Tập ngẫu nhiên và các vấn đề liên quan

12 1.7 Đặc trưng của trường vector chỉnh hình tiếp xúc với siêu mặt dạng ống trong C2.. Ở đây, H tiếp xúc với M, Hlà trường vector chỉnh hình và h1, h2 là các hàm chỉnh hình trong một lâ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

o0o

-DƯƠNG THỊ NGỌC OANH

VỀ NHÓM CR TỰ ĐẲNG CẤU

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2016

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

o0o

-DƯƠNG THỊ NGỌC OANH

VỀ NHÓM CR TỰ ĐẲNG CẤU

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS NINH VĂN THU

Hà Nội - 2016

LỜI CẢM ƠN

Bản luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và chỉ dạy tận tìnhcủa TS Ninh Văn Thu Nhân dịp này, tôi xin được kính gửi tới Thầy lời cảm

ơn chân thành và sâu sắc nhất

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo trongkhoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia HàNội đã dạy bảo tôi tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa Tôi cũngxin gửi lời cảm ơn đến Phòng Sau Đại học của nhà trường đã tạo mọi điều kiệnthuận lợi để tôi sớm hoàn thành luận văn của mình

Nhân dịp này tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, người thân vàbạn bè Những người luôn bên cạnh ủng hộ, động viên, giúp đỡ tôi cả về vậtchất và tinh thần trong cuộc sống và học tập

Mặc dù bản thân tôi đã có nhiều cố gắng nhưng bản luận văn này vẫn khótránh khỏi những thiếu sót Vì vậy, tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiếncủa quý thầy, cô và các bạn

Hà Nội, tháng 12 năm 2016

Dương Thị Ngọc Oanh

LỜI CẢM ƠN 1

1.1 Một số khái niệm trong giải tích phức 5

1.2 Tính chất địa phương của ánh xạ bảo giác 6

1.3 Khái niệm điểm kiểu vô hạn theo nghĩa D’Angelo 9

1.4 Khái niệm trường vector chỉnh hình tiếp xúc 10

1.5 Một số kết quả về hàm triệt tiêu cấp vô hạn 10

1.6 Định lý bông hoa Leau-Fatou 12

1.7 Đặc trưng của trường vector chỉnh hình tiếp xúc với siêu mặt dạng ống trong C2 13

2 Nhóm CR tự đẳng cấu của một số lớp các siêu mặt kiểu vô hạn trong C2 16 2.1 Nhóm con G2(MP, 0) 17

2.2 Nhóm các CR tự đẳng cấu của MP 18

2.3 Nhóm các CR tự đẳng cấu của siêu mặt dạng ống trong C2 22

2.4 Đặc trưng của trường vector chỉnh hình tiếp xúc với MP 25

2

2 Ở đây, H tiếp xúc với M, H

là trường vector chỉnh hình và h1, h2 là các hàm chỉnh hình trong một lâncận của p

MỞ ĐẦU

Giả sử (M, p) là một mầm siêu mặt trong Cn sao cho p là điểm kiểu vô hạntheo nghĩa D’Angelo (gọi tắt là kiểu vô hạn) Nhóm tự đẳng cấu của M (kí hiệubởi Aut(M )) là nhóm tất cả các song ánh chỉnh hình trong lân cận của M vàbiến M vàoM Nhóm ổn định củaM tạip(kí hiệu bởiAut(M, p)) là nhóm tất cảcác tự đẳng cấu của M biến p thành p Tập hợp tất cả các trường vector chỉnhhình trong Cn tiếp xúc với M và triệt tiêu tại p được kí hiệu là aut0 (M, p) Bàitoán được đặt ra là hãy mô tả nhóm các CR tự đẳng cấu Aut(M, p) và mô tảcác trường vector chỉnh hình tiếp xúc aut0 (M, p) của mầm siêu mặt (M, p).Trong luận văn này, chúng tôi xét các siêu mặt đặc biệt Cụ thể, chúng tôixét các mô hình kiểu vô hạn MP được định nghĩa như sau

MP := {(z1, z2) ∈C2: Re z1+ P (z2) = 0},

trong đó P 6≡ 0 là hàm C∞-trơn, triệt tiêu cấp vô hạn tại z2 = 0 Nội dungchính của luận văn này là tìm hiểu các kết quả về nhóm các CR tự đẳngcấu Aut(MP, 0) và mô tả các trường vector chỉnh hình tiếp xúc aut0(MP, 0)

của mô hình kiểu vô hạn MP Luận văn được trình bày dựa theo bài báo

“Infinitesimal CR automorphisms and stability groups of models in C2" củaAtsushi Hayashimoto và Ninh Văn Thu ([1])

