Hệ thống bài tập về ánh xạ weingarten và các loại độ cong của mặt trong e3

Em xin khẳng định kết quả của đề tài “Xây dựng hệ thống bài tập về ánh xạ Weingarten và các loại độ cong của mặt trong E ” không có sự trùng lập với 3 kết quả của các đề tài khác... Và

Trường đại học sư phạm hà nội 2

Khoa toán

************

Lê thị hà

hệ thống bài tập về ánh xạ Weingarten và các loại độ

khóa luận tốt nghiệp đại học

Chuyên ngành: Hình học

Trường đại học sư phạm hà nội 2

Khoa toán

************

Lê thị hà

hệ thống bài tập về ánh xạ Weingarten và các loại độ

khóa luận tốt nghiệp đại học

Chuyên ngành: Hình học

Người hướng dẫn khoa học pgs.ts nguyễn năng tâm

lời cảm ơn

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Nguyễn Năng Tâm- Người thầy đã trực tiếp tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em hoàn thành khóa luận của mình Đồng thời em xin chân thành cảm ơn đến các thầy cô trong khoa Toán- Trường đại học sư phạm hà nội 2, ban chủ nhiệm khoa toán đã tạo điều kiện cho

em hoàn thành khóa luận này

Trong khuôn khổ có hạn của một bài khóa luận, do điều kiện thời gian,

do trình độ có hạn và cũng là lần đầu tiên nghiên cứu khoa học cho nên không tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót nhất định Vì vậy, em kính mong nhận được những góp ý của các thầy cô và các bạn

Lời cam đoan

Khóa luận này là kết quả của bản thân em trong quá trình học tập và nghiên cứu Bên cạnh đó em được sự quan tâm của các thầy cô trong khoa Toán,

đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của thầy Nguyễn Năng Tâm

Trong khi nghiên cứu hoàn thành bản khóa luận này em đã tham khảo một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo

Em xin khẳng định kết quả của đề tài “Xây dựng hệ thống bài tập về ánh

xạ Weingarten và các loại độ cong của mặt trong E ” không có sự trùng lập với 3

kết quả của các đề tài khác

Hà Nội, ngày 10 tháng 5 năm 2013

Sinh viên

Lê thị hà

mở đầu

1 Lý do chọn đề tài:

ánh xạ Weingarten và các loại độ cong của mặt trong E là một mảng 3

kiến thức khá quan trọng trong môn hình học vi phân

Sau khi học xong chương trình toán dành cho cử nhân sư phạm, đặc biệt

là sau khi học xong môn hình học vi phân em mong muốn học hỏi và tìm hiểu sâu thêm ánh xạ Weingarten và các loại độ cong của mặt trong E Và để xây 3

dựng hệ thống bài tập cho ánh xạ Weingarten và các loại độ cong của mặt trong

3

E làm tài liệu tham khảo cho các bạn sinh viên khóa sau một cách đầy đủ

Đồng thời rèn luyện tư duy Logic, tính chính xác và cẩn then cho người

đọc

Nên qua các lí do trên em đã quyết định nghiên cứu đề tài “Xây dựng hệ thống bài tập về ánh xạ Weingarten và các loại độ cong của mặt trong E ” 3

2 Mục đích nghiên cứu của đề tài:

“Xây dựng hệ thống bài tập về ánh xạ Weingarten và các loại độ cong của mặt trong E ” 3

3 Đối tượng nghiên cứu của đề tài:

Nghiên cứu về các dạng bài tập cho ánh xạ Weingarten và các loại độ cong của mặt trong E 3

4 Giới hạn và phạm vi nghiên cứu của đề tài:

- Giới hạn nội dung: Nghiên cứu các dạng bài tập cho ánh xạ Weingarten và các loại độ cong của mặt trong E của môn hình học vi phân, 3

- Giới hạn đối tượng: Bài tập cho ánh xạ Weingarten và các loại độ cong của mặt trong E 3

- Giới hạn thời gian: 6 tháng

5 Giả thiết khoa học:

Xây dựng hệ thống bài tập về ánh xạ Weingarten và các loại độ cong của mặt trong E làm thành tài liệu giúp cho các sinh viên khóa sau có một hệ thống 3

bài tập về phần này một cách đầy đủ

6 Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài:

- Nghiên cứu một số kiến thức chuẩn bị liên quan đến ánh xạ Weingarten và các loại độ cong của mặt trong E 3

- Làm ra những vấn đề lí luận của đề tài: ánh xạ Weingarten, độ cong Gauss, độ cong trung bình của mặt định hướng, các công thức tính độ cong,

