Tính liên thông của tập nghiệm trong bài toán bất đẳng thức biến phân véc tơ đơn điệu

Tính liên thông của tập nghiệm trong bài toán bất đẳng thức biến phân véc tơ đơn điệu

Đại Học Thái NguyênTrường Đại học Sư phạm

-Nguyễn Song Hà

Tính liên thông của tập nghiệm trong bài toán bất đẳng thức biến phân véc tơ đơn điệu

Luận văn thạc sĩ toán học

Thái Nguyên - 2009

Đại Học Thái NguyênTrường Đại học Sư phạm

Nguyễn Song Hà

Tính liên thông của tập nghiệm trong bài toán bất đẳng thức biến phân véc tơ đơn điệu

Chuyên ngành: Giải tíchMã số: 60.46.01

Luận văn thạc sĩ Toán học

Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Tạ Duy Phượng

Thái Nguyên - 2009

Mục lục

Mục lục 2

Lời nói đầu 3

Các kí hiệu 5

1 Cấu trúc và tính liên thông của tập nghiệm trong bài toán bất đẳng thức biến phân véc tơ đơn điệu 6 1.1 Bất đẳng thức biến phân véc tơ đơn điệu 6

1.1.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân 6

1.1.2 Các định lí tồn tại nghiệm 7

1.1.3 Bài toán bất đẳng thức biến phân véc tơ 11

1.1.4 Tính liên thông của tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân véc tơ 17

1.2 Bất đẳng thức biến phân véc tơ affine đơn điệu 25

1.2.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân affine 25

1.2.2 Các định lý tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân affine 27

1.2.3 Tính liên thông của tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân véc tơ affine 30

1.2.4 Bài toán tối ưu véc tơ phân thức tuyến tính và bài toán bất đẳng thức biến phân affine 39

2 Các thí dụ tính tập nghiệm trong bài toán bất đẳng thức biến phân

2.1 Thí dụ 1 45

2.2 Thí dụ 2 49

2.3 Thí dụ 3 53

2.4 Thí dụ 4 58

2.5 Thí dụ 5 62

2.6 Thí dụ 6 67

2.7 Thí dụ 7 71

2.8 Thí dụ 8 75

2.9 Thí dụ 9 79

Kết luận 87

Lời nói đầu

Do ý nghĩa quan trọng về cả lý thuyết lẫn thực tế, bài toán bất đẳng thứcbiến phân đã được nghiên cứu mạnh mẽ trong khoảng 30 năm trở lại đây Bàitoán bất đẳng thức biến phân liên quan đến nhiều bài toán khác của giải tíchphi tuyến (bài toán tối ưu, bài toán cân bằng, bài toán bù, ) Nhiều vấn đềcủa bài toán biến phân (tồn tại nghiệm, ổn định nghiệm, ) đã được nghiêncứu khá kỹ Tuy nhiên, theo chúng tôi, trong khi cấu trúc tập nghiệm (tồntại nghiệm, tính liên thông, tính co rút được) của bài toán tối ưu đa mục tiêu

đã được quan tâm nghiên cứu nhiều, thì cấu trúc tập nghiệm của bài toán bất

đẳng thức biến phân còn chưa được quan tâm đầy đủ Mục đích của luận vănnày là trình bày các kết quả của các bài báo [4], [9], [11] Đồng thời chúngtôi cũng trình bày một số kết quả của bản thân về vấn đề này

Luận văn này nghiên cứu tính liên thông của tập nghiệm trong bài toánbất đẳng thức biến phân với tập chấp nhận được không nhất thiết compact.Vấn đề trung tâm, xuyên suốt các chương của luận văn là trả lời cho các câuhỏi:

Với điều kiện nào thì bài toán bất đẳng thức biến phân có nghiệm?Với điều kiện nào thì tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân

phân véc tơ và các bài toán liên quan.

