4 LTDH CHUYEN DE HAM SO

www.facebook.com/toihoctoan

Phần 4

HÀM SỐ

Dạng 1 GIỚI HẠN HÀM SỐ

Bài 1

Tìm giới hạn

6

2 1

lim

1

x

L

x







Bài 2

Tìm giới hạn

3

0

lim

x

I

x





Bài 3

Tìm giới hạn

0

lim

1 cos

x

I

x







Bài 4

Tính

 

2 3

2 0

1 lim

ln 1

x x

I

x









Bài 5

Tính

2

lim

1

x

x I

x









Bài 6

Tính

2

1

cos

x

x





Bài 7

1

lim



Bài 8

Bài 9

Tính

3 5

2 lim

1

x x

x I

x









1 cos

2

lim 1 cot x x





Bài 10

Tính

0

1

lim sin

x

 b,

2

3

5 cos lim

1

x

x





 c, xlim sin2

x x



Dạng 2 HÀM SỐ LIÊN TỤC

Bài 1

Cho hàm số

3

2

1 cos

( 0) sin

( ) 1 ( 0) 6

x x x

f x

x

 





 

 Xét tính liên tục của hàm số tại x = 0

Bài 2

Cho

2 sin

2 ( ) A sin

cos

2

x x

x x













 Tìm A, B để hàm số liên tục trên R

Bài 3

Xét tính liên tục của hàm số  

1

( )

x

f x

x





 



Bài 4

Chứng minh các phương trình sau đây có nghiệm:

a, e x   x 4 0

b, cosxmcos 2x 0

c,  2  4

m m x  x 

Bài 5

Chứng minh phương trình 4

3 0

x    có nghiệm x 1; 2 với 7

12

Dạng 3 XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Tìm khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số

Bài 1

Tìm khoảng đơn điệu và cực trị của các hàm số sau đây:

y x  x

b,

3

2

1 3

x

y x   x

yx  x 

d, y2x44x2

1

x

y

x







f,  1

2

x

y

x







h,

2

2

1 1

y

 



 

g,

2

1

2

y

x





Bài 2

Tìm khoảng đơn điệu và cực trị của các hàm số:

a, yx e 3x

b,

ln

x

y

x



c, yx 1x2

d,  2 3 2

4

e,y2x x2 3

f, yxln 2x

Dùng tính đơn điệu và cực trị để chứng minh bất đẳng thức

Bài 3

Chứng minh rằng:

2

2

e  x  x    x

Bài 4

Cho ab0 Chứng minh rằng: 2 1 2 1

Dạng 4 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

Bài 1

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

2

ln x

y x

 trên đoạn 1;e3

Bài 2

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 2

4

yx x

Bài 3

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

2

1 1

x y x





 trên đoạn 1; 2

Bài 4

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 6  23

4 1

yx  x trên đoạn 1,1

Bài 5

Giả sử x, y là hai số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện 5

4

xy

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 4 1

4

S

Bài 6

Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn xy Tìm giá trị lớn nhất và giá 1 trị nhỏ nhất của biểu thức:  2  2 

Bài 7

Gọi x y,  là nghiệm của hệ phương trình: 2 4





 Với m là tham số Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Ax2y22x khi m thay đổi

Bài 8

Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn 2 2

2

x y  Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức :  3 3

P x y  xy

Bài 9

Cho hàm số

2

2

f x e  x Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) và chứng minh rằng phương trình f(x) = 3 có đúng hai nghiệm

Dạng 5 TIỆM CẬN

Bài 1

Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số :

a,

2

x

y

x





b,

2

3

y

x





c, y x2 1

Bài 2

Cho hàm số

2

1 1

y

x



 (C) Tìm m để đường tiệm cận của (C) tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8

Bài 3

3

y



Tìm m để góc của hai tiệm cận của (C) bằng 45

Dạng 6 KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Bài 1

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 3 2

y x  x 

Bài 2

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 3 2

y x  x  x

Bài 3

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số yx42x2

Bài 4

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 4 2

6

y x x 

Bài 5

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 2

1

x y x





Bài 6

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

2

y

x





Dạng 7 TỪ ĐỒ THỊ HÀM SỐ SUY RA ĐỒ THỊ CÁC HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI Bài 1

Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

2

1 1

y x

 



 Suy ra đồ thị hàm số

2

1 1

y x





Bài 2

Khảo sát và vẽ đồ thị

4

3

x

Suy ra đồ thị hàm số

4

3

x

Bài 3

Khảo sát và vẽ đồ thị  12

2

x y x







Suy ra đồ thị hàm số  12

2

x y x







Dạng 8 TÌM M ĐỂ HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN TRÊN MỘT KHOẢNG K CHO TRƯỚC

