Tập ngẫu nhiên và các vấn đề liên quan

Chương 1Tập đóng ngẫu nhiên và hàm công suất 1.1.1 Yếu tố ngẫu nhiên giá trị tập Vì họ của tất cả các tập là rất rộng nên chúng ta thường xét cáctập đóng ngẫu nhiên như các yếu tố ngẫu n

Danh mục các kí hiệu ii

Danh mục các kí hiệu

N Tập các số tự nhiên

Rn Không gian thực n - chiều

Cn Không gian phức n - chiều

a ∈ A a thuộc A

∀a ∈ A Với mọi a thuộc A

A ⊂ B A là tập con của B (A bị chứa trong B)

(Ω, F, P ) Không gian xác suất

P (A) Xác suất của A

P (A | F) Xác suất có điều kiện của A đối vớiF

E(X | F) Kỳ vọng có điều kiện của X đối vớiF

 Kết thúc chứng minh

Mục lục

Danh mục các kí hiệu ii

LỜI NÓI ĐẦU v

1 Tập đóng ngẫu nhiên và hàm công suất 1 1.1 Định lý Choquet 1

1.1.1 Yếu tố ngẫu nhiên giá trị tập 1

1.1.2 Hàm công suất capacity 3

1.1.3 Tập compact ngẫu nhiên 7

1.2 Tính đo được và sự lựa chọn 9

1.2.1 Hàm đa trị trên không gian metric 9

1.2.2 Sự lựa chọn của các tập đóng ngẫu nhiên 12

1.3 Hàm công suất và tính chất của các tập đóng ngẫu nhiên 15 1.3.1 Tính bất biến và tính dừng 15

1.3.2 Tập ngẫu nhiên tách được 16

1.4 Phép tính với hàm công suất 19

1.4.1 Tích phân Choquet 19

1.4.2 Định lý Radon- Nikodym đối với hàm công suất 22 1.5 Sự hội tụ 24

1.5.1 Sự hội tụ yếu 24

1.5.2 Sự hội tụ h.c.c và sự hội tụ theo xác suất 26

2 Kỳ vọng lựa chọn 29 2.1 Lựa chọn khả tích 29

iii

2.2 Kỳ vọng lựa chọn 34

2.2.1 Tập ngẫu nhiên khả tích 34

2.2.2 Tính chất của lựa chọn 36

2.3 Sự hội tụ của kỳ vọng lựa chọn 38

2.3.1 Bổ đề Fatous cho tập bị chặn trong Rd 38

2.3.2 Bổ đề Fatous đối với tập ngẫu nhiên không bị chặn 39 2.3.3 Sự hội tụ đơn điệu và sự hội tụ yếu 40

2.4 Kỳ vọng có điều kiện 42

2.4.1 Sự tồn tại 42

2.4.2 Tính chất của kỳ vọng có điều kiện 43

3 Luật mạnh số lớn đối với tập ngẫu nhiên 46 3.1 Luật mạnh số lớn đối với các biến ngẫu nhiên 46

3.2 Định lý Shapley - Folkman-Starr 47

3.3 Luật mạnh số lớn trong trường hợp không gian Euclide 49 3.4 Luật mạnh số lớn trong không gian Banach 52

4 Định lý giới hạn trung tâm cho trung bình Minkowski 53 4.1 Định lý giới hạn trung tâm đối với các biến ngẫu nhiên 53 4.2 Định lý giới hạn trung tâm cho trường hợp Euclide 54

4.3 Định lý giới hạn trung tâm trong không gian Banach 58

5 Một số kết quả xa hơn liên quan tới tổng Minkowski 60 5.1 Luật loga lặp 60

5.2 Định lý ba chuỗi 61

5.3 Định lý ergodic 63

KẾT LUẬN 67

Tài liệu tham khảo 68

Lời nói đầu v

LỜI NÓI ĐẦU

Lý thuyết tập ngẫu nhiên liên quan đến sự phát triển của cấu trúctoán học để nghiên cứu các chủ đề ngẫu nhiên mà phép thể hiện củachúng là các tập Các chủ đề như vậy xuất hiện cách đây một khoảngthời gian dài trong thống kê và trong toán kinh tế dưới hình thức củamột khoảng tin cậy mà có thể được miêu tả như các tập ngẫu nhiên

Ý tưởng đầu tiên của tập ngẫu nhiên dưới hình thức một khoảng phụthuộc vào sự xuất hiện tình cờ trong Kolmogorov (1950) mà được công

bố đầu tiên năm 1933

Với mong muốn tìm hiểu về lý thuyết tập ngẫu nhiên, luận văn nghiên

cứu về đề tài " Tập ngẫu nhiên và các vấn đề liên quan" Trong

khuôn khổ hạn chế, luận văn chỉ đề cập đến một phần xung quanh vấn

đề tập ngẫu nhiên

Bố cục luận văn gồm 5 chương:

Chương 1: Tập ngẫu nhiên và hàm công suất.

Chương này trình bày các khái niệm cơ bản về tập ngẫu nhiên, hàmcông suất ( định nghĩa, định lý), sự lựa chọn của các tập đóng ngẫunhiên, các dạng hội tụ

Chương 2: Kỳ vọng lựa chọn.

Mục đích của chương này là đưa ra định nghĩa, tính chất của kỳ vọnglựa chọn, sự hội tụ của kỳ vọng lựa chọn và kỳ vọng có điều kiện

Chương 3: Luật mạnh số lớn đối với tập ngẫu nhiên.

Chương này đưa ra luật mạnh số lớn trong trường hợp không gianEuclidean và không gian Banach

Chương 4: Định lý giới hạn trung tâm đối với tập ngẫu nhiên

Mục đích của chương này là trình bày định lý giới hạn trung tâmtrong trường hợp không gian Euclidean và không gian Banach

Lời nói đầu vi

Chương 5: Một số kết quả xa hơn liên quan tới tông Minkowski.

Chương này giới thiệu một số các kết quả như: Luật loga lặp, định lý

ba chuỗi, định lý ergodic

Mặc dù đã hết sức cố gắng nhưng do trình độ và thời gian có hạn nênluận văn không tránh khỏi còn thiếu sót, rất mong nhận được sự góp ýcủa thầy cô và bạn bè để luận văn được hoàn thiện hơn

Chương 1

Tập đóng ngẫu nhiên và hàm công suất

1.1.1 Yếu tố ngẫu nhiên giá trị tập

Vì họ của tất cả các tập là rất rộng nên chúng ta thường xét cáctập đóng ngẫu nhiên như các yếu tố ngẫu nhiên trong không gian cáctập con đóng của không gian topo E nào đó Họ các tập con đóng củakhông gian E được kí hiệu là F, K và G được kí hiệu tương ứng là họ

của tất cả các tập con compact và tập con mở của E Thường giả sửrằng E là không gian topo compact Hausdoff địa phương đếm được thứhai ( không gian LCHS) ( locally compact Hausdoff second countabletopologial space) Không gian Euclidean Rd là ví dụ chung của khônggian E Cố định không gian xác suất (Ω, F, P ) mà được sử dụng để xác

định yếu tố ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.1.1 ( Tập đóng ngẫu nhiên).

Một ánh xạ X : Ω 7→ F được gọi là một tập đóng ngẫu nhiên nếu với

mọi tập compact K trong E ta có

{w : X ∩ K ̸= ∅} ∈ F (1.1)

1.1 Định lý Choquet 2

Điều kiện (1.1) nói rằng ánh xạ X : Ω 7→ F là đo được như một ánh

xạ giữa không gian xác suất cơ bản và không gian F được trang bị σ−

đại số B(F) được sinh bởi {F ∈ F : F ∩ K ̸= ∅} với K thuộc họ K các

tập con compact của E Chú ý rằng B(F) được gọi là σ− đại số Effros.

trong đó {K n , n ≥ 1} là một dãy các tập compact sao cho K n ↑ G ( ở

đây tính compact địa phương của E là cần thiết) Do đó, F G ∈ B(F) với

mọi G ∈ G Chú ý rằng topo Fell trên Fđược sinh bởi các tập mở F G

với G ∈ G và F K với K ∈ K Khi đó, σ− đại số sinh bởi F K với K ∈ K

trùng với σ − đại số Borel sinh bởi không gian Fell trên F Có thể đưa

ra định nghĩa tương tự với định nghĩa 1.1.1 như sau

Định nghĩa 1.1.1’ Ánh xạ X : Ω 7→ F được gọi là tập đóng ngẫu nhiên

nếu X là đo được đối với σ − đại số Borel trên F theo topo Fell, tức là

X −1 (χ) = {w : X(w) ∈ χ} ∈ F

với mỗi χ ∈ B(F).

Khi đó (1.1) có thể được viết lại như sau

X −1(F K) = {w : X(w) ∈ F K } ∈ F (1.2)

Vì σ − đại số B(F) là σ− đại số Borel đối với topo trên F nên ta có

f (X) là một tập đóng ngẫu nhiên nếu X là một tập đóng ngẫu nhiên và

ánh xạ f : F 7→ F là liên tục hoặc nửa liên tục

1.1 Định lý Choquet 3

Ví dụ 1.1.2 ( Ví dụ đơn giản về tập đóng ngẫu nhiên)

(i) Nếu ξ là một yếu tố ngẫu nhiên trên E (đo được đối với σ− đại số

Borel trên E) thì có duy nhất X = {ξ} là một tập đóng ngẫu nhiên (ii) Nếu ξ là biến ngẫu nhiên thì X = ( −∞, ξ] là một tập đóng ngẫu

nhiên trên đường thẳng E = R1 Thật vậy, {X ∩ K ̸= ∅} = {ξ ≥ inf K}

là đo được đối với mọi K ⊂ E X = (−∞, ξ1]×· · ·×(−∞, ξ d] là một tậpcon đóng ngẫu nhiên của Rd nếu (ξ1, · · · , ξ n) là một vector ngẫu nhiênd- chiều

Ví dụ 1.1.3 ( Biến ngẫu nhiên liên kết với tập đóng ngẫu nhiên).

(i) Dễ dàng thấy rằng chuẩn ||X|| = sup{||x|| : x ∈ X} đối với một

tập đóng ngẫu nhiên X trên E = Rd là một biến ngẫu nhiên (có thể giátrị vô hạn)

(ii) Với mọi x ∈ E thì hàm chỉ tiêu 1 X (x) ( bằng 1 nếu x ∈ X và

bằng 0 nếu x ̸∈ X) là một biến ngẫu nhiên.

Nếu hai tập đóng ngẫu nhiên X và Y có cùng phân phối thì chúng ta

viết X ∼ Y Điều này có nghĩa là P {X ∈ χ} = P {Y ∈ χ} với mọi họ d

độ đo của các tập đóng χ ∈ B(F).

Phân phối của một tập đóng ngẫu nhiên X được xác định bởi P (χ) =

P {X ∈ χ} với mọi χ ∈ B(F) Sự chọn lựa riêng của χ = F K và

P {X ∈ F K } = P {X ∩ K ̸= ∅} là hữu ích vì họ F K , K ∈ K sinh ra

σ − đại số Borel B(F).

Định nghĩa 1.1.4 (Hàm công suất)

Hàm T X : K 7→ [0, 1] được cho bởi

T X (K) = P {X ∩ K ̸= ∅}, K ∈ K (1.3) được gọi là hàm công suất của X Chúng ta viết T (K) thay cho T X (K).

Ví dụ 1.1.5 ( Hàm công suất của biến ngẫu nhiên đơn)

1.1 Định lý Choquet 4

(i) Nếu X = {ξ} là một tập ngẫu nhiên duy nhất thì T X (K) = P {ξ ∈

K } tức là hàm công suất là phân phối xác suất của ξ.

(ii) Cho X = ( −∞, ξ] là một tập đóng ngẫu nhiên trên R, trong đó ξ

là một biến ngẫu nhiên Khi đó, T X (K) = P {ξ > inf K} với mọi K ∈ K.

Từ định nghĩa của hàm công suất ta có các tính chất sau:

T ( ∅) = 0,

và

0≤ T (K) ≤ 1, K ∈ K

Vì F K n ↓ F K khi K n ↓ K nên tính liên tục của độ đo xác suất P kéo

theo tính chất T là nửa liên tục trên, tức là

Nếu T xác định trong (1.3) là hàm công suất của X thì

∆K1T (K) = P {X ∩ K ̸= ∅} − P {X ∩ (K ∪ K1) ̸= ∅}

= −P {X ∩ K1 ̸= ∅, X ∩ K = ∅}.

Một hàm giá trị thực φ trên K thỏa mãn các điều kiện trên được gọi

là hàm công suất Hàm công suất là một hàm trên K nhận giá trị trong

[0,1], bằng 0 trên tập rỗng và là nửa liên tục trên và đan dấu đầy đủtrên K.

Định nghĩa 1.1.6 (Hàm đan dấu đầy đủ completely alternating ) ChoD là họ các tập mà đóng với phép hợp hữu hạn ( tức là M1∪M2 ∈

D nếu M1, M2 ∈ D) Một hàm φ giá trị thực xác định trên D được gọi

là đan dấu đầy đủ completely alternating nếu

∆K n · · · ∆ K1φ(K) ≤ 0, n ≥ 1, K, K1, · · · , K n ∈ D.

Nếu bất đẳng thức trên xảy ra với mọi n ≤ m thì φ được gọi là đan

dấu bậc m

Hàm φ xác định trên K có thể được mở rộng lên họ P các tập con

của E mà giữ được tính đan dấu hoặc tính đơn điệu bởi φ Đặt

1.1 Định lý Choquet 6

(ii) Với mỗi tập Borel B ta có

T ∗ (B) = sup {T (K) : K ∈ K, K ⊂ B}.

Chứng minh Phát biểu thứ nhất có được dựa vào tính nửa liên tục trên

của T Chú ý rằng T ∗ (K) là giới hạn của T ∗ (G n) đối với một dãy của các

tập mở G n ↓ K Tại các thời điểm giống nhau T (K n) ↓ T (K) vì T là nửa

liên tục trên trong khi bằng cách chọn K n ∈ K sao cho K ⊂ K n ⊂ G n

ta có T (K n) ↓ T ∗ (K).

Vì mở rộng T ∗ trùng với T trên K nên phần sau chúng ta sử dụng kí

hiệu T thay cho mở rộng, tức là T (G) hoặc T (B) là kí hiệu giá trị của

mở rộng T trên tập mở bất kỳ G và trên tập Borel B Từ định lý 1.1.7

và tính liên tục của độ đo xác suất ta có T (B) = P {X ∩ B ̸= ∅} với mọi

tập Borel B

Vì σ − đại số B(F) là rất lớn nên rất khó để gán giá trị một độ đo

tới các yếu tố của chúng Tuy nhiên, vì σ − đại số B(F) được sinh bởi

họ F K , K ∈ K nên giả sử rằng hàm công suất trên K xác định duy nhất

phân phối của một tập đóng ngẫu nhiên Định lý cơ bản sau đây đưa racông suất đan dấu đầy đủ nửa liên tục trên mà tương ứng với phân phốicủa các tập đóng ngẫu nhiên Phần tính duy nhất dễ dàng thấy được từ

việc σ − đại số B(F) được sinh bởi F K với K ∈ K.

Định lý 1.1.8( Định lý Choquet) Cho E là không gian LCHS Một

hàm T : K 7→ [0, 1] sao cho T (∅) = 0 là hàm công suất của một tập đóng

ngẫu nhiên ( cần thiết là duy nhất) trên E nếu và chỉ nếu T là nửa liêntục trên và đan dấu đầy đủ

Kết quả sau đây được suy ra từ tính duy nhất của định lý Choquet

Mệnh đề 1.1.9 Cho E là không gian LCHS

(i) Hàm công suất T X của một tập đóng ngẫu nhiên X là một độ đoxác suất nếu và chỉ nếu X là một tập ngẫu nhiên duy nhất

1.1 Định lý Choquet 7

(ii) T X là độ đo xác suất dưới ( tức là một độ đo với tổng khối lượngmass không vượt 1) nếu và chỉ nếu X bao gồm nhiều nhất một điểm đơn

với xác suất 1, tức là P {card(X) > 1} = 0.

(iii) Một tập đóng ngẫu nhiên X là tất định nếu và chỉ nếu T X (K) chỉ nhận giá trị 0 hoặc 1 với mỗi K ∈ K.