Chương 2 xây dựng các ví dụ làm sáng tỏ lý thuyết đã trình bày ở chương

1 và đưa ra một số nhận xét về cấu trúc và tính liên thông của tập nghiệm.Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Thái Nguyêndưới sự hướng dẫn của PGS TS Tạ Duy Phượng Tôi xin bày tỏ sự kínhtrọng và lòng biết ơn sâu sắc đối với thầy hướng dẫn đã tận tình giúp đỡ để

có được các kết quả trong luận văn này

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đối với Trung tâm Đào tạo Sau đại học Đại họcSư phạm Thái Nguyên, Khoa Toán trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên,Khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học Thái Nguyên, tập thể lớp cao họcToán - K15, bạn bè đồng nghiệp về sự quan tâm giúp đỡ Và cuối cùng, xincảm ơn những người thân trong gia đình của tôi đã giúp đỡ, động viên vàkhích lệ rất nhiều trong thời gian dài học tập

Các kí hiệu

•Rn

+ = {(x1, x2, , xn) ∈ Rn : xi ≥ 0, i = 1, , n}

•hx, yi là tích vô hướng của hai phần tử x và y trong không gian Hilbert

Chương 1

Cấu trúc và tính liên thông của tập

nghiệm trong bài toán bất đẳng thức

biến phân véc tơ đơn điệu

1.1 Bất đẳng thức biến phân véc tơ đơn điệu

1.1.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân

Tập nghiệm Sol(VI) của VI là tập tất cả ¯x ∈ ∆ thỏa mãn (1.1)

Nhận xét 1.1.2

Bài toán bất đẳng thức biến phân (1.1) có thể viết dưới dạng sau:

Tìm điểm ¯x ∈ ∆ sao cho

trong đó N∆(¯ là nón pháp tuyến của ∆ tại ¯x, định nghĩa bởi

N∆(¯x) =

({z ∈ Rn : hz, x − ¯xi ≤ 0, ∀x ∈ ∆} nếu ¯x ∈ ∆,

Khi ấy ¯x ∈ Sol(VI)

Chứng minh Giả sử tồn tại ε > 0 thỏa mãn (1.4) Rõ ràng, với mỗi y ∈ ∆ tồntại t =∈ (0, 1) sao cho zt := ¯x + t(y − ¯x) thuộc tập ∆ ∩ ¯B(¯x, ε) Theo (1.4),

0 ≤ hF (¯x), zt− ¯xi = thF (¯x), y − ¯xi Từ đây suy ra rằng hF (¯x), y − ¯xi ≥ 0với mọi y ∈ ∆ Do đó ¯x ∈ Sol(VI)

Mệnh đề 1.1.3 chỉ ra rằng mọi nghiệm địa phương của bài toán bất đẳngthức biến phân (nghiệm của (1.4)) cũng là nghiệm toàn cục (nghiệm của(1.1))

Định lí Hartman-Stampacchia dưới đây là định lí cơ bản về sự tồn tạinghiệm trong bất đẳng thức biến phân Nó được chứng minh nhờ định lí

điểm bất động Brouwer

Định lý 1.1.4 (Xem [5] trang 12)

Nếu ∆ ⊂ Rn là khác rỗng, lồi, compact và F : ∆ → Rn là liên tục, thìbài toán VI có nghiệm.

Với điều kiện phù hợp (điều kiện bức - coercivity conditions), chúng ta

có định lí tồn tại cho trường hợp tập hạn chế ∆ không compact

(1.5) được thỏa Nếu tồn tại x0 ∈ ∆ sao cho (1.5) xảy ra thì ta nói rằng điềukiện bức (coercivity condition) được thỏa mãn Điều kiện bức đóng vai tròquan trọng trong nghiên cứu bất đẳng thức biến phân trong trường hợp tậphạn chế ∆ không compact Chú ý rằng (1.5) chỉ là một trong rất nhiều dạngcủa điều kiện bức

Nếu tồn tại x0 ∈ ∆ và α > 0 sao cho

thì (1.5) được thỏa mãn

Nếu tồn tại một số α > 0 sao cho

thì (1.6) được thỏa mãn Do đó (1.5) cũng được thỏa mãn

Bổ đề 1.1.8 (Bổ đề Minty - Xem [8] trang 89).

