Y tập và các vấn đề liên quan

Lời mở đầuTrong vài năm gần đây nhiều nhà tôpô học đã nghiên cứu về tôpô  - là tôpô sinh bởi các tập tiền mở, đặc biệt là không gian tôpô X,, không gian không liên thông cực trị và

Môc lôc

Trang

Lời mở đầu

Trong vài năm gần đây nhiều nhà tôpô học đã nghiên cứu về tôpô

 - là tôpô sinh bởi các tập tiền mở, đặc biệt là không gian tôpô (X,), không gian không liên thông cực trị và các tiên đề tách và cho

ta các kết quả thú vị

Trong khuôn khổ khoá luận này chúng tôi quan tâm nghiên cứu về hai nội dung chính đó là tập tiền mở và  - tập, không gian không liên thông cực trị và các tiên đề tách Tìm hiểu và đ a ra mối quan hệ giữa chúng Với mục đích đó khoá luận đợc trình bày theo hai chơng nh sau

Tiết 2 của phần này chúng tôi giới thiệu khái niệm  - tập và không gian tôpô (X, )

Chơng II Không gian không liên thông cực trị và các tiên đề tách Trong chơng này chúng tôi giới thiệu khái niệm không gian không liên thông cực trị và khái niệm nửa TD - không gian và các tiên đề tách

Nhân dịp này cho phép tôi gửi lời cảm ơn sâu sắc tới PGS.TS Trần Văn Ân, ngời đã trực tiếp hớng dẫn tôi hoàn thành khoá luận này Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán - Trờng Đại học Vinh đã quan tâm giúp đỡ tôi trong quá trình học tập, làm việc tại trờng

Mặc dù đã rất cố gắng nhng do thời gian và những hạn chế về năng lực nên khoá luận sẽ không tránh khỏi những thiếu sót Vì vậy tác giả rất mong nhận đợc những ý kiến góp ý của quý thầy cô và các bạn

Vinh, tháng 4 năm 2007

T¸c gi¶

Kết luận

Sau gần một năm tìm đọc tài liệu và nghiên cứu đề tài dới sự hớng dẫn tận tình và nghiêm khắc của PGS.TS Trần Văn Ân

chúng tôi đã thu đợc một số kết quả sau

1) Giới thiệu lại một số vấn đề cơ bản của tôpô đại cơng, một số khái niệm cần thiết từ đó chứng minh chi tiết và làm sáng tỏ một số kết quả đợc đa ra trong [3], [9], [11]

2) Chứng minh định lý 2.4, định lý 2.5, định lý 2.10, định lý 3.11

Tài liệu tham khảo

[1] J Kelley, Tôpô đại cơng, Nhà xuất bản đại học và trung học chuyên

nghiệp, Hà Nội 1973

[2] D Andrijevic, Some properties of the topology of -sets , Mat

Vesnik, 36 (1984), 1-10

[3] D Andrijevic, Semi-preopen sets, Mat Vesnik, 38 (1986), 24-32.

[4] D Andrijevic, On the topology generated by preopen sets, Mat

T -spaces, Kyungpook Math J., 17 (2) (1977), 161-169.

[7] D S Jankovic, A note on mappings of extremally disconnected spaces, Acta Math Hungar., 46 (1-2) (1985), 83-92.

[8] D S Jankovic, I L Reilly, On semi-separation properties, Indian J

Math., 16 (1985), 957-964

[9] A S Mashhour, M E Abd El-Monsef and S N El-Deeb, On precontinuous and weak precontinuous mappings , Proc Math and

Phys Soc Egypt, 51 (1981)

[10] O Njồstad, On some classes of nearly open sets, Pacific J Math,

15 (1965), 961-970

[11] I L Reilly, M.K Vamanamurthy, On -continuity in topological spaces, Acta Math Hungar., 45 (1-2) (1985), 27-32.

