Tính ổn định mũ bình phương trung bình của nghiệm của hệ phương trình sai phân ngẫu nhiên

Trong luận văn này chúng tôi tập trung nghiên cứu tính ổn định mũbình phơng trung bình của hệ phơng trình sai phân ngẫu nhiên nhờ phơngpháp thứ 2 của Liapunov thông qua hàm ngẫu nhiên Li

Lời nói đầu

Bất cứ hệ thống nào dù là hệ thống kỹ thuật, hệ sinh thái hay hệ thốngxã hội , bao giờ cũng tồn tại và phát triển ở trạng thái ổn định nhất Đối vớicác hệ thống điều chỉnh tự động thì ổn định là chỉ tiêu cơ bản mà ngời ta cầnquan tâm Bởi vì một hệ thống muốn sử dụng đợc thì trớc tiên phải ổn định

Lý thuyết ổn định là một bộ phận quan trọng trong lý thuyết định tínhphơng trình vi phân Vấn đề nghiên cứu tính ổn định ngẫu nhiên là một trongnhững bài toán quan trọng của lý thuyết ổn định của các hệ động lực ngẫunhiên

Trong luận văn này chúng tôi tập trung nghiên cứu tính ổn định mũbình phơng trung bình của hệ phơng trình sai phân ngẫu nhiên nhờ phơngpháp thứ 2 của Liapunov thông qua hàm ngẫu nhiên Liapunov và đợc phátbiểu theo ngôn ngữ của các phơng trình ma trận Liapunov rời rạc Với mục

đích đó luận văn đợc hình thành gồm hai chơng:

Chơng 1 Trình bày khái niệm ổn định của hệ phơng trình vi phân

và tìm điều kiện cho hệ ổn định.

Trong chơng này chúng tôi giới thiệu các khái niệm cơ bản của lýthuyết ổn định và một số phơng pháp khảo sát điều kiện ổn định của hệ phơngtrình vi phân và chứng minh các kết quả cho một số điều kiện ổn định của hệphơng trình vi phân

Chơng 2 Trình bày khái niệm ổn định mũ của hệ phơng trình sai phân và tìm điều kiện cho hệ ổn định mũ.

Trong chơng này đầu tiên chúng tôi giới thiệu các khái niệm ổn định

mũ, tiếp theo chúng tôi đa ra và chứng minh các điều các điều kiện cho tính

ổn định mũ của hệ phơng trình sai phân

Luận văn đợc hoàn thành tại trờng Đại học Vinh dới sự hớng dẫn tậntình của PGS TS Phan Đức Thành Nhân đây tôi xin bày tỏ lòng biết ơn vàkính trọng sâu sắc đến thầy cùng các thầy cô trong khoa Toán và khoa Sau đạihọc trờng Đại học Vinh, đặc biệt là các thầy cô trong tổ điều khiển đã giúp đỡ

và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luậnvăn

Vinh, tháng 12 năm 2005

Tác giả

Trần công thành

mục lục Tr

ang

Chơng 1 Một số kiến thức cơ bản về lý thuyết ổn định của hệ phơng trình vi phân

2

1.1 Bài toán cơ bản của lý thuyết ổn định

1.2 Tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính

1.3 Tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất

1.4 Tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính với ma trận hằng 1.5 Phơng pháp hàm Liapunov

23579

Chơng 2 Tính ổn định mũ bình phơng trung bình của nghiệm của hệ phơng trình sai phân ngẫu nhiên

2.1 Tính ổn định của hệ phơng trình sai phân tất định với

ma trận hằng

2.2 Tính ổn định của hệ phơng trình sau phân với ma trận hằng dạng tổng quát

2.3 Tính ổn định mũ bình phơng trung bình của hệ phơng trình sai phân ngẫu nhiên với ma trận hằng

2.4 Tính ổn định mũ bình phơng trung bình của hệ phơng trình sai phân ngẫu nhiên với ma trận hằng dạng tổng quát

2.5 Tính ổn định mũ bình phơng trung bình của hệ phơng

trình sai phân với nhiễu vectơ r - chiều ( 1, …,  , r ).

