www.facebook.com/toihoctoan
Trang 11 | P a g e Đ ỗ T r u n g K i ê n
A TÓM TẮT KIẾN THỨC:
1 Định nghĩa: Cho hàm số y=f(x) liên tục trên é ùê úa b; Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)
b
b a a
f x dx = éêF x ùú =F b - F a
2 Các tính chất của tích phân:
• Tính chất 1 : Nếu hàm số y=f(x) xác định tại a thì : ( ) 0
a
a
f x dx =
ò
• Tính chất 2 : ( ) ( )
f x dx = - f x dx
• Tính chất 3 : Nếu f(x) = c không đổi trên é ùê úa b; thì: b ( )
a cdx =c b a -ò
• Tính chất 4 : Nếu f(x) liên tục trên é ùê úa b; và f x( )³ 0 thì b ( ) 0
a
f x dx ³ ò
• Tính chất 5 : Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên é ùê úa b; và f x( )³ g x( ) x" Î ê úé ùë ûa;b thì
f x dx ³ g x dx
• Tính chất 6 : Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên é ùê úa b; thì
• Tính chất 7 : Nếu hàm số f(x) liên tục trên é ùê úa b; và k là một hằng số thì b ( ) .b ( )
k f x dx =k f x dx
• Tính chất 8 : Nếu hàm số f(x) liên tục trên é ùê úa b; và c là một hằng số thì
f x dx = f x dx + f x dx
• Tính chất 9 : Tích phân của hàm số trên é ùê úa b; cho trước không phụ thuộc vào biến số , nghĩa là :
f x dx = f t dt = f u du =
II TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ:
1) DẠNG 1:Tính I = [ ( )] ( )'
b
a
f u x u x dx
ò bằng cách đặt t = u(x)
CHƯƠNG III: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
II TÍCH PHÂN
Trang 2Công thức đổi biến số dạng 1:
( )
( )
( ) '( ) ( )
u b b
f u x u x dxéê ùú = f t dt
Cách thực hiện:
( )
Þ
Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được
( )
( )
( ) '( ) ( )
u b b
I = f u x u x dxéê ùú = f t dt
VD1 : Tính tích phân
2
ln
e
e
dx I
Giải : Đặt t lnx dt dx
x
2
2
2 1 1
dt
t
2) DẠNG 2: Tính I = ( )
b
a
f x dx
ò bằng cách đặt x = j ( )t
Công thức đổi biến số dạng 2: ( ) ( ) '( )
b
a
b
a
Cách thực hiện:
Bước 1: Đặt x =f( )t Þ dx =f '( )t dt
Bước 2: Đổi cận : x b t
b a
Þ
Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được
b
a
b
a
= ò =ò êë úû (tiếp tục tính tích phân mới)
Phương pháp:
• Với a2 - x2 , đặt sin , ;
2 2
x a t t éê p pùú
= Î êë- úû hoặc x =acos ,t t Î ê úéë0;pùû.
• Với a2 + x2 , đặt t an , ;
2 2
x a t t æç p pö÷÷
çè ø hoặc x =acott t, Î (0;p).
Trang 33 | P a g e Đ ỗ T r u n g K i ê n
• Với x2- a2 , đặt , ; \ 0{ }
a
t
p p
= Î êë- úû hoặc x = cosa t ; t é ù0;p \ ì üï ïp2
Î ê úë û ï ïí ýï ïî þ.