Bài 1

Tìm m để : f x( ) mx m 2

x m



 nghịch biến

a, Trên từng khoảng xác định

b, Trên 0; 

Bài 2

Cho ( )f x x

x m



 Tìm m để hàm số đồng biến trên (;3]

Bài 3

Cho

2

f x



 Tìm m để hàm số nghịch biến trên 1; 0

Bài 4

f x  x x mx Tìm m để :

a, f(x) đồng biến trên   1; 

b, f(x) nghịch biến trên 0; 3 

Bài 5

3

Tìm m để y = f(x) nghịch biến trên  ; 1

Bài 6

f x  x  x mx đồng biến trên 0; 2 

Bài 7

Tìm m để f(x) nghịch biến trên  2; 1

Bài 8

Tìm m để f(x) nghịch biến trên (1; 3)

Bài 9

Cho hàm số

2

2 2

y

x



 (m là tham số) Xác định m để hàm số nghịch biến trên đoạn [-1; 0]

Bài 10

Cho hàm số

3

y

x



 (m là tham số) Tìm m để hàm số (1) đồng biến khoảng 1;  

Dạng 9 CỰC TRỊ HÀM BẬC BA

Bài 1

yx  m x  m x , với m là tham số thực Tìm các giá trị của m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số có hoành độ dương

Bài 2

y x  x  m  x m  , m là tham số Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số cách đều gốc tọa độ O

Bài 3

y x  mx  m xm m (m là tham số) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

Bài 4

( )

3

y f x  x x mx

Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị x x với 1, 2 x12x2 4

Bài 5

Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm cùng phía đối với trục hoành

Bài 6

Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị và tiếp tuyến tại điểm cực đại M của đồ thị cắt trục tung tại A sao cho  OAM có diện tích bằng 7

Bài 7

y f x  x  x  m  x m 

Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị trong đó điểm cực tiểu nằm phía trên đường thẳng: y   4

Bài 8

Cho hàm số 4  2  2

ymx  m  x  (m là tham số)

Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị

Bài 9

Cho hàm số yx42m x2 2 với m là tham số 1

Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân

Bài 10

yx  mx m m

Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị M M M sao cho 1, 2, 3 M M M1 2 3 thỏa mãn

a, Vuông cân

b, Có góc 120

c Có tâm đường tròn ngoại tiếp là gốc tọa độ O

d, Nhận gốc tọa độ 0 là trọng tâm

e, Diện tích bằng 1

g, Bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1

Dạng 10 CỰC TRỊ HÀM HỮU TỈ

Bài 11

Gọi (C m) là đồ thị của hàm số 2  

1

y

x



 (m là tham số) Chứng minh rằng với m bất kì, đồ thị (C m) luôn luôn có điểm cực đại, cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm đó bằng 20

Bài 12

2

y



 Tìm m để đồ thị hàm số có cực trị và tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

Bài 13

Cho hàm số

2

1

y

x





 (m là tham số) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu Với giá trị nào của m thì khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bằng 10?

Bài 14

2

y

x



 , m là tham số

Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác vuông tại O

Bài 15

Gọi (C m) là đồ thị của hàm số y mx 1

x

  (m là tham số) Tìm m để hàm số có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của (C m) đến tiện cận xiên của (C m) bằng 1

2

Dạng 11 SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ

Bài 1

Cho hàm số

1

x y

x



 (C) Tìm m để đường thẳng d: y  x m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt

Bài 2

Cho hàm số 2 1( )

1

x

x





 Tìm m để đường thẳng y 2x m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 3 (O là gốc tọa độ)

Bài 3

Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng y 2x m cắt đồ thị hàm số

2

1

y

x

 

 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho trung điểm của đoạn thẳng AB thuộc trục tung

Bài 4

Cho hàm số

2

2

y

x



Tìm m để đường thẳng d : m ymx 2 2m cắt đồ thị của hàm số tại hai điểm phân biệt

Bài 5

Cho

2

1

y

x

 



 Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và hai điểm đó có hoành độ dương

Bài 6

Cho hàm số

2

y

x



 Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số tại hai điểm A, B sao cho AB = 1

Bài 7

Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng y  x m cắt đồ thị hàm số

2

1

x y x



hai điểm phân biệt A, B sao cho AB = 4

Bài 8

1

y x x mxm (m là tham số)

Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt

Bài 9

Cho hàm số yx33x có đồ thị (C) 2

Gọi d là đường thẳng đi qua điểm M(3; 20) và có hệ số góc là m Tìm m để đường thẳng

d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt

Bài 10

y x x  mx m  (m là tham số)