2.6 Tính ổn định của hệ phơng trình sai phân tất định có trễ.

2.7 Tính ổn định mũ bình phơng trung bình của hệ phơng trình sai phân ngẫu

Chơng I

Một số kiến thức cơ bản về lý thuyết ổn định của hệ

ph-ơng trình vi phânTrong chơng này chúng tôi giới thiệu các khái niệm cơ bản của lýthuyết ổn định và một số phơng pháp khảo sát điều kiện ổn định của hệ phơngtrình vi phân

1.1 Bài toán cơ bản của lý thuyết ổn định

y

.

f y

t f Y t

F( , )  [ 1( , 1), , ( , )] ;

T n

dt

dy dt

dy dt

dy dt

dY

) , , ,

Định nghĩa 1.1.1 Nghiệm Z = Z(t) của hệ (1) đợc gọi là ổn định theo

nghĩa Liapunov (gọi tắt là ổn định) nếu với mọi  > 0, tồn tại    (t0,  )  0sao

cho mọi nghiệm Y = Y(t) thoả mãn Y(t0)  Z(t0)   thì Y(t) Z(t)   với mọi

t  t 0

Định nghĩa 1.1.2 Nghiệm Z = Z(t) của hệ (1) đợc gọi là ổn định đều

nếu với mọi  > 0, tồn tại    (  )  0 sao cho mọi nghiệm Y = Y(t) thoả mãn

Định nghĩa 1.1.3 Nghiệm Z = Z(t) đợc gọi là không ổn định nếu với 

> 0 nào đó và với mọi   0, tồn tại nghiệm Y = Y(t) sao cho

Y(t0)  Z(t0)   và Y(t)  Z(t)  

Trong hệ phơng trình vi phân (1) nếu Y = 0 và F(t,0)  0 thì nghiệm

Y(t)  0 đợc gọi là nghiệm tầm thờng (hay còn gọi là trạng thái cân bằng).

Định nghĩa 1.1.4 Nghiệm tầm thờng Z(t) = 0 đợc gọi là ổn định nếu

với mọi  > 0, tồn tại    (t0,  )  0 sao cho mọi nghiệm Y = Y(t) thoả mãn

Định nghĩa 1.1.5 Nghiệm Z = Z(t) của hệ phơng trình (1) đợc gọi là

ổn định tiệm cận nếu thoả mãn các điều kiện sau

i) Z = Z(t) là nghiệm ổn định;

ii) Với mọi t  t 0 , tồn tại  = (t 0 ) > 0 sao cho mọi nghiệm Y(t) thoả

mãn điều kiện Y(t0)  Z(t0)   thì lim ( ) ( ) 0



Định nghĩa 1.1.6 Nghiệm tầm thờng Z(t) = 0 gọi là ổn định tiệm cận

nếu nó thoả mãn các điều kiện sau

(t Y F t A

dt

dY



Định nghĩa 1.2.1 Hệ vi phân tuyến tính (2) đợc gọi là ổn định (tơng

ứng ổn định tiệm cận, không ổn định) nếu tất cả các nghiệm của hệ là ổn định

(tơng ứng ổn định tiệm cận, không ổn định)

Định lý 1.2.2 Điều kiện cần và đủ để hệ vi phân tuyến tính (2) ổn định với

mọi F(t) là nghiệm tầm thờng X(t)  0 của hệ thuần nhất A t Y

dt

dY

) (

 ổn định Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử Z = Z(t) là nghiệm của hệ vi phân tuyến tính (2) và hệ vi phân tuyến tính (2) là hệ ổn định với mọi F(t) Khi đó, nghiệm Z = Z(t) ổn định, có nghĩa là với mọi  > 0 tồn tại   0 sao cho với

nghiệm bất kỳ Y = Y(t) của hệ (2) thì





 ( ) )

(t Z t

Y khi Y(t0)  Z(t0)   (*)Mặt khác ta có

).

