2-tích vơ hướng không gian 2-chu? ?n, địnhnghĩa khái niệm G-trực giao khơng gian