Lý thuyết cần nhớ Là những phương trình bậc nhất hay bậc hai đối với một hàm sinx, cosx, tanx hay cotx.. Phương pháp: Đặt ẩn phụ t rồi giải phương trình bậc nhất hay bậc 2 với t.[r]
Trang 1Lượng giácPhần 1: Hàm số lượng giác
2 Giá trị của các hàm lượng giác cung liên quan đặc biệt
a) Hai cung đối nhau b) Hai cung bù nhau c) Hai cung khác nhau 2 π
sin(x +2 π )=sin x cos (x+2 π )=cos x tan (x+2 π )=tan x cot(x +2 π )=cot x
d) Hai cung khác nhau π e) Hai cung phụ nhau
2 Xét dấu của các biểu thức sau:
a) sin 123o −sin 132 o b) cot 304o − cot 316 o
c) sin215o+sin235o+sin255o+sin275o
d) cos215o+cos235o+cos255o+cos275o
Trang 2h) A=sin4a+cos2a+sin2a cos2a
l) ( √1 −sin x 1+sin x −√1− sin x 1+sin x)( √1 −cos x 1+cos x −√1 −cos x 1+cos x)
m) sin3a(1+cot a)+cos3a(1+tan a)
sin(x − π ) cos(x −2 π) sin(2 π − x )
sin(π2− x) cot(π − x ) cot(3 π2 +x)
q) [sin(π2− x)+sin(π − x)]2+[cos(3 π2 − x)+cos(2 π − x)]2
r) sin(π3− a) tan(2 π3 +a) cos(5 π3 +a)+tan(π +a) tan(3 π2 − a)
s) cot(5,5 π −a)+tan(b − 4 π)
cot(a− 6 π)− tan(b − 3,5 π )
t) tan 50o tan 190o tan 250o tan 260o tan 400o tan 700o
4 Cho A, B, C là ba góc của tam giác ABC Chứng minh:
a) sin( A+B)=sin C ; cos(B+C )=-cosA c) tan (A +C)=− tan B ; cot( A+B)=-cotC
7 Gọi a, b, c là các cạnh đối diện với các góc tương ứng của tam giác ABC
a) Cho sin2B+sin2C=2 sin2A Chứng minh A ≤60 o
b) 2(a cos A+b cos B+c cos C)=a+b+c ⇒ Δ ABC đều
Trang 3c) