Trong dạng này, ta gặp các bài toán biểu diễn hình học của số phức hay còn gọi là tìm tập hợp điểm biểu diễn một số phức z trong đó số phức z thoả mãn một hệ thức nào đó thường là hệ thứ[r]
Trang 1II.Chuẩn bị của giáo viên và học sinh:
+Giáo viên: giáo án, phiếu học tập
+Học sinh:các kiến thức về tổ hợp,xác suất,nhị thức Newton; kiến thức về số phức
Có n1 cách chọn đối tượng A1 Ứng với mỗi cách chọn A1, có n2 cách chọn đối tượng A2
Có n1.n2 cách chọn dãy đối tượng A1, A2
1.1.3 Hoán vị:
Mỗi cách sắp thứ tự n phần tử gọi là một hoán vị của n phần tử
Số hoán vị: Pn = n!
Trang 2k n
n A
n C
Nếu A và B là hai biến cố xung khắc, thì: P A BP A P B
c) Quy tắc nhân xác suất
Nếu hai biến cố A và B độc lập với nhau thì: P AB P A P B
2 Các dạng toán
2.1 Bài toán đếm:
DẠNG 1: SẮP XẾP CÁC ĐỐI TƯỢNG VÀO CÁC VỊ TRÍ
Cho A là tập gồm m phần tử và B là tập gồm n vị trí khác nhau Yêu cầu bài toán là sắpxếp các phần tử của tập hợp A vào các vị trí trong tập hợp B theo một điều kiện nào đó
Cách giải: Ta xem trong hai tập hợp A và B tập nào ít phần tử hơn thì phần tử của tập đó được
chọn phần tử của tập còn lại
Bài 1 Cho tập A 1;2;3;4;5 , từ A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên:
Trang 3a) Có 6 chữ số sao cho trong mỗi số đó số 1 xuất hiện hai lần, còn các số khác xuất hiện đúng mộtlần?
b) Có 7 chữ số sao cho trong mỗi số đó số 1 xuất hiện hai lần, số 2 xuất hiện ba lần, còn các sốkhác xuất hiện không quá một lần?
Bài giải
a) Ta thấy tập A có 5 phần tử, còn số cần lập có 6 chữ số Như vậy các phần tử của A sẽ chọn các
vị trí Thực hiện các bước liên tiếp :
- Đặt số 5 vào 1 trong 6 vị trí: có 6 cách
- Đặt số 4 vào 1 trong 5 vị trí còn lại: có 5 cách
- Đặt số 3 vào 1 trong 4 vị trí còn lại: có 4 cách
- Đặt số 2 vào 1 trong 3 vị trí còn lại: có 3 cách
- Cuối cùng số 1 phải đặt vào 2 vị trí cuối cùng: có 1 cách
Theo quy tắc nhân có 6.5.4.3=360 (số)
b) Ta thực hiện các bước liên tiếp :
- Đặt số 1: chọn 2 vị trí trong 7 vị trí có C72 cách
- Đặt số 2: chọn 3 vị trí trong 5 vị trí còn lại có C53 cách Khi đó còn lại 2 vị trí và 3 số 3, 4, 5; nhưvậy có A32 cách
Theo quy tắc nhân có C72.C53.A32=1260 (số)
Bài 2 Cho tập A 0;1;2;3;4;5 , từ A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác
nhau, trong đó nhất thiết phải có chữ số 0 và 3
Trang 4Từ giả thiết bài toán ta thấy có C 52 10 cách chọn 2 chữ số chẵn (kể cả số có chữ số 0 đứng đầu)
và C53=10 cách chọn 2 chữ số lẽ => có C52.C53 = 100 bộ 5 số được chọn
Mỗi bộ 5 số như thế có 5! số được thành lập => có tất cả C52.C53.5! = 12000 số
Mặt khác số các số được lập như trên mà có chữ số 0 đứng đầu là C C14 .4! 96053
Vậy có tất cả 12000 – 960 = 11040 số thỏa mãn bài toán
DẠNG 2: PHƯƠNG PHÁP TẠO VÁCH NGĂN
Khi bài toán yêu cầu xếp hai hoặc nhiều các phần tử không đứng cạnh nhau, chúng ta cóthể tạo ra các “vách ngăn” các phần tử này trước khi xếp chúng
Bài 4 Có 6 học sinh và 2 thầy giáo được xếp thành hàng ngang Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp
sao cho 2 thầy giáo không đứng cạnh nhau?
