b Xác định vị trí của điểm N trên cạnh AB sao cho diện tích tứ giác ACFE gấp 3 lần diÖn tÝch h×nh vu«ng ABCD... Vậy để ACFE có diện tích gấp 3 lần diện tích hình vuông ABCD thì điểm N l[r]
Trang 1Phòng GD - ĐT Hậu Lộc Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Môn Toán 9 Năm Học 2011-2012
Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1 (5 điểm):
Cho biểu thức
A
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị của A khi x =
2 1
3 2 2
c) Chứng minh rằng: A ≤
2 3
Bài 2 (3 điểm):
a) Cho ba số a, b, c dơng thỏa mãn
2
a 1 b 1 c 1
Chứng minh rằng : abc <
1 8 b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
y x 1 x y 4 M
xy
Bài 3 (3 điểm):
a) Chứng minh nếu
x 1 yz y 1 xz
với xy, yz 1, xz 1,x 0, y 0,z 0
thì
x y z
b) Giải phơng trình:
2
Bài 4 (3 điểm):
Đội A và đội B thi đấu cờ với nhau Mỗi đấu thủ của đội A phải đấu một ván cờ với mỗi đấu thủ của đội B Biết rằng tổng số ván cờ đã đấu bằng bình phơng số đấu thủ của đội
A cộng với hai lần số đấu thủ của đội B Hỏi mỗi đội có bao nhiêu đấu thủ biết rằng số đấu thủ của đội A không ít hơn 5 ngời?
Bài 5 (6 điểm):
Cho hình vuông ABCD cạnh a và điểm N trên cạnh AB Gọi E là giao điểm của CN
và DA Kẻ tia Cx vuông góc với CE cắt AB tại F, M là trung điểm của đoạn thẳng EF
1 Chứng minh rằng:
a) CE = CF
b) ACE BCM
c) Khi điểm N di chuyển trên cạnh AB ( N không trùng với A và B) thì M chuyển
động trên một đờng thẳng cố định
2 Đặt BN = x
a) Tính diện tích tứ giác ACFE theo a và x
b) Xác định vị trí của điểm N trên cạnh AB sao cho diện tích tứ giác ACFE gấp 3 lần diện tích hình vuông ABCD
Đáp án – Biểu điểm Biểu điểm
Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Môn Toán 9 Năm Học 2011-2012
Trang 2Bµi 1 (5 ®iÓm)
A
(0,5 ®iÓm)
(0,5 ®iÓm)
15 x 11 3x 9 x 2 x 6 2x 2 x 3 x 3
(0,5 ®iÓm)
x 3
(0,5 ®iÓm)
b) x =
2 1
3 2 2
2
2
2 1
2 1
2 1
2 1
A
2
A
(0,5 ®iÓm)
Ta cã: 17 x ≤ 0 vµ 3 x 3
> 0, x ≥ 0; x ≠ 1
(0,75 ®iÓm) Bµi 2: (3 ®iÓm)
a) Tõ
2 1 (ab ac bc) 2abc
Do a, b, c d¬ng, ¸p dông B§T C«-si ta cã:
ab ac bc 3 a b c 3 2 2 2 (0,25 ®iÓm)
1 3 a b c 2abc 2abc 3 a b c 1 0 (*)
§Æt 3 a b c = t > 0 abc = 2 2 2 t3 t t
(*) 2t t 3t 1 0
2
( t 1) (2 t 1) 0
2 t 1 0
(do ( t 1) 2> 0, t > 0)
(0,75 ®iÓm)
b) Víi ®iÒu kiÖn x 1, y ta cã:4
Trang 3M =
y 4
x 1
(0,25 điểm)
áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm 1 và x - 1, ta có:
x 1 1 x 1 1 x 1 x
(vì x 1 ) (0,25 điểm)
Chứng minh tơng tự ta có:
y 4 1 4 y 4 1 4 y 4 y
(vì y ) (0,25 điểm)4
M =
y 4
(0,25 điểm) Vậy Max M =
3
4 x = 2, y = 8 (0,5 điểm)
Bài 3 (3 điểm)
a) Với x y, yz 1, xz 1, x 0, y 0,z 0 Từ gt ta có:
x 1 yz y 1 xz
x2 yz y xyz y2 xz x xyz
x y x yz y z xy z xy xy z x z x yz 0
(0,25 điểm)
x y xy2 2 x yz xy z3 3 x z y z2 2 x yz2 2 xy z2 2 0
xy x y xyz x y z x y xyz x y 0
x y xy xyz x y z x y xyz2 0
xy xyz x y z x y xyz 0
(vì x y x y 0 )
xy xz yz xyz x y xyz
(0,75 điểm)
xyz x y xyz
xy xz yz
(vì xyz0) (0,25 điểm)
x y z
(0,25 điểm)
b)
2
Điều kiện xác định: x (0,25 điểm)0
(2)
2
(0,25 điểm)
2
2 2
x 0 (loại) hoặc x (TMĐK) 8 (0,75 điểm)
Vậy phơng trình đã cho có một nghiệm x (0,25 điểm)8
Trang 4M
F
x
N
D
A
C
B
E
Bài 4 (3 điểm)
Gọi số đấu thủ của đội A và đội B lần lợt là x và y (x, y Z ; x ≥ 5) (0,5 điểm)
Tổng số ván cờ đã đấu là xy (ván cờ)
Theo đề bài ta có phơng trình: xy = x2 + 2y (0,75 điểm)
y(x-2) = x2 y =
x 2
Để x, y nguyên dơng thì 4 (x 2) mà x – 2 > 3 (do x > 5) nên x – 2 = 4 x = 6
Khi đó y
4
x 2
x 2
4
6 2
Bài 5 (6 điểm)
Vẽ hình đúng đến phần 1 (0,5 điểm)
1.a) EDC FBC (g.c.g) CE CF (1 điểm)
b) ECF cân tại C CM là phân giác C
ACB 45 ACE ECB 45
ACE BCM (1 điểm)
c) AEF vuông tại A có AM là trung tuyến
EF AM
2
CEF vuông tại C có CM là trung tuyến
EF CM
2
AM CM M thuộc đờng trung trực của đoạn thẳng AC
SACFE = SACE + SCEF =
2
Xét ADC có AE//BC
AE
(Hệ quả định lí Ta-lét) (0,25 điểm)
EDC có
2
SACFE =
a (a x) a a a (x a)
(0,5 điểm)
b) SACFE = 3.SABCD
3
2
a (x a)
2x
(2x a)(3x a) 0 (0,25 điểm)
Do x > 0; a > 0 3x + a > 0 2x a 0
a x 2
N là trung điểm của cạnh AB
(0,5 điểm)
Trang 5Vậy để ACFE có diện tích gấp 3 lần diện tích hình vuông ABCD thì điểm N là