Mệnh đề 1.1.9 (iii) ( và phần tính duy nhất của định lý Choquet)không xảy ra trong không gian E tùy ý ( ví dụ không gian không phải

là compact địa phương) Ví dụ như, nếu E = R với metric rời rạc thì

các tập compact không nhất thiết là hữu hạn tức là T X (K) = 0 với mỗi

K ∈ K nếu X = {ξ} là một tập ngẫu nhiên duy nhất với phân phối phi

nguyên tử

Định lý Choquet chứng minh rằng một độ đo xác suất trên B(F) có

thể được xác định bởi giá trị của nó trên F K với K ∈ K, tức là hàm

công suất trên K Kí hiệu

B k = {B ∈ E : clB ∈ K}

là họ tất cả các tập Borel compact tương đối trên E

Định nghĩa 1.1.10( Lớp tách được) Lớp A ⊂ B k được gọi là táchđược nếu ∅ ∈ A và với mọi K ∈ K và G ∈ G với K ⊂ G thì tồn tại

A ∈ A sao cho K ⊂ A ⊂ G.

Cho φ : A 7→ [0, ∞] là một hàm tăng trên lớp tách được A Định

nghĩa mở rộng ngoài của nó φ − như sau

φ − (K) = inf {φ(A) : A ∈ A, K ⊂ IntA}, K ∈ K.

Nếu φ1 là hạn chế của φ trên lớp con tách được A1 ⊂ A thì φ −1 = φ −

Nếu E là compact địa phương thì họ K các tập compact là một lớp

con đo được của F, tức là K ∈ B(F) Thật vậy,

K = ∪ n ≥1 {F ∈ F : F ⊂ K n },

1.1 Định lý Choquet 8

trong đó {K n , n ≥ 1} là một dãy các tập compact sao cho K n ↑ E khi

n → ∞ Chú ý rằng K ∈ B(F) đối với không gian metric tách được tổng

quát E với B(F) là σ− đại số Effros vì

K = ∩ m ≥1 ∪ n ≥1 ∪ x1, ··· ,x n ∈Q {F ⊂ F : F ⊂ ∪ n

i=1 B 1/m (x i)}

trong đó Q là tập trù mật đếm được trên E, B r (x) là hình cầu đóng bán

kính r có tâm tại x

Định nghĩa 1.1.11 ( Tập compact ngẫu nhiên)

Một tập đóng ngẫu nhiên X với giá trị compact h.c.c ( tức là X ∈ K

h.c.c) được gọi là một tập compact ngẫu nhiên

Có thể xây dựng một tập compact ngẫu nhiên trực tiếp như một yếu

tố ngẫu nhiênK− giá trị Topo myopic trên K ( hoặc metric Hausdoff nếu

E là không gian metric) sinh ra σ− đại số Borel B(K) trên K mà có thể

xác định một tập compact ngẫu nhiên như một ánh xạ đo được K− giá

trị X : Ω 7→ K.Ta có σ− đại số B(K) được sinh bởi {K ∈ K : K ∩G ̸= ∅}

với G ∈ G Nếu E là compact địa phương thì mọi tập mở có thể xấp xỉ

bởi các tập compact do đóB(K) = B(F)∩K, tức là σ− đại số Borel trên

K trùng với vết của B(F) trên K Trong trường hợp không gian topo

tổng quát E, định nghĩa 1.1.11 thường được sử dụng để xác định cáctập compact ngẫu nhiên Nếu K không thuộc B(F) thì điều kiện X ∈ K

h.c.c được hiểu như sau:

sup{P {X ∈ Y} : Y ∈ B(F), Y ⊂ K} = 1.

Kết quả sau đây là định lý "tính kín" (tightness) cho phân phối củacác tập compact ngẫu nhiên

Định lý 1.1.12 ( Tính kín cho tập compact ngẫu nhiên)

Cho X là một tập compact ngẫu nhiên trong không gian Polish E

Với mọi ε > 0 tồn tại K ∈ K sao cho P {X ⊂ K} ≥ 1 − ε.

Chứng minh Cho Q = {x k , k ≥ 1} là một tập con đếm được trù mật

1.2 Tính đo được và sự lựa chọn 9

được gọi là hàm bao gồm containment

Cho (Ω, F, P ) là một không gian xác suất Ánh xạ X : Ω 7→ F từ Ω

vào không gian F các tập con đóng của E được gọi là hàm đa trị (giá

trị đóng) hay hàm giá trị tập Như phần trước thì F là họ của các tập

1.2 Tính đo được và sự lựa chọn 10

con đóng của E nhưng bây giờ không gian E được giả sử là không gianPolish ( metric tách được đầy đủ)

Định nghĩa 1.2.1 (Tính đo được Effros)

Một ánh xạ X : Ω 7→ F được gọi là đo được Effros nếu

X − (G) = {w : X(w) ∩ G ̸= ∅} ∈ F

với mỗi G ∈ G, tức là với mỗi tập G mở σ− đại số Effros trên F được

sinh bởi họ F G với mọi G ∈ G.

Một hàm đa trị đo được Effros được gọi là đo được yếu nếu thỏa mãn

X − (F ) = {w : X(w) ∩ F ̸= ∅} ∈ F với mọi tập đóng F.

Có thể xem một hàm đa trị X bao gồm các hàm đo được giá trị đơn

mà " fit inside" X Những hàm như vậy được gọi là lựa chọn của X.Chú ý rằng một yếu tố ngẫu nhiên E− giá trị ξ là một ánh xạ đo được

ξ : Ω 7→ E trong đó độ đo được hiểu theo nghĩa σ− đại số Borel thông

thường B trên E.

Định nghĩa 1.2.2 (Sự lựa chọn đo được) Một yếu tố ngẫu nhiên

ξ với giá trị trong E được gọi là một lựa chọn (đo được) của X nếu

ξ(w) ∈ X(w) với hầu hết tất cả w ∈ Ω Họ tất cả sự lựa chọn của X

được kí hiệu bởi S(X).

Định lý đo được cơ bản

Nếu E là compact địa phương thì một hàm đa trị đo được Effros

là một tập đóng ngẫu nhiên Thật vậy, mọi tập mở trong không giancompact địa phương có thể được xấp xỉ bởi một dãy các tập compact

tức là X − (G) ∈ F với mọi tập mở G nếu và chỉ nếu X − (K) ∈ F với mọi

K ∈ K.

Định lý 1.2.3 (Định lý đo được cơ bản cho hàm đa trị) Cho E

là không gian metric tách được Xét các phát biểu sau:

(1) X − (B) ∈ F với mọi B ∈ B(E).

(2) X − (F ) ∈ F với mọi F ∈ F.

1.2 Tính đo được và sự lựa chọn 11

(3) X − (G) ∈ F với mọi G ∈ G, tức là X là đo được Effros.

(4) Hàm khoảng cách ρ(y, X) = inf {ρ(y, x) : x ∈ X} là một biến

ngẫu nhiên với mỗi y ∈ E.

(5) Tồn tại một dãy {ξ n } của sự lựa chọn đo được của X sao cho

X = cl {ξ n , n ≥ 1}

(6) Đồ thị của X

Graph(X) = {(w, x) ∈ Ω × E : x ∈ X(w)}

thuộc F⊗ B(E) ( σ− đại số tích của F và B(E)).

Khi đó ta có các kết quả sau:

(i) (1) => (2) => (3) <=> (4) => (6).

(ii) Nếu E là không gian Polish ( tức là E là đầy đủ) thì (3) <=> (5).(iii) Nếu E là không gian Polish và không gian xác suất (Ω, F, P ) là

đầy đủ thì (1)- (6) là tương đương

Một ánh xạ đo được X : Ω 7→ F được gọi là một tập đóng ngẫu

nhiên trên E Vì có thể giả sử E là Polish và không gian xác suất làđầy đủ nên theo định lý 1.2.3, các định nghĩa đo được (1)- (6) là tươngđương tức là nếu X thỏa mãn một trong các điều kiện trên thì X có thể

đo được Trừ khi E là compact địa phương thì không đủ để giả sử rằng

X − (K) = {w : X ∩ K ̸= ∅} ∈ F với mọi tập compact K.

Định nghĩa 1.2.4 ( σ − đại số được sinh bởi X) σ− đại số cực

tiểu FX sinh bởi một tập đóng ngẫu nhiên X là được sinh bởi X − (G) =

{w ∈ Ω : X(w) ∩ G ̸= ∅} với G ∈ G.

Rõ ràng, FX là σ − đại số cực tiểu trên Ω mà đảm bảo X là độ đo

Effros Nếu E là compact địa phương thì FX được sinh bởi X − (K), K ∈ K.

Chúng ta có thể xét các tính chất đo được dựa trên tính xấp xỉ củacác tập đóng ngẫu nhiên bởi các tập ngẫu nhiên với nhiều nhất là một

1.2 Tính đo được và sự lựa chọn 12

số hữu hạn các giá trị

Định nghĩa 1.2.5 ( Tập ngẫu nhiên đơn) Một tập đóng ngẫu nhiên

X được gọi là đơn nếu giả sử tại nhiều nhất một số hữu hạn các giá trị

thì tồn tại một phân hoạch đo được hữu hạn A1, · · · , A n của Ω và các

tập F1, · · · , F n ∈ F sao cho X(w) = F i với mọi w ∈ A i , 1 ≤ i ≤ n.

Chúng ta biết rằng không gian F là tách được trong topo Fell nếu

E là LCHS Trong trường hợp này, tính tách được của F đảm bảo rằng

mỗi tập đóng ngẫu nhiên là một giới hạn h.c.c ( trong topo Fell) của cáctập ngẫu nhiên đơn Đối với không gian metric tách được tổng quát thìđiều này không phải luôn luôn là như vậy

Nhắc lại rằng S(X) là kí hiệu của họ các lựa chọn ( đo được) của X.

Định lý đo được cơ bản của hàm đa trị kéo theo định lý tồn tại cho lựachọn sau đây

Định lý 1.2.7 ( Định lý lựa chọn cơ bản) Nếu X là hàm đa trị

không rỗng h.c.c giá trị đóng đo được Effros trong không gian Polish Ethì S(X) ̸= ∅.

Định lý lựa chọn cơ bản có thể được chứng minh trực tiếp bởi cách

xây dựng một dãy các yếu tố ngẫu nhiên ξ n với giá trị trong tập con đếmđược trù mật của E sao cho ρ(ξ n , X) < 2 −n và ρ(ξ n , ξ n −1 ) < 2 −n+1 với

mọi n ≥ 1 trên một tập độ đo đủ.Tính đầy đủ của E quyết định dãy ξ n

có giới hạn hầu chắc chắn mà trở thành yêu cầu lựa chọn của X Chứngminh đầy đủ có thể tìm thấy trong Kuratowski and Ryll-Nardzewski[11]hoặc Aubin and Frankowska[4]

Định nghĩa 1.2.8 ( Biểu diễn Casting) Một họ đếm được các

lựa chọn ξ n ∈ S(X), n ≥ 1 được gọi là biểu diễn Casting của X nếu

X = cl {ξ n , n ≥ 1}.

Mô tả phân phối của tập ngẫu nhiên bởi sự lựa chọn của chúng

1.2 Tính đo được và sự lựa chọn 13

Họ các sự lựa chọn S(X) không chỉ phụ thuộc vào X mà còn phụ

thuộc vào không gian xác suất cơ bản Ví dụ, tập gồm hai điểm xác định

X = {0, 1} chỉ có hai sự lựa chọn tầm thường nếu F = {∅, Ω} là σ− đại

số tầm thường Nếu F có nhiều hơn thì biến ngẫu nhiên với giá trị cóthể 0 và 1 xuất hiện như sự lựa chọn

Định lý 1.2.9 ( Sự lựa chọn của phân phối đồng nhất identically các tập ngẫu nhiên)

Xét hai không gian xác suất không nguyên tử? ( non- atomic) (Ω, F, P )

và (Ω′ , F ′ , P ′) và hai tập đóng ngẫu nhiên X và Y trong không gian ish E xác định tương ứng trên Ω và Ω′ Nếu X và Y là phân phối đồng

Pol-nhất thì tính đóng yếu của S(X) và S(Y ) là trùng nhau.

Định nghĩa 1.2.10 ( Phân phối lựa chọn ) Phân phối xác suất µ

trên E là lựa chọn đối với phân phối ν trên F nếu có một tập đóng ngẫu nhiên X với phân phối ν và một lựa chọn ξ ∈ S(X) với phân phối µ Họ

tất cả độ đo xác suất trên E mà là lựa chọn đối với độ đo xác suất ν

trên F được kí hiệu là S(ν).

Định lý 1.2.11 ( Sự lựa chọn của tập ngẫu nhiên đóng) Đối với

mỗi độ đo xác suất trên K thì họ S(ν) là tập compact lồi đối với sự hội

tụ yếu của độ đo và phép cộng số học của chúng

Vì chúng ta luôn giả sử rằng E là Polish và không gian xác suất làđầy đủ nên định lý 1.2.3 đưa ra một số các định nghĩa tương đương củahàm đa trị đo được để đưa ra cách chứng minh tính đo được của cácphép toán với các tập đóng ngẫu nhiên

Định lý 1.2.12 ( Tính đo được của các phép toán lý thuyết tập).

Nếu X là một tập đóng ngẫu nhiên trong không gian Polish E thì cáchàm đa trị sau là các tập đóng ngẫu nhiên:

(i) co(X), bao lồi đóng của X;

(ii) αX nếu α là một biến ngẫu nhiên;

Nếu X và Y là hai tập đóng ngẫu nhiên thì

1.2 Tính đo được và sự lựa chọn 14

(iii) X ∪ Y và X ∩ Y là các tập đóng ngẫu nhiên;

(iv) cl(X + Y ) là một tập đóng ngẫu nhiên ( nếu E là không gianBanach);

(v) Nếu cả X và Y là bị chặn thì ρ H (X, Y ) là một biến ngẫu nhiên;

Nếu {X n , n ≥ 1} là một dãy các tập đóng ngẫu nhiên thì

(vi) cl( ∪ n ≥1 X n) và ∩ n ≥1 X n là các tập đóng ngẫu nhiên

Chứng minh (i) Không giảm tổng quát, giả sử rằng X ̸= ∅ Xét biểu

diễn Casting {ξ n , n ≥ 1} của X Khi đó, họ đếm được các tổ hợp lồi của {ξ n , n ≥ 1} với hệ số hợp lý là trù mật trong co(X), tức là co(X) nhận

biểu diễn Casting của nó và do đó co(X) là đo được.

(ii) Kết quả được suy ra trực tiếp từ việc {αξ n , n ≥ 1} là biểu diễn

Casting của αX.

(iii) Là trường hợp đặc biệt của (vi)

(iv, v) Nếu {ξ n , n ≥ 1} và {η m , m ≥ 1} lần lượt là biểu diễn Casting

của X và Y thì {ξ n + η m , n, m ≥ 1} là biểu diễn Casting của cl(X + Y ).

Do đó, cl(X + Y ) là đo được Hơn nữa

1.3 Hàm công suất và tính chất của các tập đóng ngẫu nhiên 15

ngẫu nhiên

Nếu g là một hàm ( hoặc một phép biến đổi) nào đó tác động lên Ethì phân phối của X được gọi là bất biến theo g ( hoặc g- bất biến ) nếu

X ∼ g(X), tức là X và ảnh của nó dưới tác động g có cùng phân phối d

Nếu X là g - bất biến với mỗi g thuộc nhóm các phép biến đổi G mà tácđộng lên X thì X được gọi là G- bất biến Các trường hợp cụ thể xuấthiện nếu E = Rd là không gian Euclidean và G hoặc là nhóm các biếnđổi trên Rd hoặc là nhóm tất cả các phép quay hoặc nhóm tất cả cácchuyển động cố định

Định nghĩa 1.3.1 ( Tính dừng và tập ngẫu nhiên đẳng hướng isotropic )

(i) Một tập ngẫu nhiên X trên Rd được gọi là dừng nếu

X ∼ (X + a) d (1.4) với mọi a ∈ R d, tức là phân bố của X là bất biến dưới tất cả các phép

tịnh tiến không ngẫu nhiên Nếu (1.4) xảy ra với mọi a thuộc không gian

con tuyến tính H ⊂ R d thì X được gọi là H- dừng

(ii) Một tập đóng ngẫu nhiên X trong Rd được gọi là đẳng hướng nếu

X ∼ (gX) với mỗi phép quay xác định g d

Mệnh đề 1.3.2 ( Tính dừng kéo theo tính không bị chặn) Một

tập đóng ngẫu nhiên không rỗng h.c.c dừng X trong Rd là không bị chặn

với xác suất 1 và co(X) = Rd h.c.c đối với bao lồi đóng co(X) của X.

Chứng minh Vì X là không rỗng h.c.c nên hàm hỗ trợ của nó h(X, u)

không nhận giá trị −∞ với h(X, u) = sup{< x, u >: x ∈ X} trong đó

< x, u > là giá trị của hàm tại x Tính dừng của X kéo theo h(X, u) ∼ d

1.3 Hàm công suất và tính chất của các tập đóng ngẫu nhiên 16

(h(X, u)+ < a, u >) với mọi a ∈ R d Cho a = u thì ta thấy h(X, u) là vô hạn với xác suất một đối với mọi u ̸= 0 Áp dụng phương pháp này cho

một tập đếm được trù mật của u trên mặt cầu đơn vị ta có co(X) = Rd

h.c.c , do đó X là không bị chặn h.c.c

Mệnh đề 1.3.2 kéo theo một tập lồi dừng hoặc là rỗng h.c.c hoặc bằng

cả không gian h.c.c.Mệnh đề sau đây được suy ra trực tiếp từ định lýChoquet

Mệnh đề 1.3.3( Tính chất bất biến của hàm công suất).

(i) Một tập đóng ngẫu nhiên X là bất biến nếu và chỉ nếu hàm công

suất của nó là tịnh tiến bất biến, tức là T X (K + a) = T X (K) với mọi

K ∈ K và a ∈ R d

(ii) Một tập đóng ngẫu nhiên X là đẳng hướng nếu và chỉ nếu hàm

công suất của nó là phép quay bất biến, tức là T X (gK) = T X (K) với mọi K ∈ K và mọi phép quay g.

Xét một hàm ngẫu nhiên ζ x , x ∈ E với giá trị nhận được chỉ là 0 hoặc

1 Khi đó ζ x là hàm chỉ tiêu 1Z (x) của tập (không cần thiết là tập đóng)

Z ⊂ E Theo định lý Kolmogorov mở rộng thì phân phối của ζ x đượcxác định bởi phân phối hữu hạn chiều

P {ζ x = 1, x ∈ K, ζ y = 0, y ∈ L} = P {K ⊂ Z, L ∩ Z = ∅}

với K và L thuộc họ J các tập con hữu hạn của E.

Định lý 1.3.4 ( Mở rộng của hàm công suất trên các tập hữu hạn) Cho E là không gian LCHS Một hàm đan dấu đầy đủ T : J 7→ [0, 1] thỏa mãn T ( ∅) = 0 là hàm công suất của một tập đóng ngẫu nhiên

nếu và chỉ nếu T là nửa liên tục trên trên J , trong đó phần sau được

trang bị với topo cảm sinh bởi topo myopic trên họ K các tập compact.

1.3 Hàm công suất và tính chất của các tập đóng ngẫu nhiên 17

Chứng minh Chúng ta chỉ chứng minh điều kiện đủ Mở rộng T lên họ

G các tập mở và họ các tập compact bởi

T ∗ (G) = sup {T (L) : L ⊂ G, L ∈ J , G ∈ G}

T ∗ (K) = inf {T ∗ (G) : K ⊂ G, G ∈ G, K ∈ K}

Khi đó T ∗ (K) trở thành hàm nửa liên tục trên đan dấu đầy đủ trên K,

tức là từ định lý Choquet kéo theo sự tồn tại của một tập đóng ngẫu

nhiên với hàm công suất T ∗ Nó còn chỉ ra rằng T ∗ trùng với T trên J

Cho G n ↓ L và T ∗ (G

n) ↓ T ∗ (L) khi n → ∞ Khi đó, có một dãy {L n , n ≥ 1} ⊂ J sao cho T (L n) ↓ T ∗ (L) và L

n ↓ L khi n → ∞ Vì L n

hội tụ tới L trong topo myopic trên J nên tính nửa liên tục trên của

T kéo theo lim sup T (L n) ≤ T (L) Do đó, T ∗ (L) ≤ T (L) Mà bất đẳng

thức T ∗ (L) ≥ T (L) là hiển nhiên nên chứng minh được hoàn thành.

Định nghĩa 1.3.5 (Tính tách được và cái phân tách ( rant)) Một tập ngẫu nhiên đóng X được gọi là tách được nếu tồn tại

sepa-tập trù mật đếm được Q ⊂ E sao cho X trùng với cl(X ∩ Q) h.c.c Mọi

tập Q như vậy được gọi là cái phân tách của X

Định nghĩa 1.3.5 dựa vào cl(X ∩Q) là một tập ngẫu nhiên đóng Thực

vậy, với mọi tập mở G thì

{cl(X ∩ Q) ∩ G = ∅} = {(X ∩ Q) ∩ G = ∅} = {X ∩ B = ∅} ∈ F

trong đó B = Q ∩ G.Định lý sau đưa ra sự tồn tại của một tập đóng

ngẫu nhiên tách được xác định bằng một hàm đan dấu đầy đủ trên J

Mệnh đề 1.3.6 ( Phân phối của một tập ngẫu nhiên tách được).

Giả sử rằng E là không gian LCHS Cho T là hàm đan dấu đầy đủ(completely alternating functional) trên J với giá trị trên đoạn [0, 1] sao

cho T ( ∅) = 0 và cho T ∗ là mở rộng của T xác định bởi

T ∗ (G) = sup {T (L) : L ⊃ G, L ∈ J }, G ∈ G

1.3 Hàm công suất và tính chất của các tập đóng ngẫu nhiên 18

T ∗ (K) = sup {T ∗ (G) : K ⊃ G, L ∈ J }, K ∈ K.

(i) Khi đó tồn tại một tập ngẫu nhiên đóng X sao cho T X (K) = T ∗ (K) với mọi K ∈ K và T X là hàm công suất nhỏ nhất sao cho T (L) ≤ T X (L) với mọi L ∈ J

(ii) Hàm ngẫu nhiên X là tách được Nếu Q là cái phân tách của X

thì X = cl(Z ∩Q) h.c.c với hàm ngẫu nhiên Z ( không cần thiết là đóng)

xác định bởi giá trị của T trên J

(iii) Tập đóng ngẫu nhiên X sao cho T X (L) = T (L) với mọi L ∈ J

tồn tại nếu và chỉ nếu

T ∗({x}) = T ({x}), x ∈ E,

Trong trường hợp này cl {X ∩ Q} là tập ngẫu nhiên đóng tách được duy

nhất mà hàm công suất của nó trùng với T trên J

Với T X là hàm công suất của X Kí hiệu p X (x) = T X({x}), x ∈ E.

Định nghĩa 1.3.7 ( P- liên tục) Một tập đóng ngẫu nhiên X được

gọi là P - liên tục tại x0 ∈ E nếu p X (x) = P {x ∈ X} là liên tục tại x0

như một hàm của x Hơn nữa, X được gọi là P − liên tục nếu nó là P −

liên tục tại mọi x0 ∈ E.

Tập ngẫu nhiên liên tục h.c.c

Định nghĩa 1.3.8 ( Liên tục h.c.c) Một tập đóng ngẫu nhiên X được

gọi là liên tục h.c.c nếu P {x ∈ ∂X} = 0 với mọi x ∈ E.

Chú ý rằng ∂X ( biên của X ) là một tập đóng ngẫu nhiên Nếu thay

đổi công thức cho hàm chỉ tiêu của X thì định nghĩa 1.3.8 có nghĩa rằnghàm chỉ tiêu là không liên tục tại điểm nào đó cho trước với xác suấtkhông Tính chất của X là liên tục h.c.c có thể được kiểm tra lại bằngviệc sử dụng hạn chế của hàm công suất trên họ các tập hữu hạn

Mệnh đề 1.3.9( Tính liên tục h.c.c và tính tách được h.c.c)

(i) Một tập đóng ngẫu nhiên X là liên tục h.c.c nếu và chỉ nếu X là

P − liên tục và cl(X ∩ Q) là liên tục h.c.c với tập trù mật đếm được

1.4 Phép tính với hàm công suất 19

Q ⊂ E nào đó.

