CHUYÊN ĐỀ DÃY SỐ LỚP 11

Lý thuyế, bài tập có giải, dành cho học sinh tự học

Chuong 3.Day s6 - Cấp số cộng - Cấp số nhân

CHUONG 3 DAY Số - CẤP SỐ CỘNG

- CẬP SỐ NHÂN

A Tóm Tắt Giáo Khoa

ĐỂ chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) là mệnh đẻ đúng với mọi giá trị nguyên đương của n, ta thực hiện hai bước sau :

e Bước | : Chứng minh A(l) dúng

e Bước 2: Với Vx c Z, chứng minh nếu A(k) dúng thì A(k + 1) cũng đúng

B Giải Toán

Ví dụ 1 : Chứng minh với mọi sô nguyên dương , ta luôn có :

I+3+Š5+ +(2n-l)=n' ()

Giải : Chú ý vế trái (VT) có n số hạng.n=1:VT=l,n=2:VT=1l+3

s® Vớin= l:(1) ® I= lỶ : mệnh đề này đúng Vậy (1) đúng khi n = 1

e_ Giả sữ (1) đúng khin=k $ l+3+§ + +(2k ~ 1) =kỶ (2), ta chứng minh (1) cũng đúng khi n = k

+1 143454 4(2k-1) + [2(k+1)- 1 =(k +1) )

That vay : VTjy,= VT) + (2(k+1) - 1] = VP, +[ 2k + 1]

=k’ +2k4+1=(k+41)

= VP, (dpem)

Theo phương pháp quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n

Ví dụ 2 : Chứng minh rằng số a, at yt -= —— (I) với mọi số nguyên dương n

Giải :

® Vơin=l:(l)** a¡= —=——: ding Vay (1) ding khin=1

12 1+]

e Giả sữ (1) ding khin=k @ a = —+—v+ + = (2), ta chứng minh ( l) cũng đúng

k+l

Thay vay 04/0067 0 2DŒK+2) : ay) =ay+ = k+l (k+ Ik +2) + ( theo gia thiét quy nạp (2) HẠ ae )

kk+2)+l _ kÌ+2k+l (k+1}

_ (k#l(K+2) (k#+l(k+2) (k+l)(k+2)

= = (dpem) Vậy (1) đúng với mọi số nguyên đương n

Ví dụ 3 : Chứng minh số u„= 13°- I chia hết cho 6 với mọi số nguyên dương n (l)

Giải :

e® Vớin=l:u,= 13'~ 1= 12 chia hết cho 6 Vậy (1) đúng khi n = I

Chương 3.Dãy số - Cấp số cộng - Cấp số nhân

e Giả sữ (1) đúng khin=k ©® u,= 13* - 1 chia hết cho 6, ta chứng mỉnh (1) cũng đúng khi n = k + 1 ® Uys: = 137! - 1 chia hét cho 6

Thật vậy : u¿„¡ = 13!!! - 1 = 13.13- 1 = 13(13‘- 1) + 12 = 13u, +12 Vi_ uy chia hét cho6 va 12 chia hét

6 nên u,„¡ chia hết cho 6 ( tổng hai số chia hết cho 6 là một số

chia hết cho 6 )

C Bai Tap Rèn Luyện

3.1 Chứng minh với mọi sô nguyên đương n, ta có :

; _ nín+l)(2n+l) Math) b) 17.42" 4.607 =

©) 1.4+2.7+ +n(3n + l) =n(n + 1}?

a)l+2+ +n=

3.2 Chứng minh với mọi sô nguyên đương n, ta có :

b) l.n+2(n - l)+ +(n- l)2+n 1= cn(n+(n+2)

c) —+—+—+ +—=2-

3.3 Chứng minh với mọi sô nguyên dương n, ta có :

a)(1+x)" > 1l+nxvoix>-1

b) a=) cas, 0 ("| 4% *” va xử,bšể:

3 4 Chứng minh với mọi số nguyên đương n, ta có :

a)uạ=6”" + 10.3" chia hết cho l1

b) tích của 4 số nguyên dương liên tiếp chia hết cho 24

c)6°+8" chia hết cho 14 khi n lẻ

¬

d)u,=5.2" 2 +3** ! chia hết cho 19

3.5 Theo một truyện cổ , trong một hang động tại một nơi nào đó , có một vị thần đang thực hiện một

công việc buồn tẻ như sau Trước mặt ông ta là ba mâm vàng Trên mâm thứ nhất có một tháp tạo bởi

64 đĩa kim cương có lỗ ở giữ Các đĩa có kích thước khác nhau đặt chồng lên nhau xuyên qua một thanh

ngọc sao cho đĩa trên luôn nhỏ hơn đĩa sát bên dưới Mâm thứ hai và mâm thứ ba cũng có một thanh

ngọc ở giữa Công việc của vị thần là dời tháp đĩa kim cương từ mâm thứ nhất sang mâm thứ ba theo quy tắc sau :

e Mỗi lần chỉ được dời một dĩa

se Lúc nào đĩa ở trên cũng nhỏ hơn điã hên dưới

e Có thể đặt dĩa đang dời tạm trên mâm thứ hai , nhưng cũng theo luật là đĩa trên nhỏ hơn đĩa dưới Thí dụ với tháp 2 đĩa , gọi đĩa 1 là đĩa nhỏ , đĩa 2 là đĩa lớn, ta thực hiện các bude sau:

se Dời đĩa I vào mâm 2,

se Dời đĩa 2 vào mâm 3,

e Dời đĩa l từ mâm 2 vào mâm 3

Ta cần tất cả 3 động tác để hoàn tất

Chương 3.Dãy số - Cấp số cộng - Cấp số nhân » z Y ^

/¿>Z~7*7

Chifng minh ring vi than can 2% - 1 d6ng tac dé hoan tat cong viéc Gid si? mdi dong tac kéo dai ding | giây , hỏi cần bao nhiêu thời gian để chấm đứt công việc Truyền thuyết kể rằng khi việc đời 64 dĩa được hoàn tất thì đó cũng là ngày tận thế cua lòai người

D.Huéng din - Đáp số

3.1.a) * Với n= 1: V† = VP = I =>mệnh để đúng khi n = L

k(k+l)

* Giả sữ : l+2+ +k= , thể thì :

k+l)[(k+l)+l LẺ đ Si Số

b)* Với n=1:VT=l2<1,VP=————— ~ se

)

k 2E

* Giả sử 12 +2? + +k2„ SG +Đ€k+Ù) moa

ss

SP +P tet eke ts SIERO SK ty

_ k(k +1)(2k +1) + 6(k +1)

— (K#l)[k(2k +1)+6(kK + D|

_ (k+1)(2k* +k +6k +6)

_ (k#l(2k+7k+6)

_ (k#l)(k+2)(2k +3)

6

— (k+#l)[(€K+1)+1]I2(k +1)+1|

6

=> mệnh đề đúng khi n=k + l

c)*Vớin=1:VT==VP=

* Giả sử l.4+2.7+ +k(3k+ l)= k(k + l}

=> 1442.7+ +k(3k + 1) + (kK + E){3{k+1) + 1] = k(k + 1) +(k + 1) Gk +4)

= (k+ Ik’ +k + 3k +4)

=(k + 1)(k +27

=> mệnh đề đúng khi n =k + 1

Chương 3.Dãy số - Cấp số cộng - Cấp số nhân

3.5, a)*®Vớin=1:VT= | Jyp=

— k(@k+3)+l

— (2k +1)(2k +3)

2kÌ+3k+l — (k+l)(2k+l)

(2k+1)(2k+3) (2k+l)(2k+3)

k+l

Z —————~=> mệnh đẻ đúng khi n = k + l

2(k+l)+l

b) *Vớin =1: VT=110=1,VP=z=a =—-.1.2.3=I1

5

*Gid st Lk+2(k-1)+ 4(k-1).2+k 1= ck(k +1) +2)(1)

Ta phải chứng minh : 1.(k+l) + 2 k + 3.(k - l)+ +k 2+(k+ l).I= c(k+D(+2)(k +3) (2)

Lấy (2) - (1) vế với vế : (k+l)+k+(k—l)+ +2 41 =

bo +l)(k+23)(k +3) - te +1)(k +2) (3)

6 6

+2 VT@)= ——— ( theo bai 3 1 a)

`

VPQ)= ck+DŒ+2)(k+3~k)= TT”?

