Tập ngẫu nhiên và các vấn đề liên quan

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC TRẦN THỊ THÚY QUỲNH TẬP NGẪU NHIÊN VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Hà Nội - 2014... ĐẠ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC

TRẦN THỊ THÚY QUỲNH

TẬP NGẪU NHIÊN VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

Hà Nội - 2014

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC

TRẦN THỊ THÚY QUỲNH

TẬP NGẪU NHIÊN VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN

Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê và toán học

Mã số: 60 46 01 06

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS: NGUYỄN THỊNH

Hà Nội - 2014

Lời cảm ơn i

LỜI CẢM ƠN

Bản luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nghiêm khắc

và chỉ bảo tận tình của TS Nguyễn Thịnh Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người thầy của mình

Qua đây, tôi xin gửi tới các thầy cô Khoa Toán- Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, cũng như các thầy cô đã tham gia giảng dạy khóa cao học 2011- 2013 lời cảm ơn sâu sắc nhất đối với công lao dạy dỗ trong suốt quá trình giáo dục đào tạo của Nhà trường

Xin chân thành cảm ơn các bạn đã động viên, cổ vũ, đóng góp ý kiến, trao đổi và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn đúng thời hạn

Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới các thành viên trong gia đình đã tạo điều kiện tốt nhất về mọi mặt luôn cổ

vũ, động viên tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn tốt nghiệp

Tôi xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, 26 tháng 07 năm 2014

Trần Thị Thúy Quỳnh

Danh mục các kí hiệu ii

Danh mục các kí hiệu

N Tập các số tự nhiên

R Tập các số thực

Rn Không gian thực n - chiều

Cn Không gian phức n - chiều

a ∈ A a thuộc A

∀a ∈ A Với mọi a thuộc A

A ⊂ B A là tập con của B (A bị chứa trong B)

{x ∈ X : x ∈ P } Tập các phần tử x ∈ X, có tính chất P

f (A) Ảnh của A qua f

f −1 (B) Nghịch ảnh của B qua f

(x n) ={x n } Dãy ( số hoặc dãy các phần tử)

