Chuyên đề Các bài toán biến đổi lượng giác

1: Đẳng thức với biến Trong phần này ta xét các đẳng thức lượng giác mà các biến không bị ràng buộc bởi điều kiện nào.Khi chứng minh các đẳng thức không có điều kiện kèm theo này,chúng t[r]

 THPT  VÕ  2

 !"# giác

Quế võ, tháng 1 năm 2009

các

trong các bài toán thì các

;  ! ! các tài 9 6 biên ($ chuyên + này.Chúng tôi ; tham * và biên  ! 

bao B C là cách  duy & và hay &" 5' @ các bài này thì các $ , suy



 Tìm  B  khác  có 6

 Lí

 Tìm cách   0 bài toán

 Nêu các bài

A (' bài  ! chúng tôi không cung &! B "KL bài  ! này  $ 

Chú ý:

các $ phát 9 ra & + R không ! là cách trình bày

I +" ,- / góc và cung:

1 5:

180

1



2 Radian: (rad)

180 0   rad

3 <"# =$ 5 sang rad và "# !& ?@$ &A6 B5C >D góc (cung ) thông 7G"#:

5 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 3600 Radian 0

6



4



3



2



3

2

4

3

6

II Góc ? !"# giác & cung ? !"# giác:

1 -"E "#EI6:

2  J"# tròn ? !"# giác:

D / &A6 B5C >D cung ? !"# giác L& M$NC3



 







 

k

C

A

k C

k A





















2 D

B,

k ,

2 2 -D

2k

2 2 B

2k

x

y

(tia gốc)

Z) (k 2 )

, (Ox Oy k  



t

(tia ngọn)

O



.

o

180

O





x

y

O

B

D

x

y

B



8.$OB #D&:



t

8.$OB "#P":



III -"E "#EI6 hàm >D ? !"# giác:

1  J"# trịn ? !"# giác:

 A: 6 '

 x'Ox : 0 cơsin ( 0 hồnh )

 y'Oy : 0 sin ( 0 tung )

 t'At : 0 tang

 u'Bu : 0 cotang

2 -"E "#EI6 các hàm >D ? !"# giác:

'Ox và y'Oy

T, U 'At và u'Bu

Ta -"E "#EI63

cos sin

tg cot

OP OQ AT

















b Các tính &ERC :

 h@  ta cĩ : 

1 sin 1 hay sin 1



1 cos 1 hay cos 1



 tg xác định

2 k



 cotg xác định   k

c Tính C2S" hồn

sin( 2 ) sin cos( 2 ) cos ( ) cot ( ) cot

k k

















) (kZ

'

u

'

t

t

x u

'

y

'

t

1



Q

B

T



M



A P U

Trục cosin

Trục tang









x

y

O

B

D

1

1 1



R

1



1



'

x

'

t

'

t

'

y

IV Giá C9- các hàm >D ? !"# giác &A6 các cung (góc ) L& M$NC:

Ta nên

- 3

-1

- 3 /3

(Ñieåm goác)

t

t'

y

y'

x x'

u u'

1

1 -1

-1

-/2



5/6 3/4 2/3

-/6 -/4 -/3

-1/2

- 2 /2

- 3 /2

-1/2

- 2 /2

- 3 /2 1/2 2 /2 3 /2

3 /2

2 /2 1/2

A

/3

/4

/6

3 /3

3

B /2 3 /3 1 3

O

00 300 450

600

900 1200 1350 1500 1800 3600

Góc

Hslg

0 6



4



3



2



3

2

4

3

6

sin 0

2

1 2

2 2

2

3

2

2

2

cos 1

2

3 2

2 2

2

1



2

2



2

3

tg 0

3

3

3

cotg

3

3

3





V Hàm >D ? !"# giác &A6 các cung (gĩc) cĩ liên quan L& M$NC:

0 là các cung :

1 Cung D$ nhau :  và - ` k 0) (Vd: ,…)

6

&

6



2 Cung bù nhau :  và - (  k ) (Vd:  ,…)

6

5

&

6





3 Cung WEG nhau : và (  k ) (Vd: ,…)

2



2



3

&

6





4 Cung E+" kém : (Vd: ,…)

2



và 2



3

2

&

6





5 Cung E+" kém :   và  (Vd: ,…)

6

7

&

6





1 Cung D$ nhau: 2 Cung bù nhau :

cos( ) cos

sin( ) sin

( )

cot ( ) cot

















cos( ) cos sin( ) sin ( )

















3 Cung WEG nhau : 4 Cung E+" kém

2



cos( ) sin

2

sin( ) cos

2

( )

2

cot ( ) t

2

 

 