Vậy ta có đpcm

¢) Giả sử : 24-24 eae

2 4 2" 2"

_»_ Ak+2)-(k+I)

nee ^¬k+l

3 ấ

=2- 525 =>mệnh để đúng khi n =k + l

* Gid sit (1+x)* => L+kx (1) =>(I+x}**! =(I+x)(I+x)` > (I+x)(1 +kx) ( nhân hai vế của (l) cho 1+x>0)

Suy ra: (1 +x)

Hay (1 +x)**!

b)*Vớin=1:VT=VP=2=>mệnh để đúng khin= l

+l

**! 5 1+kx+x+kx” > ÍI+kx+x( vì kx > 0)

=> lI+(k+ l)x => mệnh để đúng khi n = k + lL

* Giả sữ | | <kzt0

=(£?) (E2I£2)1g1©£)

Chương 3.Dãy số - Cấp số cộng - Cấp số nhân

a

vi TC = <=>k(k+2) <(k + l} ( đúng )

k+

hel

<sk+2 Vậy mệnh đẻ đúng khin=k+ l

c) Giả sữ

kel kot ib pcg Be ik

> (#2 xà +b*"' +ab tab dụ

Ta ching minh: ab‘ +a‘b < a‘*'+b‘*! @ a'(a—b)+b*(b—a) = 0

© (a —b)(a*—b*) = O Bat ding thife nay ding via = b > O=>a* > b*

Và 0<a <b=>a`<b'

a+b)" - att! +b") att! 4 pt!

2 j > jg

3 4.a) * Voin=1:u,=6° + 10 3! =66 chia hét cho 11

* Gid sit u= 6+ 10.3* chia hét cho 11, thé thi:

Une =O" + 10.3'*' = 36.6" +30.3* =3(6™ + 10.3" ) + 33.6" =u, + 33.6"

=>.) chia hét cho 11 vi la tong cua hai s6 chia hét cho 11

b) Ta chifng minh : u, = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) chia hét cho 24

*u, = 1.2.3.4 = 24 chia hét cho 24

* Giả sữ uy = k(k + l)(k + 2)(k + 3) chia hết cho 24 , thẻ thi:

Us, =(k + l)(k + 2)(k + 3)(k +4) =uy + 4(k + 1)(k + 2)(k + 3)

Ta biết tích ba số nguyên liên tiếp (k + L)(k + 2)(k + 3) luôn chí hết cho 6 vì có chứa một số chẩn và một

số chia hết cho 3 Do đó uạ„¡ là tổng hai số cho chia hết cho 24

nên chia hết cho 24

c)* Voin=1:u,=6' +8'= 14 chia hét cho 14

* Giả sữ u¿= 6'+8* chia hét cho 14, số lẻ tiếp theo số k là k+2, ta có :

Uys2 = 6'** + 8° ** = 36.6 + 64.8* = 36(6` + 8`) + 28.8* = 36.uy + 14.2.8"

=> „› chia hết cho 14 ví là tổng hai số chia hết cho 14

đ) * Với n= l :u, = 5 2! +3 = 19 chia hết cho 19,

* Giả sữ u¿=5.2* ? +3*' chia hết cho 19, thể thì :

Ue ae pel + gue? my, 93 234 2 + 33 + L 8.5.2°* | + 27.3"!

=8(52% | +3%')419.3% ' =8u, 419.3% !

=> ty) chia hét cho 19 vi la t6ng cua hai s6 chia hét cho 19

3.5.* Voin=1: vị thần chỉ cần 2'- I= 1 một động tác dời ( đúng ) gz Ẻ

* Giả sữ vị thần cần 2* — I động tác để đời k dia , thể thì với k + l đĩa , ta sẽ đời như sau :

e Dời k dia từ dĩa trên cùng Ẻ đến dĩa kế chót sang mâm thứ hai : cần 2*- I động tác ( giả thiết của Ẻ 2 Ẻ

phép quy nạp)

e Dời dĩa cuối cùng lớn nhất từ mâm thứ nhất sang mâm thứ ba : I động tác gz 2 2

e Đời k đĩa từ mâm thứ hai sang mâm thứ ba , dùng mâm thứ nhất làm trung gian : cần 2* — 1 động tác

Vậy cần tất cả :2*— 1+1 +2*—1=2**! ~ 1 động tác

Suy ra dpem

Chương 3.Dãy số - Cấp số cộng - Cấp số nhân

Với 64 đĩa , vị thần cần thực hiện 2”!“— 1 Máy tính bỏ túi không tính được số này , chỉ cho ta một giá trị gần đúng là 18.446.744.070.000.000.000.000.000.000 ( 19 số 0) Mời bạn đọc số này ! Nếu mỗi động tác đời đĩa là một giây và luôn chính xác từ giờ này tới giờ kia , tù ngày này qua ngày khác, từ năm này qua năm tới ( thần mà ! ), thì phai can 584.942.417.400 nam !