CH ƯƠ NG I T P tiền M Và Ậ Ở γ – T P Ậ

§1 C¸C T P TI N M , TI N ãNG Ậ Ề Ở Ề Đ

1.1 Đị nh ngh a ĩ Cho t p X ≠ậ ø H ọ τ c¸c t p con c a X ậ ủ được g i lọ à

m t ộ t«p« trªn X n u nã th a m·nế ỏ

i) ø∈ τ, X∈ τ; ii) Víi mäi A,B ∈τ th× A ∩B ∈ τ ;

i) H p tùy ý các t p ti n m trong X l t p ti n m ợ ậ ề ở à ậ ề ở

ii) Giao hai t p ti n m trong X ch a h n l tập tiền mở ậ ề ở ư ẳ à

Chứng minh i) Giả sử {Ai,i ∈ I} l các tập tiền mở trong X Khi đó, theoà

định nghĩa ta có Ai ⊂ int(clAi), mọi i ∈ I Do đó

∪{Ai, i ∈ I} ⊂ ∪{int(clAi ), i ∈ I}.

M int(clAà i) ⊂ clAi nên int(clAi) ⊂ ∪{clAi, i ∈ I}, mọi i ∈ I kéo theo

∪{int(clAi), i ∈ I} ⊂ ∪{clAi, i ∈ I}, m à ∪{int(clAi), i ∈ I} l tập mở nênà

∪{int(clAi), i ∈ I} ⊂ int(∪{clAi,i∈I})⊂ int(cl (∪{Ai, i∈I })).

Mặt khác từ Ai ⊂ int(clAi) kéo theo ∪{Ai,i∈I } ⊂ ∪{int(clAi), i∈I } Do

đó ∪{Ai, i∈I } ⊂ int(cl (∪{Ai,i∈I }))

Vậy ∪{Ai, i∈I } ⊂ PO(X)

ii) Cho X={a,b,c} Trên X trang bị tôpô τ = { ứ,{a,b},X} Ta có

{a,c} ⊂ int(cl{a,c})=intX=X, do đó {a,c} l tập tiền mở à {b,c}⊂ int(cl{b,c})=intX=X, do đó {b,c} l tập tiền mở à

Tuy nhiên {a,c}∩ {b,c}={c} không l tập tiền mở, vì à

{c}⊄ int(cl{c})=int{c}= ứ

1.7 Định nghĩa Giả sử X l không gian tôpô v A à à ⊂ X

Hợp của họ tất cả các tập nửa mở của X chứa trong A đợc gọi là nửa phần trong của A và ký hiệu là sintA.

Giao của họ tất cả các tập nửa đóng của X chứa A đợc gọi là nửa bao đóng

của A và ký hiệu là sclA

Hợp của họ tất cả các tập tiền mở của X chứa trong A đợc gọi là tiền phần trong của A và ký hiệu là pintA.

Giao của họ tất cả các tập tiền đóng của X chứa A đợc gọi là tiền bao đóng

của A và ký hiệu là pclA

1.8 Định nghĩa Tập con A của không gian tôpô (X, τ) đợc gọi là α

tập

– nếu A ⊂ int(cl(intA))

1.9 Bổ đề ([10]) Các α tập trong X lập th nh một tôpô trên X, ký hiệu– à

là τα Tôpô n y mịn hơn tôpô à τ

Ký hiệu bao đóng (phần trong) của tập A trong tôpô τα l à (tà ơng ứng ).Å

1.10 Định lý ([9]) Nếu U l tập con mở v A l tập con tiền mở trong à à à không gian tôpô X thì A ∩ U l tập tiền mở à

1.11 Định lý ([2]) Các không gian tôpô (X, τ) v (X, à τα) có chung lớp các tập con tiền mở.

1.12 Định lý Giả sử A l tập con của không gian tôpô X Khi à

đó A l tập tiền đóng khi v chỉ khi cl(intA) à à ⊂ A.

Chứng minh Giả sử A l tập tiền đóng Khi đó X\A l tập tiền mở kéo theoà àX\A ⊂ int(cl(X\A)) kéo theo A ⊃ X\int(cl(X\A))

Mặt khác ta luôn có int(cl(X\A)) = X\(cl(X\cl(X\A))) Kéo theo X\int(cl(X\A)) = cl(X\cl(X\A)) = cl(intA) Do đó cl(intA) ⊂ A

Ngợc lại, giả sử A l tập con của không gian tôpô X và cl(intA) à ⊂ A thì X\A ⊂ X\cl(intA) = X\cl(X\cl(X\A)) = int(cl(X\A)) Do đó X\A l tập tiền mở.àVậy A l tập tiền đóng.à

1.13 Định lý Giả sử (X, τ) l không gian tôpô Khi đó à

τα = SO(X) ∩ PO(X).

