Đơn giản biểu thức: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG Bài 1.[r]
Trang 1BÀI TẬP VỀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
Thầy Dương Đức Hiền – phone: 0945284394 – website: violet.vn/duonghien
1 Các hệ thức lượng giác cơ bản
sin a+cos a=1
sin tan
cos
a a
a
sin
a a
a
=
2
2
1
1 tan
cos
a
a
2
1
1 cot
sin
a
a
tan cota a =1
2 Giá trị lượng giác của cung góc có liên quan đặc biệt
2.1 Cung đối nhau: a và a
cos(- a)=cosa
sin(- a)= - sina
tan(- a)= - tana
cot(- a)= - cota
2.2 Cung bù nhau: a và p a sin(p a- )=sina
cos(p a- )= - cosa
tan(p a- )= - tana
cot(p a- )= - cota
2.3 Cung hơn kém p : a và a+p
sin(a+p)= - sina
cos(a+p)= - cosa
tan(a+p)=tana
cot(a+p)=cota
2.4 Cung phụ nhau: a và 2
p- a
2
æ ö÷
ç - ÷=
çè ø cos 2 sin
æ ö÷
ç - ÷=
çè ø
2
æ ö÷
ç - ÷=
çè ø cot 2 tan
æ ö÷
ç - ÷=
çè ø
3 Công thức lượng giác
3.1 Công thức cộng
sin(a b+ =) sin cosa b+sin cosb a
sin(a b- )=sin cosa b- sin cosb a
cos(a b+ =) cos cosa b- sin sina b
cos(a b- )=cos cosa b+sin sina b
3.2 Công thức nhân đôi, nhân ba
sin2a=2sin cosa a
2
cos2 cos sin 2cos 1
1 2sin
a
= sin3a=3sina- 4sin3a
cos3a=4cos3a- 3cosa
3.3 Công thức biến đổi tổng thành tích
cos cos 2cos cos
cos cos 2sin sin
sin sin 2sin cos
sin sin 2cos sin
-3.4 Công thức biến đổi tích thành tổng
1 cos cos cos( ) cos( )
2
a b= éêë a b+ + a b- ùúû
1 sin sin cos( ) cos( )
2
a b= - éêë a b+ - a b- ùúû
1 sin cos sin( ) sin( )
2
a b= éêë a b+ + a b- ùúû
3.5 Công thức hạ bậc
2 1 cos2
cos
2
a
2 1 cos2 sin
2
a
a=
-BÀI TẬP
GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG
Ví dụ 1 Cho
< < Tính , , sin 0,8 cos tan cot
2
p
a = æççç a pö÷÷÷÷ a a a
Trang 2Ví dụ 2 Tính
2sin 3cos 3sin 2cos
B
+
=
- biết tanx = - 2
Ví dụ 3 Đơn giản biểu thức:
2 2cos 1 sin cos
x A
-=
+
GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG Bài 1 Xác định dấu của các giá trị lượng giác hoặc biểu thức:
a)
sin
4
æ ö÷
ç + ÷
çè ø;
3 cos
2 x
p
æ ö÷
ç - ÷
çè ø; tan x 2
p
æ ö÷
ç - ÷
çè ø; cot x 2
p
æ ö÷
ç + ÷
çè ø với 0< <x 2p b) A =sin40 cos( 290 )0 - 0 c) B =sin( 25 ).cos170- 0 0
d)
cot sin
C = p æççç- pö÷÷÷÷
çè ø e) D =cos45p.sin tanp3 43p.cot95p
Bài 2 Tính các giá trị lượng giác còn lại biết:
a)
3 sin
5
a =
với
3 2
p
p< <a
b)
5 cos
13
x =
với 1800< <x 2700 c) tanb = - với 3 32 2
p < <b p
d) cotx = - với 3 900< <x 1800
Bài 3 Tính giá trị của các biếu thức lượng giác sau:
a) Cho tanx = - Tính 2 1
5cot 4tan 5cot 4tan
A
+
=
- và 2
2sin cos cos 3sin
A
+
=
b) Cho cotx = 2 Tính 1
3sin cos sin cos