VD1 Tính tích phân
1 2
2 0
1 1
x
=
Giải
1
2
cos
1 sin
t t
Þ
0 0
0
dt t
p
p
VD2 Tính tích phân
2
2 0
4
I = ò - x dx
Hướng dẫn: Đặt x =2 sint ĐS: I =p
VD3 Tính tích phân
1
2
0 1
dx I
x
=
+
÷
4
2
t an 1
4
1 t an
t
t
p
+
Þ
+
4
II TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:
Công thức tích phân từng phần: ( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( )
b a
u x v x dx =éêu x v x ùú- v x u x dx
b a
udv = é ùê úu v - vdu
Cách thực hiện:
Þ
Bước 2: Thay vào công thức tích phân từng từng phần :
b a
udv = é ùê úu v - vdu
Trang 4Bước 3: Tính b
a
u v
é ù
ê ú
ë û và
b
a vdu
ò
VD1: Tính các tích phân sau:
a) 2 ln
5
1
x
dx
x
ò Giải: đặt
ln
4
dx
x
ìï
Do đó:
2 2
dx
b) 2 cos
0x xdx
p
B CÁC DẠNG BÀI TẬP:
VẤN ĐỀ 1: Tính tích phân các hàm số có chứa giá trị tuyệt đối Phương pháp giải toán
1 Dạng 1:Giả sử cần tính tích phân ( )
b
a
I =òf x dx , ta thực hiện các bước sau
Bước 1 Lập bảng xét dấu (BXD) của hàm số f(x) trên đoạn [a; b], giả sử f(x) có BXD:
x a x 1 x 2 b
( ) + 0 - 0 +
Bước 2 Tính
I = òf x dx = òf x dx - òf x dx + òf x dx
Ví dụ 1 Tính tích phân
2 2 3
Giải
Bảng xét dấu
x - 3 1 2
2 3 2
x - x + + 0 - 0
59
2
2
Trang 55 | P a g e Đ ỗ T r u n g K i ê n
Ví dụ 2 Tính tích phân 2 2
0
5 4 cos 4 sin
p
6
2 Dạng 2 Giả sử cần tính tích phân ( ) ( )
b
a
I = éf x ± g x dxù
Cách 1.
I = éf x ± g x dxù = f x dx ± g x dx
Cách 2.
Bước 1 Lập bảng xét dấu chung của hàm số f(x) và g(x) trên đoạn [a; b].
Bước 2 Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối của f(x) và g(x).
Ví dụ 3 Tính tích phân 2 ( )
1
1
Giải Cách 1.
0 2
0
Cách 2 Bảng xét dấu
x –1 0 1 2
x – 0 + +
x – 1 – – 0 +
VẤN ĐỀ 2: Tính tích phân các hàm số hữu tỉ
PHƯƠNG PHÁP: f(x) là hàm hữu tỉ: ( ) ( )
( )
P x
f x
Q x
=
– Nếu bậc của P(x) ≥ bậc của Q(x) thì ta thực hiện phép chia đa thức.
– Nếu bậc của P(x) < bậc của Q(x) và Q(x) có dạng tích nhiều nhân tử thì ta phân tích f(x) thành tổng của nhiều phân thức (bằng phương pháp hệ số bất định).
x - a x - b =x - a + x - b
Trang 61
+
1
VÍ DỤ MINH HỌA:
1.
2 2
2
1 7x 12
x
x
=
ò
•
2
1
1
1
x + x- - x - = 1+ 25 ln 2 16 ln 3-
( 1)
xdx
I
x
=
+
ò
+
1
0
8
3
1
2 2
0
5
x
x
=
+
8
I =
4
2 2
3 1
1 x
-=
+
2 2 1
1 1 x 1
x
x x
-=
+
x
5
I =
5
1 7
2 5
0 (1 )
x
x
=
+
2 3
1
t
t
6
2 7
7 1
1
x
-=
+
2 7 6
7 7 1
-=
+
128
1
t
-=
+ ò
2 2001
2 1002 1
x
.dx (1 x )
I =
+
2 2004 2
3 2 1002 1002
2
1
1
x
x x
÷ +
Cách 2: Ta có:
1 2000
2 2000 2 2 0
I
=
⇒
1000
2 1000 2
t
Trang 77 | P a g e Đ ỗ T r u n g K i ê n
BÀI TẬP THI: Tính các tích phân sau:
1 .
1
0
1
x
x
−
=
+
1 3
4 2
0 3 2
x
dx
2
3.
1
2
0
1
x 1
x
x
+
=
+
∫
(D_13);I = +1 ln 2
VẤN ĐỀ 3: Tính tích phân các hàm số vô tỉ
PHƯƠNG PHÁP: f(x) là hàm vô tỉ
+ f(x) = ,m ax b
R x
t
+
=
+
R
VÍ DỤ:
x
=
-ò
x
2
27
2
1
3 2
0
I = òx - x d • Đặt: t = 1- x2 ⇒ t2 = -1 x2 Þ 2tdt = - 2xdx⇒ 1 ( 2 4)
0
2 15
I =ò t - t dt =
3
1 2
0
2
x dx I
=
2 2
3
1
t
4.