 

 









cos( ) sin 2

sin( ) cos 2

( ) 2

2

 

 

 

 









5 Cung E+" kém :

e0 chéo j kém 2



sin k cos cos k p sin

cos( ) cos

sin( ) sin

( )

cot ( ) cot

















VI Công CE\& ? !"# giác:

1 Các EN CE\& &+ M<":

sin

tg =

cos cos cotg =

sin















2

2

1

1 tg =

cos 1

1 cotg =

sin

tg cotg = 1















2 Công CE\& &5"# :

cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin sin( ) sin cos sin cos sin( ) sin cos sin cos

tg +tg tg( + ) =

1

tg tg tg( ) =

1

tg tg

tg tg





































3 Công CE\& nhân F$:











 







2

2

2

cos 2 cos sin

2 cos 1

1 2 sin cos sin sin 2 2 sin cos

2

2 1

tg tg

tg

4 Công CE\& nhân ba:

j kém 

tang , cotang

4

cos 3 3 cos cos3    

3

3

cos 3 4 cos 3cos sin 3 3sin 4 sin

5 Công CE\& E@ M^&:















2 cos 1

2 cos 1

; 2

2 cos 1 sin

; 2

2 cos 1













6.Công CE\& tính sin ,cos ,tg    theo

2

ttg 

2 2

2 2

1

2

; 1

1 cos

; 1

2 sin

t

t tg

t

t t

t















7 Công CE\& M$b" =$ tích thành C="# :

1

2 1

2 1

2













8 Công CE\& M$b" =$ C="# thành tích :

sin sin 2 sin cos

sin sin 2 cos sin

sin( ) cos cos sin( ) cos cos

tg tg

tg tg





















































9 Các công CE\& CE J"# dùng khác:

4

3 sin sin

3 sin3    













8

4 cos 3 5 sin

cos

4

4 cos 3 sin

cos

6 6

4 4

























ES" 1 g"# CE\& ? !"# giác không $h2 X$N"

1: g"# CE\& ,i$ M$b"

Trong

 công R nào cho ! lí.Vì  /  yêu , 2 9 quan trong là khi ) 9 các

phép

) chon công R

Các bài toán &E\"# minh g"# CE\&

Khi 2! các bài toán $ này chúng ta có    là *  ; có trong + "#p 8



 !

Bài 1:

=R minh k sin x sin y cotg(x y)

cos x cos y 2



 i"# 7j":

E vì .Nên ta    trái sao cho i R và P R J&

x y cos

cotg

x y 2

sin

2





9 cos x y ,sin

2



x y 2



Khi 8 ta có:

x y x y 2cos sin

cotg



này 2 theo dõi ví 0 sau:

Bài 2:

=R minh kF cos x sin x cos2x

cos x sin x 1 sin 2x

 i"# 7j":

2 2

cos x sin x cos x sin x

1 sin 2x cos x sin x 2sinxcosx cos x sin x cos x sin x

E^" xét:

=C có 6 nhân  i và P - VT @ cos xsin x



Bài 3: E\"# minh 9l"#3

n n

n n

n

(n Z )

1 cotg cos 1 cotg .cos

n n

tg 1

1 cotg cos 1 .cos

tg



n

n n

n n

tg 1

1 cotg cos 1 .cos

tg



 i"# 7j":

sin a c os a   1 1 2 sin acos a   1 2 sin acos a

2 2

3sin os

ac a

 

Do 8 sin46 cos46 1 2 sin22 os22 2

Ta có: (*) 8 cot tan 2tan 4tan

Mà

2 2

cosa sin cos a-sin 2cos2a

sina cosa sinacosa sin2a

Do đó:

(*)

cot tan 2tan 4tan 8

2cot 2tan 4tan 8

4cot 4tan 8

8cot 8 (hiển nhiên đúng).

4



a/cos x+cos x cos x

sin2x sin4x sin8x sin16x

     

a/ Ta có:

(1 cos2x) 1 cos 2x+ 1 cos - 2x

cos2x + cos 2x+ cos - 2x

cos2x + 2cos2xcos

3 1

cos2x +

2 2



     

2 3

2

 



b/ Ta có: cota - cotb = cosa cosb sin osa-sinacosb sin( )

sina sinb sin inb sin asinb

as



Do đó: cot cot 2 sin(2 ) 1 (1)

sinxsin2x sin 2

x x

x



sin(4 2 ) 1

sin 2 sin 4 sin 4 sin(8 4 ) 1

sin 4 sin 8 sin 8 sin(16 8 ) 1

sin16 sin 8 sin16







Lấy (1) + (20 + (3) + (4) ta được:

c otx - cot16x =

sin2x sin 4x sin 8x sin16x

4 4

6 6

8 8

1 / sin os (3 os4x)