( )

(

) ( )

(

t F Z t A dt dZ

t F Y t A dt dY









) )(

( ) (

Z Y t A dt

Z Y d

 sao cho nếu ||X(t0) ||   (t0,  ) thì ||X(t) ||   với mọi t  t0 Nh

vậy, nếu Z = Z(t) là một nghiệm nào đó của hệ vi phân tuyến tính (2) và Y(t)

là nghiệm bất kỳ của hệ đó thì từ bất đẳng thức Y(t0)  Z(t0)   ta suy ra

Mệnh đề 1.2.3 Hệ vi phân tuyến tính (2) ổn định đều khi và chỉ khi

nghiệm tầm thờng X  0 của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất tơng ứng ổn

 ổn định tiệm cận.

Chứng minh Định lý đợc trực tiếp suy ra từ khẳng định hiệu giữa hai

nghiệm của hệ vi phân tuyến tính không thuần nhất là một nghiệm của hệ viphân tuyến tính thuần nhất tơng ứng

Hệ quả 1.2.5 Các khẳng đinh sau là đúng cho hệ phơng trình vi phân

tuyến tính.

(a) Hệ vi phân tuyến tính ổn định khi có ít nhất một nghiệm của nó ổn

định và không ổn định nếu một nghiệm nào đó của nó không ổn định.

(b) Hệ vi phân tuyến tính ổn định khi và chỉ khi hệ vi phân thuần nhất

t-ơng ứng ổn định.

(c) Điều kiện cần và đủ để hệ vi phân tuyến tính (2) với số hạng tự do F(t) bất kỳ ổn định tiệm cận là hệ vi phân tuyến tính thuần nhất tơng ứng ổn định.

1.3 Tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất

Xét hệ vi phân tuyến tính thuần nhất dới dạng ma trận:

A t Y

dt

dY

) (

Định lý 1.3.1 Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (3) ổn định khi và chỉ

khi mọi nghiệm Y = Y(t) (t 0  t < ) của hệ đó bị chặn với mọi t  t 0

Chứng minh Điều kiện đủ: Giả sử nghiệm bất kỳ của hệ (3) bị chặn với mọi t  t 0 Hệ phơng trình (3) có nghiệm Y = Y(t) = X(t).Y(t 0 ) trong đó X(t) là nghiệm cơ bản của hệ và X(t 0 ) = I ma trận đơn vị.

Vì X(t) bao gồm các hàm giới nội nên nó giới nội, tức là X(t) M với mọi

t  t 0 , M là một hằng số dơng Suy từ Y(t) = X(t).Y(t 0 ) ta có

Y(t)  X(t).Y(t0)  X(t) Y(t0)

Do đó

||

) (

||

) (t M Y t0

( ) (( )) .2

0



t Z

t Z t

.

||

) (

||

||

) (

||

||

) (

||

0

0 0

t Z

t Z t

Mặt khác ta có nghiệm Z(t) không bị chặn đối với một thời điểm t 1 > t 0 nào đó.Suy ra

||

) (

||

||

) (

||

0

1 1

t Z

t Z t

Nh vậy, nghiệm tầm thờng Y 0  0 của hệ (3) không ổn định, do đó theo Định lý

1 2.2 thì hệ (3) cũng không ổn định, điều này mâu thuẫn giả thiết

Vậy mọi nghiệm của hệ (3) đều bị chặn

Định lý 1.3.2 Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (3) ổn định tiệm cận khi

và chỉ khi tất cả các nghiệm Y = Y(t) thoả mãn điều kiện

||

).