1
2
2 0
1 2- x 1- x dx
0
(cos sin ) cos
p
p
-5
1 2
6
0 4
x dx
I
x
=
1
2 0
1
dt I
t
=
2
0
1
p
p
Trang 8BÀI TẬP THI: Tính các tích phân sau:
1
7
3
0
2 1
x
x
+
=
+
10
5 2 1
dx I
=
-ò (DB1-B06) ĐS: 2 ln 2+ 1
3 9 3 1
1x - xdx
1
2 0
I =∫x −x d
(B_13);
2 2 1 3
5
4
0
x
dx x
−
+ +
2 3
2
dx
ln
I =
7
2
x
dx x
4ln 2 3
VẤN ĐỀ 4: Tính tích phân các hàm số lượng giác VÍ DỤ MINH HỌA:
0
sin t an
p
= ò
sin
1
2 2
1
ln 2 8
u
u
0
sin 2 cos
1 cos
x
p
=
+ ò
0
sin cos 2
1 cos
x
p
=
+
2 2
1
( 1)
t
0
(cos 1) cos
p
cos xdx 1 sin x d(sin )x
2
1
2
4
p
Vậy I = 8
15 – 4
p
CÁC BÀI TOÁN THI
0
π
−
15 4
0
sin 2 cos 4 sin
x
p
=
+
0
1+3cosx
x
π
+
27
0
sin 2 cos
1 cos
x
p
=
+
ò (KB-2005); I =2ln 2 1−
Trang 99 | P a g e Đ ỗ T r u n g K i ê n
5 4
2
0 cos
x
dx
x
p
3 0
π
7 4
0
sin( )
4 sin 2 2(1 sinx+cosx)
x
x
=
4
8
/ 2
2 2 0
sin 2 cos 4sin
x
π
=
+
2 3
I =
9
4
6
0
tan
cos 2
x
x
π
10
/ 2 sin 0
( x cos ) cos
π
4
I = + −e π
11
4
0
1 sin 2
π
+
∫
(D_12) ;
2 1
32 4
I =π +
12
2
0
1+3cosx
x
dx
π
+
0
1 2sin
1 sin 2
x dx x
π
−
+
ln 2 2
I =
14
4
0
xsinx+cosx
dx
π
+ +
∫
(A_11);
2
= + + ÷÷÷
15
3
2
0
os
dx
π
+
∫
3
VẤN ĐỀ 5: Tính tích phân các hàm số mũ và logarit VD1:
1
1 x ( ln x)
x
xe
x e
+
=
+
1 1
ln x
x x
e e
+ ò
VD2:
2
ln ln ex
e
e
dx I
= ò
•
(ln )
ln (1 ln ) ln (1 ln )
I
2
(ln )
e
e
( 2) ln (1 ln )
e
-=
+ ò
•
1 1
ln
(1 ln )
x
-+
1
ln
1 2
(1 ln )
e
x
-
-+ ò
Tính J =
1
ln (1 ln )
e
x dx
2
1
1
1 ln 2
t
t
Trang 10
VD4:
3
3
1
ln
1 ln
e
x
=
+
x
ln x =(t - 1)
⇒
2 2 3 2 6 4 2 2
5 3
4
-VD5:
2
2 1
ln(x 1)
x
+ ò
• Đặt
2
1 2
1
dx
dx
ìï
ò
CÁC BÀI TOÁN THI:
1
3
2 1
3 ln
( 1)
x
x
+
=
+
1
2 0
(x- 2) e dx x
2
5 3e 4
3 2 ( s inx )
0
ox osxdx
p
+
1
dx x
+
116 135
I =
5
3
1
e
x
2
1 2
e
6
3
2 1
3 ln ( 1)
x
x
+
= +
3 ln
1
ln
(2 ln )
e
x
=
+
ln
I = − +
8
3
1
1 1
x
e
=
−
∫ (D2009);I =ln(e2+ + −e 1) 2
9
2
3
0
ln x
x
=∫ (D2008);
3 2ln 2 16
I = −
1
.ln
e
I =∫x xdx (D2007);
4
32
e
11
ln 5
ln 3 x 2 x 3
dx I
=
∫ (B2006); I =ln32
12 3 ( 2 )
2
∫
(D_04);I =3ln 3 2−
2
1
dx x
2 1
1
ln xdx
x I
x
−
ln 2
15
1 2 2
0
2
1 2
x
dx e
+ +
+
e
Trang 11| P a g e Đ ỗ T r u n g K i ê n
III ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
1 Diện tích hình phẳng
• Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
– Đồ thị (C) của hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b].