Bố cục của luận văn gồm hai chương:

Chương I: Những kiến thức chuẩn bị

Nội dung của chương này là trình bày một số kiến thức cơ bản của giải tíchphức như khái niệm hàm chỉnh hình, ánh xạ bảo giác, khái niệm trường vectorchỉnh hình tiếp xúc, khái niệm điểm kiểu vô hạn theo nghĩa D’Angelo, Định lýbông hoa Leau -Fatou Đặc trưng của trường vector chỉnh hình tiếp xúc với siêumặt dạng ống trong C2

Chương II: Nhóm các CR tự đẳng cấu của một số lớp các siêu mặt kiểu vôhạn trong C2

Trong chương này, chúng ta sẽ mô tả nhóm các CR tự đẳng cấu của một sốlớp các siêu mặt kiểu vô hạn trong C2 và mô tả các trường vector chỉnh hìnhtiếp xúc của MP Nội dung chủ yếu là chứng minh Định lý 2.2.1, 2.3.1 và 2.4.1

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Giả sử Ωlà miền của mặt phẳng phức C và f là hàm biến phức z = x + iy xácđịnh trong Ω

Định nghĩa 1.1.1 Hàm f được gọi là C - khả vi tại điểm z0 ∈ Ω nếu tồn tạigiới hạn

-Hàm chỉnh hình còn được gọi là hàm giải tích vì hàm chỉnh hình luôn khaitriển thành chuỗi Taylor tại mọi điểm trong miền xác định của nó

Định nghĩa 1.1.3 f là ánh xạ bảo giác từ miền D ⊂ ˆC lên trên G ⊂ ˆC nếu

1 f là phân hình trong D

2 f là đơn ánh

3 f (D) = G

5

Ta nói f là ánh xạ bảo giác từ D vào trong G nếu (3) được thay bởi f (D) ⊂ G.

Nhận xét 1.1 Nếu f có cực điểm tại ∞ và bảo giác tại ∞ thì ∞ chỉ là cựcđiểm đơn của f

Chúng ta chỉ định nghĩa ánh xạ bảo giác trên những tập liên thông Dưới đây

là những tính chất cơ bản của ánh xạ bảo giác

• Ánh xạ ngược của ánh xạ bảo giác cũng là ánh xạ bảo giác

• Một ánh xạ bảo giác là một đồng phôi, tức là một đơn ánh liên tục với ánh

Định nghĩa 1.2.1 Cho g1, g2 là hai ánh xạ bảo giác thỏa mãn g1(0) = g2(0) = 0

Ta nói rằng g1 và g2 là liên hợp chỉnh hình địa phương nếu tồn tại ánh xạ songchỉnh hình ϕ với ϕ(0) = 0 sao cho

g1 ≡ ϕ−1◦ g2◦ ϕ.

Định nghĩa 1.2.2 Cho g là ánh xạ bảo giác thỏa mãn g(0) = 0 Khi đó, ta nói(i) g là tiếp xúc với đồng nhất nếu g0(0) = 1;

(ii) g là parabolic nếu g0(0) = e2πip/q với p, q ∈Z;

(iii) g là elliptic nếu g0(0) = e2πiθ với θ ∈R\Q

Bổ đề 1.2.1 Cho hàm P là C∞-trơn trên∆0 (0> 0) thỏa mãn ν0(P ) = +∞ và

P (z) 6≡ 0 Giả sử tồn tại ánh xạ bảo giác g trên ∆0 với g(0) = 0 sao cho

P (g(z)) = β + o(1)
P (z), z ∈ ∆  0

với β ∈R∗ nào đó Khi đó, |g0(0)| = 1

Chứng minh Giả sử tồn tại ánh xạ bảo giác g thỏa mãn g(0) = 0 và β ∈R∗ saocho P (g(z)) = β + o(1)
P (z), ∀ z ∈ ∆0 Khi đó, ta có