(ii) Nếu X là một tập đóng ngẫu nhiên liên tục h.c.c thì cl(Int(X)) =

cl(X ∩ Q) h.c.c với mọi tập đếm được trù mật Q và cl(Int(X)) là tập

đóng ngẫu nhiên mà được xuất hiện trong mệnh đề 1.3.6(i) với phân

phối được suy ra từ T X (L) với L ∈ J Nếu thêm điều kiện X là tách

được thì X = cl(Int(X)) h.c.c, tức là X là đóng chính quy.

Chứng minh (i) Nếu X là liên tục h.c.c thì X là P − liên tục vì

Nếu X là P − liên tục thì hàm công suất của X và Y trùng nhau

trên J Do đó, P {x ∈ (∂Y ) ∪ (Y c ∩ X)} = 0 với mọi x ∈ E Từ đó

P {x ∈ ∂X} = P {x ∈ ∂Y } = 0.

(ii) Nếu X là liên tục h.c.c thì (X ∩ Q) ⊂ IntX h.c.c với mọi tập đếm

được trù mật Q Do đó, cl(X ∩ Q) ⊂ cl(Int(X)) h.c.c Điều ngược lại là

hiển nhiên Từ đó, ta có điều phải chứng minh

a, Định nghĩa và tính chất cơ bản

Xét hàm f ánh xạ từ E vào R+ = [0, ∞) Nếu φ là một hàm xác định

1.4 Phép tính với hàm công suất 20

trên các tập con của E sao cho φ({x : f ≥ t}) là định nghĩa tốt với mọi

t > 0 thì tích phân Choquet của f theo φ được xác định như sau

Trong trường hợp cụ thể, định nghĩa của tích phân Choquet được áp

dụng nếu f là một hàm đo được và φ là một trong các hàm được xác định bởi một tập đóng ngẫu nhiên X, ví dụ như hàm công suất T X hoặc

hàm bao gồm containment functional C X

Định lý 1.4.1 (Tích phân Choquet đối với phân phối của các tập ngẫu nhiên) Cho X là một tập đóng ngẫu nhiên không rỗng h.c.c.

Với mọi hàm f không âm ta có

∫

f dT X = E sup f (X) (1.6)

∫

f dC X = E inf f (X) (1.7) trong đó f (X) = {f(x) : x ∈ X} Nếu X rỗng với xác suất dương thì

(1.6) xảy ra với sup∅ = 0.

Chứng minh Chứng minh dựa vào định lý Fubini vì

1.4 Phép tính với hàm công suất 21

trong đó α = sup {f(x) : x ∈ X} Phát biểu thứ hai được chứng minh

tương tự

Mệnh đề 1.4.2 ( Tính chất của tích phân Choquet) Xét các

hàm không âm f và g mà tích phân Choquet (1.5) được xác định đối với

b, Tính đồng đơn điệu cộng tính comonotonic additivity

Nếu φ là đo được thì ∫

f dφ trùng với định nghĩa tích phân Lebesgue

thông thường.Trong trường hợp tổng quát, tích phân Choquet là khôngcộng tính Hơn nữa, tính chất cộng tính có thể được kiểm tra lại nếuhàm tích phân là đồng đơn điệu

Định nghĩa 1.4.3 (Hàm đồng đơn điệu) Hàm giá trị thực f và g

được gọi là đồng đơn điệu nếu (f (x) − f(x ′ ))(g(x) − g(x ′)) ≥ 0 với mọi

x, x ′ ∈ E Hơn nữa, f và g là đồng đơn điệu mạnh nếu với mọi x, x ′ ∈ E

thì f (x) < f (x ′ ) nếu và chỉ nếu g(x) < g(x ′)

Mệnh đề sau dễ dàng được chứng minh với φ = T X bằng việc sử dụngđịnh lý 1.4.1 và

sup{af(x) + bg(x) : x ∈ X} = a sup f(X) + b sup g(X)

nếu f và g là đồng đơn điệu

Định lý 1.4.4( Tính đồng đơn điệu cộng tính) Với hai hàm đồng

1.4 Phép tính với hàm công suất 22

đơn điệu f và g và với mọi a, b > 0 thì

xảy ra với mọi hàm φ.

Tính đồng đơn điệu chứng minh mối quan hệ tương đương trên họcác hàm, tức là một tập hợp hữu hạn các hàm là đồng đơn điệu nếu vàchỉ nếu tất cả các hàm là đồng đơn điệu từng đôi

Nếu φ(E) = 1 thì tích phân Choquet là phù hợp với các hàm khôngnhất thiết là không âm như

∫

f dT X = E | sup f(X)|,

∫

f dC X = E | inf f(X)|.

Ta thấy rằng tích phân Choquet của f đối với hàm công suất φ đưa

ra một hàm mới như sau

ψ(K) =

∫

K

f dφ, K ∈ K, (1.8)

1.4 Phép tính với hàm công suất 23

Khi đó ψ được gọi là tích phân bất định của φ và hàm f được gọi là đạo hàm Radon- Nikodym của ψ theo φ, tức là

f (x) = dψ

dφ (x), x ∈ E.

Mệnh đề 1 4.5(Sự đan dấu và nửa liên tục) Bậc của sự đan dấu

( đồng đơn điệu) của ψ được xác định bởi (1.8) là không nhỏ hơn bậc tương ứng của φ Trong trường hợp cụ thể, nếu φ là đan dấu đầy đủ ( đồng đơn điệu) thì ψ cũng vậy Hàm công suất ψ là nửa liên tục trên nếu cả f và φ là nửa liên tục trên.

do đó ψ là đan dấu ( đồng đơn điệu) của một bậc xác định nếu φ cũng

là đan dấu ( đồng đơn điệu) Tính nửa liên tục trên của ψ được suy ra

từ định lý hội tụ đồng đơn điệu

Nếu hàm công suất của X và Y xác định bởi

T Y (K) =

∫

K

f dT X

thì T Y (K) = 0 mà T X (K) = 0 Đây là trường hợp đặc biệt của tính liên

tục tuyệt đối của hàm công suất được định nghĩa như sau

Định nghĩa 1.4.6 (Hàm công suất liên tục tuyệt đối) Hàm công

suất ψ là liên tục tuyệt đối theo φ ( kí hiệu ψ ≪ φ) nếu với mọi K ∈

K, ψ(K) = 0 thì φ(K) = 0.

Bây giờ chúng ta đưa ra công thức của định lý Radon- Nikodym đối

với hàm công suất φ và ψ mà là các hàm đơn điệu, cộng tính dưới và liên tục như sau Cặp (φ, ψ) được gọi là có tính chất phân tích mạnh (

1.5 Sự hội tụ 24

strong decomposition) nếu với mọi t ≥ 0 thì tồn tại một tập đo được A t

sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn

t(ψ(A) − ψ(B)) ≤ φ(A) − φ(B) nếu B ⊂ A ⊂ A t ,

t(ψ(A) − ψ(A ∩ A t)) ≥ φ(A) − φ(A ∩ A t) với mọi A.

Định lý 1.4.7 ( Định lý Radon- Nikodym đối với hàm công

suất) Với hai hàm công suất φ và ψ, ψ là tích phân bất định của φ nếu

và chỉ nếu (φ, ψ) có tính chất phân tích mạnh và ψ ≪ φ.

Sự hội tụ yếu của các tập đóng ngẫu nhiên là trường hợp đặc biệt của

sự hội tụ yếu của độ đo xác suất, vì một tập đóng ngẫu nhiên là trườnghợp riêng của một yếu tố ngẫu nhiên tổng quát và có thể được liên kếtvới độ đo xác suất trên B(F).

Định nghĩa 1.5.1 ( Sự hội tụ yếu) Một dãy các tập đóng ngẫu nhiên

{X n , n ≥ 1} được gọi là hội tụ yếu ( hoặc hội tụ theo phân phối) tới một

tập đóng ngẫu nhiên X với phân phối P ( kí hiệu là X n −→ X) nếu độ d

đo xác suất tương ứng {P n , n ≥ 1} hội tụ yếu tới P , tức là

P n(Y) → P (Y) khi n → ∞

với mỗi Y ∈ B(F) sao cho P (∂Y) = 0, trong đó biên của Y được xác

định đối với một topo trên F mà sinh ra σ− đại số Effros.

