Báo cáo nghiên cứu khoa học: " CHUYỂN ĐỘNG CỦA MẶT VỚI VẬN TỐC PHỤ THUỘC VÀO ĐỘ CONG TRUNG BÌNH: PHƯƠNG PHÁP TẬP MỨC; TÍNH DUY NHẤT CỦA NGHIỆM YẾU" pdf

CHUYỂN ĐỘNG CỦA MẶT VỚI VẬN TỐC PHỤ THUỘC VÀO ĐỘ CONG TRUNG BÌNH: PHƯƠNG PHÁP TẬP MỨC; TÍNH DUY NHẤT CỦA NGHIỆM YẾU MOTION OF SURFACES WITH SPEED DEPENDING ON MEAN CURVATURE: LEVEL SET

CHUYỂN ĐỘNG CỦA MẶT VỚI VẬN TỐC

PHỤ THUỘC VÀO ĐỘ CONG TRUNG BÌNH:

PHƯƠNG PHÁP TẬP MỨC; TÍNH DUY NHẤT CỦA NGHIỆM YẾU

MOTION OF SURFACES WITH SPEED DEPENDING ON MEAN CURVATURE: LEVEL SET METHODS; UNIQUENESS OF WEAK SOLUTIONS

NGUYỄN CHÁNH ĐỊNH

Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

NGUYỄN CỬU HUY

Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn, Tp Đà Nẵng

TÓM TẮT

Bài báo này đưa ra một phương pháp được gọi là phương pháp tập mức để mô phỏng quá trình chuyển động của mặt với vận tốc phụ thuộc vào độ cong trung bình Đưa ra khái niệm nghiệm yếu và chứng minh một nguyên lý so sánh cho nghiệm yếu của phương trình Từ nguyên lý so sánh, ta nhận được tính duy nhất của nghiệm Phương pháp dựa trên các tính chất của tích chập inf-sup

ABSTRACT

This paper aims to provide a method so called level set method to simulate the surface evolution process with speed depending on mean curvature This is to provide the notion of weak solutions and prove a comparison principle for weak solutions From the comparison principle, we obtain the uniqueness of the solution The method is based on inf-sup convolution properties

1 Đặt vấn đề

Bài toán chuyển động mặt xuất hiện nhiều trong các vấn đề ứng dụng của khoa học kỹ thuật như hóa học, cơ học chất lỏng, xử lý ảnh và nhiều lĩnh vực khác Trong các bài toán chuyển động của mặt, thì bài toán chuyển động mặt với vận tốc phụ thuộc vào độ cong trung bình đóng vai trò rất quan trọng cần phải được giải quyết Loại chuyển động này tương ứng với các định luật khuếch tán của vật lý hiện đại

Trong quá trình mô phỏng toán học, chúng tôi dựa trên một bài toán giá trị đầu của phương trình đạo hàm riêng cấp hai tựa tuyến tính để tìm hiểu và phân tích quá trình chuyển động Trong cách tiếp cận đó, chúng tôi giới thiệu một khái niệm nghiệm yếu để nghiên cứu sự chuyển động của mặt khi chúng đi qua các điểm kỳ dị Loại nghiệm này

thỏa mãn điều kiện entropy và được biết đến như là nghiệm nhớt [1-2], [4-7]

1.1 Phương trình chuyển động mặt

Chúng tôi thiết lập một bài toán giá trị đầu cho một phương trình đạo hàm riêng

để mô phỏng quá trình chuyển động của mặt với vận tốc phụ thuộc vào độ cong trung bình

2-chiều hoặc là một mặt trong không gian 3-chiều Giả sử rằng đường (mặt) này chuyển

động theo hướng pháp tuyến ngoài với vận tộc V , với

V = H + f

trong đó H là độ cong trung bình của mặt, và f = f x ( ) là một hàm số cho trước được

giả thiết là liên tục, được gọi là một ngoại lực

Cho trước một mặt Γ0 = Γ ( t = 0 ), các mặt chuyển động theo hướng

pháp tuyến ngoài

) 0 ( ≥

Γ tt

υ với vận tốc Ý tưởng chính là biểu diễn mặt chuyển động dưới dạng một tập mức không của một hàm nhiều biến u Cụ thể, ta xác định một phương trình

cho u mà nghiệm chứa mặt chuyển động

V

t

Γ dưới dạng tập mức { u = } 0 Cho ( ( ), ) x t t

0

là đường chuyển động của một điểm, tức là, x t ( = 0) là một điểm trên mặt đầu tiên Γ Vì

hàm chuyển động u luôn bằng không trên mặt chuyển động, nên ta phải có:

