De Cuong On Thi tot nghiep khoi 12 mon toan

* Điều kiện lăng trụ phải là lăng trụ đứng, đáy có đường tròn ngoại tiếp - Dựng trục đường tròn ngoại tiếp đáy (đường thẳng nối tâm hai đáy) - Trung điểm của đoạn nối tâm hai đáy là tâm [r]

A - GIẢI TÍCH

CHUYÊN ĐỀ I

Khảo sát, vẽ đồ thị của hàm số.

Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm số.

1 Chiều biến thiên của hàm số.

Lý thuy ết : Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số y = f (x)

1 Tìm tập xác định

2 Tính đạo hàm y = f x  ( ) Giải phương trình f x  ( ) = 0 để

tìm các nghiệm xi (i =1,2 ,n).

3 Sắp xếp các nghiệm xi theo thứ tự tăng dần từ trái sang phải

và lập bảng biến thiên của hàm số.

4 Kết luận (hàm số đồng biến trên khoảng mà f x  ( ) > 0 và

ngược lại)

* Một số bài toán hay gặp khác như:

 Tìm điều kiện để hàm số đồng biến(hoặc nghịch biến trên môt ( a,b) ; [ a, b]

 Chứng minh hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên một ( a,b) ; [ a, b]

Bài t ập :

Câu 1: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau trên tập xác

định của chúng:

Câu 2 : Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y = x4−8 x2+2 .

Câu 3 : Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y = x3−3 x +1 .

Câu 4 : Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:

c, Hàm số y=x3− 6 x2+17 x +4 và hàm số y=x3+x − cos x − 4 đồng biến trên R.

d, Hàm số y=cos 2 x − 2 x +3 nghịch biến trên R.

e, Với giá trị nào của m thì hàm số y=mx− x3 nghịc biến R.

f, Với giá trị nào của m thì hàm số y=1

· Điều kiện cần để hàm số đạt cực đại (hoặc cực tiểu) tại x = x0 là f x  ( )0 = 0 Giải phương

trình này tìm được m.

· Thử lại (Điều kiện đủ).Với giá trị của m tìm được, ta tính f x( )0

- Nếu f x( )0 > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x = x0

- Nếu f x( )0 < 0 thì hàm số đạt cực đại tại x = x0

Căn cứ vào yêu cầu đề để chọn giá trị của m thỏa mãn. f x

· Kết luận.

(Còn có cách khác để thử lại đó là lập bảng biến thiên để kiểm tra xem hàm số đạt cực đại

hay cực tiểu tại x = x0)

D

ạng 2 : Chứng minh hàm số y = f (x,m) luôn có cực trị với mọi giá trị của tham số m.

Cách gi ải:

Chứng tỏ f x  ( ) = 0 luôn có nghiệm và đổi dấu khi x chạy qua các nghiệm đó.

- Với hàm số bậc ba, chứng tỏ f x  ( ) = 0 có 2 nghiệm;

- Với hàm số bậc bốn (trùng phương) cần theo yêu cầu đề để tìm m để f x  ( ) = 0 có 1

nghiệm, hoặc 3 nghiệm

e, y=x√4 − x2 g, y=x −sin 2 x +2 h, y=3 −2 cos x +cos 2 x

Câu 6 : a, Xác định các hệ số a,b,c sao cho hàm số : f ( x )=x3+ax2

+bx +c đạt cực trị bằng o tại điểm x=-2 và đồ thị của hàm số đi qua điểm A(1;0)

b, Chứng minh rằng với mọi giá trị của m hàm số: y=x3− mx2−2 x+1 luôn có cực đại, cực tiểu.

Giải phương trình f x  ( ) = 0 và tìm các nghiệm x0 thuộc đoạn [a;b] (các nghiệm nằm

ngoài đoạn này không lấy )

· Tính f(a) , f(b) , f(x0)

· So sánh các số trên và kết luận.

* Nếu tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = f (x) liên tục trên khoảng(a;b).