B
-=
+ và 2
sin 3cos sin 3cos
B
-=
+ c) Cho
3 sin
5
x =
với 0
2
< <
Tính 1
cot tan cot tan
C
+
=
- và 2
tan cos cot
C
x
-=
d)
4 cos
5
x =
với 2p < <x p
Tính 1
cot tan cot tan
D
+
=
- và 2
sin cot
1 cos
x
x
+
Bài 4 Cho
5 sin cos
4
Hãy tính giá trị của biểu thức sau:
a) A =sin cosx x b) B =sinx- cosx c) C =sin3x- cos3x
Bài 5 Cho tanx- cotx= Hãy tính giá trị của biểu thức sau:3
a) A =tan2x+cot2x b) B =tanx+cotx c) C =tan4x- cot4x
Bài 6 Tính sin ,cos ,tan ,cotx x x x Biết rằng:
a) sinx+cosx= 2 b) sinx- cosx= 2 c) tanx+cotx=4
Bài 7 Dùng cung liên kết (không dùng máy tính), hãy tính các giá trị sau:
a) sin1500 b) cot1350 c) cos11p d) sin13p e)
7 cot 6
p
f)
16
cos
3
p
æ ö÷
ç- ÷
çè ø g)
19 cot
4
p
æ ö÷
ç- ÷
çè ø h)
159 tan
4
p
æ ö÷
ç- ÷
çè ø i)
115 sin
6
p
æ ö÷
ç- ÷
çè ø
Bài 8 Rút gọn các biểu thức sau:
a)
A = æçççp- aö÷÷÷+ æçççp- aö÷÷÷- æçççp+aö÷÷÷- æçççp+aö÷÷÷
Trang 3b)
B = æççç p- aö÷÷÷- æççç p- aö÷÷÷+ æççça- pö÷÷÷- æççça- pö÷÷÷
c)
2cos 3cos( ) sin tan
C = x+ p- x - æççç p- xö÷÷÷÷+ æççç p- xö÷÷÷÷
d)
3
D = æççççp+xö÷÷÷÷+ p- x + æçççç p+xö÷÷÷÷+ æççççp+xö÷÷÷÷
Bài 9 Chứng minh các đẳng thức sau:
a) cos2a- sin2a = -1 2sin2a b) 2cos2a- 1 1 2sin= - 2a
c) 3 4sin- 2a =4cos2a- 1 d) sin cota a+cos tana a =sina+cosa
e) sin4a+cos4a = -1 2sin2acos2a f) cos4a- sin4a =cos2a- sin2a
g)sin3acosa+sin cosa 3a =sin cosa a h) sin4a- cos4a = -1 2cos2a =2sin2a- 1
Bài 10 Chứng minh các đẳng thức sau:
a)
1 tan cot
sin cos
b)
1 cos sin sin 1 cos
1 tan+ x+1 cot+ x =
d)
2
cosx cosx x
æ öæ÷ ö÷
ç - ÷ç + ÷+ =
2
2 2
1 sin 1 2tan
1 sin
x
tan tan tan tan
cot cot
+
=
+ g)
4
1 cot
sin sin
x
h)
tan
1 sin cos
x x
+ i)
1 cos sin sin
+
+
Bài 11 Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x :
a) A =cos4x- sin4x+2sin2x b) B =sin4x+sin2xcos2x+cos2x
c) C =cos4x+sin2xcos2x+sin2x d) D =cos4x(2cos2x- 3) +sin4x(2sin2x- 3)
e) E =sin6x+cos6x- 2sin4x- cos4x+sin2x f) F =cos cot2x 2x+5cos2x- cot2x+4sin2x
Bài 12 Chứng minh rằng nếu A, B,C là ba góc của một tam giác thì:
a) sinB =sin(A C+ ) b) cos(A+B)= - cosC
c) sin cos
d) cos(B C- )= - cos(A+2 )C
e) cos(A+ -B C)= - cos2C f) sin(A+2B C+ )= - sinB
g) cot(A B- +C)= - cot2B h)
3
2
- + + =
-Bài 13 Rút gọn và tính giá trị của biểu thức (không dùng máy tính)
a) A =cos00+cos200+cos400+L +cos1600+cos1800
b) B =cos100+cos400+cos700+L +cos1400+cos1700
c) C =tan200+tan400+tan600+L +tan1600+tan1800
d) D =cot150+cot 300+cot 450+L +cot1500+cot1650
e) E =sin50+sin100+sin150+L +sin3550+sin3600