Chứng minh Lấy bất kì A ∈ τα ta có A ⊂ int(cl(intA)) ⊂ cl(intA).Suy ra A

∈SO(X)

Từ intA ⊂ A kéo theo cl(intA) ⊂ clA kéo theo int(cl(intA))⊂ int(clA) Do

đó A ⊂ int(clA) hay A ∈PO(X)

Do đó A ∈SO(X) ∩PO(X)

Vậy τα⊂ SO(X) ∩PO(X).

Ngợc lại, với A bất kì thuộc SO(X)∩PO(X) ta có A∈SO(X) v A à ∈PO(X)

Từ A ∈SO(X) kéo theo A ⊂ cl(intA) kéo theo clA ⊂ cl(intA).Suy ra int(clA) ⊂ int(cl(intA)).

Từ A∈PO(X) kéo theo A⊂ int(clA) Do đó A⊂ int(cl(intA)) kéo theo A∈

τα Vì thế SO(X) ∩PO(X) ⊂ τα.

Vậy τα= SO(X) ∩PO(X)

1.14 Định lý ([3]) Giả sử A l tập con của không gian tôpô X Khi đó à

1.15 Định nghĩa Giả sử A l tập con của không gian tôpô X.à

A đợc gọi l trù mật trong X nếu clA = X.à

A đợc gọi là không đâu trù mật trong X nếu int(clA) =ứ

1.16 Định lý ([10]) Giả sử (X, τ) l không gian tôpô Khi đó à τ = τα khi

v chỉ khi tất cả các tập không đâu trù mật là đóng à

1.17 Bổ đề ([3]) a) Với mỗi tập mở G trong không gian tôpô X và mỗi A⊂ X

ta có clA ∩G ⊂ cl(A ∩G).

b) Với mỗi tập đóng F trong không gian tôpô X và mỗi A ⊂ X ta có int (A∪ F)

⊂ int A F.∪

1.18 Định lý Giả sử A l tập con của không gian tôpô X Khi đó à

a) pint(clA) = int(clA) = int(sclA)

b) pcl(intA) = cl(intA) = cl(sintA)

c) int(pclA) = int(cl(intA)) = scl(intA)

d) cl(pintA) = cl(int(clA)) = sint(clA)

Chứng minh a) Áp dụng Định lý 1.14 f) ta có

pint(clA) = clA ∩ int(cl(clA)) = clA ∩int(clA) = int(clA)

Từ Định lý 1.14 c) suy ra int(clA) ⊂ sclA kéo theo int(clA) ⊂ int(sclA)

Mặt khác áp dụng Định lý 1.14 c) ta có

int(sclA) = int(A ∪ int(clA)) ⊂ int(A ∪ clA) = int(clA)

Do đó int(clA) = int(sclA)

Vậy pint(clA) = int(clA) = int(sclA)

b) Áp dụng Định lý 1.14 e) ta có pcl(intA) = intA ∪ cl(int(intA)) =

intA ∪ cl(intA) = cl(intA) Từ Định lý 1.14 d) suy ra intA ⊂ sintA kéo theo cl(intA) ⊂ cl(sintA)

Mặt khác áp dụng Định lý 1.14 d) ta có

cl(sintA) = cl(A∩cl(intA)) ⊂ clA ∩ cl(cl(intA)) = clA ∩ cl(intA) = cl(intA)

Do đó cl(intA) = cl(sintA)

Vậy pcl(intA) = cl(intA) = cl(sintA)

c) Từ Định lý 1.14 c) suy ra scl(intA) = intA∪ int(cl(intA)) = int(cl(intA))

Từ Định lý 1.14 e) suy ra cl(intA) ⊂ pclA kéo theo int(cl(intA)) ⊂ int(pclA)

Nhờ Bổ đề 1.17 ta có int(pclA) = int(A cl(intA)) ∪ ⊂ intA cl(intA) ∪ ⊂ cl(intA)

Suy ra int(pclA) ⊂ int(cl(intA)) Vì vậy int(pclA) = int(cl(intA))

Vậy int(pclA) = int(cl(intA)) = scl(intA)

d) Từ Định lý 1.14 d) suy ra sint(clA) = clA ∩ cl(int(clA)) = cl(int(clA))

Từ Định lý 1.14 f) suy ra pintA ⊂ int(clA) Do đó cl(pintA) ⊂ cl(int(clA)) Mặt khác cũng từ Định lý 1.14 f) ta có pintA=A int(clA) Vì thế nhờ Bổ đề 1.17∩

ta có cl(pintA) clA int(clA) = int(clA) Suy ra cl(pintA) cl(int(clA)) Vì⊃ ∩ ⊃vậy cl(pintA) = cl(int(clA))