· Tính đạo hàm y = f x  ( )

Giải phương trình f x  ( ) = 0 và tìm các điểm tới hạn trong khoảng ( a, b )

· Tính giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn

Lập bảng biến thiên,căn cứ vào bảng biến thiên rút ra GTLN, GTNN

Câu 2 : Tìm GTLN, GTNN của hàm số f (x) = x + √2 cos x trên đoạn [0; π2 ]

Câu 3 : Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = x4 - 2 x2 +1 trên đoạn [0;2].

Câu 4 :Tìm GTLN, GTNN của hàm số y= 2 x −1

x −3 trên đoạn [-1; 4].

Câu 5 : Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = -2 x4 + 4 x2 + 3 trên đoạn [0;6].

Câu 6: Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = 2 x3 - 6 x2 +1 trên đoạn [-1;1].

Câu 7 : Tìm GTLN, GTNN của hàm số y=√x − 1

Câu 8 : Tìm GTLN, GTNN của hàm số y=4+√4 − x2

Câu 9: Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = x – sin2x trên đoạn [ − π

2; π ]

Câu 10 : Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = 2 sin2x+2 sin x − 1

4 Ti ếp tuyến, tiệm cận của đồ thị h àm s ố

Vậy để viết được PT tiếp tuyến tại M x y ( , )0 0 chúng ta cần đủ ba yếu tố sau:

- Hoành độ tiếp điểm: x0

- Tung độ tiếp điểm: y0(nếu đề chưa cho ta tính bằng cách thayx0 vào hàm số y0 = f(x0)

- Tiếp tuyến song song với đường thẳng (d ) : y = ax + b

- Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d ) : y = ax + b

- Tiếp tuyến tạo với truc Ox góc o

Tính hệ số góc của tiếp tuyến k (theo các dấu hiệu trên)

· Gọi M x y ( , )0 0 là tọa độ tiếp điểm

· Hệ số góc của t/tuyến k = f x  ( )0

Giải phương trình trên tìm hoành độ tiếp điểmx0, quay về dạng 1

Bài Tập:

Câu1: Viết p/trình tiếp tuyến với độ thị hàm số y= x − 1

x +1

a) Tại điểm có hoành độ bằng 2

b) Tại điểm có tung độ bằng 3.

Câu 2: Viết p/trình t/tuyến với đồ thị hàm số y= 2 x

x − 1 biết:

a) Hệ số góc của t/tuyến bằng -2

b) T/tuyến song song với đường thẳng (d ) : y = - 12 x

c) T/tuyến vuông góc với đường thẳng (D) : y = 92 x +1

Câu 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= 2 x +3

x+1 tại điểm thuộc đồ thị có hoành độ x0 = -3.

Câu 4: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số y = x3−3 x2+2 tại điểm A(2;4).

Câu 5 Cho hàm số y= x − 1

x +2 gọi đồ thị của hàm số là (C) Viết phương trình tiếp tuyến với

đồ thị (C) tại giao điểm của (C) và trục tung

Bảng biến thiên (điền đầy đủ các thông tin, chú ý giá trị các giới hạn đã tính)

· Dựa vào bảng biến thiên suy ra: - Các khoảng đơn điệu (ĐB, NB) của hàm số;

- Cực trị của hàm số (nếu có).

· Vẽ đồ thị:

- Xác định giao điểm với trục hoành: Cho y = 0 , tìm x.

- Xác định giao điểm với trục tung: Cho x = 0 , tìm y.

- Chon thêm một số điểm đặc biệt (Chú ý đến tính đ/xứng của đồ thị: Hàm bậc ba đ/x qua tâm

là trung điểm hai cực trị; hàm bậc bốn (trùng phương) đ/x qua trục tung; hàm hữu tỷ đ/x qua

giao của hai tiệm cận)

6 Tương giao giữa hai đồ thị.

.Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng y = g(m)

D

ạng 2 : Chứng tỏ đường thẳng (d ) : y = ax + b cắt đồ thị hàm số y = f(x) tại hai điểm phân

biệt, hoặc không cắt.

Lập phương trình hoành độ giao điểm f(x) = ax + b (*)

Số nghiệm của phương trình (*) lá số giao điểm của (d ) đồ thị của hàm số y = f(x)

Bài Tập:

Câu 1 :Cho hàm số y=2 x3− 3 x2− 1

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.

2) Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình 2 x3−3 x2−1 = m

Câu 2 :Cho hàm số y=x3− 3 x2+1 .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.

2) Tìm m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt x3−3 x2 -m = 0

Câu 3 :

1 Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = − x3+3 x2

2 Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình − x3+3 x2 -m = 0

3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành.

Câu 4: Tìm m để đồ thị ( C m ) của hàm số y = x3 + (m + 3) x2 +1- m cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x = -2

Câu 5: Cho hàm số yx33x21 có đồ thị (C)

a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).

b, Dùng đồ thị (C), xác định k để phương trình sau có đúng 3 nghiệm phân biệt x3 3x2 k 0.

Câu 6: Cho hàm số

2 1 1





 x x

y

có đồ thị (C) a.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).

b.Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) đi qua điểm M(1;8)

Câu 7: Cho hàm số yx3 3x1 có đồ thị (C)

a.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).

b.Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) đi qua điểm M(

14

9 ;  1)

Câu 8: Cho hàm số

3 2





x x

y

có đồ thị (C) a.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).

b.Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng (d) : y = mx + 1 cắt đồ thị của hàm số

đã cho tại hai điểm phân biệt

Câu 9: Cho hàm số yx3 3x2 4 có đồ thị (C)

a.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).

b.Cho họ đường thẳng (d m) :y mx  2m 16 với m là tham số Chứng minh rằng (d m) luôn cắt đồ thị (C) tại một điểm cố định I

Câu 10: Cho hàm số

2 1





x x

y

có đồ thị (C) a.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)

b.Chứng minh rằng đường thẳng (d) : y = mx  4 2m luôn đi qua một điểm cố định của đường cong (C) khi m thay đổi .

Câu 12: Cho hàm số y ¿2 x4− 4 x2

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

2 Tìm m để phương trình x2|(x2−2)| = m có 6 nghiệm thực phân biệt

Dạng 3 : logarit hoá hai vế : a f (x)

- Hàm số đồng biến khi a > 1 , nghịch biến khi 0 < a < 1

- Một số công thức biến đổi (SGK giải tích 12)

+ Phương pháp mũ hoá hai vế

b, Bất phương trình logarit:

- Phương pháp giải tương tự giải phương trình logarit

Chú ý :

loga f (x)>log a g(x ) ⇔

¿0<a<1 0<f (x )<g (x)

5/ log2x+log4x+log8x=11 6/ log2(x +1)(x − 4)=log22+log2(4 − x)

7/ log4(x+3)− log4(x −1)=2− log48 8/ log3x¿2+log3x3=4

)=− 3 14/ log2(x2+3 x+2)+log2(x2+7 x+ 12)=3+ log23

15/ log3(2 − x )− log3(2+x)− log3x +1=0 16/ log√10+x −1=log 3 −1

K/h : ∫f (x)dx=F (x)+C là họ nguyên hàm của f(x) trên K.

2, Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp:

7/ f (x)=sin x +cos (x+1)+3 8/ f (x)=x sin2x 9/ f (x)=x cos2x

10/ f (x)=(2 x+1)cos(3 x − 2) 11/ f (x)=e x cos x +3 12/ f (x)=ln2x



dx x

a, Hàm số y=f(x) liên tục không âm trên đoạn [a ;b] Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

y=f (x ) trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b quay quanh trục hoành tạo nên một khối tròn xoay có

g2(x )dx|

B, Bài Tập :

Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

1, y=x −1 , y =0 , x=0 , x=3 2, y=x3− 4 x , y=0 , x=−1 , x=3

5, y=x2+3 x − 4 , y=0 , x=− 2 , x=5 6, y=e 2 x +1 , y=0 , x=0 , x=1

7, y=xe x2+1, y =0 , x =0 , x =2 8, y=ln x , y=0 , x=1

e2, x=e

9, y=sin2x cos2x , y=0 , x=0 , x=2 10, y=x2ln x , y=0 , x=1 , x=e

Bài 2:Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

1, y=x2− x , y=4 − 4 x , x=0 , x=3 2, y=− x2− x , x + y +2=0

3, y=x2+x −5 , y =− x2+3 x +7 4, y=(x −1)(x +2)(x −3), y=0

5, y=e x , y=1 , x=2 6, y=sin x , y =cos x , x=0 , x=π

7 (C) : y=x3+3 x2−6 x +2 và tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = 1

