ĐỀ CƯƠNG ÔN THI TỐT NGHIỆP LỚP 12 MÔN TOÁN

www.facebook.com/hocthemtoan

TRUNG TÂM LTĐH TÀI ĐỨC

PHẦN 1

CHỦ ĐỀ 1 : ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ

THỊ CỦA HÀM SỐ

Vấn đề 1 : KHẢO SÁT HÀM SỐ ( các bước làm bài toán )

Hàm số bậc ba :

Hàm số bậc bốn :

 Bảng biến thiên :

y’ không xác định

 Tiệm cận :

Tiệm cận đứng :.Tiệm cận ngang :

 Bảng biến

thiên :

Các khỏang đồng biến (hoặc nghịch biến ) Hàm số không có cực trị

 Vẽ đồ thị :

Bài tập : 1/ Khảo sát các hàm số :

a/ y= b/ y= c/ y= d/ y=

e/ y= f/ y = g/ h/

Vấn đề 2: PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN

Chú ý :

 y’ (x 0 ) là hệ số góc của tiếp tuyến của ( C ) tại điểm M ( x0 ; y0 )

 Nếu tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b thì y’ (x 0 ) = a

 Nếu tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = ax + b thì y’ (x 0 ) =

a/ Tại điểm có hoành độ x0 =

b/ Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 3x – 1

4/ Cho hàm số y = có đồ thị ( C ) Viết phương trình tiếp tuyến của ( C) :

a/ Tại giao điểm của ( C ) và trục tung

b/ Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = 24 x +1

Vấn đề 3 : BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG

ĐỒ THỊ

Bài toán: Dựa vào đồ thị ( C) của hàm số y =f(x) ,

Biện luận số nghiệm của phương trình : F(x , m ) = 0 ( với

m là tham số ).

Cách giải :

Vấn đề 4:TÌM GÍA TRỊ LỚN NHẤT – GÍA TRỊ NHỎ NHẤT CỦA

HÀM SỐ Bài toán: Tìm giátrị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số y= f

(x) trên

Phương trình tiếp tuyến với (C) của đồ thị hàm số y = f ( x)

tại điểm M (x0 ; y0 ) là:

y – y 0 = y’ (x 0 ) ( x – x 0 )

Trong phương trình trên có ba tham số x 0 ; y 0 ; y’(x 0 ) Nếu

biết một trong ba số đó

ta có thể tìm 2 số còn lại nhờ hệ thức : y 0 = f (x 0 ) ;

 Chuyển phương trình : F(x , m ) = 0 về dạng : f(x) = h(m)

(*)

 Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của ( C) và đường thẳng (d) : y= h (m)

 Dựa vào đồ thị (C ) , ta có kết quả :

( Nếu (d) và (C ) có n giao điểm thì (*) có n

nghiệm đơn

Nếu (d) và (C ) có 0 giao điểm thì (*) vô nghiệm

Nếu (d) và (C ) tiếp xúc với nhau tại m điểm thì

Khoảng (a ; b ) Đoạn [a;b ]

 Tính y (x0 ) , y(a) , y (b) Chọn số lớn nhất

trên 6/ Tìm tiệm cận của đồ thị các hàm số sau :

1/ y = 2/ y = 3/ y = 4/ y = 5/

CÁC DẠNG TĨAN THƯƠNG GẶP VỀ ĐỒ THỊ

A TĨM TẮT GIÁO KHOA.

1 Giao điểm của hai đồ thị.

Hịanh độ giao điểm cùa hai đường cong y = f(x) và y = g(x) là

nghiệm của phương trình:

f(x) = g(x) (1)

Do đĩ, số nghiệm phân biệt của (1) bằng số giao điểm của hai đường

cong

2 Sự tiếp xúc của hai đường cong.

a) Hai đường cong y = f(x) và y = g(x) gọi là tiếp xúc với nhau tại

điểm M(x0 ; y0 ) nếu chúng cĩ tiếp chung tại M Khi đĩ, M gọi là tiếp điểm

có nghiệmNghiệm của hê trên là hòanh độ tiếp điểm.

B.BÀI TẬP.

1 Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị:

a) y = x3 + 4x2 + 4x + 1 và y = x + 1 b) y = x3 + 3x2 + 1 và

y = 2x + 5 c) y = x3 – 3x và y = x2 + x – 4 d) y = x4 + 4x2 – 3 và y = x2 + 1 2) Tìm m để đồ thị hàm số y = (x – 1) (x2 + mx + m) cắt trục hòanh tại ba điểm phân biệt

3) Tìm m để đồ thị hàm số y = cắt trục hòanh tại ba điểm phân biệt.

4) Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 – 2(m + 1)x2 + 2m + 1 không cắt trục hòanh.

5) Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 – 2x2 – (m + 3) cắt trục hòanh tại 4 điểm phân biệt.

6) Tìm m để đường thẳng y = mx + 2m + 2 cắt đồ thị hàm số y =

a) Tại hai điểm phân biệt.

b) Tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị

7) Tìm m để đường thẳng y = mx + m + 3 cắt đồ thị hàm số y =

a) Tại hai điểm phân biệt

b) Tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị.

8) Tìm m để đường thẳng đi qua điểm A( -1 ; -1) và có hệ số góc là m cắt đồ thị hàm số

y =

a) Tại hai điểm phân biệt.

b) Tại hai điểm thuộc cùng một nhánh.

9) Chứng minh rằng (P) : y = x2 -3x – 1 tiếp xúc với (C) : 10) Tìm m sao cho (Cm) : y = tiếp xúc với đường thẳng y = -x + 7.

11) Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 – 3mx + m + 1 tiếp xúc với trục hòanh.

12) Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 – 2x2 + 1 tiếp xúc với đồ thị hàm

số y = mx2 – 3.

TIẾP TUYẾN

A.TÓM TẮT GIÁO KHOA

1) Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến của (C):

y = f(x) tại điểm M0(x0 ; y0)

y = y’(x0)(x – x0) + y0

2 Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến của

(C) : y = f(x) biết tiếp tuyến có hệ số góc k.

Gọi M0(x0 ; y0 ) là tọa độ tiếp điểm Phương trình

tiếp tuyến của (C) tại M0 là:

y = y’(x0)(x – x0) + y0

Giải phương trình y’(x0) = k tìm x0 và y0

3.Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến của (C) y

= f(x) , biết tiếp tuyến đi qua A(xA ; yA) Gọi là đường thẳng đi qua A có hệ số góc là k

b) Tại điểm có tung độ bằng -1

c) Song song với đường thẳng d1 : y = 9x – 5.

d) Vuông góc với đường thẳng d2 : x + 24y = 0.

2 Cho (C) : y = .Viết phương trình tiếp tuyến của (C):

a) Tại giao điểm của (C ) với trục Ox.

b) Song song với đường thẳng d1 : y = 4x – 5.

c) Vuông góc với đường thẳng d2: y = -x

d) Tại giao điểm của hai tiệm cận.

3.Cho (C ) : y = Viết phương trình tiếp tuyến của (C ):

a) Tại điểm có hòanh độ x = 2.

b) Song song với đường thẳng d : -3x + 4y + 1 = 0.

c) Vuông góc với tiệm cận xiên.

4 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C).

a) y = x3 – 3x + 2 đi qua điểm A(1 ; 0)

b) y = đi qua điểm A(0 ;

c) y = đi qua điểm A(-6 ; 5)

d) y = đi qua điểm A(2 ; 1).

Phần 2

HÀM LUỸ THỪA , HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT

CHỦ ĐỀ 2 : HÀM SỐ LŨY THỪA , HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ

LÔGARÍT

1/ Phương trình mũ- lôgarít cơ bản :

Dạng ax= b ( a> 0 , )

 b 0 : pt vô nghiệm

 b>0 :

Dạng ( a> 0 , )

 b>0 :

, khia>1

4/ 5/ 6/

7/ 8/ 9/

10/ 11/ log 12/ 13/ lnx + ln(x+1) = 0 14/ 3.25x + 2 49x = 5 35x 15/

8 / Giải các bất phương trình :

1/ 2/ 3/ 4 /

5/ 2 6/

Bài 1: LUỸ THỪA

Vấn đề 1: Tính Giá trị biểu thức

Bài 2: a) Cho a = và b = Tính A= (a +1)-1 + (b + 1) 1

-b) cho a = và b = Tính A= a + bBài 4: a) Biết 4-x + 4x = 23 Tính 2x + 2-x

b) Biết 9x + 9-x = 23 Tính A= 3 x + 3-xBài 5: Tính

Vấn đề 2: Đơn giản một biểu thức

Bài 6: Giản ước biểu thức sau

c) C = (a > 0) d) D = với a > 0e) E = với x > 0, y > 0

f ) F = với x = và a > 0 , b > 0 g) G = Với x = và a > 0 , b > 0

h)

i) I = j) J = với 0 < a  1, 3/2

Vấn đề 3: Chứng minh một đẳng thức

Bài 7 chứng minh : với 1 x  2

Bài 8 chứng minh :