– Trục hoành
– Hai đường thẳng x = a, x = b.
a
• Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
– Đồ thị của các hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b].
– Hai đường thẳng x = a, x = b.
a
Chú ý:
• Nếu trên đoạn [a; b], hàm số f(x) không đổi dấu thì: b ( ) b ( )
• Trong các công thức tính diện tích ở trên, cần khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm số dưới dấu tích phân Ta
có thể làm như sau:
Bước 1: Giải phương trình: f(x) = 0 hoặc f(x) – g(x) = 0 trên đoạn [a; b] Giả sử tìm được 2 nghiệm c, d (c < d).
Bước 2: Sử dụng công thức phân đoạn:
f x dx = f x dx+ f x dx+ f x dx
(vì trên các đoạn [a; c], [c; d], [d; b] hàm số f(x) không đổi dấu)
• Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
– Đồ thị của x = g(y), x = h(y)(g và h là hai hàm số liên tục trên đoạn [c; d])
– Hai đường thẳng x = c, x = d.
d c
2 Thể tích vật thể
• Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm các điểm a và b.
S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hồnh độ x (a ≤
x ≤ b) Giả sử S(x) liên tục trên đoạn [a; b].
Thể tích của B là: b ( )
a
V=∫S x dx
• Thể tích của khối tròn xoay:
Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường: (C): y = f(x), trục hoành, x = a, x = b (a
< b)
sinh ra khi quay quanh trục Ox: b 2( )
a
Trang 121 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 0, y = x3 – 3x2 +2, x = 0, x = 2
2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 0, y = x3 – 2x2 – x + 2
3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x2 + 1, y = 3 – x
4 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 3x, y = 4x – x 2
5 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 0, y = lnx, x = e
6 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 0, y = lnx, x = 1/e, x = e
7 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường x = y3, x = 8, y = 1
8 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = ex, y = e-x , x = 1
9 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường (P): y = x2 – 2x +2; tiếp tuyến của (P) tại M(3; 5) và trục tung
10 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường (P): y = –x2 + 4x – 3 và các tiếp tuyến của (P) tại các điểm M(0; – 3 ) ; N(3; 0 )
11 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường trục Ox, trục Oy; tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = lnx tại giao điểm của đồ thị hàm số đó với Ox
12 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x2 – 2x +2; y = –x2 – x + 3
13 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 6, y = x3 – x2 – 8x + 1
14 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường (P): y = –x2 + 6x – 8; tiếp tuyến của (P) tại đỉnh của (P) và trục tung
15 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường (P): y = 1
2x
2 – 2x + 2 và các tiếp tuyến của (P) xuất phát từ
điểm M(5
2; – 1 )
16 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y2 = 2x và x2 = 2y
17 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = sin3x; y = cos3x và trục Oy (0 )
4
≤ ≤
18 Tính diện tích hình phẳng của mỗi phần giới hạn bởi các đường x2 + y2 = 16 và y2 = 6x
19 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường (P): y = x2 – 2x và hai tiếp tuyến của (P) đi qua điểm A(2;– 9)
20 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x2 ; y = 1
8x
2 và y = 8
x
21 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x2 ; y = 1
2x
2 và y = 2x
22 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = sinx và trục Ox trong 1 chu kì
23 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y2 = x; x = 0; x = 1
24 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường x = 4 – 4y2x = 1 – y4
25 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y2 = 2x + 1 và y = x – 1 (TN2002)
26 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y2 = x + 2 và y = x (ĐH 2001)
27 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
28 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y= x2−4x+3 ; y x= +3 (ĐH – A 2002)
29 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = (e + 1)x và y = (1 + ex)x (ĐH – A 2007)
30 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = – x2 + 4x và y = x (ĐH – D 2008)
31 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường x2 +3y = 0 và y= − 4−x2
32 Cho hình phẳng (S) giới hạn bởi các đường my = x2 và mx = y2 (với m > 0) Tính giá trị m để diện tích S= 3