∑

i a i Tổng các số a i

∏

i a i Tích các số a i

| x | Giá trị tuyệt đối của x

∥x∥ Chuẩn của x

f := g Định nghĩa f là g

f : X → Y Ánh xạ f từ X vào Y

x n → x Dãy x n hội tụ đến x

(Ω, F, P ) Không gian xác suất

P (A | F) Xác suất có điều kiện của A đối vớiF

EX Kỳ vọng của X

E(X | F) Kỳ vọng có điều kiện của X đối vớiF

 Kết thúc chứng minh

Mục lục

Danh mục các kí hiệu ii

LỜI NÓI ĐẦU v

1 Tập đóng ngẫu nhiên và hàm công suất 1 1.1 Định lý Choquet 1

1.1.1 Yếu tố ngẫu nhiên giá trị tập 1

1.1.2 Hàm công suất capacity 3

1.1.3 Tập compact ngẫu nhiên 7

1.2 Tính đo được và sự lựa chọn 9

1.2.1 Hàm đa trị trên không gian metric 9

1.2.2 Sự lựa chọn của các tập đóng ngẫu nhiên 12

1.3 Hàm công suất và tính chất của các tập đóng ngẫu nhiên 15 1.3.1 Tính bất biến và tính dừng 15

1.3.2 Tập ngẫu nhiên tách được 16

1.4 Phép tính với hàm công suất 19

1.4.1 Tích phân Choquet 19

1.4.2 Định lý Radon- Nikodym đối với hàm công suất 22 1.5 Sự hội tụ 24

1.5.1 Sự hội tụ yếu 24

1.5.2 Sự hội tụ h.c.c và sự hội tụ theo xác suất 26

2 Kỳ vọng lựa chọn 29 2.1 Lựa chọn khả tích 29

iii

2.2 Kỳ vọng lựa chọn 34

2.2.1 Tập ngẫu nhiên khả tích 34

2.2.2 Tính chất của lựa chọn 36

2.3 Sự hội tụ của kỳ vọng lựa chọn 38

2.3.1 Bổ đề Fatous cho tập bị chặn trong Rd 38

2.3.2 Bổ đề Fatous đối với tập ngẫu nhiên không bị chặn 39 2.3.3 Sự hội tụ đơn điệu và sự hội tụ yếu 40

2.4 Kỳ vọng có điều kiện 42

2.4.1 Sự tồn tại 42

2.4.2 Tính chất của kỳ vọng có điều kiện 43

3 Luật mạnh số lớn đối với tập ngẫu nhiên 46 3.1 Luật mạnh số lớn đối với các biến ngẫu nhiên 46

3.2 Định lý Shapley - Folkman-Starr 47

3.3 Luật mạnh số lớn trong trường hợp không gian Euclide 49 3.4 Luật mạnh số lớn trong không gian Banach 52

4 Định lý giới hạn trung tâm cho trung bình Minkowski 53 4.1 Định lý giới hạn trung tâm đối với các biến ngẫu nhiên 53 4.2 Định lý giới hạn trung tâm cho trường hợp Euclide 54

4.3 Định lý giới hạn trung tâm trong không gian Banach 58

5 Một số kết quả xa hơn liên quan tới tổng Minkowski 60 5.1 Luật loga lặp 60

5.2 Định lý ba chuỗi 61

5.3 Định lý ergodic 63

KẾT LUẬN 67

Tài liệu tham khảo 68

Lời nói đầu v

LỜI NÓI ĐẦU

Lý thuyết tập ngẫu nhiên liên quan đến sự phát triển của cấu trúc toán học để nghiên cứu các chủ đề ngẫu nhiên mà phép thể hiện của chúng là các tập Các chủ đề như vậy xuất hiện cách đây một khoảng thời gian dài trong thống kê và trong toán kinh tế dưới hình thức của một khoảng tin cậy mà có thể được miêu tả như các tập ngẫu nhiên

Ý tưởng đầu tiên của tập ngẫu nhiên dưới hình thức một khoảng phụ thuộc vào sự xuất hiện tình cờ trong Kolmogorov (1950) mà được công

bố đầu tiên năm 1933

Với mong muốn tìm hiểu về lý thuyết tập ngẫu nhiên, luận văn nghiên

cứu về đề tài " Tập ngẫu nhiên và các vấn đề liên quan" Trong

khuôn khổ hạn chế, luận văn chỉ đề cập đến một phần xung quanh vấn

đề tập ngẫu nhiên

Bố cục luận văn gồm 5 chương:

Chương 1: Tập ngẫu nhiên và hàm công suất.

Chương này trình bày các khái niệm cơ bản về tập ngẫu nhiên, hàm công suất ( định nghĩa, định lý), sự lựa chọn của các tập đóng ngẫu nhiên, các dạng hội tụ

Chương 2: Kỳ vọng lựa chọn.

Mục đích của chương này là đưa ra định nghĩa, tính chất của kỳ vọng lựa chọn, sự hội tụ của kỳ vọng lựa chọn và kỳ vọng có điều kiện

Chương 3: Luật mạnh số lớn đối với tập ngẫu nhiên.

Chương này đưa ra luật mạnh số lớn trong trường hợp không gian Euclidean và không gian Banach

Chương 4: Định lý giới hạn trung tâm đối với tập ngẫu nhiên

Mục đích của chương này là trình bày định lý giới hạn trung tâm trong trường hợp không gian Euclidean và không gian Banach

Lời nói đầu vi

Chương 5: Một số kết quả xa hơn liên quan tới tông Minkowski.

Chương này giới thiệu một số các kết quả như: Luật loga lặp, định lý

ba chuỗi, định lý ergodic

Mặc dù đã hết sức cố gắng nhưng do trình độ và thời gian có hạn nên luận văn không tránh khỏi còn thiếu sót, rất mong nhận được sự góp ý của thầy cô và bạn bè để luận văn được hoàn thiện hơn

Chương 1

Tập đóng ngẫu nhiên và hàm công suất

1.1 Định lý Choquet

1.1.1 Yếu tố ngẫu nhiên giá trị tập

Vì họ của tất cả các tập là rất rộng nên chúng ta thường xét các tập đóng ngẫu nhiên như các yếu tố ngẫu nhiên trong không gian các tập con đóng của không gian topo E nào đó Họ các tập con đóng của không gian E được kí hiệu là F, K và G được kí hiệu tương ứng là họ

của tất cả các tập con compact và tập con mở của E Thường giả sử rằng E là không gian topo compact Hausdoff địa phương đếm được thứ hai ( không gian LCHS) ( locally compact Hausdoff second countable topologial space) Không gian Euclidean Rd là ví dụ chung của không gian E Cố định không gian xác suất (Ω, F, P ) mà được sử dụng để xác

định yếu tố ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.1.1 ( Tập đóng ngẫu nhiên).