Nếu ∆ ⊂ Rn là tập lồi, đóng và F : ∆ → Rnlà ánh xạ liên tục, monotonethì ¯x ∈ Sol(VI) khi và chỉ khi ¯x ∈ ∆ và

Điều kiện đủ: Giả thiết rằng ¯x ∈ ∆ và (1.10) được thỏa mãn Chọn y ∈ ∆nào đó Do ∆ là tập lồi, y(t) := ¯x + t(y − ¯x) ∈ ∆ với mọi t ∈ (0, 1) Thay

y = y(t) vào (1.10) ta được

0 ≤ hF (y(t)), y(t) − ¯xi = hF (¯x + t(y − ¯x), t(y − ¯x)i

Hay ta có

hF (¯x + t(y − ¯x), y − ¯xi ≥ 0, ∀t ∈ (0, 1)

Cho t → 0, và kết hợp với tính liên tục của F ta nhận được hF (¯x), y−¯xi ≥ 0.Bất đẳng thức này đúng với mọi y ∈ ∆ nên ta có ¯x ∈ Sol(VI).

hF (¯x) − F (¯y), ¯y − ¯xi ≥ 0 Nhưng bất đẳng thức này mâu thuẫn với hF (¯y) −

F (¯x), ¯y − ¯xi > 0

(ii) Giả sử rằng F là liên tục và monotone trên ∆ Với mỗi y ∈ ∆ ta kíhiệu Ω(y) là tập tất cả ¯x ∈ ∆ thỏa mãn bất đẳng thức hF (y), y − ¯xi ≥ 0 Rõràng rằng Ω(y) là lồi đóng Từ Bổ đề 1.1.8 suy ra rằng

bài toán VI có duy nhất nghiệm Thật vậy, vì F là đơn điệu mạnh nên thoảmãn điều kiện bức, do đó theo Định lí 1.1.5 thì bài toán VI có nghiệm Hơnnữa, F là đơn điệu mạnh thì F là đơn điệu chặt, nên theo i) của Mệnh đề1.1.9 thì bài toán VI không thể có nhiều hơn một nghiệm

1.1.3 Bài toán bất đẳng thức biến phân véc tơ

Trong mục này ta sử dụng các kí hiệu dưới đây:

Giả sử H là không gian Hilbert thực (trường hợp đặc biệt ta có H = Rn)

và ∆ ⊆ H là tập con lồi, đóng

Fi : ∆ → H(i = 1, 2, , m) là các hàm giá trị véc tơ

F := (F1, F2, , Fm) = (Fi)mi=1 và với mỗi x ∈ ∆, v ∈ H ta viết

F (x)(v) := (hF1(x), vi, hF2(x), vi, , hFm(x), vi)

Dưới đây ta luôn giả thiết rằng C ⊆ Rm là nón lồi, đóng, nhọn, đỉnh tại gốc

và có phần trong khác rỗng nếu không nói gì thêm Ta gọi

C∗ := {(ξi)mi=1 ∈ Rm : hξ, ci ≥ 0, ∀c ∈ C}

là nón đối ngẫu của C

Định nghĩa 1.1.11

Bài toán tìm điểm ¯x ∈ ∆ sao cho:

(hF1(¯x), y − ¯xi, , hFm(¯x), y − ¯xi) /∈ −C\{0}, ∀y ∈ ∆, (1.11)

được gọi là bài toán bất đẳng thức biến phân véc tơ (vector variationalinequality problem), viết gọn là VVI

Tập nghiệm Sol(VVI) của bài toán VVI là tập tất cả các ¯x ∈ ∆ thoả mãn(1.11)

Định nghĩa 1.1.12

Bài toán tìm điểm ¯x ∈ ∆ sao cho:

(hF1(¯x), y − ¯xi, , hFm(¯x), y − ¯xi) /∈ −intC, ∀y ∈ ∆, (1.12)

được gọi là bài toán bất đẳng thức biến phân véc tơ yếu (weakly vectorvariational inequality problem), viết gọn là VVIw

mãn (1.12)

hξ, ci thì

∀x ∈ C\{0} : tx ∈ Λ Hay Λ là cơ sở của C∗

Hàm tích vô hướng là liên tục nên Λ là tập con đóng và bị chặn trong Rm,

và vì vậy nó là tập compact Dễ thấy Λ là tập lồi

hξ, ci = 1} nếu không nói gì thêm

Định lí dưới đây cho ta mối liên hệ giữa tập nghiệm của các bài toán bất

đẳng thức biến phân

Định lý 1.1.17

Hơn nữa, nếu F là liên tục thì Sol(VVI)w là tập đóng.