0 ) ), ( ( x t t =

Theo quy tắc đạo hàm hợp,

( ( ), ) ) 0.

t

u + ∇ u x t t ⋅ x '( t =

Vì x t '( ) ⋅ = V υ , trong đó

u

u

∇

∇

=

υ , nên ta có

∇

( ) x

)

Như ta đã đề cập từ trước, mặt được xem như là tập mức không của of

, tức là,

0 ( ≥

Γ tt

u

Γ = ∈ \ x , ) =

Ta gán giá trị đầu cho u bằng cách chọn một hàm trơn u :0 \d → \ sao cho

0 x d | ( u x0 0 ,

b Phương trình tập mức

Vì Γt là tập mức không của u với t≥0, nên pháp vectơ đơn vị ngoài của Γt là

,

u

u

∇

∇

−

và độ cong trung bình của Γt được cho bởi

u

= − = − ⎜ ⎜ ⎟ ⎟

∇

Mặt khác, vận tốc của Γt là

u

ut

∇

−

Vì vậy, ta có

),

(x f u

u div u

ut

+

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

∇

∇

−

=

∇

−

và cuối cùng nhận được

i j

i j

x x

u u

u

δ

∇

))

(2)

1.2 Nghiệm yếu

Xét phương trình tập mức chuyển động (2) trong \d× ∞ [0, ).

phương trình (2) nếu:

( d [0,

u C ∈ \ × ∞ ϕ

−

u đạt cực đại địa phương tại điểm ( , ) x t0 0 ∈ \d× (0, ) ∞ với mỗi ϕ ∈ C∞( \d+1), thì

0 0 2

0 0

( , ) khi (x , ) 0,

i j

i j

x x

t

ϕ ϕ

ϕ ϕ

⎪

⎪⎩

và

0 0

( , ) , 1, khi (x , ) 0

i j

t ij i j x x d

tai x t t

⎧ ≤ −

⎪

⎨

)

trình (2) nếu:

( d [0, )

u C ∈ \ × ∞ ϕ

−

thì

0 0

( , ) x t ∈ \d × (0, ) ∞ ϕ ∈ C∞( \d+1)

0 0 2

0 0

( , khi (x , ) 0,

i j

i j

x x

t

ϕ ϕ

ϕ ϕ

∇

⎪

⎪⎩

và

0 0

( , ) , 1, khi (x , ) 0.

i j

t ij i j x x d

tai x t t

⎪

⎨

)

trình (2) nếu u vừa là nghiệm yếu dưới vừa là nghiệm yếu trên của phương trình (2)

( d [0, )

u C ∈ \ × ∞

2 Giải quyết vấn đề

Trong mục này, ta khảo sát tính duy nhất của nghiệm yếu của phương trình (2) với điều kiện đầu (1) Cụ thể là ta sẽ đưa ra một nguyên lý so sánh nghiệm cho phương trình (2) Để làm điều đó, ta giới thiệu và khảo sát một số tính chất của các khái niệm về tích chập inf-sup Phương pháp của chúng ta ở đây là chỉ ra một nguyên lý so sánh cho nghiệm yếu của (2) trong một miền con của \d× ∞ [0, )là B × [0, ] T , trong đó B : = B [0; ] R

[0, )

d× ∞

\

là hình cầu đóng tâm 0 bán kính , và T là một số thực dương Vì R và T bất kỳ, nên ta

có thể cho chúng tiến ra vô cùng để thu được nguyên lý so sánh trên toàn

0

R>

2.1 Tích chập INF-SUP

Định nghĩa 4 Cho w: B [0,T] × → \ là một hàm liên tục Với mỗi ε >0, ta viết

, [0, ]

, [0, ]