Một ánh xạ X : Ω 7→ F được gọi là một tập đóng ngẫu nhiên nếu với

mọi tập compact K trong E ta có

{w : X ∩ K ̸= ∅} ∈ F (1.1)

1.1 Định lý Choquet 2

Điều kiện (1.1) nói rằng ánh xạ X : Ω 7→ F là đo được như một ánh

xạ giữa không gian xác suất cơ bản và không gian F được trang bị σ−

đại số B(F) được sinh bởi {F ∈ F : F ∩ K ̸= ∅} với K thuộc họ K các

tập con compact của E Chú ý rằng B(F) được gọi là σ− đại số Effros.

Chúng ta viết

F K = {F ∈ F : F ∩ K ̸= ∅}

σ − đại số được sinh bởi F K với mọi K ∈ K bao gồm

F K = {F ∈ F : F ∩ K = ∅}

Hơn nữa, với mọi G thuộc họ G các tập mở ta có

F G = {F ∈ F : F ∩ G ̸= ∅} = ∩ n F K n

trong đó {K n , n ≥ 1} là một dãy các tập compact sao cho K n ↑ G ( ở

đây tính compact địa phương của E là cần thiết) Do đó, F G ∈ B(F) với

mọi G ∈ G Chú ý rằng topo Fell trên Fđược sinh bởi các tập mở F G

với G ∈ G và F K với K ∈ K Khi đó, σ− đại số sinh bởi F K với K ∈ K

trùng với σ − đại số Borel sinh bởi không gian Fell trên F Có thể đưa

ra định nghĩa tương tự với định nghĩa 1.1.1 như sau

Định nghĩa 1.1.1’ Ánh xạ X : Ω 7→ F được gọi là tập đóng ngẫu nhiên

nếu X là đo được đối với σ − đại số Borel trên F theo topo Fell, tức là

X −1 (χ) = {w : X(w) ∈ χ} ∈ F

với mỗi χ ∈ B(F).

Khi đó (1.1) có thể được viết lại như sau

X −1(F K) = {w : X(w) ∈ F K } ∈ F (1.2)

Vì σ − đại số B(F) là σ− đại số Borel đối với topo trên F nên ta có

f (X) là một tập đóng ngẫu nhiên nếu X là một tập đóng ngẫu nhiên và

ánh xạ f : F 7→ F là liên tục hoặc nửa liên tục

Tài liệu tham khảo

[1] Đặng Hùng Thắng (2005), Mở đầu về lý thuyết xác suất và các ứng

dụng, Nhà xuất bản Giáo dục.

[2] Nguyễn Duy Tiến - Vũ Viết Yên(2009), Lý thuyết xác suất, Nhà

xuất bản Giáo dục

[3] Adler, R.J (1981) The Geometry of Random Fields, Wiley, New

York

[4] Aubin, J.P and Frankowska (1990) Set- valued Analysis, Birkhauset,

Boston

[5] Billingsley, P (1968) Convergence of Probability Measures, Wiley,

New York

[6] Cramer,H and Leadbetter, M R.(1967) Stationary and Related

Stochastic Processes, Wiley, New York.bibitemDL

[7] Cross,R (1998) Multivalued Linear Operators, Marcel Dekker, New

York

[8] Jaffray,J,Y (1997) Applications and Theory of Random Sets, Berlin,

Springer

[9] J Gani,C.C.Heyde, P Jagers,T.G.Kutz Theory of random sets,

Published in association with the Applied Probability Trust

[10] Kallenberg,O (1983) Random Measures, Berlin, Springer.

Tài liệu tham khảo 69

[11] Kuratowski, K and Ryll- Nardzewski, C (1965) A general theorem

on selectors, Berlin, Springer.

[12] Taylor,R L (1978) Stochastic Convergence of Weighted Sum of

Ran-dom Elements in Linear Spaces , Berlin, Springer.

[13] Xuerong Mao (1997) Stochastic Differential Equations and their

Ap-plications, Horwood Publishing Chichester.