Bài giải
Trước hết, xếp 6 học sinh thành một hàng ngang: có 6! cách Khi đó, mỗi học sinh đóng vai trò làmột vách ngăn và tạo nên 7 vị trí có thể xếp 2 thầy giáo vào đó Xếp 2 thầy giáo vào 2 trong 7 vịtrí đó: có A72cách
Theo quy tắc nhân có tất cả 6!A72=30240 cách sắp xếp.
Bài 5 Có bao nhiêu cách chia 100 đồ vật giống nhau cho 4 người sao cho mỗi người được ít nhất
một đồ vật?
Bài giải
Giả sử 100 đồ vật được xếp thành một hàng ngang, giữa chúng có 99 vách ngăn Đặt một cách bất
kì 3 vạch vào 3 trong số 99 vách ngăn đó, ta được một cách chia 100 đồ vật ra thành 4 phần đểlần lượt gán cho 4 người Khi đó mỗi người được ít nhất một đồ vật và tổng số đồ vật của 4 ngườibằng 100, thỏa mãn yêu cầu bài toán
- Trường hợp 2 Số có 9 chữ số 5 và 1 chữ số 2 Xếp 9 số 5 thành hàng: có 1 cách Khi đó tạo nên
10 vị trí để xếp số 2 Xếp số 2: có C101 cách Như vậy trường hợp 2 có C101 số
- Trường hợp 3 Số có 8 chữ số 5 và 2 chữ số 2 Xếp 8 số 5 thành hàng: có 1 cách Khi đó tạo nên
9 vị trí để xếp số 2 Xếp số 2: có C92cách Như vậy trường hợp 3 có C92số
- Trường hợp 4 Số có 7 chữ số 5 và 3 chữ số 2 Tương tự có C83 số
- Trường hợp 5 Số có 6 chữ số 5 và 4 chữ số 2 Tương tự có C74 số
Trang 5Bài 7 Một nhóm học sinh gồm 4 học sinh lớp A, 3 học sinh lớp B, 5 học sinh lớp C Hỏi có bao
nhiêu cách sắp xếp các học sinh trên thành một hàng ngang sao cho 4 học sinh lớp A đứng cạnhnhau, 3 học sinh lớp B đứng cạnh nhau?
Bài giải
Ta “buộc” 4 học sinh lớp A lại và coi như một phần tử A, “buộc” 3 học sinh lớp B lại và coi nhưphần tử B Khi đó xếp 7 học sinh (gồm 5 học sinh lớp C và 2 phần tử A, B) thành một hàng có 7!cách
Sau đó xếp thứ tự trong nhóm A có 4! cách; xếp thứ tự nhóm B có 3! cách
Theo quy tắc nhân có 7!4!3!=725760 cách sắp xếp
DẠNG 4: CHỌN PHẦN TỬ TỪ CÁC TẬP HỢP
Bài 8 Có 12 học sinh giỏi gồm 3 học sinh khối 12, 4 học sinh khối 11, 5 học sinh khối 10 Hỏi có
bao nhiêu cách chọn ra 6 học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh
Bài giải
Tổng số cách chọn 6 học sinh trong 12 học sinh là C126
Số học sinh được chọn phải thuộc ít nhất 2 khối
-Số cách chọn chỉ có học sinh khối 12 và khối 11 là:C76
-Số cách chọn chỉ có học sinh khối 11 và khối 10 là:C96
-Số cách chọn chỉ có học sinh khối 12 và khối 10 là:C86
Số cách chọn thoả mãn đề bài là:C126 C76 C96 C86 805 (cách)
Bài 9 Trên các cạnh AB, BC, CD, DA của hình vuông ABCD lần lượt cho 1, 2, 3 và n điểm phân
biệt khác A, B, C, D Tìm n biết số tam giác có ba đỉnh lấy từ n + 6 điểm đã cho là 439
Trang 6Bài 10 Người ta sử dụng ba loại sách gồm: 8 cuốn sách về toán học, 6 cuốn sách về vật lí và 5
cuốn sách về hóa học Mỗi loại đều gồm các cuốn sách đôi một khác loại nhau Có bao nhiêucách chọn 7 cuốn sách trong số sách trên để làm giải thưởng sao cho mỗi loại có ít nhất mộtcuốn?