( )



t Z t Y

||

) ( )

t Y t

||Y t  khi T < t <  Vì trên đoạn hữu hạn [t 0 ,T] hàm véctơ liên tục Y(t) bị chặn nên nghiệm Y(t) bất

kỳ bị chặn trên đoạn [t 0 , ) Do đó theo Định lý 1.3.1, hệ (3) ổn định và nghiệm

tầm thờng của nó ổn định tiệm cận Từ đó, theo Định lý 1.2.4 ta suy ra tính ổn

định tiệm cận của hệ (3)

1.4 Tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính với ma trận hằng

Xét hệ vi phân tuyến tính với ma trận hằng sau

Y A dt

dY

.

trong đó A là ma trận hằng cấp (n x n) và Y 0 = I (I là ma trận đơn vị cấp n x n).

Định nghĩa 1.4.1 Ma trận A đợc gọi là ổn định (hay ổn định Hurwitz) nếu

các nghiệm đặc trng j =  j (A) của ma trận A đều có phần thực âm, tức là Re j (A) < 0 (j = 1, …,n) ,n).

Định lý 1.4.2 Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (4) với ma trận hằng A

ổn định khi và chỉ khi tất cả các nghiệm đặc trng  j =  j (A) của A đều cóphần thực không dơng, nghĩa là Re j (A) < 0 (j = 1, …,n) , n).

Chứng minh Để chứng minh điều kiện cần ta cần có một số kiến thức

phụ về lý thuyết ma trận nên ta chỉ chứng minh điều kiện đủ của Định lý Thậtvậy, giả sử j  j ij j 1, 2, , ,p i  1 là tất cả các nghiệm đặc trng của

ma trận A với các phần thực j âm và k = ik (k =1, …,n) , q) là tất cả các

nghiệm đặc trng của ma trận A với phần thực bằng không.

Khi đó, theo kết quả đã biết ở lý thuyết phơng trình vi phân thì nghiệmbất kỳ của hệ (4) có dạng

Định lý 1.4.3 Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (4) với ma trận hằng A

ổn định tiệm cận khi và chi khi tất cả các nghiệm đặc trng  j =  j (A) của ma trận A đều có các phần thực âm, tức là Re j (A) < 0 (j = 1, …,n) , n).

Chứng minh Điều kiện đủ: Giả sử  1 , …,n)  , m (m  n) là tất cả các nghiệm đặc trng của ma trận A và Re j < 0 (j = 1, …,n) , m) Khi đó, theo kết quảcủa lý thuyết phơng trình vi phân ta có mỗi nghiệm Y(t) của hệ phơng trình(4) đều biểu diễn đợc dới dạng:

( ) J ( )

m t j j

t c

e t

Định nghĩa 1.5.1 Hàm V(t,X) đợc gọi là hàm có dấu không đổi (dấu

d-ơng hoặc dấu âm) trong miền Z 0 nếu V(t,X)  0 (hoặc V(t,X)  0).

Định nghĩa1.5.2 Hàm V(t,X) đợc gọi là hàm xác định dơng trong miền Z 0

nếu tồn tại hàm W(X) sao cho V(t,X)  W(X) > 0 với X 0 và V(t,0) = W(0) = 0

Hàm V(t,X) đợc gọi là hàm xác định âm trong miền Z 0 nếu tồn tại hàm W(X) sao cho V(t,X)  W(X) < 0 với X 0 và V(t,0) = W(0) = 0.

Định nghĩa 1.5.3 Hàm V(t,X) đợc gọi là hàm có giới hạn vô cùng bé

bậc cao khi X  0 nếu với mọi  > 0 tồn tại    (  )  0 sao cho





| ) , (

|V t X khi || X ||   và t  t0.Xét hệ phơng trình vi phân nh sau

F ( X t, )

dt dX

Định lý 1.5.4 Nếu đối với hệ (5) tồn tại một hàm xác định dơng V(t,X)

và có đạo hàm theo t xác định âm thì nghiệm tầm thờng X  0 của hệ đã cho

ổn định.