Vậy cl(pintA) = cl(int(clA)) = sint(clA)

1.19 Định lý Giả sử A l tập con của không gian tôpô X Khi đó à

a) scl(pintA) = int(clA)

b) pcl(sintA) = cl(intA)

Chứng minh a) Áp dụng Định lý 1.14 v Định lý 1.18 d) ta cóà

scl(pintA) = pintA ∪ int(cl(pintA)) = pintA ∪ int(cl(int(clA)))

= (A ∩ int(clA)) ∪int(clA) = int(clA)

b) Áp dụng Định lý 1.14 ta có

pcl(sintA) = sintA ∪ cl(int(sintA)) = (A ∩ cl(intA)) ∪ cl(intA) = cl(intA)

1.20 Định lý Giả sử A l tập con của không gian tôpô X Khi đó pcl(sclA) = à Ã Chứng minh Áp dụng Định lý 1.14 v Định lý 1.18 a) ta cóà

pcl(sclA) = sclA∪ cl(int(sclA))=A∪ int(clA) ∪cl(int(clA)) = A∪ cl(int(clA)) = Ã

Đ2 KHôNG GIAN TôPô (X, τγ)

2.1 Định nghĩa Tập con A của không gian tôpô (X, τ) đợc gọi là γ–tập nếu

A ∩ B ∈PO(X) với mọi tập tiền mở B Họ tất cả các –tập trong X đγ ợc ký hiệu

là τγ.

Nhận xét Từ Định lý 1.10 ta suy ra τ ⊂ τγ

2.2 Định lý τγl một tôpô trên X thỏa mãn à τα⊂ τγ.

Chứng minh Hiển nhiên ứ∈ τγ v Xà ∈ τγ Giả sử {As, s∈ S} ⊂ τγ thì As

∩ B ∈ PO(X) với mọi B∈ PO(X) v mọi sà ∈ S Do đó từ Nhận xét 1.6 i) suy ra (∪As)∩ B = ∪(As∩B)∈ PO(X) với mọi B∈ PO(X) hay ∪As ∈ τγ.

Giả sử C, D ∈ τγthì (C ∩ D) B ∩ = C∩ (D∩B) ∈ PO(X) với mọi B∈ PO(X) hay C ∩ D ∈ τγ.

Vậy τγ l tôpô trên X.à

Giả sử A ∈ τα Suy ra A mở trong không gian tôpô (X, τα) Nhờ Định lý 1.10 và Định lý 1.11 suy ra A∩B∈ PO(X) với mọi B∈ PO(X) Do đó A∈ τγ

Vậy τα⊂τγ.

2.3 Định nghĩa Giả sử A l tập con của không gian tôpô (X,à τ) Ký hiệu

clγA v intà γA l bao đóng của A v phần trong của A trong không gian tôpôà à(X,τγ)

2.4 Định lý Với mọi tôpô τ trên X ta có τγ ⊂ PO(X, τ).

Chứng minh Giả sử A∈ τγ.Khi đó A mở trong τγ Suy ra intγA = A Mà intγA⊂ A⊂ clA nên A ⊂ int(clA) Do đó A∈ PO(X, τ).

Ngợc lại, giả sử A l tập con của không gian tôpô (X,à τ) v Aà ∪B l tậpàtiền đóng với mọi tập tiền đóng B suy ra X\ (A∪B) = X\A ∩ X\B l tập tiền mởàvới mọi tập tiền mở X\B

Áp dụng Định lý 1.10 ta thu đợc X\A l mở hay A đóng.à

2.6 Định lý Giả sử A l tập con của không gian tôpô X Khi đó à

a) intγ(clA) = int(clA)

b) clγ(intA) = cl(intA)

Chứng minh a) Từ τ ⊂ τγ ta có int(clA)⊂ intγ(clA) Mặt khác, áp dụng

Định lý 2.4 v Định lý 1.18 a) ta có intà γ(clA)⊂ pint(clA) = int(clA)

Vậy intγ(clA) = int(clA).

b) Từ τ ⊂ τγ ta có clγ(intA)⊂ cl(intA) Mặt khác áp dụng Định lý 2.4 và

Định lý 1.18 b) ta có cl(intA) = pcl(intA)⊂ clγ(intA)