Bài giải
Sử dụng cách tính gián tiếp Số cách chọn 7 trong số 19 cuốn sách một cách bất kì là C197
Số cách chọn không đủ cả ba loại sách là:
- Số cách chọn 7 trong số 11 cuốn sách lí và hóa là C117 (không có sách toán)
- Số cách chọn 7 trong số 13 cuốn sách hóa và toán là C137 (không có sách lí)
- Số cách chọn 7 trong số 14 cuốn sách toán và lí là C147 (không có sách hóa)
- Số cách chọn 7 trong số 8 cuốn sách toán là C87 (không có sách lí và hóa)
Vì mỗi cách chọn không có sách lí và hóa thuộc cả hai phép chọn: không có sách lí và không cósách hóa, nên số cách chọn phải tìm là: C197 -C117-C137 -C147 +C87=44918 cách
DẠNG 5: SẮP XẾP THỨ TỰ CÁC VẬT TỪ MỘT HỌ CÁC VẬT
Bài 11 Có 5 viên bi xanh giống nhau, 4 viên bi trắng giống nhau và 3 viên bi đỏ đôi một khác
nhau Có bao nhiêu cách xếp số bi trên vào 12 ô theo một hàng ngang sao cho mỗi ô có một viênbi?
Bài giải
Nếu tất cả 12 viên bi đều khác nhau thì chúng tạo thành 12! Cách xếp Nhưng các hoán vị của 5
bi xanh và các hoán vị của 4 bi trắng cho cùng một cách sắp xếp đối với 12 viên bi nên số cáchxếp phải tìm là:
12!
1663205!4! cách
Bài 12 Có bao nhiêu cách xếp vị trí cho 5 học sinh nam và 3 học sinh nữ quanh một bàn tròn sao
cho không có hai học sinh nữ nào ngồi cạnh nhau? (hai cách xếp khác nhau về vị trí nhưng cócùng thứ tự đối với các học sinh trên được coi là một)
Trang 7Bài giải
Giả sử đã xếp chỗ cho 5 học sinh nam Vì 3 học sinh nữ không ngồi cạnh nhau nên họ được chọn
3 trong 5 vị trí xen kẽ giữa các học sinh nam, số cách chọn là A53 Vì 2 cách xếp vị trí cho 8 ngườivới cùng một thứ tự quanh bàn tròn được coi là một nên ta có thể chọn trước vi trí cho một họcsinh nam nào đó, số hoán vị của 4 học sinh nam còn lại vào các vị trí là 4!
Theo quy tắc nhân, số khả năng phải tìm là: A53.4! = 1440 cách
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số đôi một khác nhau mà mỗi số đều lớn hơn 2010.Bài 2 Cho hai đường thẳng song song d1 và d2 Trên đường thẳng d1 có 10 điểm phân biệt, trênđường thẳng d2 có n điểm phân biệt (n 2) Biết rằng có 2800 tam giác có đỉnh là các điểm đãcho Tìm n
Bài 3 Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 3 chữ số đôi mộtkhác nhau và không lớn hơn 789
Bài 4 Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 6 chữ số đôi một khác nhau, trong đó 2 chữ số 1 và 9luôn đứng kề nhau?