Bài 9: chứng minh: với 0 < a < x

Bài 10 chứng minh:

Với x > 0 , y > 0, x  y , x  - yBài 11 Tìm x biết

a) 2x = 1024 b) (1/3)x = 27

Bài 2: HÀM SỐ LUỸ THỪA

Vấn đề 1: Tìm tập xác định của hàm số

Bài 12 tìm tập xác định của hàm số

Vấn đề 2: Tính đạo hàm của hàm số

Bài 13: Tính đạo hàm các hàm số

Bài 3: LOGARIT

Vấn đề 1: các phép tính cơ bản của logarit

Bài 15 Tính logarit của một số

A = log24 B= log1/44 C = D = log279

Vấn đề 2: Tìm cơ số X

Bai 17: Tìm cơ số X biết

Vấn đề 3: Rút gọn biểu thức

Bài 19: Rút gọn biểu thức

Vấn đề 4: Chứng minh đẳng thức logarit

Bai 20: Chứng minh ( giả sử các biểu thức sau đã cho có nghĩa)

c) cho x, y > 0 và x2 + 4y2 = 12xy

Chứng minh: lg(x+2y) – 2 lg2 = (lgx + lg y) / 2

Chứng minh: log ax Từ đó giải phương trình log3x.log9x = 2e) cho a, b > 0 và a2 + b2 = 7ab chứng minh:

Bài 4: HÀM SỐ MŨ HÀM SỐ

LOGARIT

Vấn đề 1: tìm tập xác định của hàm số

Bài 21: tìm tập xác định của các hàm số sau

a) y = b) y = log3(2 – x)2 c) y = d) y = log3|x – 2| e)y = f) y =

Vấn đề 2: Tìm đạo hàm các hàm số

Bài 22: tính đạo hàm của các hàm số mũ

a) y = x.ex b) y = x7.ex c) y = (x – 3)ex d) y = ex.sin3xe) y = (2x2 -3x – 4)ex f) y = sin(ex) g) y = cos( ) h) y = 44x – 1i) y = 32x + 5 e-x + j) y= 2xex -1 + 5x.sin2x k) y =

Bài 23 Tìm đạo hàm của các hàm số logarit

a) y = x.lnx b) y = x2lnx - c) ln( ) d) y = log3(x2- 1)e) y = ln2(2x – 1) f) y = x.sinx.lnx g) y = lnx.lgx – lna.loga(x2 + 2x + 3)

Vấn đề 3: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Bài 24: khảo sát và vẽ đồ thị hàm số mũ , logarit

a) y = 3x b) y = c) y = log4x d) y = log1/4x

Bài 5: PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG

TRÌNH LOGARIT

Vấn đề 1: Phương trình mũ

Dạng 1 Đưa về cùng cơ số

Bài 25 : Giải ác phương trình sau

d) e) 52x + 1 – 3 52x -1 = 110f) f) 2x + 2 x -1 + 2x – 2 = 3x – 3x – 1 + 3x - 2 g) (1,25)1 – x =

Dạng 2 đặt ẩn phụ

Bài 26 : Giải các phương trình

a) 22x + 5 + 22x + 3 = 12 b) 92x +4 - 4.32x + 5 + 27 = 0c) 52x + 4 – 110.5x + 1 – 75 = 0 d)

g)

Dạng 3 Logarit hóaï

Bài 27 Giải các phương trình

a) 2x - 2 = 3 b) 3x + 1 = 5x – 2 c) 3x – 3 = d) e) f) 52x + 1- 7x + 1 = 52x + 7x

Dạng 4 sử dụng tính đơn điệu

Bài 28: giải các phương trình

a) 3x + 4 x = 5x b) 3x – 12x = 4x c) 1 + 3x/2 = 2x

Vấn đề 2: Phương trình logarit

Dạng 1 Đưa về cùng cơ số

Bài 29: giải các phương trình

a) log4(x + 2) – log4(x -2) = 2 log46 b) lg(x + 1) – lg( 1 – x) = lg(2x + 3)c) log4x + log2x + 2log16x = 5 d) log4(x +3) – log4(x2 – 1) = 0

e) log3x = log9(4x + 5) + ½ f) log4x.log3x = log2x + log3x – 2g) log2(9x – 2+7) – 2 = log2( 3x – 2 + 1)

Dạng 2 đặt ẩn phụ

Bài 30: giải phương trình

c) logx + 17 + log9x7 = 0 d) log2x + e) log1/3x + 5/2 = logx3 f) 3logx16 – 4 log16x = 2log2x

Dạng 3 mũ hóa

Bài 31: giải các phương trình

a) 2 – x + 3log52 = log5(3x – 52 - x) b) log3(3x – 8) = 2 – x

Bài 6: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

a) 16x – 4 ≥ 8 b) c)

Bài 33: Giải các bất phương trình

a) 22x + 6 + 2x + 7 > 17 b) 52x – 3 – 2.5x -2 ≤ 3 c) d) 5.4x +2.25 x ≤ 7.10x e) 2 16x – 24x – 42x – 2 ≤ 15 f) 4x +1 -16x ≥ 2log48

g) 9.4-1/x + 5.6-1/x < 4.9-1/xBài 34: Giải các bất phương trình

a) 3x +1 > 5 b) (1/2) 2x - 3≤ 3 c) 5x – 3x+1 > 2(5x -1 - 3 x – 2)

Vấn đề 2: Bất Phương trình logarit

Bài 35: Giải các bất phương trình

a) log4(x + 7) > log4(1 – x) b) log2( x + 5) ≤ log2(3 – 2x) – 4c) log2( x2 – 4x – 5) < 4 d) log1/2(log3x) ≥ 0

e) 2log8( x- 2) – log8( x- 3) > 2/3 f) log2x(x2 -5x + 6) < 1g)

Bài 36: Giải các bất phương trình

a) log2 2 + log2x ≤ 0 b) log1/3x > logx3 – 5/2c) log2 x + log2x 8 ≤ 4 d)

Bài 37 Giải các bất phương trình

a) log3(x + 2) ≥ 2 – x b) log5(2x + 1) < 5 – 2xc) log2( 5 – x) > x + 1 d) log2(2x + 1) + log3(4x + 2) ≤ 2 PHẦN 3 TÍCH PHÂN

Hd : đặt x=sint (t Đợc đs là I=

7) (ĐS : 8) (ĐS: 3

Tích phân của một số hàm đặc biệt

A.Lý thuyết

CMR:

1) Nếu f(x) là hàm chẵn, liên tục trên [-a;a] thì

2) Nếu f(x) là hàm lẻ, liên tục trên [-a;a] thì

3) Nếu f(x) là hàm tuần hoàn với chu kì T, liên tục trên [0;T]; [a;a+T] thì

.4) Với a>0, f(x) là hàm chẵn, liên tục trên R, Với mọi số thực ta có :

.5) Nếu f(x) liên tục trên [0; thì

6) Nếu f(x) liên tục trên [ thì

4) (§S: 0)

5) (§S : Bµi 3 tÝnh

3) Miền (D) giới hạn bởi các đờng: x=f(y);x=0;y=a;y=b khi quay quanh trục

Oy nó tạo ra vật trể tròn xoay có thể tích : VOy=

B.Bài tập

Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng:

1) y= ;y=3 (ĐS: 8(đvdt))2) y= (ĐS: đvdt))3) x= ; x+y-2=0 ;y=0 (ĐS: đvdt))4) y=x2 ; y= (ĐS: 8ln3)

5) y=x2 ; y= (ĐS: 27ln3)6) y=x2 ; x=y2

7) y=ex ; y=e-x ;x=1

Bài 2 : Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra khi quay miền (D) giới hạn bởi các đờng:

1) y=4-x2 ; y=2+x2 quanh Ox (ĐS : 16

2) y=x2 ; x=y2 quanh Ox

3) y=2x-x2 ; y=x2-2x quanh Ox (ĐS :

4) y=-x2+4x ; trục Ox :

VÝ dô 1 H·y tÝnh c¸c tÝch ph©n sau:

Ta có:

Chú ý: Trong thực tế chúng ta có thể gặp dạng tích phân trên dạng tổng quát

hơn nh:

Nếu hàm số dới dấu tích phân có chứa căn dạng và

(trong trong đó a là hằng số dơng) mà không có cách biến đổi nàokhác thì nên đổi sang các hàm số lợng giác để làm mất căn thức, cụ thể là:

¸p dông c«ng thøc trªn ta cã qui t¾c c«ng thøc tÝch ph©n tõng phÇn sau:

 Bíc 1: ViÕt f(x)dx díi d¹ng b»ng c¸ch chän mét phÇn thÝch hîp cña f(x) lµm u(x) vµ phÇn cßn l¹i

