www.facebook.com/toihoctoan
Trang 16 BAI TAP LUYEN THI
CAO MINH QUANG
"| rong ki thi tuyén sinh vao Dai hoc nam
2011, ở môn Toán khôi A có bài toán
CẬU V [Khoi A, 2011] Cho x, 1, z 1a ba s6
thực thuộc đoạn [L 4| và v>t1,v>z Tìm giá
tri nhỏ nhất của biểu thức
2x+3y Jÿ+Z Z+x
Bài toán này được xem là bài khó và hay nhất
của đê thị, có rât ít học sinh đã giải được bài
toán này Chúng ta hãy cùng xem xét “cội
nguôn” của bài toán trên như thê nào?
Có lẽ thật bất ngờ khi bài toán này có "cội
nguôn” từ bài toán hêt sức đơn giản
€Bài toán 1 Cho các số thực không âm a,
b Khi đó ta có các Rêt quả sau đây
a) Kết quả 1
Nêu ab <1 thì ~——< :
b) Kết quả 2
Néu ab=1 thi -+—— >
I+a- 1+bˆ l+ab
Lời giải Sử dụng phép biến đôi đại số, ta có
(4h)
l+a it+ab) \1+b? 1l+ab
Từ biến đôi trên ta có ngay các kết quả cần
chứng minh
'GV THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm, Vĩnh Long)
Đăng thức xảy ra khi và chỉ khi a =ở hoặc
ab=1.0
Chúng ta sẽ cùng tìm hiêu một số bài toán
khác có liên quan trực tiêp đên Bài toán 1
Bài toán 2 [Olympic Nga, 2000]
Cho a, b e|0:1| Chứng mình rằng
Visa Vl~b` Vi-ab Lời giải Vi a, be [0:1] nên ab<1 Sử dụng
kết quả 1 của Bài toán 1, kết hợp với BĐT
Cauchy — Schwarz, ta có
Đăng thức xây ra khi và chỉ khi a = ở f Với kết quả Bài toán 2, ta có thê giải được hệ
phương trình sau đây
€?Bài toán 3 [Olympic Việt Nam 2009] Giải hệ phương trình
\J*(1-2*)+.jy(I~2y)=
Lời giải Điều kiện x{l-2x) >0 va 1-2))20
hay x,y € 0:5
Với các số thực >0, b>0, ta đặt 4? =2+2,
ay?
2 2
bP =2y? thi x=
Trang 2Từ PT thứ nhất của hệ, ta có PT
Chú ý rằng, từ điều kiện x,y € |] ta có
san
suy ra 4=b hay x=y Thế vào PT thứ hai
| Sử dụng kết quả Bài toán 2,
của hệ, ta được ,/x(L— 2+) Bo
© 162x? -81x+1=0 Ox =
9243
36
(đều thoả mãn điều kiện ban đâu)
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (x : 1) là
ERS)
Bài toán 4 [Việt Nam TST, 2005] Cho a,
b, c là các số thực dương Chứng minh rằng
a in b _ a
(47 faq ea
Lời giải BĐT cần chứng minh tương đương
§
Bằng phép thể như trên suy ra +, y, z là các số
dương và xz =1 Vì xyz =1 nên trong ba sô
+,y,z phải có một số nhỏ hơn hoặc bằng 1
Giả sử z<l thì xy>l Áp dụng BĐT
Cauchy, kết hợp bất đẳng thức Cauchy -
Schwarz, ta có
(+x} §l+#£ 16
(l+xy 8 l+y? 16
Hon nita 4 22 i - ly
(l+z) 4(l+zy 16
Từ điều kiện x >0,y >0,xy >1, sử dụng kết
quả 2 của Bài toán 1, ta có
Để kết thúc bài toán, ta chỉ cần chứng minh
of 2
Z†1 (z+Ù
3
ze
Nhung bat dang thức cuối luôn đúng, vì nó tương đương với (z~1} >0
Đăng thức xảy ra khi x=y=z=l hay a=b=c.0
Bài toán 4 [Vasile Cirtoaje, Olympic 30/4, lan thir XV, 2009] Cho a,b, cla cde sé
thực đương Chứng minh rang
c+a
Lời giải Dat x =,|— y= ,J-, 2=,J- this, »,
z là các số dương và xyz = 1 BĐT eu chứng
minh trở thành
Không mất tính tong quá, gia
z=max{x,y,2} TỪ điều kiện xyz =], ta suy
va Zz>1 và xy<1
Trang 3Sử dụng kết quả của Bài toán 1, kết hợp với
BDT Cauchy — Schwarz, ta có
Do đó ta cần chứng minh BĐT
z+] Vie?
Chú ý răng ,|———<—— nên ta chỉ cân
1+z2 1+z
5 2
chứng mính 2 |“ - +~“ <3 Nhưng BĐT
z+1l zl này luôn đúng vì nó tương đương với
(¥2z-v2+i) >0
Ding thức xảy ra khi và chỉ khi x = y =z =1
Trước khi kết thúc b; chúng ta hãy cùng
tham khảo thêm cách giải Câu V trong đê thi
tuyên sinh Đại học khôi A năm 2011
Bài toán 6 [Câu V Khối A, 2011] Cho x, 3;
z là ba số thực thuộc đoạn [4] vả
x>Jvx>z Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
2x-3y y-z mm
Lời giải Viết lại biêu thức P dưới dạng
mm
2+34 1+b l+c
Trong đó 4= x suy ra a > 0,
Zz
b>0,c >0 và abc =1.Lưu ý rằng be=* 21 F
Tiên áp dụng kêt quả 2 của Bài toán 1, ta có
1 1 2
——+—>
1+b l‡c 1+bc,
Bang cach đặt t=be,voi điều kiện xre[1:4,
x2>y,suyra re[t2]
Bây giờ, chỉ còn việc tìm giá trị nhỏ nhất của
2 cứ
—¬ ˆ
Ta có Ẫ 4 (3 va
422+3 11) \t+1 3) 33
—1)(35¢? +48
= Po BS? = 271448) 34 34 vi re[t2] 33(7+1)(2/? +3) 3 33
Do 46 minP = đạt được khi và chỉ khi
biểu thức P=
x
z
Tưu ý ring I<y<x<4, nén * s4 khi và
chỉ khi x=4,y
Như vậy, chỉ với các kết quả đơn giản ở Bài
toán 1, ta đã giải được các bài toán khó hơn
trong các kì thi hoc sinh giỏi và thi tuyên sinh
vào Đại học Hi vọng răng, trong quá trình học tập, các bạn cân xây dựng tỉnh thân học tập cầu tiền, sáng tạo và luôn nắm vững những kết quả đơn giản như Bài toán 1
BÀI TẬP
1, Cho đ,b là các số thực dương, Chứng minh rằng,
Từ đó suy ra z =2
2 Cho a,b là các số thực không âm Chứng minh rằng
1 + 1 > 1 (isa) (i+by' I+ab
3 Cho ab,c là các số thực dương thỏa mãn dieu
kiện ab+be+ca=3 Chứng minh răng
@+1 B41 +l 2
4 Cho 4,b,e là các số thực dương thỏa mãn điêu
kiện abc=1 Chứng mình răng
1 + 1 ———*———!.- 1 2
(+a)) (+Ð}' (e} (+a)(+È⁄(+e)
§ Cho đ,b,c,đ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abeđ=1 Chứng mình răng
1 1 1 1
(i+aY (1+bY (1+e)? (14d e
>1