- Nghiên cứu các dạng bài tập từ dễ đến khó

7 Phương pháp nghiên cứu:

- Cơ sở lí luận: phân tích, tổng hợp, đánh giá

- Nghiên cứu sách giáo trình, sách bài tập, sách tham khảo, các tài liệu liên quan đến nội dung này

8 Dự kiến nội dung chương trình nghiên cứu

Ngoài phần mở đầu, kết luận, , tài liệu tham khảo khóa luận gồm 2 chương:

Chương 1: Lí thuyết

Chương 2: Hệ thống bài tâp

Nội dung

Trong chương này chúng ta sẽ nhắc lại một số kiến thức cơ bản về ánh xạ Weingarten, độ cong Gauss, độ công trung bình, các công thức tính độ cong, độ

cong pháp dạng, mối liên hệ giữa độ cong pháp dạng theo v và độ cong của cung

trên mặt Từ những kiến thức đó ta có ứng dụng giải một số bài toán sơ cấp sẽ

được trình bày trong chương 2

1.1: ánh xạ Weingarten ( vain- gác- ten)

Để hiểu rõ hơn về ánh xạ Weingarten và các tính chất của ánh xạ ta đi chứng minh 2 bổ đề sau:

1.1.1: Bổ đề 1

Cho mặt S trong E , điểm 3 p  S , vectơ v  T S Khi đó tồn tại một cung p

 : J  S , t   t sao cho có t  J để 0  t0  p , v   t0

Chứng minh:

Lấy tham số hóa địa phương r : U  S , u v  ,  r u v tại  ,  p của

Svà giả sử p  r u v 0, 0 Giả sử v  r u v u o, or u v v o, o Lấy cung

 : J  U , t   t  t, t và đặt   r   : U  S 

Khi đó  t  r    t  r u t  r v t   r u r v

Suy ra:  t o  r u v u o, or u v v o, o  v

1.1.2: Bổ đề 2

Cho mặt S trong E , một hàm vectơ 3 : S  E khả vi trên S , một điểm 3

p  S và vectơ v  T S Giả sử p ,  : J  S là hai cung cùng thỏa mãn

 t o

  t0  ,  t o  t0  v Khi đó,    t o    t o

Chứng minh:

Lấy một tham số hóa địa phương r : U  S , u v  ,  r u v của S  , 

tại p Cho  : J  S thì tồn tại cung  : J  U sao cho   r  

Ta có định nghĩa:

1.1.3: Định nghĩa

Cho mặt S trong E định hướng bởi trường pháp vectơ đơn vị khả vi n dọc 3

theo S Với mỗi điểm cố định p  S và vectơ v  T S ta lây một tham số hóa p

địa phương r : U  S tại p, một cung tham số  : J  S , t   t sao

cho p   t0 ,    t0 Cã cung tham sè  : J  U , t  u t v t   , 

1.2: Các loại độ cong của mặt trong định hướng trong E 3

Trong E , cho mặt định hướng S , điểm 3 p  S và ánh xạ Weingarten p

h : T S  p T S Lấy mục tiêu p r r u  của , v T S và khai triển p

1.2.1.3:  Mỗi giá trị riêng của h được gọi là một độ cong chính của S p

tại p

Vì h là tự đồng cấu tuyến tính đối xứng của không gian vectơ Euclit hai p

chiều T S nên nó luôn có hai giá trị riêng p k1, k2 ( phân biệt hay trùng nhau)  Mỗi vecto riêng ứng với một giá trị riêng xác định một phương

một chiều( tức là không gian vectơ một chiều) gọi là một phương chính của S

k A

Với K  , điểm p 0 p được gọi là điểm elliptic

K  , điểm p 0 p được gọi là điểm hypebôlic

K  , điểm p 0 p được gọi là điểm parabôlic

Nếu k1  k2 thì điểm p được gọi là điểm rốn, do đó tại p mọi phương

đều là phương chính

Với K  , điểm rốn p 0 p được gọi là điểm cầu

K  , điểm rốn p 0 p được gọi là điểm dẹt

Không xảy ra trường hợp K  vì tại điểm rốn p 0 p ta có

 2

p

K  k

Vậy: Nếu đổi hướng S thì trường vectơ n thay bằng n , khi đó ma trận

A thay bằng ma trận A Vì A là ma trận vuông cấp hai nên A  A , vết A   vết A

Suy ra, khi đổi hướng của S thì K không đổi còn p H đổi dấu p

Bởi vậy, với mặt không định hướng hay không định hướng được người ta

vẫn định nghĩa độ cong Gauss như trên còn độ cong trung bình được định nghĩa

là 1

2 k1k2

 