Nếu E là không gian LCHS thì biên của Y trong định nghĩa 1.5.1

nhận được từ topo Fell Trong trường hợp này vì họ F các tập đóng là

compact nên điều kiện không kín no tightness là cần thiết cho sự hội tụyếu của các tập đóng ngẫu nhiên trong không gian LCHS, tức là tất cảcác họ phân phối các tập đóng ngẫu nhiên là compact tương đối Điều

1.5 Sự hội tụ 25

này được xây dựng như sau

Định lý 1.5.2 Nếu E là không gian LCHS thì mọi dãy {X n , n ≥ 1} của

các tập đóng ngẫu nhiên có một dãy con hội tụ yếu

Định nghĩa 1.5.3 ( Họ liên tục) Họ các tập Borel compact tương

đối B thỏa mãn

T X (clB) = T X (IntB)

được gọi là họ liên tục của X và được kí hiệu bởi ðT X hoặc ðX

Nhận xét: ðX chứa tất cả các tập compact đóng chính quy nếu Xdừng

Từ định lý 1.5.2 ta thấy nếu X n → X thì T d X n (K) → T X (K) khi

n → ∞ với mọi tập compact K ∈ ð X Định lý sau mô tả sự hội tụ yếucủa các tập đóng ngẫu nhiên trong sự hội tụ theo từng điểm của cáchàm công suất

Định lý1.5.4: ( Sự hội tụ của hàm công suất) Một dãy các tập

đóng ngẫu nhiên {X n , n ≥ 1} trong không gian LCHS hội tụ yếu tới một

tập đóng ngẫu nhiên X nếu và chỉ nếu

T X n (K) → T X (K) khi n → ∞

với mỗi K ∈ ð X ∩ K.

Định lý trên được chứng minh trực tiếp bằng việc chỉ ra T X n (G) →

T X (G) với mọi tập mở G sao cho T X (G) = T X (clG) Khi đó, kết luận

được suy ra từ sự hội tụ của độ đo xác suất trên họ Y = F K

G1···G n với

P (∂ Y) = 0.

Ví dụ 1 5.5 ( Sự hội tụ của các hình cầu ngẫu nhiên) Hình cầu

X n = B η n (ξ n ), n ≥ 1 hội tụ yếu nếu (η n , ξ n) hội tụ yếu như các yếu tốngẫu nhiên trong không gian tích R+× E Thật vậy, X n ∩ K ̸= ∅ nếu và

chỉ nếu

(η n , ξ n) ∈ F = ∪ r ≥0({r} × K r)

1.5 Sự hội tụ 26

với F là một tập đóng Vì ánh xạ B r (x) 7→ (r, x) là song ánh liên tục

giữa họ các hình cầu và R+ × E nên X n

d

−→ X kéo theo (η n , ξ n) hội tụ

yếu khi n → ∞.

1.5.2 Sự hội tụ h.c.c và sự hội tụ theo xác suất

Có nhiều dạng hội tụ của tập ngẫu nhiên Đầu tiên, ta định nghĩa hội

tụ theo Painleve- Kuratowski như sau

Định nghĩa 1.5.6 (Hội tụ Painleve- Kuratowski) Một dãy{A n , n ≥

1} các tập con của E được gọi là hội tụ tới A theo nghĩa Painleve-

Ku-ratowski nếu A = lim sup A n = lim inf A n Trong trường hợp này chứng

ta viết A n −→ A hoặc P K − lim A P K n = A.

Dễ dàng xác định sự hội tụ h.c.c của các tập đóng ngẫu nhiên bằngviệc sử dụng sự hội tụ của topo trên F Ví dụ như, X n

P K

−→ X h.c.c

nếu X n (w) −→ X(w) với hầu hết tất cả w ∈ Ω Nếu E là compact địa P K

phương thì sự hội tụ này tương đương với sự hội tụ h.c.c trong topo Fell.Trong trường hợp này, kí hiệu của topo thường được bỏ qua và chúng

ta viết X n → X h.c.c Sự hội tụ h.c.c của các tập compact ngẫu nhiên

thường được xác định với metric Hausdoff như ρ H (X n , X) → 0 h.c.c.

Theo tính chất chung của độ đo xác suất trong không gian topo thì

sự hội tụ h.c.c của tập đóng ngẫu nhiên ( trong topo Fell) kéo theo sựhội tụ yếu của chúng Mặt khác, một dãy hội tụ yếu của các tập đóngngẫu nhiên có thể thu được trên không gian xác suất đơn như một dãyhội tụ h.c.c

Định lý 1.5.7 ( Sự hội tụ h.c.c của các tập compact ngẫu nhiên).

Cho V là một tập con đóng của K và cho {X n , n ≥ 1} là một dãy các

tập ngẫu nhiên V− giá trị sao cho cl(∪ n X n) là compact h.c.c Nếu

d H (X n , V ) hội tụ h.c.c với mỗi V ∈ V thì {X n , n ≥ 1} hội tụ h.c.c trong

metric Hausdoff

Trong không gian Banach có thể định nghĩa giới hạn h.c.c mạnh và

1.5 Sự hội tụ 27

yếu của một dãy các tập đóng ngẫu nhiên Nếu sup

n ≥1 ||X n || < ∞ h.c.c

trong không gian phản xạ E thì tồn tại một tập đóng ngẫu nhiên X sao

cho X = w − lim sup X n h.c.c

Sự hội tụ theo xác suất

Để định nghĩa sự hội tụ của các tập đóng ngẫu nhiên theo xác suấtthì cần giả sử rằng E là không gian metric Chú ý rằng F ε − là ε − bao

mở của F với F ε − = {x ∈ E : ρ(x, F ) < ε}.

Định nghĩa 1.5.8 (Sự hội tụ theo xác suất) Một dãy {X n , n ≥ 1}

được gọi là hội tụ theo xác suất nếu với mọi ε > 0 và K ∈ K ta có

Bổ đề 1.5.9 (Dãy con hội tụ ) Nếu các tập đóng ngẫu nhiên{X n , n ≥

1} hội tụ theo xác suất tới X thì tồn tại một tập con {n(i), i ≥ 1} sao

cho X n(i) → X h.c.c khi i → ∞.

Chứng minh Chọn một dãy {(ε i , K i)} ⊂ (R+×K) sao cho ε i ↓ 0,∑∞

i=1

ε i <

∞ và K i ↑ E Theo (1.9) ta có với mọi i ≥ 1 có thể tìm thấy một số

nguyên n(i) sao cho dãy {n(i), i ≥ 1} là một dãy tăng hoàn toàn và

P {Y ε i ,n ∩ K i ̸= ∅} ≤ ε i với mọi n ≥ n(i) Khi đó

và Y ε i ,n(i) ∩ K i ̸= ∅ nhiều nhất là một số hữu hạn lần Với mọi ε > 0 và

K ∈ K ta có Y ε,n(i) ⊂ Y ε i ,n(i) và K ⊂ K i với i đủ lớn Do đó

lim

k →∞ P ( ∪ ∞ i=k {Y ε,n(i) ∩ K ̸= ∅}) = 0

1.5 Sự hội tụ 28

Từ đó ta có Y ε,n(i) → ∅ h.c.c Do đó, X n(i) → X h.c.c.

Định lý 1.5.10 Cho ρ là một metric nào đó trên F mà tương thích

với topo Fell Nếu X và X n , n ≥ 1 là các tập đóng ngẫu nhiên thì khi đó

các phát biểu sau là tương đương:

(i) X n → X theo xác suất;

(ii) ρ(X n , X) → theo xác suất;

(iii) Mọi dãy con của {X n , n ≥ 1} chứa một dãy con xa hơn mà hội

tụ h.c.c tới X

Chứng minh Theo bổ đề 1.5.9 ta có (i) ⇒ (ii) Điều kiện (iii) có nghĩa

là một dãy con nào đó của các biến ngẫu nhiên {ρ(X n , X), n ≥ 1} chứa

một dãy con xa hơn mà hội tụ h.c.c tới 0 Lập luận này được áp dụngcho các biến ngẫu nhiên giá trị thực là tương đương với (ii)

Chứng minh (ii) ⇒ (i) dễ dàng thấy được bằng việc giả sử rằng (i)

không xảy ra Vì vậy có một dãy con {X n(i) , i ≥ 1} sao cho P {Y ε,n(i) ∩

K ̸= ∅} > ε với ε > 0 cố định nào đó và K ∈ K Bây giờ (ii) kéo theo

X n(i(k)) → X h.c.c với một dãy con xa hơn Từ đó, Y ε,n(i(k)) → ∅ h.c.c.