Chứng minh Từ định nghĩa bao hàm thức thứ hai là hiển nhiên Ta chứngminh bao hàm thức thứ nhất

có y ∈ ∆ nào để F (x)(y − x) ∈ −C\{0} Hay x ∈ Sol(VVI)

Trong trường hợp ξ = 0 thì bao hàm thức cũng luôn đúng Do đó

Hàm F được gọi là hàm đơn điệu mạnh (strongly monotone) nếu ∃α >

trường hợp F là strongly monotone thì bao hàm thức ngược lại vẫn có thểkhông đúng Trong ví dụ dưới đây ta sẽ chỉ ra điều này và Sol(VVI) là tậpcon thực sự của Sol(VVI)w

Nhận xét rằng ∀ξ ∈ Λ, ¯x ∈ Sol(VI)ξ ⇔ ξ1F 1(¯x) + ξ2F2(¯x) ∈ −N∆(¯

Để ý rằng N∆(¯x) = 0 nếu ¯x ∈ int∆ và N∆(¯x) = {(z1, z2) : z1 ≤ 0, z2 = 0}nếu ¯x ∈ ∂∆ Tính toán cho ta

Sol(VVI)w = {¯x = (¯x1, ¯x2) ∈ K : ¯x2 = 2 + 2

¯

x1 − 2, 0 ≤ ¯x1 ≤ 1},và

Sol(VVI) = {¯x = (¯x1, ¯x2) ∈ K : ¯x2 = 2 + 2

¯

x1 − 2, 0 < ¯x1 < 1}.Lấy ˜x = (0, 1) ∈ Sol(VVI)w Khi đó ta có với mọi y ∈ ∆

(hF1(˜x), y − ˜xi, hF1(˜x), y − ˜xi) = (−y1 + y2 − 1, 0) = R ì {0}

Như vậy nếu chọn (y1, y2) = (0, 0) ∈ ∆ ⇒ F (˜x)(y − ˜x) = (−1, 0) ∈ −R2+.

Do đó ˜x /∈ Sol(VVI) Tương tự ta suy ra ˜˜x = (1, 0) /∈ Sol(VVI)

Giả sử H là không gian Hilbert thực, ∆ ⊆ H là một thể lồi chặt C ⊆ Rm

là nón lồi, đóng và có phần trong khác rỗng Với mỗi x ∈ ∆, toán tử

Chứng minh Giả sử rằng

Do

Do ∆ là thể lồi chặt nên ∀t ∈ (0, 1) : θt = (1 − t)y + tz ∈ int∆ Từ (1.17)suy ra

Lấy  > 0 sao cho: ¯B(θt, ) ⊂ ∆, trong đó ¯B(θt, ) là hình cầu đóng tâm

v 7→ F (x)v là toàn ánh nên nó là ánh xạ mở Do ¯B(θt, ) − y là một lân cậncủa θt − y nên F (y)( ¯B(θt, ) − y) := {F (y)(x − y) : x ∈ ¯B(θt, )} là mộtlân cận của àt := F (y)(θt − y)

Do F (y)( ¯B(θt, ) − y) là tập mở nên ∃ρ > 0 sao cho

¯B(àt, ρ) ⊂ F (y)( ¯B(θt, ) − y)

Mặt khác vì intC 6= ∅ và (1.18) ta có ¯B(àt, ρ)∩−intC 6= ∅ Điều này chứng

tỏ rằng ∃x ∈ ¯B(θt, ) sao cho F (y)(x − y) ∈ −intC\{0} Mâu thuẫn

1.1.4 Tính liên thông của tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến

phân véc tơ

Trong phần này chúng ta sẽ chỉ ra rằng nếu F là strongly monotone thì

thì Sol(VVI)w là tập liên thông đối với tôpô yếu Ta vẫn sử dụng các kí hiệutrong mục 3

Định nghĩa 1.1.25

Giả sử X là một không gian tôpô

của hai tập con mở thực sự, rời nhau của nó

X được gọi là co rút được nếu tồn tại ánh xạ liên tục ψ : X ì [0, 1] → X

và một diểm a ∈ X sao cho ∀x ∈ X ta có ψ(x, 0) = x, ψ(x, 1) = a

Định nghĩa 1.1.26

Định nghĩa 1.1.27

mọi a ∈ X và với mọi tập mở Ω thoả mãn G(a) ⊂ Ω thì tồn tại một lân cận

U của a sao cho G(a0) ⊂ Ω với mọi a0 ∈ U

Bổ đề 1.1.28

Nếu ánh xạ đa trị G : X ⇒ Y là đóng và Y là compact thì G là nửa liêntục trên trên X.