4 1 / sin os x= (5 3 os4x)

8 1 / sin os (35 28 os4x+cos8x)

64

a/ Ta có: sin 4 x + cos 4 x = (sin 2 x + cos 2 x) 2 – 2sin 2 xcos 2 x

2

2

1 sin 2 4 1

1 (1 os4x) 4

3 1

os4x

4 4

x c c

 

 

b/ Ta có: sin 6 x + cos 6 x = (sin 2 x + cos 2 x)(sin 4 x – sin 2 xcos 2 x + cos 4 x)

4 4 1 2

(sin os ) sin 2

4

3 1 1 (do kết quả câu a)

os4x 1 os4x

os4x+



sin xcos x(sin xcos )x 2sin xcos x

2 2

(3 os4x) sin 2

(9 6 os4x+cos 4 ) (1 os4x)

2

os4x + (1 os8x) (1 2 os4x+cos 4 )

os4x + os8x+ os4x - (1+cos8 )

os4x+ os8x

 

Bài 8: Chứng minh: sin3x.sin 3 x + cos3x.cos 3 x = cos 3 2x

Cách 1:

sin3x.sin 3 x + cos3x.cos 3 x =

Cách

2 2

(3sinx 4sin )sin (4 os 3 osx) os

3sin 4sin 4 os 3 os

3(sin os ) 4(sin os )

3(sin os )(sin os ) 4(sin os )(sin sin os os )

3 os2x + 4cos2x(1-sin xcos x)

=-3co

c

 

2

2

1 s2x + 4cos2x(1 sin 2 )

4 os2x(-3 + 4 - sin 2x)

=cos2x(1 - sin 2x) = cos 2

x c

x





Cách 2:

sin3x.sin 3 x + cos3x.cos 3 x =

3

3sinx - sin3x 3cosx + cos3x

(sin 3 sinx+cos3xcosx) ( os 3 sin 3 )

os(3x - x)+ os6x

1

= (3 os2x + cos3.2x)

4

os 2

c





HD

Ta có

*

cot (1 cot ) (1 cot ) cot cot 1 (1)

*

1 cos (1 cos ) 1 cos (1 cos )

1 cos 1 cos 1 cos 2 cos

2 sin 1 cos 2 sin 1 cos

a



Các $ làm thêm  (' bài sau:

1 a.sinxsin x sin x sin 3x

1

     

     

c tg tg( ).tg( ) tg3

    

a

2 2

3 cot g cot g

1 cot g

2

 









b

2 2

tg a tg 2a tga.tg3a

1 tg a.tg 2a







d sin x10 cos x10 63 15cos4x 5 cos8x

128 32 128

e cos x sin x6 6 15cos2x 1 cos6x

f cos x sin x8 8 7cos2x 1cos6x

Các bài toán rút #P" M$O2 CE\&

$.$ phân R thì tìm cách làm J& 9 nhân i chung E i và P 6 

1 cos (1 cos )

1

x

Tính giá N - A  1

2 2

x    x 

HD

2

2

1 cos sin 1 2 cos os

1 cos 2(1 cos )

s inx sin 2(1 os ) 2 sin 2

A

x

x





2 2

x c x    

Do 8 2 4 4 3

2

sin2a + sin5a -sin3a

A = 1+ cosa - 2sin 2a

a Asin 3x sin x3 cos3x cos x3

b

2 2

1 cos x (1 cos x)

sin x sin x

c Csin 3xcos x3 cos3x sin x3

d Dcos3x.cos x sin 3x sin x3  3

e E cos(x ) sin x(1 cotgx) cos x(1 tgx)2 2 (x k )

f

4sin(4x )

2 F

cotg (2x ) tg (2x )







E\"# minh M$O2 CE\& không WEG CE25& vào M$b"3

không !0  vào  nên @  giá N -  6 R không thay . 8 ta

a A cos (2 x) cos (2 x) cos (2 2 x) cos (2 2 x) 2sin x2

b B cos x2 cos (2 2 x) cos (2 2 x)

c C sin x sin (2 2 2 x) sin (2 2 x)

a/A cos (2 x) cos (2 x) cos (2 2 x) cos (2 2 x) 2sin x2

2A=2+2cos2xcos 2cos2xcos 2cos2x

A=1-cos2x-cos2x+2cos2x

A=1





E^" xét:

 Có 6 *6 tra * .k cách thay  giá N & kì - x vào 6 R ban ,

 h9 (i 0 công R $   6 có 6 ) 9 các phép   M dàng "