Chú ý: Điều quan trọng khi sử dụng công thức tích phân từng phần là làm thế

nào để chọn u và thích hợp trong biểu thức dới dấu tích phânf(x)dx Nói chung nên chọn u là phần của f(x) mà khi lấy đạo hàm thì đơngiản, chọn là phần của f(x)dx là vi phân một hàm số đã biết hoặc

+)Ta có I=

Tích phân =

Tích phân tính đợc

 Nếu bậc của P(x) lớn hơn hoặc bằng bậc của Q(x) thì dùng phép chia đa thức

 Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x) thì có thể xét các trờng hợp:

2.2.Dạng 2: Đổi biến số để hữu tỉ hóa tích phân hàm lợng giác

hàm hữu tỉ theo sinx, cosx

Để tính nguyên hàm trên ta đổi biến số và đa về dạng tích phân hàm hữu tỉ

đó đa tích phân về dạng hữu tỉ theo biến t

+) Nếu là hàm số lẻ đối với sinx nghĩa là:

+) Nếu là hàm số lẻ đối với cosx nghĩa là:

3.Tích phân hàm vô tỉ

3.3Dạng 3: Biến đổi làm mất căn

Gồm: Đổi biến số t là toàn bộ căn thức

Viết biểu thức trong căn dới dạng bình phơng đúng

4.Tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối

Phơng pháp:Chúng ta phải phá dấu giá trị tuyệt đối

VÝ dô 16: TÝnh

Gi¶i: LËp b¶ng xÐt dÊu cña trªn ®o¹n

x -2 -1

1 2 + 0 -

2.Cho hàm số liên tục và chẵn trên đoạn Khi đó

4.Cho f(x) liên tục trên đoạn .Khi đó

*Nếu f(x) liên tục trên thì

*Nếu f(x) liên tục trên thì

( §H-KA-2006)

Cần nhớ :1/ Tam giác đều cạnh a có : Đường cao h = và diện tích S =

2/ Hình vuông cạnh a có : Đường chéo và diện tích

b/ Góc SAC bằng 450

c/ Góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 600 10/ a/Tính thể tích của khối lăng trụ tam giác ABC A’B’C’ có A’A, AB, BC vuông góc nhau từng đôi một và A’A= 2a, AB = a, BC= a

b/ Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’có đáy là tam giác đều cạnh a điểm A’ cách đều ba điểm A ,B ,C ,cạnh bên AA’ tạo với mặt phẳng đáy một góc 600 Tính thể tích của khối lăng trụ

c/ Cho khối lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’có tất cả các cạnh đều bằng a Tính thể tích của khối lăng trụ

11/ Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh

a , SA (ABC) , SA= a Tính thể tích của khối chóp đó

Bài tập

12/ Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón biết :

a/ Thiết diện qua trục của hình nón là tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a

b/ Đường sinh bằng a , góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy bằng 600

c/ Bán kính đáy r = 12 và góc ở đỉnh là 1200

13/ Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ biết

a/ Một hình trụ có bán kính đáy R và thiết diện qua trục là mộthình vuông

b/ Bán kính đáy a , chiều cao 2a

14/Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật , SA vuông gócABCD

 Hình nón có : Diện tích xung quanh - Thể tích

 Hình trụ có :Diện tích xung quanh - Thể tích

( l : đường sinh, r : bán kính đáy, h : đường cao )

 Mặt cầu có : Diện tích S = 4 R2 - Thể tích V =

a/ Xác định mặt cầu đi qua S , A ,B , C, D

b/ Tính diện tích của mặt cầu biết AB = a , AD = 2a , SA = 3a

15/ (Đại học khối A – 2006 )

Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O’ , bán kính đáybằng chiều cao và bằ.Trên

đường tròn đáy tâm O lấy điểm A , trên đường tròn đáy tâm O’ lấy điểm B sao cho AB = 2a

Tính thể tích khối tứ diện OO’AB

ChỦ ĐỀ 2: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG

GIAN

§ 1 HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

I.TOẠ ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ CỦA VÉC TƠ:

1 Hệ tọa độ :

Hệ ba trục Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một và có chung điểm gốc O gọi là hệ trục tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz ( hay hệ tọa độ Oxyz ).

@ là các vectơ đơn vị tương ứng trên các trục Ox, Oy,

Oz.

@ Ox: trục hoành, Oy: trục tung, Oz: trục cao.

@ O: gốc tọa độ.

2 Tọa độ của điểm:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz đã chọn, cho

điểm M bất kỳ Ttọa độ của điểm M

được ký hiệu là Ta có :