Định lý 1.1.29 (Xem [10] trang 484)

Giả sử X, Y là hai không gian tôpô và G : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị Nếucác điều kiện sau thoả mãn:

i) X là liên thông

ii) Với mọi x ∈ X tập G(x) là khác rỗng và liên thông

iii) G là nửa liên tục trên trên X

giá trị véc tơ g : N ⇒ Rn là hàm đa trị với tập giá trị là lồi, đóng

Bài toán tìm điểm ¯x ∈ g(λ) sao cho:

g(λ) ∩ W ⊆ g(λ0) + kkλ − λ0kB,trong đó B là hình cầu đơn vị đóng trong Rn

Nếu tồn tại một lân cận lồi đóng X của x, một lân cận U của ¯à và hằng

số p > 0 sao cho

kf (x0, à0) − f (x, à)k ≤ p(kx0− xk + kà0− àk), ∀à, à0 ∈ M ∩ U ; ∀x, x0 ∈ Xthì f được gọi là Lipschitz địa phương tại (x, ¯à)

Bổ đề 1.1.31.

Giả sử ¯∆ ⊂ g(¯λ) là một tập compact và ∀x ∈ ¯∆ánh xạ g là giả Lipschitztại (¯λ, x) Khi ấy tồn tại một hằng số k > 0 và một lân cận V của ¯λ có tínhchất với mỗi x ∈ ¯∆tồn tại một lân cận W của x sao cho ∀λ, λ0 ∈ N ∩ V thì

g(λ) ∩ W ⊆ g(λ0) + kkλ − λ0kB

Bổ đề 1.1.32

Xét cặp tham số (¯à, ¯λ) ∈ M ì N Giả sử có một lân cận lồi, đóng X của

x và một lân cận U của ¯à và hai hằng số p > α > 0 sao cho

vµ mét h»ng sè p > 0 sao cho ∀i = 1, 2, , m; ∀x, x0 ∈ ∆ ta cã

thì ánh xạ x 7→ P∆(x − θf (x, ξ)) có duy nhất một điểm bất động, kí hiệu làx(ξ) trên ∆ Do đó ∀ξ thì x(ξ) là nghiệm duy nhất của bài toán VIξ Suy ra

Ta còn phải chứng minh clΩ = S

ξ∈Λ

Sol(VI)ξ Thật vậy, do các hàm Fi

ta có f(x, ξ) là Lipschitz địa phương tại y, ¯ξ, trong đó y := x(¯ξ) Khi đó áp

k¯> 0 sao cho

Nếu ¯ξ ∈ Λ∩intC∗ thì hiển nhiên x(¯ξ) ∈ Ω ⊆ clΩ Giả sử rằng ¯ξ ∈ Λ\intC∗

Do ta có thể chọn được một dãy ξ(m) ∈ Λ ∩ intC∗ : ξ(m) → ¯ξ và kết hợp với(1.23) ta được

ii) Sol(VVI) là tập bị chặn và liên thông đường

ξ∈Λ

Sol(VI)ξ, trong

lí trên thì bài toán VIξ có duy nhất nghiệm x(ξ) trên ∆ Mặt khác ta có

tính liên thông đường của Sol(VVI) ta chỉ cần chứng minh Ω là tập co rút

được Thật vậy, với mỗi a ∈ Λ cố định, ánh xạ Ψ : Ω ì [0, 1] → Ω địnhnghĩa bởi Ψ(ξ, t) = (1 − t)ξ + ta là ánh xạ liên tục và thoả mãn định nghĩa

Do đó Ω là tập co rút được

Định nghĩa 1.1.35

Một hàm số T : ∆ → H được gọi là liên tục trên các không gian con hữuhạn chiều nếu với mọi không gian con hữu hạn chiều M ⊂ H ánh xạ hạnchế T : M ∩ ∆ → H là liên tục yếu

m

P

i=1

ξiFi(x), x − yi ≥ 0, ∀x ∈ ∆

Vì tập tất cả y ∈ ∆ : hPm

i=1

ξiFi(x), x − yi ≥ 0 là một tập lồi và đóng yếu nênSol(VI)ξ là tập lồi và đóng yếu Nếu ∆ là tập bị chặn thì Sol(VI)ξ 6= ∅

ii) Lấy một dãy bất kì các phần tử {(ξ(k), y(k))} ⊂ Λ ì ∆sao cho ξ(k) →

¯

ξ ∈ Λ, ¯ξ = (¯ξ1, , ¯ξm) và {y(k)} hội tụ yếu tới y ∈ ∆ Ta cần chứng minh

y ∈ Sol(VI)¯ Thật vậy, với mỗi k ta có y(k) ∈ Sol(VI)ξ (k) Theo Bổ đềMinty ta có ∀x ∈ ∆

Giả sử F là monotone, ∆ ⊂ H là tập lồi, đóng, bị chặn, khác rỗng.