8, (C): y=x2− 2 x +2 và tiếp tuyến của (C) đi qua A(32,− 1)

Bài 3: Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng D được giới hạn bởi các đường sau khi quay xung quanh trụcOx:

1, y=3 x − x2, y=0 2, y=sin x , y =0 , x=0 , x= π

d, Tính thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành do hình phẳng D giới hạn

y=xe x , x=1 , y=0 (0 ≤ x ≤1) khi ta quay D quanh Ox.

(a + bi) – (c + di) = (a - c) + (b - d)i

Bài 1: Tìm phần thực, phần ảo của các số phức sau:

a, (4 - i) + (2 + 3i) – (5 +i) b, 1 −i¿2

a, |z +z+3| = 4 b, |z − z+1−i|=2 c, 2|z −i|=|z − z+2i|

Bài 5 : Tìm số phức z thoả mãn : (z −i z +i)4=1

Bài 8 : Giải các phương trình sau trong C :

Bài 10 : Thực hiện các phép tính sau:

a, (-3 + 7i)(5 - i) b, 5i( 4+ 8i) ❑2 c, (3 + 2i)(i - 1)(-5 + 4i)

6 Cho khối hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’ có thể tích V Tính thể tích khối tứ diện C’ABC theo V

7 Cho hình chop S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tậi B, cạnh bên SA (ABC), biết AB = a,

b, Gọi I là trung điểm của cạnh SC, tính độ dài của cạnh BI theo a.

8 Cho hình chop S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a √3 và vuông góc với đáy

a Tính thể tích khối chop S.ABCD

b Chứng minh trung điểm I của cạnh SC là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chop S.ABCD

9 Cho hình chop S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA = a √2 và vuông góc với đáy góc giữa SC và đáy là 45 ❑0 Tính thể tích của khối chóp

10 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’D’ có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên bằng a √3 và hình chiếucủa A’ lên mp (ABC) trùng với trung điểm của BC Tính thể tích của khối lăng trụ đó

11 Cho tứ diện S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA = a ; AB = AC = b, ABC = 60 ❑0 Xác định tâm và bán kính hình cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC

12 Một hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông, diện tích xung quanh là 4 π

a Tính diện tích toàn phần của hình trụ

15 Trong không gian cho tam giác SOM vuông tại O, MSO = 30 ❑0 , OM = 3 Quay đường gấp khúc SMO quanh trục SO tạo ra hình nón

a Tính diện tích xung quanh của hình nón

17 Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh đều bằng a và ba góc ở đỉnh A đều bằng 60

❑0 Tính thể tích của khối hộp đó theo a

18 Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có dấy ABC là tam giác đều cạnh a, điểm A’ cách đều ba điểm A,

B, C, cạnh bên AA’ tạo với mặt đáy một góc 60 ❑0

a Tính thể tích của khối lăng trụ đó

b CMR: mặt bên BCC’B’ là một hình chữ nhật

c Tính tổng diện tích các mặt bên của lăng trụ ( Gọi là diện tích xung quanh)

19 Đáy của khối chóp là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a Mặt bên qua cạnh huyềnvuông góc với đáy, mỗi mặt bên tạo với đáy một góc 45 ❑0

a CMR chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh huyền

b Tính thể tích khối chop

20 Cho khối chop tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên với đáy bằng 60 ❑0

a Tính thể tích khối chop

b Tính góc đo mặt bên tạo với đáy

c Xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp khối chop và tính bán kính của mặt cầu đó

CHỦ ĐỀ II MẶT TRÒN XOAY VẤN ĐỀ 17: MẶT CẦU, KHỐI CẦU

1 Định nghĩa : Mặt cầu (S) có tâm O bán kính R kí hiệu: S(O;R)