1

w ( , ) : sup w(y,s)- +(t-s) ,

1

w ( , ) : inf w(y,s)+ +(t-s) ,

y B s T

y B s T

ε

ε

ε ε

∈ ∈

∈ ∈

với x B s ∈ , ∈ [0, ] T

wε và được gọi là tích chập inf và sup của w tương ứng Lưu ý rằng, vì w liên tục

nên ‘’inf’’ và ‘’sup’’ ở trên có thể thay bởi ‘’min’’ và ‘’max’’

wε

Bổ đề 1 (Tính chất của tích chập inf-sup) Tồn tại các hằng số A B C , , chỉ phụ thuộc vào ( [0, ])

w L B∞ × T sao cho với mọi ε >0, các phát biểu sau đây là đúng:

(i) wε ≤ ≤ w wε trên B × [0, ] T

(ii)

( [0, ])

ε

(iii) Nếu y B ∈ , s ∈ [0, ] T và 1 ( 2 2)

w ( , ) w(y,s)-ε x t x y +(t-s) ,

ε

1/ 2

| x y t s − |,| − ≤ | C ε = : ( σ ε )

w

.

Một phát biểu tương tự vẫn đúng cho ε

(iv) w , wε ε → w khi ε→0 đều trên B × [0, ] T

(v) Ánh xạ

1 ( , ) x t w ( , )+ε x t | | +t x

ε

6

là lồi, và ánh xạ

( 2 2)

1 ( , )x t w ( , )ε x t | | +tx

ε

− 6

là lõm

(vi) Giả sử w là một nghiệm yếu dưới của (2) trong B × [0, ] T Khi đó, là một nghiệm yếu dưới của (2) trong

wε ( ( ), ]

B × σ ε T Tương tự, nếu w là một nghiệm yếu trên của (2) thì

là một nghiệm yếu trên của (2) trong

(vii) Ngoài ra, hàm số wεlà khả vi đến cấp hai hầu khắp nơi và thỏa mãn

w w

w

i j

i j

x x

ε

δ

wε

tại những điểm trong B × ( ( ), ] σ ε T mà ở đó khả vi đến cấp hai, trong đó

Tương tự là khả vi đến cấp hai hầu khắp nơi và thỏa mãn

wε

w w

w

i j

i j

ε

δ

∇

wε

tại những điểm trong B × ( ( ), ] σ ε T mà ở đó wε khả vi đến cấp hai, trong đó ∇ wε ≠ 0

Chứng minh bổ đề này tương đối đơn giản, người đọc có thể tìm thấy cách chứng minh

tương tự trong [2]

2.2 Nguyên lý so sánh

Bây giờ ta có thể phát biểu kết quả chính của bài báo:

Định lý 1 Giả sử u là một nghiệm yếu dưới và v là một nghiệm yếu trên của phương trình

(2) trong B × [0, ] T Khi đó, nếu

trên

thì

trên

Đặc biệt, nghiệm yếu của phương trình (2) với điều kiện đầu (1) là duy nhất

Chứng minh: Giả sử (4) sai Khi đó

(5) (x,t) B [0,T]max (u v) :a 0;

và với α >0 đủ nhỏ,

(x,t) B [0,T]ax ( ) 0.

2

a

Ngoài ra, ta lưu ý rằng uε u v , khi đều trên

ε

→ → v ε →0 B × [0, ] T Hệ quả là nếu ta

cố định ε >0 đủ nhỏ, ta có

(x,t) B [0,T]ax ( ) 0.

4

a

m uα vε α t

Cho δ >0ta định nghĩa với mọi x y B , ∈ và với mọi t s , ∈ [0, ] T , hàm số

1 ( , , , ) : x y t s u xε( +y,t+s)-v ( , ) x t t | | +s y

δ

Từ (6), ta thấy

(x,t),(x+y,t+s) B [0,T]ax ( , , , )

4

a

∈ ×

1 1 1 1 (x,t),(x+y,t+s) B [0,T]