2.7 Định lý Giả sử A l tập con của không gian tôpô X Khi đó à

a) int(cl(intA))⊂ intγ(clγA)⊂ int(clA)

b) cl(intA)⊂ clγ(intγA)⊂ cl(int(clA))

Chứng minh a) Từ τ ⊂ τγ ⊂ PO(X) v áp dụng Định lý 1.18 c) ta cóà

int(cl(intA)) = int(pclA)⊂ intγ(clγA)

Từ τ ⊂ τγ ta có clγA⊂ clA v áp dụng Định lý 2.6 a) ta cóà

intγ(clγA)⊂ intγ(clA) = int(clA)

Vậy int(cl(int A)) ⊂ intγ(clγA)⊂ int(clA)

b) Từ τ ⊂ τγ v áp dụng Định lý 2.6 b) ta có à

cl(intA) = clγ(intA)⊂ clγ(intγA)

M intà γA⊂ A⊂ clA kéo theo intγA⊂ int(clA) Suy ra

clγ(intγA) ⊂ clγ(int(clA))⊂ cl(int(clA))

Vậy cl(intA)⊂ clγ(intγA) ⊂ cl(int(clA))

2.8 Hệ quả Giả sử A l tập con của không gian tôpô X Khi đó à

a) int(cl(intA))⊂ intγ(clγ(intγA)) ⊂ int(clA)

b) cl(intA) ⊂ clγ(intγ(clγA)) ⊂ cl(int(clA))

Chứng minh a) Từ τ ⊂ τγ v áp dụng Định lý 2.7 b) ta có à

cl(intA) ⊂ clγ(intγA) kéo theo int(cl(intA)) ⊂ int(clγ(intγA)) ⊂ intγ(clγ(intγA))

Áp dụng Định lý 2.7 a) v từ intà γA ⊂ A suy ra clγ(intγA) ⊂ clγA kéo

theo intγ(clγ(intγA)) ⊂ intγ(clγA) ⊂ int(clA)

Vậy int(cl(intA))⊂ intγ(clγ(intγA)) ⊂ int(clA)

b) Áp dụng Định lý 2.7 b) ta có cl(intA) ⊂ clγ(intγA).

Từ A⊂ clγA suy ra intγA⊂ intγ(clγA) kéo theo clγ(intγA) ⊂ clγ(intγ(clγA))

Do đó cl(intA) ⊂ clγ(intγ(clγA))

Áp dụng Định lý 2.7 a) ta có intγ(clγA)⊂ int(clA) kéo theo clγ(intγ(clγA))⊂

clγ(int(clA)) ⊂ cl(int(clA))

Vậy cl(intA) ⊂ clγ(intγ(clγA)) ⊂ cl(int(clA))

2.9 Định nghĩa Giả sử X l không gian tôpô Tập Aà ⊂ X đợc gọi là nửa tiền mở nếu A ⊂ cl(int(clA)) Họ các tập nửa tiền mở trong X đợc ký hiệu là SPO(X) Họ các tập nửa mở trong không gian tôpô (X, τγ) l SO(X,à τγ) Họ các tập tiền mở trong không gian tôpô (X, τγ) l PO(X,à τγ) Họ các tập nửa tiền mở trong không gian tôpô (X, τγ) l SPO(X,à τγ)

2.10 Định lý Giả sử (X, τ) l không gian tôpô Khi dó các quan hệ sau à

Vậy SPO(X, τγ) ⊂ SPO(X, τ).

c) Áp dụng Định lý 2.7 b) ta có

Với A bất kì thuộc SO(X, τ) thì A ⊂ cl(intA) ⊂ clγ(intγA) Do đó A∈ SO(X,

τγ)

Vậy SO(X, τ) ⊂ SO(X, τγ)

Ví dụ sau chỉ ra rằng các đẳng thức trong a) v c) nói chung không à

đúng Đối với b) xem [5]

2.11 Ví dụ Giả sử X={a,b,c}, τ = {ứ ,X,{a,b}} Khi đó

τ = SO(X, τ); PO(X, τ) = {ứ ,X, a, b, {a,b}, {a,c}, {b,c}}; τγ= PO(X, τγ) = {ứ ,X, a, b, {a,b}} v SO(X,à τγ) = {ứ,X, a, b, {a,b}, {a,c}, {b,c}}