Định m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn -1

Bài 11

y x  x  m xm, m là số thực

Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x x x thỏa 1, 2, 3 mãn điều kiện x12x22x324

Bài 12

Cho hàm số 3 2

yx  x 

Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I(1; 2) với hệ số góc kk  3 đều cắt

đồ thị của hàm số tại ba điểm I, A, B đồng thời I là trung điểm của đoạn thẳng AB

Bài 13

Cho hàm sốyx33x3m Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt trong đó có hai giao điểm có hoành độ âm

Bài 14

Tìm m để đồ thị hàm số và trục hoành có ba giao điểm phân biệt

Bài 15

1

yx mx m (m là tham số)

Xác định m sao cho đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt

Bài 16

yx  m x  m, m là tham số

Tìm m để đường thẳng y   cắt đồ thị hàm số tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ 1 nhỏ hơn 2

Dạng 12 BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ Bài 1

a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị y2x39x212x 4

b, Tìm m để 3 2

2 x 9x 12x m có 6 nghiệm phân biệt

Bài 2

a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

b, Với các giá trị nào của m, phương trình x x2 22 m có đúng 6 nghiệm thực phân biệt?

Bài 3

1, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 4 2

yx  x 

2, Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt: 4 2

2

Bài 4

1, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

2

1

y x





2, Dựa vào đồ thị hàm số tìm m để phương trình: 2  2   

hai nghiệm dương phân biệt

Bài 5

Cho hàm số yx133x

1, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho

2, Tìm k để hệ

3

3 2









có nghiệm

Bài 6

1, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số yx 3x2

2, Biện luận theo m số nghiệm của phương trình

2

m

Bài 7

1, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y x33x

2 Tìm m để phương trình 3 3 22

1

m

m

 có 3 nghiệm phân biệt

Bài 8

3

y x  x

1, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

2, Tìm k để phương trình x33x2k33k2 có 3 nghiệm phân biệt 0

Bài 9

y x  x 

1, Khảo sát hàm số và vẽ đồ thị

2 Tìm m để phương trình x33x2 1 log2m có 6 nghiệm phân biệt

Bài 10

Biện luận theo k số nghiệm của phương trình: 3

Bài 11

y x  x  x

1, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

2, Biện luận theo m số nghiệm phương trình x23xmx 3 0

Bài 12

Cho hàm số 1

1

x y

x







1, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị

2, Biện luận theo m số nghiệm của phương trình

a,  2   

b, 1 log2

1

x

m x







c, 1

1

m

x

e

x







Dạng 13 BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN

Bài 1

Cho hàm số 1 3 2 2 3

3

y x  x  x có đồ thị (C)

Viết phương trình tiếp tuyến  của (C) tại điểm uốn và chứng minh rằng  là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất

Bài 2

Cho hàm số 3

1

x y

x





 Lấy điểmM0x y0; 0( )C Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các tiệm cận của (C) tại A và B Chứng minh 0 M là trung 0

điểm đoạn AB

Bài 3

Cho hàm số 2

1

x y

x



 (C)

Tìm tọa độ của điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai trục Ox, Oy tại A,

B và tam giác OAB có diện tích bằng 1

4

Bài 4

Chứng minh m thì (d) yxm luôn cắt (C) 1

x y x

 



 tại hai điểm phân biệt A, B Gọi k k là hệ số góc các tiếp tuyến (C) tại A, B Tìm m để 1, 2 k1k2đạt giá trị lớn nhất

Bài 5

Cho hàm số y x4x2 có đồ thị (C) 6

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 1

1

6

y x

Bài 6

Gọi (C m) là đồ thị của hàm số 1 3 2 1

m

y x  x  (m là tham số)

Gọi M là điểm thuộc (C m) có hoành độ bằng -1 Tìm m để tiếp tuyến của (C m) tại điểm

M song song với đường thẳng 5xy 0

Bài 7

x y

x





 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O

Bài 8

Cho hàm số

2

1 2

y

x

 



 có đồ thị (C)

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến đó vuông góc với tiệm cận xiên của (C)

Bài 9

Cho hàm số 2 1

1

x y

x





 có đồ thị (C)

Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận của (C) Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng IM

Bài 10

y x  x 

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm M(-1, -9)

Bài 11

Cho hàm số

2

1 1

y

x

 



 (C) Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) đi qua A(0, 5)

Dạng 4 BÀI TOÁN TIẾP XÚC

Bài 12

Cho hàm số 1

1

x y

x





 (1)