Định lý 1.5.5 Giả sử đối với hệ (5) tồn tại một hàm xác định dơng

V(t,X) có giới hạn vô cùng bé bậc cao khi X  0 và có đạo hàm theo t xác

định âm Khi đó nghiệm tầm thờng X  0 của hệ đã cho ổn định tiệm cận.

Định lý 1.5.8 Nếu tồn tại ma trận H xác định dơng, đối xứng và thoả

mãn điều kiện A T H+HA =-I thì hệ AX

dt

HX X d dt

HAX X HX A X

HAX X HX AX

T T

T T

T

T T

) (

) (

 ổn định tiệm cận

Chơng 2 Tính ổn định mũ bình phơng trung bình của nghiệm

của hệ phơng trình sai phân ngẫu nhiên

2.1 Tính ổn định của hệ phơng trình sai phân tất định với ma trận hằng

Trong mục này chúng ta xét tính ổn định của hệ phơng trình sau

trong đó k = k 0 , k 0 + 1, …,n) ; y k 0 y0 n và A là ma trận hằng.

Định nghĩa 2.1.1 Nghiệm y = 0 của hệ phơng trình sai phân (1) đợc

gọi là ổn định mũ với p (0;1) nếu tồn tại hằng số N > 0 và 0 < p < 1 độc lập với k 0 và y 0 sao cho với mọi k > k 0 và y  0 n thì nghiệm y(k, k 0 , y 0 ) của hệ ph-

ơng trình đã cho thoả mãn bất đẳng thức sau

0

|| ( , , ) ||y k k y N p. k k ||y ||

Định nghĩa 2.1.2 Ma trận hằng A đợc gọi là hội tụ (hay ổn định Schur)

nếu các nghiệm đặc trng i i ( A) của ma trận A thoả mãn điều kiện

1

| ) (

| i A  (i = 1, 2, …,n) , n).

Mệnh đề 2.1.3 Hệ phơng trình sai phân (1) ổn định tiệm cận khi và chỉ khi

ma trận A hội tụ.

Chứng minh Từ hệ phơng trình (1) ta có

y(k) = Ay(k-1) = A.A y(k-2) = …,n) = A k y(k 0 ) = A k y 0

Gọi i (i = 1, 2, …,n) , n) là các nghiệm đặc trng của ma trận A Khi đó  i lànghiệm của phơng trình sau det A-I =0 với I là ma trận đơn vị Khi đó tồn tại

ma trận T không suy biến sao cho





0

.

A T HA - H = - G trong đó G là ma trận xác định dơng, đối xứng tuỳ ý nào đó (G = G T > 0 n x n ), G

Khi đó, nếu A T HA-H =-G thì V(y(k)) = - y T (k)G(y(k)) hay V(y(k))<0

Do đó, theo định lý Liapunov thì hệ phơng trình (1) ổn định tiệm cận

Định lý 2.1.5 Nghiệm y=0 của hệ phơng trình (1) ổn định mũ với biên

p (0,1) (nghĩa là khi   A  p ) nếu tồn tại ma trận H xác định dơng, đối xứng (H = H T > 0 nxn ) thoả mãn phơng trình ma trận Liapunov rời rạc sau

G H HA A p

Z 1  (*)Chọn hàm Liapunov của hệ (*) là dạng toàn phơng sau

k Z

k HZ k Z k HAZ A p k Z

k HZ k Z k Z p

A H p

A k Z

k HZ k Z k Z p

A H k Z p A

k HZ k Z k HZ k Z

k Z V k Z V k Z V

T T

T T

T

T T

T

T T

T T

1 1

Do vậy hệ (1) ổn định mũ với biên p  (0,1) nếu tồn tại ma trận H xác

định dơng, đối xứng thoả mãn điều kiện

G H HA A p

với A và D là các ma trận hằng, D không suy biến

Định lý 2.1.6 Nghiệm y = 0 của hệ phơng trình (2) ổn định tiệm cận

nếu tồn tại ma trận H xác định dơng, đối xứng (H = H T > 0 nxn ) thoả mãn

ph-ơng trình ma trận Liapunov rời rạc

A T HA - D T HD = - G trong đó G là ma trận xác định dơng, đối xứng cấp n tuỳ ý, G có thể là ma trận đơn vị