∈ ×

Vì Φ ( , , , ) 0 x y t s1 1 1 1 > , nên (7) kéo theo

δ

(10) 1/ 4

1 1

| y |,| | s ≤ C δ ,

Trong đó C là hằng số không phụ thuộc vào

Tiếp theo, ta chứng minh rằng, nếu ε δ , > 0 cố định đủ nhỏ, ta có

(11)

1 1, +s1 ( ).

t t > σ ε Thật vậy, nếu t1≤ σ ε ( ), thì

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1

( , , , ) ( +y , +s ) ( , ) 4

( +y , +s ) ( , ) + (1) khi 0 ( +y ,s ) ( ,0) + (1) khi 0 ( ,0) ( ,0) + (1) khi , 0 (1) khi , 0

a

x y t s u x t v x t

u x t v x t o

o

ε

ε

ε ε

ε δ

ε δ

→

→

1

t

Đây là điều mâu thuẫn, vì vậy cho ta > σ ε ( ).

Sau đây, trong chứng minh, ta cố định α ε δ , , > 0

Theo Bổ đề 1 (vi), ta có

uε là một nghiệm yếu dưới của (2) gần ( +y , +s ) x1 1 1t 1

và

vε là một nghiệm yếu trên của (2) gần ( , ) x t1 1 Bây giờ, ta chứng minh

1 0

y ≠ Giả sử ngược lại, y1= 0 Khi đó, (7) và (9) kéo theo

với mọi ( , ),( +y,t+s) B [0,T] x t x ∈ × Cho x x = 1 và , rút gọn ta nhận được bất đẳng

thức

1

t t =

( +y, +s) ( , +s )+ | | + s

với ( +y,t +s) B [0,T] x1 1 ∈ × Đặt r : = − s s1 và viết lại ta được

Vì u là một nghiệm yếu dưới của (2) gần , nên ta sử dụng

định nghĩa của nghiệm yếu dưới để đi đến

ε

1 1 1 1 1 1 1

( +y , +s ) ( , +s ) x t = x t

3 1

4 0.

s

Bây giờ, ta trở lại và thay y x = −1 x và vào (13) và sau khi rút gọn, ta

được

1+s1

s t = − t

Vì v là một nghiệm yếu trên của (2) gần ε ( , ) x t , nên ta sử dụng định nghĩa của 1 1

nghiệm yếu trên để đi đến

3 1

4

0.

Đây chính là điều mâu thuẫn vì α >0 Điều này chứng tỏ (12)

\ Tiếp theo ta lưu ý rằng nếu là lồi thì ánh xạ cũng lồi trên

Hệ quả là từ Bổ đề 1(v) ta có

: m

2m

\

1 ( , , , ) x y t s u xε( +y, +s)+ t | + | +(t+s) x y

ε

6

là lồi, cũng như

1 ( , ) x t v x tε( , )+ | | +t x

ε

− 6

là lồi, và như vậy

( , , , ) x y t s 6 Φ ( , , , )+C | | + | | +t +s x y t s x y 2 lồi gần với điểm với một hằng số đủ lớn Vì đạt cực đại tại

điểm nên ta có thể ứng dụng Bổ đề Jensen [3] : tồn tại một dãy các điểm

1 1 1 1

( ,y , ,s ) x t

1

s )

( , )

1 1 1

( ,y , , x t

k

∞

=

( ,x y t s k k, ,k k sao cho

1 1 1 1

( , x y t sk k, , )k k → ( , , , ), x y t s (16) , uε

Φ và vεkhả vi đến cấp hai tại điểm ( , x y t sk k, , ) (k k k = 1, 2, ), " (17)

2 , , , ( ,k k, , )k k 0, , , , ( ,k k, , )k k (1) 2 +2

x y t s x y t s x y t s x y t s o I d khi k

Sử dụng (7), (17) ta thấy

( ,k k, , )k k ( + , + )k k k k ( , ) :k k k k,

ε

2

( ,k k, , )k k ( + , + )k k k k | k | k k | k| k

Vì yk → y1, nên ta áp dụng (18) để thu được

2

1 1

4

δ

Khẳng định (12) cho ta p ≠ 0 và do đó p pk, k ≠ 0 với k đủ lớn

Một lần nữa, ta sử dụng (7) và (18) để nhận được

( , x y t sk k, , )k k u xε( +y ,t +s ) - v ( , )k k k k x tk k α : qk qk α

Vì và v là các hàm liên tục Lipschitz, nên ta có thể lấy giới hạn qua một dãy con và

đánh lại chỉ số, ta nhận được

uε

ε

,

Khi đó (18) và (22) đảm bảo

0

Tiếp theo (7) và (17) kéo theo

2 ( ,k k, , )k k 2 ( +y ,t +s ) - k k k k 2v ( , ) :k k k k.