§2 Dãy số

A Tóm Tắt Giáo Khoa

1 Định nghĩa : Một hàm số u xác định trên tập hợp NỈ các số nguyên dương được gọi là một dãy số vô

hạn

Kí hiệu : số hạng tông quát u(n) được kí hiệu là u, : số hạng thứ n

e Day s6 v6 han u =u(n) được kí hiệu (u,) hay t0 ,;, the ‹

e© Khi l <n<m, ta có đãy số hữu hạn: u; là số hạng đầu, u„ là số hạng cuối

2 Cách cho dãy số :

se Cách |: Cho bởi công thức của số hạng tông quát

se Cách 2: Cho bởi hệ thức truy hồi

3 Dãy số tăng, giãm :

e (u,) day sé tang @ Yn, uy < Uys)

e (u,) day sé gidm @ Yn ,u, > Uy.)

Chú ý : l) (uạ) tăng <3 YVn, uạ,; - tạ >0 © Vn, “»°' >1 (nếu Yn ,u,>O)

u,

2) l) (uạ) giãm © Yn , uạy,¡ — uạ<0 © Vn , —~<l( nếu Yn ,u,>0)

u

4 Day s6 bi chan:

e© (uạ) bị chận trên © 3M, VYn,u, <M

e (u„ bị chận dưới S* 3m, Vn ,u, > m

e (u,) bi chan #° (u,) bị chận trên và chân dưới

B Giải Toán

Đạng 1 : Xác định các số hạng của dãy số :

Dùng công thức u„ hoặc hệ thức truy hồi

Ví dụ 1 :

a) Cho dãy số (uạ) với u„ = = Tim số hạng u:, u;

b) Cho dãy số các số dương chia cho 5 dư 3 sắp xếp theo thứ tự tăng dẫn Tìm số hạng thứ 1000

Giải : <i: Si Sỹ i Med

b) Day sé 1a 3, 8, 13 S6 hang tong quat 1d u, = 5(n- 1) +3 =5n -2, Yn EN Vay sé hang thit 1000

la Ujooo = 5000 = 2 = 4998

Ví dụ 2 : Cho dãy số (u, ) xác định bởi : | l Tim sé hang uy

u, =2u,_,-3; Vn22

Giải : Ta có : u2 =2.u, -—3 = 10-3 =7, us; = 2u, —3 = 14 — 3 = l1, uy = 2u - 3 = 22 - 3 = I9

fF Dang 2 : Xác định số hạng tong quát của đấy số cho bởi hệ thức truy hồi |

Chương 3.Dãy số - Cấp số cộng - Cấp số nhân

e Tính thử các số hạng đầu, dự đóan một hệ thức u„ = f(n)

e Chứng minh hệ thức đó đúng với Vn bằng phương pháp quy nạp

Ví dụ 3: Cho dãy số (u, ) xác định bởi : u; = 5 và #n > 2,u„= 2u, —- 3

Tìm số hạng tông quát u,

Giải : Từ các giá trị của u¡, u;, u; , u; đã tính trong ví dụ 2, ta dự đóan :

Vn ,ua=2” +3 (1) vì hệ thức đúng khi n= I, 2, 3, 4, nên ta hi vọng nó cũng dúng với mọi n

e_ Giả sữ (1) đúng khin=k $2>u¿=2*+3 , thể thì :

u¿¡ = 2u, — 3 ( hệ thức truy hồi )

=2(2*+3)-3=2**! +3, chứng tỏ (1) đúng khi n= k+ L Vậy (1) đúng với mọi n

Dạng 3 : Chứng mỉnh dãy số tăng giãm ( xét tính đơn điệu ) :

e Nếu dãy số xác định bằng công thức thì sữ dụng định nghĩa hoặc phần chú ý trong lý thuyết

e Nếu dãy số xác định bằng hệ thức truy hồi, thì ta dùng định nghĩa + phép chứng

mình quy nạp

Ví dụ 4 : Xét tính tăng giãm của các dãy số (un) sau :