Bài 5 Có 5 cuốn sách toán giống nhau, 7 cuốn sách lí giống nhau và 8 cuốn sách hóa giống nhau.Đem làm giải thưởng cho 10 học sinh, mỗi người được 2 cuốn sách khác loại Tính số cách nhậngiải thưởng của 10 học sinh trên
c) (x+1) n=C x n0 n C x n1 n1 C x n2 n2 C x n n1 C n n
Trang 8Đến đây thay x,a bằng hằng số thích hợp ta được tổng cần tìm.
Dấu hiệu áp dụng đạo hàm cấp 2: Khi hệ số đứng trước tổ hợp có dạng 1.2,2.3,…,(n-1)n
hay (n-1)n,…,3.2,2.1 hay 12,22,…,n2 (không kể dấu) tức là số hạng đó có dạng k k( 1)C a n k n k
- Tùy thuộc từng bài mà thế số mũ n, giá trị x và một trong các công thức trên cho phù hợp.
- Nếu mất những số hạng đầu (C n0,C1n ) ta sử dụng các công thức chứa (1+x) cho tổng không đan dấu, còn nếu tổng đan dấu ta sử dụng các công thức chứa (1- x) - Nếu mất những số hạng sau ( n
n
C ,C n n1
) ta sử dụng các công thức chứa (x+1) cho tổng không đan dấu, còn nếu tổng đan dấu ta
sử dụng các công thức chứa (1- x)
- Nếu mất một số hạng thì ta đạo hàm cấp 1, nếu mất 2 số hạng thì ta đạo hàm cấp 2
Ta sẽ bàn và phân tích kỹ cách áp dụng của phương pháp này trong từng bài toán cụ thể
Trang 9Tóm lại: Với loại bài tập này sau khi chọn được hàm số f (x) thích hợp ta tiến hành lấy đạo hàm hàm số đã chọn theo hai cách:
- Lấy đạo hàm trực tiếp hàm số đã cho
-Với phép lấy đạo hàm, ta lựa chọn một giá trị phù hợp cho x, rồi thay vào hai biểu thức và tínhđạo hàm
Như vậy tôi nhấn mạnh cho học sinh thấy khi gặp bài toán có chứa hệ số kiểu a.n ta chú ý ngay
Trang 10Phân tích: trong tổng có tổ hợp của n, mất C n n1,C n n
và tổng không đan dấu nên ta sử dụng (x+1)n, đạo hàm cấp 2
dấu, chứa tổ hợp của n, mất C n0 Ta sử dụng (−1+x)n, đạo hàm cấp 1
phải cũng chứa tổ hợp của n nhưng không đan dấu, mất C n0 nên ta sử dụng (1+x)n, đạo hàm cấp 1
Bài giải
Trang 12 Đạo hàm cấp một theo x, hai vế và suy ra x.f’(x) (1)
Thay x bởi 1x , ta được (2)
Bài 4 (CĐSP Bến Tre Khối A-2002) Chứng minh rằng: C120C120 C1920219
Bài 5 (CĐ Khối T-M-2004)Chứng minh rằng :
x
2.2.2 SỬ DỤNG CÔNG CỤ TÍCH PHÂN TRONG GIẢI TOÁN TỔ HỢP
Phương pháp
Các dấu hiệu nhận biết sử dụng phương pháp tích phân
Nếu trong tổng dãy tổ hợp, các số hạng chứa các phân số
Bước 1: Tìm hàm để tính tích phân với các cận thích hợp
Bước 2: Lấy tính tích phân cả hai vế: vế chưa khai triển nhị thức Newton và vế đã khai triển.Bước 3: Cho hai kết quả bằng nhau và kết luận
Ta sẽ tìm hiểu về phương pháp cơ bản (dùng tích phân hàm đa thức) và các phương pháp bổ sung: Như nhân thêm x,x2, (tất nhiên các phương pháp Truy hồi tích phân hay là Dựa vào tích
Trang 13phân cho trước tôi xin phép sẽ không đề cập ở bài viết này do khuôn khổ của SKKN).
Lưu ý: Khi mỗi hệ số trong tổ hợp có dạng bk ak, ta chọn cận từ a đến b, tức là
Trang 14Phân tích: tổng không đan dấu, có chứa phân số (dấu hiệu sử dụng tích phân), quan sát số hạng
Lưu ý: khi tính giá trị tích phân có gắn tổ hợp ta nên tách riêng từng tổ hợp một như trên để tính
thì kết quả nhanh hơn
n gắn với C n n, có dấu hiệu dùng tích phân, quan sát
hệ số của số hạng cuối ta lấy cận từ 0 đến 2, tức là
Trang 15Bài 3 (ĐH Khối B-2003) Cho n * Tính tổng:
Phân tích: Vế trái có chứa các phân số, mẫu số được xếp theo thứ tự tăng đều một đơn vị, ta nghĩ
ngay đến việc sử dụng tích phân Bây giờ, ta suy nghĩ hàm lấy tích phân, các cận và số được thay
vào cho biến Vì số hạng cuối cùng có hệ số
đan dấu nên ta sử dụng
Phương pháp 2: Nhân thêm x,x2,
Thông thường sau khi lấy tích phân hệ số chứa
11
k n
C
k Nếu bài cho những hệ số dạng
12
k n
C
ta phải nhân thêm x trước khi lấy tích phân, còn dạng
13
k n
Trang 16u n
2 1 02
n
u n
Bài 3. Chứng minh 1
3C n
0+1
6C n
1+1
9C n
2+ + 1
Trang 176C n
1+1
HD: Vế trái có chứa các phân số, ta nghĩ ngay đến việc sử dụng tích phân.
Tổng không đan dấu, ta sử dụng
2.2.3 GIẢI TOÁN TỔ HỢP KHÔNG SỬ DỤNG ĐẠO HÀM, TÍCH PHÂN
Bài 1 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức
12
n
x x
Trang 18Phương trình tương đương với
1(2 )
Vậy số hạng thứ 9 không chứa x là T9 = C12824 7920
Bài 2 Tìm hệ số của x8 trong khai triển (x2 + 2)n, biết: A n3 8C n2C n1 49
Trang 19Nhận thấy: a x k k a k ( x)k do đó thay x vào cả hai vế của (*) ta có:1
Trang 20
1 2
Vậy số hạng không chứa x là:C C1212 120 C C1211 111 C C126 66 73789
Bài 7 Tìm hệ số của x3 trong khai triển P x( ) 1 x x3x4n
, biết n là số nguyên dương thỏamãn:
Trang 21Bài giải
Ta có
1 1
Ví dụ 2: (Đề tuyển sinh đại học KA-2007)
2C 2 n
1+1
4C 2 n
3+1
6C 2 n
5+ + 1
x x
Trang 222.3.1 Tính xác suất bằng định nghĩa cổ điển
Bài 1 Một hộp chứa 4 quả cầu màu đỏ, 5 quả cầu màu xanh và 7 quả cầu màu vàng Lấy ngẫunhiên cùng lúc ra 4 quả cầu từ hộp đó Tính xác suất sao cho 4 quả cầu được lấy ra có đúng mộtquả cầu màu đỏ và không quá hai quả cầu màu vàng
Bài giải
+) Số phần tử của không gian mẫu là C164 1820
vàng” Ta xét ba khả năng sau:
- Số cách lấy 1 quả đỏ, 3 quả xanh là: C C41 53
- Số cách lấy 1 quả đỏ, 2 quả xanh, 1 quả vàng là: C C C14 52 71
- Số cách lấy 1 quả đỏ, 1 quả xanh, 2 quả vàng là: C C C14 51 72
Bài 2 Chọn ngẫu nhiên 5 con bài trong bộ tú lơ khơ Tính xác suất sao cho trong 5 quân bài đó
có đúng 3 quân bài thuộc 1 bộ (ví dụ 3 con K)
Bài giải
Số cách chọn 5 quân bài trong bộ bài tú lơ khơ là: C 552 2598960
Số cách chọn 5 quân bài trong bộ bài tú lơ khơ mà trong 5 quân bài đó có đúng 3 quân bài thuộc 1