Đường thẳng (d) đi qua điểm A(0, m) có hệ số góc bằng 2 Tìm m để (d) tiếp xúc với (C)

Bài 13

1

y

x



 (1) (m là tham số) Tìm m để đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y = x

Bài 14

Gọi C m là đồ thị của hàm số 3   2

y x  m x m (m là tham số) Tìm m để đồ thị C m tiếp xúc với đường thẳng y2mx m  1

Dạng 5 BÀI TOÁN ĐỒI XỨNG

Bài 1

Cho yx33x2m (C)

Tìm m để (C) có hai điểm đối xứng nhau qua O(0; 0)

Bài 2

Cho đồ thị hàm số C k :  

2

x

 Tìm k để C k có một cặp điểm đối xứng nhau qua O(0; 0)

Bài 3

Cho hàm số:

3

3

x

y  x  x (C)

Tìm trên đồ thị (C) hai điểm phân biệt M, N đối xứng nhau qua trục tung

Bài 4

Cho hàm số

2

2 1

y

x

 



 (C)

Tìm tất cả cặp điểmM M trên (C) đối xứng nhau qua 1, 2 0;5

2

I 

 

Bài 5

yx  x  (C)

a, Tìm hai điểm M M phân biệt trên (C) đối xứng nhau qua 1, 2 3;1

2

I 

 

b, Tìm hai điểm phân biệt N N trên (C) đối xứng nhau qua 1, 2   : 3

2

x 

Bài 6

Cho hàm số

2

1

x y

x



 (C) Tìm hai điểm A, B nằm trên đồ thị (C) và đối xứng nhau qua đường thẳng y  x 1

Bài 7

Chứng minh rằng đồ thị của hàm số 1

1

x y x





 nhận đường thẳng y  làm trục đối x 2 xứng

Bài 8

yx  ax  a (C)

Tìm a để điểm cực đại và cực tiểu của (C) đối xứng qua đường thẳng y = x

Dạng 6 BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH

Bài 1

Cho A3, 0 và (P): 2

yx

a, M( )P có hoành độ x M a Tính AM, tìm a để khoảng cách AM ngắn nhất

b, Chứng tỏ rằng nếu AM ngắn nhất thì AM vuông góc với tiếp tuyến tại M của (P)

Bài 2

Cho hàm số

2

1

y

x



 Tìm các điểm thuộc đồ thị hàm số sao cho khoảng cách từ điểm đó đến trục hoành bằng 2 lần khoảng cách từ điểm đó đến trục tung

Bài 3

Cho hàm số 2 1

1

x y

x





 (C) Tìm trên (C) những điểm có tổng khoảng cách từ đó đến hai tiệm cận là nhỏ nhất

Bài 4

Cho hàm số

2

1 1

y

x

 



 (C) Tìm các điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng các khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận là nhỏ nhất

Bài 5

1

x

y

x





 (C)

Tìm M trên (C) sao cho khoảng cách từ M đến gốc tọa độ O ngắn nhất

Bài 6

Cho hàm số

2

1

x y

x



 (C)

Tìm hai điểm A, B trên hai nhánh khác nhau của đồ thị để khoảng cách giữa chúng là nhỏ nhất

Dạng 7 ĐIỂM CỐ ĐỊNH CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG

Bài 1

Cho hàm số

2

y

mx m



 C m

Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn luôn đi quam0

Bài 2

Chứng minh C m đi qua một điểm cố định m

Bài 3

y x  mx  m C m

1 Chứng minh C m luôn luôn đi qua hai điểm cố định A, B khi m thay đổi

2 Tìm m để tiếp tuyến của C m tại A và B vuông góc với nhau

Bài 4

1

y

x



 C m Tìm những điểm trên mặt phẳng Oxy mà C m không thể đi qua m

Bài 5

2x 1 m x 1 m

y



Chứng minh C m luôn tiếp xúc 1 đường thẳng cố định tại 1 điểm cố định với mọi m  1

CÁC BÀI TOÁN ÔN TẬP

Bài 1

y f x  x mx  m  x m Tìm m để:

a, y nghịch biến trên khoảng (0; 1)

b, y nghịch biến trên đoạn có độ dài 4

Bài 2

Cho (C): 2 1

1

x y

x





 và d: y x m

a, Tìm m để d cắt (C) tại hai điểm A và B màAB  42

b, Tìm m để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt M, N mà diện tích IMN bằng 4 với I là tâm đối xứng của (C)

c, Viết phương trình tiếp tuyến của (C) qua P(1; 0) Tìm tiếp điểm

d, Tìm Q( )C sao cho tiếp tuyến (C) tại Q qua D1; 1 