Chứng minh Ta chọn hàm Liapunov của hệ (2) nh sau

V(y(k)) = y T (k) D T Hdy(k) Khi đó V(y(k)) > 0 suy ra

k HDy D k y k HDy k

Dy

k HDy D k y k HDy D k y

k y V k

y V k y V

T T T

T

T T T

T T T

1 1

1

Nếu A T HA - D T HD = - G thì V(y(k)) < 0

Định lý 2.1.7 Nghiệm y = 0 của hệ phơng trình (2) ổn định mũ với

biên p  (0,1) nếu tồn tại ma trận H xác định dơng, đối xứng (H = H T > 0 nxn ) thoả mãn phơng trình ma trận Liapunov

G HD D HA A p

T T

k Z

k HDZ D k Z k HAZ A p k Z

k HDZ D k Z k Z p

A H p

A k D

k HDZ D k Z k HDZ k

DZ

k HDZ D k Z k HDZ D k Z

k Z V k

Z V k Z V

T T

T

T T T

T

T T T

T

T T T

T T T

1 1

1 1

Do đó hệ phơng trình (**) ổn định mũ với biên p (0,1) kéo theo hệ (2) ổn định

mũ với biên p  (0,1) Định lý đợc chứng minh hoàn toàn

2.3 Tính ổn định mũ bình phơng trung bình của hệ phơng trình sai phân ngẫu nhiên với ma trận hằng

Trong mục này chúng tôi sẽ nghiên cứu tính ổn định mũ bình phơngtrung bình của hệ phơng trình sai phân có dạng nh sau

Định nghĩa 2.2.1 Nghiệm x = 0 của hệ phơng trình (3) đợc gọi là ổn

định mũ bình phơng trung bình với biên p  (0,1) nếu tồn tại hằng số N và

0 < p < 1 độc lập với k 0 và x 0 sao cho với mọi k > k 0 và x 0  n thì nghiệm

x (k, k 0 , x 0 ) của hệ thoả mãn điều kiện     2

0

2 0

k x

Định lý 2.2.2 Nghiệm x = 0 của hệ phơng trình (3) ổn định mũ bình

phơng trung bình với biên p  (0,1), nếu tồn tại ma trận H xác định dơng,

đốixứng (H=H T >0 nxn ) thoả mãn phơng trình ma trận Liapunov sau

p

T T

k Z

k HZ k Z k Z k B A p

H p k B A k Z

k HZ k Z k Z k B A p H k Z k B A p

k HZ k Z k HZ k Z

k Z V k

z V k Z V

T T T

T T

T T

T T

T T

1 1

1 1

1

1 1

thì E{V(Z(k))}<0 nên nghiệm của Z=0 của

hệ phơng trình (3.1) ổn định mũ bình phơng trung bình với biên p(0,1) kéo theo nghiệm x = 0 của hệ phơng trình (3) ổn định mũ bình phơng trung bình với biên p  (0,1) Định lý đợc chứng minh

2.4 Tính ổn định mũ bình phơng trung bình của hệ phơng trình sai phân ngẫu nhiên với ma trận hằng dạng tổng quát

Trong mục này chúng ta sẽ xét tính ổn định mũ bình phơng trung bìnhcủa hệ phơng trình sai phân dạng sau

Dx(k+1) = [A + B (k)] x(k) (4)

với A, B và D là các ma trận hằng, D là ma trận không suy biến (det D0).

(k) = W(k+1) - W(k) là ồn trắng tiêu chuẩn thoả mãn điều kiện

E { 2 (k)} = 1 và E {(k0} = 0.