P (g(z)) = β + γ(z)
P (z), z ∈ ∆0,

với γ là hàm xác định trên ∆0 thỏa mãn γ(z) → 0 khi z → 0 Do γ(z) → 0 khi

z → 0 nên tồn tại δ0 > 0 sao cho |γ(z)| < β/2 với mọi z ∈ ∆δ0

trong đó gn là hợp thành n lần củag Hơn nữa, vì 0 < α < 1 nên tồn tạim0 ∈Z∗

sao cho |α m 0 | < β/2 Do đó, 0 < |gn(z0)| ≤ αn|z0| với bất kìn ∈ N Từ (1.1), ta có

Chứng minh Giả sử phản chứng rằng tồn tại β 6= 0 sao cho f (t + βf (t)) = f (t)

với mỗi t ∈ [−r, r] và t + βf (t) ∈ [−r, r] Khi đó, ta có

sao với mọi t1, t2 ∈ [−r, r] mà |t1− t2| < δ, ta có |f (t1) − f (t2)| < /2 Mặt khác,

do f (t) → 0 khi t → 0 (do f liên tục) và f 6≡ 0 nên ta tìm đượct ∈ [−δ/2, δ/2] saocho |βf (t)| < δ và 0 < |f (t)| < /2 Vì vậy, ta luôn tìm được số nguyên m sao cho

Ví dụ sau đây sẽ minh họa cho Bổ đề 1.2.2

Ví dụ 1.2.3 Cho f : [−1, 1] →R là hàm cho bởi f (x) = x2 Giả sử tồn tại β ∈R

sao cho f (t + βf (t)) = f (t) với mọi t ∈ [−1, 1], t + βf (t) ∈ [0, 1] Khi đó, ta có

(t + βt2)2 = t2 Do đó, bằng tính toán đơn giản ta suy ra β = 0

Bổ đề 1.2.4 Cho P là C∞-trơn thỏa mãn P (0) = 0 và g là ánh xạ bảo giácthỏa mãn g(0) = 0, |g0(0)| = 1 và g 6= id Nếu tồn tại số thực dương δ thỏa mãn

P (g(z)) ≡ δP (z) thì δ = 1 Ngoài ra, ta có hoặc g0(0) = e2πip/q (p, q ∈Z) và gq = id

hoặc g0(0) = e2πiθ với θ ∈R\Q nào đó.

Chứng minh Thay g bởi hàm ngược của nó nếu cần, ta có thể giả sử δ ≥ 1 (vìnếu δ ≥ 1 thì ta xét g−1)

Chúng ta chia bài toán làm 3 trường hợp

Trường hợp 1 g0(0) = 1 Theo Định lý bông hoa của Leau-Fatou, tồn tại z

trong một lân cận đủ bé của 0 với P (z) 6= 0 sao cho limn→+∞gn(z) = 0 Do

P (gn(z)) = (δ)nP (z) và limn→+∞P (gn(z)) = P (0) = 0 nên ta có 0 < |δ| < 1 Điềunày là mâu thuẫn.

Trường hợp 2 λ := g0(0) = e2πip/q (p, q ∈Z)

Trước hết, giả sử rằng gq = id Khi đó, theo Mệnh đề 3.1 trong [3], tồn tại z

trong một lân cận đủ bé của0mà P (z) 6= 0sao cho{g n (z)}n được chứa trong tậpcompact tương đối trong một lân cận thủng Vì vậy, do giả thiết P (g(z)) = δP (z)

nên dãy {δ n } phải hội tụ Điều này suy ra δ = 1

tự như ở Trường hợp 2, ta kết luận δ = 1 Vậy, bổ đề được chứng minh

Định nghĩa 1.3.1 Hàm f : ∆ → R được gọi là triệt tiêu cấp m tại 0 (khôngđiểm cấp m ∈N) nếu

Trong trường hợp f = (f1, , fk) : ∆ →Rk, ν(f ) := min{ν(f1), , ν(fk)}

Ví dụ 1.3.1 Hàm f (x) = sin(x2) có khai triển Taylor tại 0 là

M ∩ U = {z ∈ U : ρ(z) = 0} với 5ρ(z) 6= 0 với mọi z ∈ M ∩ U Khi đó, kiểutheo nghĩa D’Angelo của M tại p được định nghĩa bởi đại lượng

τ (M, p) := sup

γ

ν(ρ ◦ γ) ν(γ) ,

trong đó sup được lấy trên tập tất cả các đường cong chỉnh hình khác hằng

Định nghĩa 1.4.1 Một trường vectơ chỉnh hình trong Cn được cho bởi toán tử:

Định nghĩa 1.4.2 Một siêu mặt thực trong Cn được mô tả bởi biểu thức

M = {z ∈ Cn : ρ(z) = 0}, trong đó 5ρ(z) 6= 0 với mọi z ∈ M

Định nghĩa 1.4.3 Một trường vectơ H được gọi là tiếp xúc với M ⇔ ReHρ = 0,tức là

Bổ đề 1.5.1 ([7]) Cho P : ∆0 →R là C∞-trơn thỏa mãn thành phần liên thôngcủa z = 0 trong tập không điểm của P là{0} và P triệt tiêu cấp vô hạn tại z = 0.Nếu a, b là các số phức và g0, g1, g2 là C∞-trơn xác định trên ∆ thỏa mãn

(A1) g0(z) = O(|z|), g1(z) = O(|z|`) và g2(z) = o(|z|m);

(A2) Reh azm+g2(z)
Pn+1(z)+bz` 1+g0(z)
Pz(z)+g1(z)P (z)i= 0 với mỗiz ∈ ∆0

với bất kỳ số nguyên không âm `, m và n trừ một trong hai trường hợp sau(E1) ` = 1 và Re b = 0;

(E2) m = 0 và Re a = 0,

thì ab = 0

Bổ đề 1.5.2 Cho P, g 0 , g 1 , g 2 , a, b như trong Bổ đề 1.5.1 Giả sử rằng γ : [t0, t∞) → ∆∗0 (t0 ∈ R), trong đó t∞ ∈ R hoặc t∞ = +∞, là nghiệm của bàitoán giá trị ban đầu

là {0} nên, không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng tồn tại t1 ∈ (t0, t∞)

sao cho P (γ(t)) 6= 0 với mỗi t ∈ (t0, t1) và P (γ(t1)) = 0 Đặt u(t) := 12log |P (γ(t))|

với t0 < t < t1 Từ phương trình (A2) ta có

= −Pn(γ(t))Re aγm(t) + o(|γ(t)|m)
+ O(|γ(t)|`)

với mọi t0 < t < t1 Điều này có nghĩa là u0(t) bị chặn trên (t0, t1) Do đó, u(t)

bị chặn trên (t0, t1) Điều này mâu thuẫn với u(t) → −∞ khi t ↑ t1 Vậy, Bổ đềđược chứng minh

Từ Bổ đề 1.5.1, ta có hệ quả sau

Hệ quả 1.5.3 Cho P : ∆0 →R be a C∞-trơn thỏa mãn thành phần liên thôngcủa điểm 0 trong tập không điểm của P là {0} và P triệt tiêu cấp vô hạn tại

z = 0 Nếu b là số phức và nếu g là C∞-trơn xác định trên ∆0 thỏa mãn

(B1) g(z) = O(|z|k+1), và

(B2) Reh bzk + g(z)
Pz(z)i= 0 với mỗi z ∈ ∆0

với k nguyên không âm, trừ trường hợp k = 1 và Re(b) = 0, thì b = 0

Trong mục này, chúng ta sẽ phát biểu định lý bông hoa của Leau - Fatou.Định lý bông hoa của Leau - Fatou khẳng định rằng ta có thể tìm được các miềnđơn liên bất biến với biên chứa điểm0sao cho trên mỗi miền những ánh xạ chỉnhhình tiếp xúc với đồng nhất là liên hợp với tự đẳng cấu parabolic của miền vàmỗi điểm trong miền hoặc hút vào hoặc rời xa điểm 0 Các chi tiết cụ thể hơnđược xem trong [3, 4] Những miền đó được gọi là các cánh hoa (petals) và sựtồn tại của chúng được dự đoán bởi Định lý bông hoa của Leau - Fatou Ta chú

ý rằng nếu g(z) = z + arzr+ O(zr+1) với r > 1 và ar 6= 0 thì ta có thể xây dựngđược phép đổi biến chỉnh hình sao cho g là liên hợp vớig(z) = z + zr+ O(zr+1)