Bây giờ (18) cho ta

,

k d

G − G ≤ ε I

trong đó, εk → 0 Ngoài ra, Bổ đề 1 (v) chứng tỏ k và

d

d

G ≤ CI với Vì vậy

( )

C C = ε

k

Hệ quả là ta có thể lấy giới hạn qua một dãy con nếu cần thiết, và giả sử

,

G → G G → G trong Sd d× ,

Nhắc lại rằng, (17) đúng và pk = ∇ u xε( +y , +s ),k k tk k pk = ∇ v x tε( , )k k khác không với

k đủ lớn Vì uε là nghiệm yếu dưới gần ( +y , +s ) x1 1 1t 1 và vεlà nghiệm yếu trên gần

1 1

( , ) x t , nên

k

k k

i j

k

p p

p

δ

k k

i j

p p

p

δ

với mọi k đủ lớn, trong đó (gijk)=G k, (gijk)=G k Cho k tiến ra vô cùng, cùng với (21),

(23), (26) và tính liên tục của hàm số f ta nhận được

1 1

i j

p p

p

δ

và q ij p p i 2j g ij f( )1

p

δ

x p , trừ hai bất đẳng thức trên, ta thu được

i j ij

p p

p

δ

Bây giờ, ta thấy ma trận ij p pi 2j

p

δ

⎜⎜ − ⎜

⎟

⎟⎟ là ma trận nửa xác định dương và ma trận

G G − là ma trận nửa xác định âm Do đó, từ (26) ta nhận được

Lưu ý rằng, bị chặn với mọi và độc lập với

; khi Vì vậy, cho , ta nhận được

( +y , +s )

p = ∇ u xε t

1 1( ) 0

y = y δ → δ → 0+

0

δ > α >0 0

0.

q q − = ≤ α Đây là điều mâu thuẩn với (24) ,

3 Kết luận

Bài báo trình bày phương pháp tập mức để khảo sát bài toán chuyển động của mặt với vận tốc phụ thuộc vào độ cong trung bình Đây là bài toán đã và đang được nhiều nhà toán học quan tâm và tìm cách giải quyết Trên cơ sở đưa ra một khái niệm nghiệm yếu, bài báo đã chỉ ra rằng, nghiệm yếu của bài toán giá trị đầu nếu tồn tại thì chỉ có một Hơn nữa, cùng với các ưu điểm của phương pháp tập mức, cách tiếp cận có thể được áp dụng cho các bài toán phức tạp và khắc phục được những nhược điểm mà phương pháp đồ thị mắc phải như vấn đề thay đổi tôpô của mặt trong quá trình chuyển động

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] M G Crandall, and P L Lions, Viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equations,

Trans Amer Math Soc., 277(1983), 1-42

[2] L C Evans, and J Spruck, Motion of level set by mean curvature I, J Diff Geom.,

33(1991), 635-681

[3] R Jensen, The maximum principle for viscosity solutions of fully nonlinear second order partial differential equations, Arch Rat Mech Anal [101], 1988

[4] Nguyễn Chánh Định, On the uniqueness of viscosity solutions to second order parabolic partial differential equations, J Science and Technology, University of

Danang, 2(14)(2006), 53-57

[5] Nguyễn Chánh Định, Existence of a weak solution of level set minimal surface equations,J Science and Technology, University of Danang, 5(17)(2006), 36-39

[6] Nguyễn Chánh Định, Some properties of weak solutions of level set minimal surface equations,J Science and Technology, University of Danang, 6(18)(2007), 65-68

[7] Ch -D Nguyen, and R H W Hoppe, Amorphous surface growth via a level set

approach, J Non Anal Theor Meth Appl (66)2007, 704-722