f) F =cot15 cot 35 cot55 cot750 0 0 0
g) G =tan1.tan2 tan3 tan890 0 0K 0
h) H =sin 102 0+sin 202 0+sin 302 0+L +sin 802 0+sin 902 0
i) I =cos 102 0+cos 202 0+cos 302 0+L +cos 1702 0+cos 1802 0
CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
Trang 4Bài 1 Không dùng máy tính, hãy tính giá trị của các biểu thức:
a) A =sin12 cos480 0+cos12 sin480 0 b) B =cos38 cos220 0- sin38 cos220 0
c) C =sin10 cos550 0- cos10 sin450 0 d) D =sin200 sin3100 0+cos340 cos500 0
e) E =cos11.cos210 0+cos69 cos790 0- cos100 f) F =cos68 cos780 0+cos22 cos120 0- sin1000
Bài 2 Tính giá trị của biểu thức:
a)
0 0
1 tan15
1 tan15
tan25 tan20
1 tan25 tan20
-Bài 3 Tính giá trị của các biểu thức sau:
a)
cos
3
A = æççça+pö÷÷÷÷
çè ø biết
1 sin
3
a =
và 0
2
p a
< <
b)
sin
3
B = æçççp- aö÷÷÷÷
çè ø biết cosa = - 1213 và p< <a 32p c)
tan
3
C = æççça+pö÷÷÷÷
çè ø biết sina =35 và 2p< <a p d)
cot
4
D = æççça- pö÷÷÷÷
çè ø biết sina = - 45 và p< <a 32p
Bài 4 Biết
4 sin
5
a =
, (00< <a 900)
và
8 sin
17
b =
, (900< <b 1800)
Hãy tính giá trị của biểu thức cos( )
A= a+b và B =sin(a- b).
Bài 5 Biết
8 sin
17
a =
,
5 tan
12
b =
và a , b là các góc nhọn Hãy tính giá trị của các biểu thức A =sin(a- b), cos( )
B = a+b và C =tan(a+b).
Bài 6 Rút gọn các biểu thức sau:
a) A =sin(x y+ )cos(x y- ) sin(+ x y- )cos(x y+ )
b) B =cos(400- x)cos(x+20 ) sin(400 - 0- x)sin(x+20 )0
c) C =sin(x+10 )cos(20 x- 80 )0 +sin(x+100 )cos(20 x+10 )0
d)
D = æççççx- pö÷÷÷÷ æççççp- x÷÷÷÷ö+ æççççp- xö÷÷÷÷ æççççx- pö÷÷÷÷
e)
3
E = æçççx- pö÷÷÷ æçççx+pö÷÷÷+ æçççx+pö÷÷÷ æçççx+ pö÷÷÷
Bài 7 Chứng minh các đẳng thức sau:
a)
cos sin 2cos 2sin
x+ x= æççççx- pö÷÷÷÷= æççççx+pö÷÷÷÷
b)
x- x= æçççx+pö÷÷÷= - æçççx- pö÷÷÷
Bài 8 Chứng minh các đẳng thức sau:
a)
æ ö÷ æ ö÷
ç + ÷- ç - ÷=
2
æ ö÷ æ ö÷
ç + ÷ ç - ÷=
c)
x æçççx+pö÷÷÷+ æçççx+p÷÷÷ö æçççx+ pö÷÷÷+ æçççx+ pö÷÷÷ x=
Trang 5Bài 9 Chứng minh các đẳng thức sau:
a)
cos( ) cot cot 1
cos( ) cot cot 1
+ - b) sin(cos cosa a b- b)+sin(cos cosb b c- c)+sin(cos cosc c a- a)=0 c)
sin( )sin( )
tan tan cos cos
-d)
cos( )cos( )
1 tan tan cos cos
=
-Bài 10 Chứng minh các biểu thức sau độc lập với biến x
a)
2 sin cos cos
A = x+ æççççp- xö÷÷÷÷ æççççp+xö÷÷÷÷
B = x+ æççççp- xö÷÷÷÷+ æççççp +xö÷÷÷÷
c)
C = x+ æçççç p- xö÷÷÷÷+ æçççç p+xö÷÷÷÷
D = x+ æççççx+ pö÷÷÷÷+ æççççx- pö÷÷÷÷
Bài 11 Biến đổi thành tích các biểu thức sau:
a) 1 cos+ x+cos2x+cos3x b) sinx- sin3x+sin7x- sin5x c) sinx- sin2x+sin5x+sin8x d) cos10x- cos8x- cos6x+1e) cos9x- cos7x+cos3x- cosx f) cos7x+sin3x+sin2x- cos3x