Số r là bậc củag tại 0 Dưới đây là phát biểu chi tiết cho định lý này

Định lý 1.6.1 (Định lý bông hoa của Leau - Fatou) Cho g(z) = z + zr+ O(zr+1)

với r > 1 Khi đó, tồn tại 2(r − 1) miền, ký hiệu là Pj±, đối xứng với(r − 1) hướng

arg z = 2πq/(r − 1), q = 0, , r − 2, sao cho Pj+ ∩ Pk+ = ∅ và Pj−∩ Pk− = ∅ với

j 6= k, 0 ∈ ∂Pj±, mỗi miền là song chỉnh hình với nửa mặt phẳng bên phải H, và

gk(z) → 0 khi k → ±∞ với mỗi z ∈ Pj±, trong đó gk = (g−1)−k với k < 0 Hơnnữa, với mỗi j, ánh xạ g |P±

j là liên hợp chỉnh hình với tự đẳng cấu parabolic

z → z + i trên H

1.7 Đặc trưng của trường vector chỉnh hình tiếp

Định lý 1.7.1 Cho hàm P˜ là C∞-trơn xác định trong một lân cận của 0 trong

C thỏa mãn

(i) P (x) 6≡ 0˜ trên lân cận của x = 0 trong R, và

(ii) P˜ triệt tiêu cấp vô hạn tại z2= 0

Gọi P là hàm C∞-trơn xác định bởi P (z2) := ˜ P (Re z2) Khi đó, aut0 (MP, 0) = 0.Chứng minh Giả sử H = h1(z1, z2)∂z1 + h2(z1, z2)∂z2 là trường vectơ chỉnh hìnhxác định trên một lân cận của gốc tọa độ thỏa mãn H(0) = 0 Ta chỉ xét H tiếpxúc tại MP, tức là thỏa mãn đồng nhất thức

với mọi z2∈ C và t ∈R với |z2| < 0 và |t| < δ0, trong đó 0 > 0 và δ0 > 0 đủ bé.Mục đích của ta là chỉ ra rằng H ≡ 0 Thật vậy, giả sử phản chứng rằng H 6≡ 0.

Do Pz2(z2) triệt tiêu cấp vô hạn tại 0 nên nếu h2 ≡ 0 thì từ (1.5) ta có h1 ≡ 0

Do đó, ta có thể giả sử rằng h2 6≡ 0

Bây giờ ta chia lập luận thành hai trường hợp sau đây:

Trường hợp 1 h1 6≡ 0 Gọi j0 là số nguyên nhỏ nhất sao cho aj0k 6= 0 với

số nguyên k nào đó Tương tự như vậy, gọi k0 là số nguyên nhỏ nhất sao cho

aj0k0 6= 0 Tương tự như vậy, gọi m 0 là số nguyên nhỏ nhất sao cho b m 0 n 6= 0 với

số nguyên n nào đó và gọi n 0 là số nguyên nhỏ nhất sao chob m 0 n 0 6= 0 Nhận xétrằng j 0 ≥ 1nếu k 0 = 0, và m 0 ≥ 1nếun 0 = 0 Do P (z 2 ) = o(|z 2 |j)với bất kì j ∈N

nên thay t = αP (z2) vào phương trình (1.6), trong đó α ∈R đủ nhỏ được chọn

Trường hợp 2 h1 ≡ 0 Gọi m0, n0 là các số nguyên giống như Trường hợp 1

Do P (z2) = o(|z2| n 0 ) nên thay t = αP (z2) vào phương trình (1.6), trong đó α ∈R

với mọi z2 = x + iy ∈ ∆0 Do P0(x) 6≡ 0 nên

Reh(iα − 1)m0 bm0n0 zn0

2 + o(|z2|n0 )
= 0 (1.9)với mọi z 2 ∈ ∆  0 Chú ý rằng nếu n 0 = 0 thì ta có thể chọn được số thực α

sao cho Re (iα − 1)m0 bm00
6= 0 Vì vậy, (1.9) là vô lý Vậy, định lý được chứngminh

trong đó g2 là ánh xạ bảo giác với g2(0) = 0 thỏa mãn P (g2(z2)) ≡ P (z2) và

g20(0) = e2πip/q (p, q ∈Z) hoặc g20(0) = id hoặc g20(0) = e2πiθ với θ ∈R\Q nào đó

(xem Bổ đề 1.2.4, Bổ đề 2.1.1 và Bổ đề 2.1.3 )

16

sẽ chỉ ra rằng tồn tại mô hình kiểu vô hạn (MP, 0) sao cho (z1, z2) 7−→ (z1, g2(z2))

thuộc vào nhóm con G2(MP, 0)