Fi : ∆ → H, i = 1, , m là liên tục trên các không gian con hữu hạn chiều.Khi ấy Sol(VVI)w 6= ∅ và liên thông

Chứng minh Theo bổ đề i) 1.1.31 và định lí 1.1.17 ta suy ra Sol(VVI)w 6= ∅.Trước hết ta chứng minh ánh xạ đa trị S : Λ ⇒ H xác định bởi S(ξ) =

∀ξ ∈ Λ, với mỗi tập mở yếu Ω ⊂ H, nếu S(ξ) ⊂ Ω thì tồn tại một số δ > 0sao cho ∀ξ ∈ Λ mà kξ − ξk < δ thì S(ξ) ⊂ Ω

Ta chứng minh bằng phản chứng, giả sử rằng ∃ξ ∈ Λ và một tập mở yếu

Ω ⊂ H, ∀δ > 0 sao cho ∃ξ ∈ Λ và y ∈ Sol(VI)ξ mà kξ − ξk < δ, y /∈ Ω

y(k) ∈ Sol(VI)ξ (k) và y(k) ∈ Ω/ với mọi k Do ∆ ⊂ H là tập lồi, đóng, bị

một dãy con cũng kí hiệu là y(k) hội tụ yếu đến y ∈ ∆ Rõ ràng y /∈ Ω Theo

liên tục trên Theo bổ đề 1.1.31, ta có tập giá trị S(.) là tập lồi và khác rỗng

Ta lại có S(Λ) = S

ξ∈Λ

S(ξ) = Sol(VVI)w là một tập liên thông (theo định lí1.1.29)

1.2 Bất đẳng thức biến phân véc tơ affine đơn điệu

1.2.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân affine

Trong mục này ta sử các kí hiệu sau:

Bài toán tìm ¯x ∈ ∆ sao cho

(hM1x + q¯ 1, x − ¯xi, , hMmx + q¯ m, x − ¯xi) /∈ −intRm+, ∀x ∈ ∆ (1.29)

được gọi là bài toán bất đẳng thức biến phân véc tơ affine yếu (weakly affinevector variational inequality problem), viết gọn là AVVIw

1.2.2 Các định lý tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân

affine

Mục này trình bày một số định lý cơ bản về tồn tại nghiệm của bất đẳngthức biến phân affine Một số điều kiện đơn điệu được đặt lên ánh xạ tuyếntính xác định bởi ma trận M và mối quan hệ giữa vectơ q với tập hạn chế ∆

và nón lùi xa 0+

các định lý này

Định nghĩa 1.2.7

Ta nói rằng M ∈ Rnìnlà đơn điệu (monotone) trên tập lồi, đóng ∆ ⊂ Rn

nếu toán tử tuyến tính tương ứng với ma trận M là đơn điệu trên ∆, nghĩa là

Để chỉ ra tính đồng dương không suy ra tính đơn điệu, ta xét thí dụ sau

Giả sử hai điều kiện sau đây được thỏa mãn:

(i) Tồn tại ¯x ∈ ∆ sao cho (M ¯x + q)Tv ≥ 0 với mọi v ∈ 0+∆,

(ii) (y − x)TM (y − x) ≥ 0 với mọi x ∈ ∆ và y ∈ ∆,

Khi ấy tập nghiệm Sol(AVI) khác rỗng

Từ định lí 1.2.9 dễ dàng suy ra kết quả dưới đây

Nếu q1 < 0 thì chọn ¯x = (−q1, 0), nếu q1 ≥ 0 thì chọn ¯x = (0, 0) Ta dễdàng chỉ ra rằng Sol(AVI) = {(−q1, 0)}nếu q1 < 0và Sol(AVI) = {(0, 0)}nếu q1 ≥ 0.