= — sa c =

Giai :

n+l

u ot n+] - ee areas 8 1336060225 e

a)Tacé: Vn ,u,>Ova nit = 3 = : <1, Vn Vay (u,) la dãy số giãm

3

b) Ta có : uạ= "+ =2- ( đơn giản công thức dãy số )

Suy ra , Vn ,u;¿ —uạ= |2^-———— |- | 2- | = - > Onén day s6 (u,) la day so tang

Hiéu s6 nay im khin= 2 va duong khi n= 3, do đó đãy số (u,) không tăng cũng không giãm

Thật ra nếu ta tính thử vài số hạng đầu tù công thức : u; =8, u› = ry ; tạ SỐ, Ul¿ = > thì có : u; >ua >

uy <u; Vậy dãy số không tăng cũng không giãm

u, =!

Vi du 5: Cho day s6 (u,) dinh béi hé thức truy hồi UL, =U, +3u,,.Vn21

Giải : Ta chifng minh u,,; -—u, >0(1), Yn

® u›y—=u;=(l+3)—- l=3>0 =>(I) dúng khi n = l

se Giả sỮUuy.¡—uy >0(2) , thể thì :

Une? — Uner = (Uber + 3Uner ) - CU, + Buy) = (0 5¿¡ - tŸ ) + 3(04¡ — Un)

= (Uys) — Uy )E (Uy) + Uy ) + 3|

TW hé thife truy héi, c6 thé chifng minh u, > 0, Vn , do dé suy ra:

Chương Ÿ.Dãy số - Cấp số cộng - Cấp số nhân

Us tu + 3 >0, cùng với (2), ta được : 0v — 0¿v¡ >0 => (l) đúng khi n=k + l

Vậy (1) đúng với mọi n và dãy số (u,) tăng

Dang 4 : Xét tinh bi chận|

e Để chifng minh (u,) bi chan , ta tim hai số M và m sao cho : m < u, < M, Wn

e - Nếu (u,) cho bởi hệ thức truy hồi thì ta dự đóan số M, m rồi chứng minh tính bị chận bằng

phương pháp quy nạp

Ví dụ 6 : Chứng minh các dãy số sau bị chận

a) Uy = b)u,=—+cosn c)u¡ = Ì,u;¿ = —=u, +2, Vn > Ï

Giải : a) Ta có : uạ = TT vàng

Vì n> lnên 0< <—, suy ra : 3 < uạ < 3+ —=— Vậy (u,) bị chận

Ghi chi: Lé di nhién , ta cé thé viét “théang ” hon la: 0 < u, <5 3+8= 11

b) Vi 0<4.<1và —l<cosn<l, do đó :O~ | < Pees <1+1

tức : - Ì < u„ < 2 Vậy (u,ạ) bị chận

c) Ta tính thử vài giá trị đầu tiên của đấy số : wạ = Ì, tạ = ° +2=—,u;= —+2= Sd uy = ba +2=—

Ta dit dodn u, <4, Yn và lẻ đĩ nhiên thì u„ >0, Yn

1) Chifng minh: u,>0, Vn

e u,=l>0

e Gid s¥u.>0, thé thi: yu.) = a, +2»>0,

Vậy uạ>0, Vn (l)

2) Chifng minh u, <4, Vn

e u=l<4

e Giả sữ uy <4, thẻ thì : uy„¡ = <u, +2<4+2=4

Vậy u„<4, Vn (2)

TY (1) va (2), ta c6 (u,) bi chan

C Bai Tap Rèn Luyện

3.6 Chọn câu đúng : Số hạng thứ 9 cua day sé u, = là :

n+

a) 1, 9b) 2,0 c) 2,1 d) 3,0

u,=-15 3.7 Chọn câu đúng : Cho dãy số

u,=u,,+n

Số hạng dương đầu tiên của dãy số là số hạng thứ mấy ?