Định nghĩa 2.1.1 Nhóm con G2(MP, 0) ⊂ Aut(MP) gồm các CR tự đẳng cấu

f ∈ G2(MP, 0) xác định bởi

f (z1, z2) = (z1, g2(z2)),

trong đó g2 chỉnh hình trong một lân cận của 0 thỏa mãn g2(0) = 0, |g20(0)| = 1 và

P (g2(z2)) = P (z2)

Trước hết, ta đi chứng minh các bổ đề sau đây

Bổ đề 2.1.1 Nếu P (e2πiθz) ≡ P (z) với θ ∈R\Q thì P (z) ≡ P (|z|), tức là P đốixứng với phép quay

Chứng minh Chú ý rằng P (e2πniθz) ≡ P (z) với mọi n ∈N và {e 2πniθ z : n ∈N} =

S|z|, trong đó Sr := {z ∈ C: |z| = r}, r > 0 Do P liên tục nên P (z) ≡ P (|z|) vớimọi z ∈R Bổ đề được chứng minh.

Bây giờ ta chứng minh cho trường hợp parabolic tức là nếu gq = id thì

f ∈ G2(MP, 0) với (MP, 0) nào đó kiểu vô hạn

Bổ đề 2.1.2 Giả sử g(z) = e2πip/qz + · · · là ánh xạ bảo giác với λ = e2πip/q là cănnguyên thủy của đơn vị Nếu gq = id thì tồn tại mô hình kiểu vô hạn MP(0) saocho (z 1 , z 2 ) 7→ (z 1 , gj(z 2 )) thuộc vào nhóm G 2 (MP, 0) với mỗi j = 1, 2, , q − 1.Chứng minh Giả sử rằng g(z) = e2πip/qz + · · · là ánh xạ bảo giác với λ = e2πip/q

là căn nguyên thủy của đơn vị thỏa mãn gq = id Theo Mệnh đề 3.2 trong bàibáo [3], g là liên hợp chỉnh hình địa phương với hàm h(z) = λz

Gọi P˜ là hàm C∞-trơn thỏa mãn ν0( ˜ P ) = +∞ Khi đó, ta định nghĩa hàm

C∞-trơn P (z) bởi

P (z) := ˜ P (z) + ˜ P (g(z)) + · · · + ˜ P (gq−1(z)).

Rõ ràng P (g(z)) ≡ P (z) và P (gj(z)) ≡ P (z), j = 1, 2, , q−1 Vì vậy, fj : (z1, z2) 7→ (z 1 , gj(z 2 )) thuộc G 2 (MP, 0), j = 1, , q − 1.

Nhận xét 2.3 Trong trường hợp gq 6= id, chúng ta có gq(z) = z + · · · và dovậy P (z + · · · ) = P (gq(z)) = P (z) Theo Bổ đề 1.2.4, không tồn tại kiểu vô hạn

MP thỏa mãn P 6≡ 0 trên mỗi cánh hoa sao cho (z1, z2) 7→ (z1, g(z2)) thuộc vào

G2(MP, 0)

Với g là elliptic, ta có bổ đề sau

Bổ đề 2.1.3 Giả sử g(z) = e2πiθz + · · · là ánh xạ bảo giác với θ 6∈ Q Khi đó,

tồn tại siêu mặt kiểu vô hạn MP sao cho (z1, z2) 7→ (z1, g(z2)) thuộc nhóm con

G 2 (MP, 0) Hơn nữa, MP song chỉnh hình với mô hình đối xứng MP˜

Chứng minh Giả sử g(z) = e2πiθz + · · · là ánh xạ bảo giác với θ 6∈Q Theo Mệnh

đề 4.4 trong [3], g là liên hợp chỉnh hình địa phương với Rθ(z) = e2πiθz, nghĩa làtồn tại ánh xạ bảo giác ϕvới ϕ(0) = 0 sao cho

G2(MP, 0) với mọi t ∈R, trong đó ft(z1, z2) := (z1, ϕ−1◦ Rt◦ ϕ(z2)) Hơn nữa, dễthấy MP song chỉnh hình với siêu mặt đối xứng MP˜

Định lý 2.2.1 Cho (MP, 0) là siêu mặt C∞-trơn xác định bởi ρ(z) := ρ(z1, z2) =

Re z1+ P (z2) = 0, trong đó P là C∞-trơn trong một lân cận của gốc tọa độ trong

C thỏa mãn điều kiện