B Tồn tại nghiệm dưới điều kiện đồng dương

Trong mục này chúng ta chứng minh một số định lý tồn tại nghiệm củabài toán bất đẳng thức biến phân AVI, trong đó M không đòi hỏi giả thiết

đơn điệu trên ∆ Ta chỉ giả thiết rằng M là đồng dương trên ∆

Trước tiên chúng ta trình bày các định lý tồn tại nghiệm dựa trên giả thiết

đồng dương chặt

Bổ đề dưới đây chỉ ra rằng giả thiết đồng dương chặt trong định lý trênthực chất là tương đương với điều kiện bức

Bổ đề 1.2.12

vectơ bất kì Xét ánh xạ affine f(x) = Mx + q Ta áp dụng Bổ đề 1.2.12 ta

có thể chỉ ra rằng tồn tại x0 ∈ ∆sao cho điều kiện bức (1.5) được thỏa mãn.Theo Định lí 1.1.5, bài toán VI có nghiệm Vì bài toán này chính là bài toánAVI, nên ta suy ra kết luận của định lí là đúng

Định lý tồn tại nghiệm dưới đây không đòi hỏi ma trận M phải là đồngdương chặt trên ∆ Thay thế cho tính đồng dương chặt, ta sử dụng một giảthiết yếu hơn

thì với mọi q ∈ Rn, bài toán AVI có nghiệm.

Ví dụ 1.2.15 Giả sử M và ∆ như trong Thí dụ 1.2.11 Dễ dàng kiểm tra rằng

điều kiện của Định lí 1.2.14 được thoả mãn Do đó với mọi q = (q1, q2) ∈ R2,bài toán AVI có nghiệm

1.2.3 Tính liên thông của tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến

phân véc tơ affine

Định lý 1.2.16

Giả sử M1, , Mm là đơn điệu (monotone), đồng dương chặt trên ∆ Khi

Chứng minh Giả sử ξ = (ξ1, , ξm) ∈ Λ Do M1, , Mm là ma trận đồngdương chặt trên ∆ nên ta có

Do đó Sol(AVVI) và Sol(AVVI)w khác rỗng.

i=1

Sol(AVI)ξ là tập liên thông

liên tục trên trên Λ Do Λ0, Λ là các tập liên thông nên G(Λ0) và G(Λ) là

Bổ đề 1.2.17 (Xem [8] trang 133)

Gi¶ sö M ∈ Rn×n

, q ∈ Rn, M ∆ = {M x : x ∈ ∆} Khi Êy

q ∈ int((0+∆)+) − M ∆),khi vµ chØ khi

liên tục trên trên Λ Do Λ0, Λ là các tập liên thông nên G(Λ0) và G(Λ) là

Bổ đề 1.2.19 (Xem [11] trang 4)

định dương và q ∈ Rn Hai tính chất sau tương đương:

và

Sol(AVI( ˜M , ˜q)) ⊂ Sol(AVI(M, q)+l(k ˜M −M k+k˜q −qk) ¯B(0, 1) (1.51)

Định lý 1.2.20

Xét bài toán AVVIw với giả thiết ∆ là tập lồi đa diện khác rỗng, Mi(i =

1, , m) là các ma trận nửa xác định dương Xét các tính chất sau:

Ta có i) ⇒ ii) Chiều ngược lại cũng đúng chỉ nếu ∆ là tập compacthoặc m = 1

Khi ta có i) thì ∀α > 0 tồn tại các hằng số  > 0, ρ > 0 sao cho

ii') Tồn tại  > 0 sao cho với mọi ˜Mi ∈ Rnìn(i = 1, , m) và ˜qi ∈

Rn(i = 1, , m) mà thoả mãn (1.52) thì tập nghiệm của bài toán AVVI vớigiả thiết ( ˜Mi, ˜qi)(i = 1, , m), kí hiệu là Sol(AVVI( ˜Mi, ˜qi)) khác rỗng

Ta có (i0) ⇒ (ii0) Chiều ngược lại cũng đúng chỉ nếu ∆ là tập compacthoặc m = 1.