Do đó, trái với giả thiết nên điều giả sử là sai Ta có điều phải chứngminh

Hệ quả 1.5.11 Nếu X n → X theo xác suất thì X n

d

−→ X h.c.c khi

n → ∞.

Chứng minh Với mọi hàm liên tục bị chặn g : F 7→ R thì theo định lý

hội tụ trội và định lý 1.5.10 ta có mọi dãy con của {Eg(X n ), n ≥ 1}

chứa một dãy con xa hơn mà hội tụ tới Eg(X) Do đó Eg(X n) hội tụ

tới Eg(X).

Chương 2

Kỳ vọng lựa chọn

Không gian F các tập đóng ( và không gian K các tập compact) là

không tuyến tính, vì vậy các định nghĩa thông thường của kỳ vọng trongkhông gian tuyến tính không có áp dụng trực tiếp cho tập đóng ngẫunhiên ( hoặc tập compact).Trong phần này nói về kỳ vọng lựa chọn mà làđịnh nghĩa cần nghiên cứu nhất của kỳ vọng của các tập ngẫu nhiên Vìnhiều kết quả có thể được thiết lập đối với các tập đóng ngẫu nhiên trongkhông gian Banach nên chúng ta giả sử rằng E là không gian Banachtách được

Ý tưởng chính trong định nghĩa của lựa chọn khả tích là biểu diễnmột tập đóng ngẫu nhiên như một họ của lựa chọn khả tích của nó.Chúng ta sử dụng có hệ thống kỳ vọng Bocher trong không gian E, do

đó Eξ là kí hiệu kỳ vọng Bocher của một yếu tố ngẫu nhiên E− giá trị

ξ Nếu E = Rd thì kỳ vọng Bocher của vecto ngẫu nhiên ξ = (ξ1, · · · , ξ d)

là vecto Eξ = (Eξ1, · · · , Eξ d) của kỳ vọng tọa độ

Cố định không gian xác suất (Ω, F, P ) Cho L p = L p (Ω,E) là kí hiệukhông gian các yếu tố ngẫu nhiên với giá trị trong E sao cho L p

- chuẩn

||ξ|| p = E ||ξ|| p

29

Định nghĩa 2.1.1 ( Lựa chọn p- khả tích) Nếu X là một tập đóng

ngẫu nhiên trong E thì S p (X), 1 ≤ p ≤ ∞ là họ của tất cả các lựa chọn

của X từ L p tức là

S p (X) = S(X) ∩ L p

,

trong đó S(X) là kí hiệu họ của tất cả các lựa chọn ( đo được) của X.

Trong trường hợp đặc biệt, S1(X) là họ của lựa chọn khả tích.

Mệnh đề sau đưa ra tính chất cơ bản của lựa chọn khả tích

Mệnh đề 2.1.2 Nếu X là một tập đóng ngẫu nhiên trong E thì với p

nào đó thuộc [1, ∞] ta có

(i) S p (X) là một tập con đóng của L p

(ii) Nếu S p (X) ̸= ∅ thì tồn tại một dãy {ξ n , n ≥ 1} ⊂ S p (X) sao cho

X = cl {ξ n , n ≥ 1};

(iii) Nếu S p (X) = S p (Y ) ̸= ∅ thì X = Y h.c.c.

Chứng minh (i) Nếu ξ n → ξ trong L p thì tồn tại một dãy con {n(k), k ≥

1} sao cho ξ n(k) → ξ h.c.c, tức là ξ ∈ S p (X)

(ii) Theo định lý 1.2.3, tồn tại một dãy {ξ n , n ≥ 1} của lựa chọn (

không cần thiết là khả tích) sao cho X = cl {ξ n , n ≥ 1} Cho ξ ∈ S p (X)

cố định, định nghĩa

ξ nm ′ = 1||ξ n ||∈[m−1,m) ξ n + 1||ξ n ||̸∈[m−1,m) ξ,

thuộc S p (X) Khi đó, X = cl {ξ ′

nm , n, m ≥ 1}.

(iii) Được suy ra trực tiếp từ (ii)

Kết quả sau đưa ra mối quan hệ giữa họ các lựa chọn khả tích vàphép toán với tập đóng ngẫu nhiên

2.1 Lựa chọn khả tích 31

Mệnh đề 2.1.3 Cho X = cl(X1 + X2) Nếu cả S p (X1) và S p (X2) làkhông trống với 1 ≤ p < ∞ thì

S p

(X) = cl( S p

(X1) +S p

(X2)),

bao đóng và tổng Minkowski trong vế phải là được xét trong L p

Chứng minh Theo mệnh đề 2.1.2 (ii), ta có X i = cl {ξ in , n ≥ 1} với {ξ in,n ≥1 } ⊂ S p (X i ) , i= 1, 2 Khi đó, X = cl {ξ 1i + ξ 2j , i, j ≥ 1} Với

mỗi ξ ∈ S p (X) có thể xấp xỉ bởi ∑n

k=11A k (ξ 1ik + ξ 2jk), do đó S p (X) ⊂ cl( S p (X1) +S p (X2)) Ta có S p (X) ⊃ cl(S p (X1) +S p (X2)) là hiển nhiên

Định lý sau mô tả các tập con đóng của L p mà có thể biểu diễnnhư S p (X) đối với một tập đóng ngẫu nhiên X Một tập con E ⊂ L p

được gọi là phân tích được nếu với ξ1, ξ2 ∈ E nào đó và A ∈ F ta có

1A ξ1+ Ω\ Aξ2 ∈ E Điều này kéo theo ∑1A i ξ i ∈ E với các phân hoạch

đo được A1, · · · , A n của Ω và ξ1, · · · , ξ n ∈ E.

Định lý 2.1.4 (Tập phân tích được và sự lựa chọn) Cho E là một

tập con đóng không rỗng của L p , 1 ≤ p ≤ ∞ Khi đó E = S p (X) đối với

một tập đóng ngẫu nhiên X nếu và chỉ nếu E là phân tích được

Chứng minh Rõ ràng, S p (X) là đóng và phân tích được Cho E ̸= ∅

là một tập con đóng phân tích được của L p với 1 ≤ p < ∞ Chọn dãy {ξ i , i ≥ 1} ⊂ L p

mà trù mật trong E Với mỗi i ≥ 1 chọn {η ij , j ≥ 1} ⊂ E

sao cho

||ξ i − η ij || p → α i = inf

η ∈E ||ξ i − η|| p khi j → ∞ (2.1) Định nghĩa X = cl {η ij , i, j ≥ 1} với mục đích để chỉ ra rằng E = S p (X) Khi đó, với mỗi ξ ∈ S p (X) và ε > 0 thì tồn tại một sự phân chia đo được A1, · · · , A n của Ω và ξ1′ , · · · , ξ ′

n ∈ {η ij , i, j ≥ 1} sao cho

||ξ −∑1A ξ k ′ || p < ε.

Cho j → ∞ dẫn đến điều mâu thuẫn.

Bây giờ xét trường hợp p = ∞ Cho E ′ là bao đóng của E trong L1

Vì E’ là phân tích được nên E ′ = S1(X) đối với tập đóng ngẫu nhiên X Chúng ta chứng minh rằng E = S ∞ (X) Với mỗi ξ ∈ S ∞ (X) chọn dãy

{ξ n , n ≥ 1} ⊂ E sao cho ||ξ n − ξ||1 → ∞ và ξ n → ξ h.c.c Nếu α > ||ξ|| ∞

thì η n = 1ξ n <α ξ n + 1ξ n ≥α ξ n hội tụ tới ξ trong L ∞ Do đó ξ ∈ E.

Định lý sau đưa ra điều kiện cần và đủ để tồn tại lựa chọn khả tích

Định lý 2.1.5 ( Sự tồn tại lựa chọn khả tích) Với mỗi p ∈ [1, ∞)

họ S p (X) là không rỗng nếu và chỉ nếu biến ngẫu nhiên

α = inf {||x|| : x ∈ X} = ρ(0, X)

thuộc L p (Ω, R), tức là Eα p < ∞ nếu p ∈ [1, ∞) hoặc α là bị chặn nếu

p = ∞.