Bài 3 Cho E là tập các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số:
0,1,2,3,4,5,6,7 lấy ngẫu nhiên một số trong E Tính xác suất để lấy được số chia hết cho 5
Bài giải
Gs:abcde E a 0 có7 cách chon a; chon bcde có A74 n E( ) 7 A 74 5880
Trang 232.3.2 Tính xác suất theo các quy tắc
Bài 4 Cho tập E 1,2,3,4,5 Viết ngẫu nhiên lên bảng hai số tự nhiên, mỗi số gồm 3 chữ sốđôi một khác nhau thuộc tập E Tính xác suất để trong hai số đó có đúng một số có chữ số 5
Bài 5 Trong một kì thi Thí sinh được phép thi 3 lần Xác suất lần đầu vượt qua kì thi là 0,9 Nếu
trượt lần đầu thì xác suất vượt qua kì thi lần hai là 0,7 Nếu trượt cả hai lần thì xác suất vượt qua
kì thi ở lần thứ ba là 0,3 Tính xác suất để thí sinh thi đậu
P(A A ) P(A ).P(A / A ) 0,1.0,7
P(A A A ) P(A ).P(A / A ).P(A / A A ) 0,1.0,3.0,3
Bài 6 Một người say rượu bước 8 bước Mỗi bước anh ta tiến lên phía trước 1m hoặc lùi lại phía
sau 1m với xác suất như nhau Tìm xác suất để: a)Anh ta trở lại điểm xuất phát
b)Anh ta cách điểm xuất phát hơn 4m
Bài giải
Trang 24a) Anh ta quay lại điểm xuất phát nếu như trong 8 bước có 4 bước tiến, 4 bước lùi Theo quy tắccộng và nhân xác suất, xác suất xảy ra trong trường hợp này là:
4 8
Bài 1) Từ các chữ số của tập T 0;1;2;3;4;5 , người ta ghi ngẫu nhiên hai số tự nhiên có ba chữ
số khác nhau lên hai tấm thẻ Tính xác suất để hai số ghi trên hai tấm thẻ đó có ít nhất một số chiahết cho 5
Bài 2) Có 10 học sinh lớp A; 9 học sinh lớp B và 8 học sinh lớp C Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh từ các học sinh trên Tính xác suất sao cho lớp nào cũng có học sinh được chọn và có ít nhất 2 học sinh lớp A.
Bài 3) Một hộp đựng 11 viên bi được đánh số từ 1 đến 11 Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi rồi cộng các
số trên viên bi lại với nhau Tính xác suất để kết quả thu được là một số lẻ
Bài 4) Một chiếc hộp đứng 6 cái bút màu xanh, 6 cái bút màu đen, 5 cái bút màu tím và 3 cái bútmàu đỏ Lấy ngẫu nhiên ra 4 cái bút Tính xác suất để lấy được ít nhất 2 bút cùng màu
Bài 5) Một bài thi trắc nghiệm gồm 12 câu hỏi, mỗi câu hỏi có 5 phương án trả lời nhưng chỉ có 1phương án đúng Mỗi câu trả lời đúng được 4 điểm và mỗi câu trả lời sai bị trừ đi 1 điểm Mộthọc sinh kém làm bài bằng cách chọn hú họa một câu trả lời Tìm xác suất để
a) Học sinh đó được 13 điểm
b) Học sinh đó bị điểm âm
Bài 6) Một vận động viên bắn súng bắn 3 viên đạn Xác suất để trúng cả 3 viên vòng 10 là0,0008; xác suất để 1 viên trúng vòng 8 là 0,15; xác suất để 1 viên trúng vòng dưới 8 là 0,4 Biếtrằng các lần bắn là độc lập với nhau Tìm xác suất để vận động viên đạt ít nhất 28 điểm
HĐ2 SỐ PHỨC
1 Kiến thức cơ bản.
1.1 Các khái niệm