3.8 Chon câu đúng : Cho ba dãy số

n+

(1) u, =

n+

Chương 3.Dãy số - Cấp số cộng - Cấp số nhân

Day s6 nao 1a day s6 tang ?

c) Chỉ (II) d) C6 2 day số tăng trong ba dãy số

3.9 Chọn câu đúng : Cho ba dãy số

(Ù uạ= ——— (H)uạ= n - ón (IHH)u,=

Dãy số nào là dãy số giãm ?

a) Chi (1) va (1) b) Chi (11) va CLD)

c) Chỉ (1) và (IH) d) ca (1), (ID và (HH)

3.10 Chon câu đúng : Cho ba dãy số

(1) u, = = (I)uạ= 2sinn=n (IlIl)u,=(-l)" n

n+l

Day s6 nào bị chận trên ?

a) Chi (1) và (H) b) Chỉ (HH) và (HH)

€) Chỉ (1) và (HH) đ) Cả (1), (H) và (II)

3.11 Tìm 3 số hạng đầu tiên của dãy số sau :

c)u, =(-1) we d)u, =(-1)) 1 +(-1) 2+ .+(-1)"n

3.12 Tìm các số hạng đâu tiên của dãy số sau rồi suy ra công thức u„ = f(n) của các dây số cho bởi

hệ thức truy hồi :

a)u;=7,u,¿; =u, +4, Vn >l b)u, =4, 0 =3.0,-2, Vn œ 1

* 3.13 Cho đãy số (u, ) dịnh bởi : u¡ = - Ì, uạ= — ,„ vn >2,

a) Tinh 3s6 hang đầu tiên của dãy số

b) Tìm công thức u„ theo n

3.14 Xét tính đơn điệu của các dãy số (u„ ) sau :

n+l n+2 2%

(n+l)

3.15 Xét tính don diéu cia céc day sé (u,) sau:

8) lạ =——+ + +— b) u, =n + 2sinn

° T

tờ Ín+1—-/n “a 4 Ts ee

3.16 Xét tính bị chận của các dãy số sau :

Chương 3.Day số - Cấp số cộng - Cấp số nhân

*dju,= -14+2-3- +(-l)'n

* 3.17 Cho day sé (u,) định bởi : u; = 1, uy.) = =U +1, Wn 21

a) Chứng minh (u„) giãm b) Chứng minh (u,) bi chan

# 3.18 Cho dãy số (uạ) định bởi : uy = 1, uạ¿¿= 2uạ +1, Ýn > Í

a) Chifng minh (u,) là đãy số tăng

b) Hìm công thức tạ theo n

* 3.19 Cho dãy số (u,) định bởi : uy = 1 ,u„¡= S——"-— , Vn eh

u, !

a) Chứng minh ; u, = tg—— , V

a) Chifng minh ; u, = li s VN

b) Suy ra tính đơn điệu và bi chan cua (u,)

* 3.20 Cho dãy số (uạ) định bởi : uy =1, u_„ = tas Wa 21

2n

a) Chifng minh u, = = bs vn

b) Xét tính đơn điệu và bị chân cua (u,)

D.Hướng dẫn - Đáp số

3.6 (a) Thế n = 9 vào công thức : u¿ = = =1,9

3.7 (d) w= -1584+2=- 13, u,=- 134+3=- 10, u,=- 1044=-6,u,=-64+5=-1]1,u,=-14+6=5

Vay s6 hang duong dau tién 1a s6 hang thif 6 ,

3.8.(c) * Xét(l):uaạ=2+ ae n càng Idn u, càng nhỏ => (u,) giãm

n+

# Xét (II): uị =- Ï; uy=4; uy = - 9 => (uạ) không tăng , không giãm

Vay chon (IID)

4

* Nếu xét (1D thì: Yee = 20+

5

u, n+2 > 1 => (uy) tang

3.9 (c) * Xét (I): us = —(I- pan càng lớn thì càng nhỏ => (u„) càng nhỏ => (u,„ ) giãm

# Xét (II): uạ =-Š; uy = -8;ul¡ạ= 40 => (u,) không tăng , không giãm

# Xét (Ill) : uạ = — 1+ 2-1 => n càng lớn thì u; càng nhỏ => (u,) giãm

2

3.10 (a) * Xét (I): uy =3 + <4=>(u,) bi chan trén

n+

* Xét (II): Vì-n < - Ivà 2sinn < 2 nên u„ < lz=> (u,) bị chân trên

# Xét (HH) : Khi n là số chẩn vô cùng lớn thì u„ là số vô cùng lớn, do đó (uạ) không bị chận trên

3.11 a) tlị = 1, i= a? uy = a