Nếu tập nghiệm Sol(AVVI)w là khác rỗng và bị chặn thì ∀α > 0 tồn tạicác hằng số  > 0, ρ > 0 sao cho nếu ˜Mi(i = 1, m) là các ma trận nửaxác định dương và có (1.52) thì Sol(AVVI( ˜Mi, ˜qi)) khác rỗng và

được gọi là Lipschitz trên địa phương tại x ∈ domG = {x ∈ X : G(x) 6= ∅}nếu tồn tại l > 0 và δ > 0 sao cho

G(y) ⊂ G(x) + l(ky − xk) ¯B(0, 1), với mọi y ∈ ¯B(x, δ)

Định lý 1.2.25

Xét bài toán AVVIw với giả thiết Mi là các ma trận nửa xác định dương.Các khẳng định sau là đúng:

i) Nếu Sol(AVVI)w bị chặn thì nó là tập liên thông

nó không bị chặn

Chứng minh Ta chỉ cần chứng minh ii) (vì từ ii) sẽ suy ra i))

ThËt vËy, ta gi¶ sö r»ng Sol(AVVI)w kh«ng liªn th«ng, nh­ng cã mét

HÖ qu¶ 1.2.6 suy ra

{ξ ∈ Λ : Sol(VI)ξ 6= ∅, Sol(VI)ξ ⊂ A} 6= Λ

Ta kÝ hiÖu

˜

Λ = {ξ ∈ Λ : Sol(VI)ξ 6= ∅, Sol(VI)ξ ⊂ A}

V× Sol(VI)ξ lµ mét tËp låi vµ A lµ mét thµnh phÇn liªn th«ng cña Sol(AVVI)w

nªn Sol(VI)ξ ⊂ AnÕu chØ nÕu Sol(VI)ξ ∩ A 6= ∅ V× vËy

Sol(AVI( ˜M , ˜q)) 6= ∅ vµ Sol(AVI( ˜M , ˜q)) ⊂ ¯B(0, ρ(ξ))

Sol(AVI( ˜M , ˜q)) ⊂ Sol(AVI(M(ξ), q(ξ))

+ l(ξ)(k ˜M − M (ξ)k + k˜q − q(ξ)k) ¯B(0, 1)

Ta chän δ > 0 tho¶ m·n

δ√m( max

i∈{1, ,m}

kMik) < ε(ξ)vµ

δ√m( max

i∈{1, ,m}

kqik) < ε(ξ)

Bổ đề 1.2.23 áp dụng cho

ξ0 ∈ B(ξ, δ) ∩ Λ và ( ˜M , ˜q) := (M (ξ0), q(ξ0))thoả mãn điều kiện (1.49) nên

Sol(AVI(M(ξ0), q(ξ0)) 6= ∅

Hơn nữa theo (1.50), (1.51) ta có

Sol(AVI(M(ξ0), q(ξ0)) ⊂ ¯B(0, ρ(ξ))và

), q(ξ0)) ⊂ Sol(AVI(M(ξ), q(ξ)) + l(ξ)(kM(ξ0

) − M (ξ)k+ kq(ξ0) − q(ξ)k) ¯B(0, 1)

xác định bởi ξ0 7→ Sol(AVI(M(ξ0), q(ξ0)) là bị chặn đều trên B(ξ, δ) ∩ Λ

và Lipschitz trên địa phương tại ξ Đặc biệt, hàm đa trị này là nửa liêntục trên tại ξ Hơn nữa hàm này là nửa liên tục trên trên B(ξ, δ) ∩ Λ VìSol(AVI(M(ξ0), q(ξ0)) là một tập lồi, khác rỗng với mọi ξ0 ∈ B(ξ, δ) ∩ Λ vàvì tính nửa liên tục trên của Sol(AVI(M(.), q(.)) nên tập ảnh

W := [{Sol(AVI(M(ξ0), q(ξ0)) : ξ0 ∈ B(ξ, δ) ∩ Λ},

là tập liên thông

chọn ξ và A là một thành phần liên thông của Sol(AVVI)w, ta có thể chỉ rarằng W ⊂ A Vì vậy B(ξ, δ) ∩ Λ ⊂ ˜Λ Do đó ˜Λ là tập mở

Ta chứng minh ˜Λ là tập đóng Thật vậy, lấy một dãy bất kì {ξ(j)} ⊂ ˜Λmà

ξ(j) → ¯ξ ∈ Λ Với mỗi j ∈ N ta chọn một x(j) ∈ Sol(AVI)ξ (j) ⊂ A Khôngmất tính tổng quát ta giả sử rằng x(j) → ¯x ∈ ∆ Vì

hM (ξ(j))x(j)+ q(ξ(j)), y − x(j)i ≥ 0, ∀y ∈ ∆, ∀j ∈ N,