1.2.2: Công thức tính độ cong

Trong E , cho mặt định hướng S và điểm 3 p  S Tại điểm p cho

tham số hóa địa phương r : U  S , u v  ,  r u v Xét các đại lượng  , 

Nhân cả hai vế của  1 với r v ta được M  a E11 a G12  3ii

Nhân cả hai vế của  2 với r u ta được M  a E21 a F22  4i

Nhân cả hai vế của  2 với r v ta được N  a E21 a G22 4ii 

Xem  3i ,  3ii là một hệ phương trình bậc nhất theo hai ẩn a11, a12 và giải

Xem  4i , 4ii là một hệ phương trình bậc nhất theo hai ẩn  a21, a22 và giải

 

2 2

1.2.3.1.1: Định lí 2.2: Trong E , cho mặt định hướng S và điểm 3

p  S , tham số hóa tương thích tại p là r : U  S , u v ,  r u v Khi  , 

đó vectơ v  ar ubr v0 chỉ một phương chính của S tại p khi và chỉ khi

a b được xác định bằng đẳng thức: , 

`

2

b E L

ab F M



2

a G N

 0 ,  2 2 

0

( các đại lượng E, F , G , L, M , N tính tại p)

Chứng minh:

Gọi k là một độ cong chính tại p thì vectơ v chỉ phương chính tại p

ứng với k khi và chỉ khi h p v  k v , tức là:

ab F M



2

a G N

v  ar ubr v0 đều chỉ phương chính, tức là định thức nêu trên định lí bằng 0 với mọi cặp số thực a b ,  0,0 Điều này tương đương với điều nói rằng hai dòng cuối của định thức tỉ lệ với nhau tức là E F G: : L M N: :

1.2.3.2: Tìm độ cong chính ứng với phương chính đã cho

Để tìm độ cong chính ứng với phương chính đã cho ta chứng minh định lí

sau:

1.2.3.2.1: Định lí 2.3: Trong E , cho mặt định hướng S và điểm 3 p

 S , tham số hóa tương thích tại p là r : U  S , u v  ,  r u v Nếu  , 

v  ar ubr v 0 là một vectơ chỉ phương chính tại p thì độ cong chính ứng với

Độ cong chính k ứng với phương chính v là giá trị riêng của h ứng với p

vectơ riêng v , nghĩa là h p v  k v Do đó, h p v  k v 2  2 

1.2.4.1: Định nghĩa 2.2: Trong E , cho mặt định hướng S và điểm 3

p  S , vectơ v  thuộc vào 0 T S Ta gọi số p  

1.2.4.2: Nhận xét 2.1: Khái niệm độ cong pháp dạng theo phương v rõ ràng

là mở rộng khái niệm độ cong chính ứng với một phương chính v (nếu v chỉ

bởi trường pháp vectơ đơn vị khả vị n , một cung song chính quy trên S có tham

số hóa tự nhiên : J S, s s đi qua điểm p s0 của S Gọi k s 0

là độ cong của cung  tại p , N s 0 là pháp vectơ chính của cung  tại p

Khi đó: k s0   k s 0 N s 0 n p  ( công thức này được gọi công

n tại p thì N n ; do đó   hoặc 0 

Suy ra:

cos   và 1 k s0  k s 0

Độ cong k s0  trong trường hợp này còn gọi là độ cong tiết diện

theo mặt tiết diện  P Điều này giải thích cho độ cong pháp dạng

1.2.6: Tính độ cong pháp dạng theo hai độ cong chính

1.2.6.1: Định lí 2.5: Cho mặt định hướng S trong E mà hướng xác định 3

bởi trường pháp vectơ đơn vị khả vị n , một điểm p  S , một mục tiêu trực

chuẩn e e1, 2 của T S mà p e i là phương chính ứng với độ cong chính ki

1.2.6.3: Hệ quả: Độ cong chính k của S tại p là giá trị cực đại hoặc cực

tiểu của tập các độ cong pháp dạng k v  tại p

Chương 2 : hệ thống bài tập

Trong chương này chúng ta sẽ đi giải một số bài tập cơ bản từ dễ đến khó

về ánh xạ Weingarten và các loại độ cong của mặt trong E sử dụng các kiến 3

thức đã nêu ở chương 1

2.1: ánh xạ Weingarten

Bài 2.1.1: Cho măt cầu S trong E có phương trình tham số theo tọa độ trực 3

chuẩn r u v ,   acosucos , cosv a usin , sinv a u, a  Lấy tại 0 0;0; 1 

hướng của E xác định bởi mục tiêu trực chuẩn đã cho Dễ kiểm tra thấy rằng 3

  là một trường vectơ pháp tuyến liên tục trên S Do đó, có

thể định hướng S bởi trường n r Hãy tính h tại điểm p p  S

Giải:

Xem r là một tham số hóa địa phương tại p

 sin cos , sin sin , cos 

u

r  a u v a u v a u

rv   acosusin , cosv a ucos ,0v 

n  cosucos , cosv  usin , sinv  u

Vậy với v  r u r v thì h p v  1 

2 r ur v  1v

a

Suy ra: h này là phép vị tự tuyến tính tỉ số p 1

a

Ma trận của h đối với cơ sở p r r u  của , v T S là: p

1010

a A

Bài 2.1.1: Trong E , cho mặt cầu S tâm 3 I, bán kính R Giả sử rằng S

được định hướng bởi trường vectơ pháp tuyến đơn vị:

a) Hãy xác định ánh xạ Weingarten h tại p p S

b) Hãy chỉ ra các điểm của S đều là điểm cầu đồng thời là điểm eliptic

R A

 p là điểm cầu đồng thời là điểm eliptic

2.2: Độ cong của mặt trong E 3

Bài 2.2.1: Trong E cho mặt cầu S có tâm O , bán kính a Tính độ cong 3

Gauss K , độ cong trung bình p H của S tại p p ( trường pháp vectơ đơn vị hướng vào trong)

Giải:

Phương trình tham số của mặt cầu S tâm O , bán kính a là:

 ,   cos cos , cos sin , sin , 0

Xem r là tham số hóa địa phương tại p  S

Ta có: ru   asinucos ,v asinusin , cosv a u

rv   acosusin , cosv a ucos ,0v 

n  cosucos , cosv  usin , sinv  u

Và h  r  n r   

sinucos , sinv  usin ,cosv u 1r

a A

Bài 2.2.2: Trong E , cho mặt trụ tròn xoay S có bán kính a , trục quay là 3

Oz của hệ tọa độ đêcác Oxyz Phương trình tham số của S là:

 ,   cos , sin , 

r u v  a u a u v Tính độ cong Gauss K , độ cong trung bình p H của p

S tại p và phương chính (nếu có) của S

Giải:

Ta có:

ru   asin , cos ,0u a u 

r v 0,0,1

Mặt S có trường pháp vectơ đơn vị liên tục khác 0 :

xúc của cung tọa độ vv0 ( cung vĩ tuyến)

Phương chính ứng với k2  0 là phương của r v, đó là phương tiếp xúc của

cung tọa độ uu0 ( cung kinh tuyến)

Bài 2.2.3: Trong E , cho mặt phẳng 3  P Tính độ cong Gauss K , độ cong p

trung bình H của p  P tại p và chứng minh mọi điểm nằm trên  P là điểm

dẹt

Giải:

Mặt phẳng  P được định hướng bởi trường pháp vectơ đơn vị:

Khi đó: r u 0

; r v 0

 h 0 p 

Suy ra: k1  k2 0

Vậy K p  , 0 H p  và mọi điểm của mặt phẳng đều là điểm dẹt 0

Bài 2.2.4: Trong E , cho mặt định hướng S , có hướng xác định bởi trường 3

pháp vectơ đơn vị khả vi n , điểm p  S , mặt phẳng   đi qua p và không

phải là tiếp diện của S tại p Chứng minh rằng mọi cung song chính quy trên S

đi qua p , có tiếp tuyến chung l tại p, nhận   là mặt phẳng mật tiếp tại p đều

có tọa độ cong bằng nhau tại p

Gọi v là một vectơ chỉ phương của l

Khi đó, áp dụng công thức Meusnier:

Bài 2.2.5: Chứng minh rằng đa tạp hai chiều liên thông ( cung) trong E mà 3

mọi điểm là điểm rốn thì có độ cong Gauss hằng ( không âm)

Chứng minh:

Thậy vậy, trong một tham số hóa địa phương tùy ý u v, r u v ,  của

mặt, gọi n là trường vectơ pháp tuyến đơn vị của mặt Ta có:

Bài 2.2.6: Chứng minh rằng đa tạp hai chiều liên thông S trong E có độ 3

cong Gauss K  thì mọi điểm của S là điểm dẹt ( điều này tương đương với 00

 R 0 thì mọi điểm của S là điểm cầu Khi đó S là một

bộ phận liên thông của mặt cầu bán kính R

tập mở liên thông của S trên đó có trường vectơ pháp tuyến đơn vị như nói trên

Do đó, dễ thấy các điểm O cho mỗi đoạn con đó là trùng nhau và vì vậy với

mọi t thuộc đoạn  0;1 , 1 t thuộc mặt cầu tâm O , bán kính R , do vậy q

thuộc mặt cầu ấy

Bài 2.2.8: Tính độ cong Gauss và độ cong trung bình của mặt S trong E có 3

tham số hóa kiểu đồ thị với tọa độ đêcác x y z là: , ,  r x y z , , x y f x y, ,  ;  



 ;

x y

f f