2.12 Định nghĩa Tập con A của không gian tôpô (X, τ ) đợc gọi l à mở

chính quy nếu tồn tại một tập đóng F sao cho A = intF Họ các tập mở chính quy

trong X đợc ký hiệu l RO(X,à τ) Ký hiệu họ các tập mở chính quy trong không gian tôpô (X, τγ) l RO(X,à τγ)

2.13 Định lý Giả sử (X, τ) l không gian tôpô Khi đó à

CHơNG II KHôNG GIAN không LIêN THôNG Cực TRị Và

CáC TIêN đề TáCH Đ3 KHôNG GIAN không LIêN THôNG CựC TRị

3.1 Định nghĩa Không gian tôpô (X, τ) đợc gọi l à không gian không liên

thông cực trị nếu clU ∈ τ với mọi U∈ τ .

3.2 Định lý Nếu (X, τγ) l không gian không liên thông cực trị, thì à

(X, τ) l không gian không liên thông cực trị à

Chứng minh Giả sử (X, τγ) l không gian không liên thông cực trị Khi đóàvới U bất kì thuộc τ do τ ⊂ τγ ta có U∈ τγ Suy ra clγU∈ τγkéo theo clγU mở theo τγ Nhờ Định lý 2.4 ta có clγU là tập tiền mở trong (X, τ)

Từ U∈ τ suy ra U mở suy ra U = intU, áp dụng Định lý 2.6 b) ta có cl(intU)

= clγ(intU) kéo theo clU = clγU Vì thế clU vừa là tập đóng, vừa là tiền mở trong (X, τ) Do đó clU∈ τ Vậy (X, τ) l không gian không liên thông cực trị.à

Chiều ngợc lại nói chung không đúng.Thật vậy, giả sử X={a,b,c}, τ

= {ứ, X, {a,b}} thì (X, τ) là không gian không liên thông cực trị nhng (X, τγ) không

là không gian không liên thông cực trị Vì {a}∈ τγ nhng clγ{a}={a,c}∉τγ

3.3 Định nghĩa Không gian tôpô (X, τ) đợc gọi l à T21

– không gian nếu với mọi điểm x ∈ X ta có {x} là mở hoặc đóng

Ta ký hiệu ℱγlà lớp các tập đóng trong không gian tôpô (X, τγ)

3.4 Định lý Không gian tôpô (X, τγ) là T21

– không gian

Chứng minh Giả sử {x} không là tập mở trong (X, τγ), nghĩa l {x}àkhông là –tập Khi đó tồn tại một tập tiền mở A sao cho{x} γ ∩ A không l tiềnà

mở Tức {x} không l tập tiền mở.Vì vậy int(cl{x}) = à ứ.Suy ra {x} l tập khôngà

đâu trù mật trong (X,τ) Nhờ Định lý 1.14 a) ta có {x} đóng với tôpô τα Do đó nhờ Định lý 2.2 ta có {x} ∈ ℱγ

3.5 Định lý Giả sử τ l tôpô trên tập hữu hạn X Khi đó à τγ = τγ.

Chứng minh Giả sử A l tập không đâu trù mật trong (X,à τγ) Khi đó A không chứa điểm n o l mở trong (X,à à τγ) Theo Định lý 3.4 thì (X, τγ) l à

2

1

T – không gian nên mọi điểm trong A l đóng với tôpô à τγ

Vì X l hữu hạn áp dụng Định lý 1.16 ta suy ra A đóng trong (X,à τγ) Do

đó τγ = τγ

3.6 Định lý Giả sử τ l tôpô trên tập hữu hạn X Khi đó à PO(X, τγ) = τγ

Chứng minh Giả sử A∈ PO(X, τγ) Nếu intγA = ứ thì mọi điểm trong A là

đóng trong τγ do Định lý 3.4 Vì A l đóng v l tiền đóng trong à à à τγnên A∈ τγ Giả sử G = intγA ≠ứ Khi đó F = A\G l đóng v không đâu trù mật trong (X,à à τγ)

Ta có A = F ∪ G⊂ intγ(clγ(F∪G)) = intγ(F ∪ clγG) = intγF ∪ clγG = clγ G =

clγ(intγA) Do đó A∈ SO(X, τγ) v nhà vậy A∈ τγ do Định lý 1.13 Kéo theo A

∈ τγ do Định lý 3.5