2 Vị trí tương đối của mặt cầu và mặt phẳng

Cho mặt cầu S(O;R) và mặt phẳng (P) Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên (P) Khoảng cách từ O đến (P) là độ dài đoạn OH Ta có:

a OH > R ⇔( P) ∩ S (O; R )=φ b OH = R ⇔( P) ∩ S (O; R )={H}

c OH < R ⇔(P)∩ S(O; R)=C(H ;r)

- H gọi là tiếp điểm ; r = √R2− d2 ; (P) gội là tiếp diện

3 Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng

S(O;R) = {M /OM=R }

Cho mặt cầu S(O;R) và đường thẳng d Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên d.

Khoảng cách từ O đến d là độ dài đoạn OH Ta có:

a OH > R ⇔d ∩ S (O; R )=φ b OH = R ⇔d ∩ S (O; R )={H} c OH < R

⇔d ∩ S(O; R)=C{A;B}

- H gọi là tiếp điểm - d gọi là cát tuyến

- d gọi là tiếp tuyến - AB gọi là dây cung

4 Tính chất tiếp tuyến của mặt cầu

Từ điểm A ngoài S(O;R) có vô số tiếp tuyến với mặt cầu

a Độ dài các đoạn nối A với tiếp tuyến bằng nhau

b Tập hợp các tiếp điểm là một đường tròn nằm trên S(O;R)

Dạng 1: Xác định tâm và bán kính mặt cầu bằng định nghĩa

- Tập hợp những điểm M cách đều một điểm O cố định là một mặt cầu tam O, bán kính OM

- Các điểm cùng nhìn đoạn AB cố định dưới một góc vuông là mặt cầu tâm là trung điểm

O của AB, bán kính R = AB

- Tập hợp những điểm M sao cho tổng bình phương các khoảng cách từ M tới hai điểm A,

B cố định bằng hằng số k ❑2 là mặt cầu, tâm là trung điểm O của AB, bán kính R =1

2√2 k2− AB2

Bài tập áp dụng:

1 Chứng minh tám đỉnh của hình hộp chữ nhật cùng nằm trên một mặt cầu

2 Cho tam giác ABC vuông tại B, DA vuông góc với mặt phẳng (ABC)

a Xác định mặt cầu qua bốn đỉnh A, B, C, D

b Cho AB = 3a, BC = 4a, AD = 5a Tính bán kính mặt cầu trong câu a

3 Cho hình chop S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác đều có SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD

SA = AB = a

a Xác định tâm và bán kính mặt cầu qua năm điểm S, A, B, C

b Tính diện tích mặt cầu

Dạng 2: Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chop, hình lăng trụ

a Cách xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hnhf chop (hình chop nội tiếp mặt cầu)

* Điều kiện hình chop đáy có đường tròn ngoại tiếp

- Dựng trục đường tròn ngoại tiếp đáy

- Dựng mặt phẳng trung trực của một cạnh bên

- Xác định trung điểm của trục đường tròn ngoại tiếp đáy với mặt phẳng trung trực vừa dựng

b Cách xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ (hình lăng trụ nội tiếp mặt cầu)

* Điều kiện lăng trụ phải là lăng trụ đứng, đáy có đường tròn ngoại tiếp

- Dựng trục đường tròn ngoại tiếp đáy (đường thẳng nối tâm hai đáy)

- Trung điểm của đoạn nối tâm hai đáy là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ

Bài tập áp dụng:

1 Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc, OA = a, OB = b, OC = c Xác định tâm

và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC

2 Cho hình chop đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a góc giữa cạnh bên và mặt đáy là ϕ Tính bán

kính mặt cầu ngoại tiếp hình chop

3 Cho hình tứ diện đều ABCD cạnh a Gọi B’, C’, D’ là trung điểm của các cạnh AB, AC, AD Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chop cụt B’C’D’.BCD

4 Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a

Dạng 3: Sự tương giao giữa mặt cầu và mặt phẳng, đường thẳng.

a) Cho mặt cầu S(O;R) và mặt phẳng (P) Gọi H là hình chiếu của O lên (P)

a OH > R ⇔( P) ∩ S (O; R )=φ