 Nguyên { chung 6 R minh   không !0  vào  là ta   + cùng

ta

2 os sin sin os 3sin

t anx 1 c otx 1

HD

a) Ta có:

2 os sin sin os 3sin

2 os (1 os ) (1 os ) os 3(1 os )

2



b) h@ + *9 sin cosx x 0, tanx 1

Ta có:

2 c otx 1

t anx 1 c otx 1

1 1

1

1

t anx

2 (1 t anx) 1 t anx

1

1 t anx t anx-1



a Acos (x a) cos x2   2 2cosa cos xcos(ax)

b Bcos (x a) sin (x2   2  b) 2cos(x a)sin(x b)sin(ab)

a

cotg cotg

A

cos cos x(1 cotg )







b B sin x(1 sin x) cos x(1 cos x) 5sin xcos x 4  2  4  2  2 2

c Csin x8 cos x8 6sin xcos x4 4 2sin xcos x 12 2 

d D3(sin x cos x) 4(sin x cos x) 6sin x8  8  6  6  4

Tìm $h2 X$N" &A6 tham >D O M$O2 CE\& không WEG CE25& vào M$b"

  f(x, m) + $ f(x, m)  A(m).B(x) + C(m) và !   A(m)=0

Bài 1 Tìm m sao cho:

f(x) = sin x + cos x + m(sin x + cos x) + (m +1)sin 2x

không !0  vào x

 i"# 7j":

i 0 *  câu a và b - bài 1.5 ta có:

f(x) = 1- sin 2x + m 1- sin 2x + (m +1)sin 2x

2 2

m 3 f(x) = m +1- sin 2x + m +1

2 4

m 1

f (x) sin 2x (m 1)

2 4

f(x) không !0  vào x khi và  khi m 1 1

0 m =

   

Các bài

a f (x)cos x cos(x2m)cos(x4m)cos(x6m)

b f (x) m(2m sin x 1) 4(m2 1)sinx.sin2 x 2(m 1)cos x2 2sin x

2

a f (x) m(sin x8 cos x)8 (2m 1)(cos x 4 sin x)4 cos2x4

b f (x)cos2xm sin x2 3cos x 12 

c f (x)sin xsin(xm)sin(x2m)sin(x3m)sin(x4m)

a f (x)m(sin x8 cos x)8 4(2sin x6 cos x)6 n sin x4

b f (x) m(sin x6 cos x)6 n(sin x4 cos x)4 1sin 2x2

2

@"# XbC U2< !& &Ep ra trong h bài:

e, này khá  .+ N các $ )  /

a A sin a sin bsin(ab) d.Dcos xcos ysin(xy)

b Bsin(ab)sin(b c) sin(ca) e Esin x sin 2xsin 3x

c C 1 sinx  cos x f Fcos x cos 2x cos 3x

`=R minh A có $ (a sin xb cos xc)2)

2 g"# CE\& ,i$ >D &G CEO' Tính giá C9- M$O2 CE\&

Trong

8"e, này (1 ! 0 tìm 6 + các 6 R - các (' 0 6.(1 có + khó *t

"

A.Tính C9q& C$bW giá C9- &A6 M$O2 CE\& "EJ ,^" 7G"# các công CE\& M$b" =$ phù E!W

Trong !, này các $ ,   ghép 2! ! lí k $ ra các tính & 2 9" 56 làm

góc &/"

a A cos cos2 cos3 cos4

 i"# 7j"3

K  &/ L các góc 2 3 4 ,các 2! có  k .Nên ta 

3 2cos cos 2cos cos 0

 i"# 7j"3

Ta có

7

c

c





A2 khác 4 4 1 2

2

c

Do 8

2 2

2 2

(1 sin ) (1 sin )

1 3 2

2 2

A

  

Thông

! cách nhau  * không `r $ ,3 ,5 cách nhau _2  9 @

7 7 7

7



nhau theo

16 sin10 sin 30 sin 50 sin 70  1

 i"# 7j"3

Ta có

0

0

0 0

(16 sin10 os10 ) sin 30 sin 50 sin 70 os10 os10

(8sin 20 )( ) os40 os20

(4 sin 20 os20 ) os40 (2 sin 40 ) os40

Ac

c

c



II Góc ? !"# giác & cung ? !"# giác:

-"E "#EI6:

 J"# tròn ? !"# giác:

D... chon công R

Các toán &E\"# minh g"# CE\&

Khi 2! tốn $ có    *  ; có + "#p 8



 !

Bài 1:

=R... 15

Các toán rút #P" M$O2 CE\&

$.$ phân R tìm cách làm J& 9 nhân i chung E i P 6 

1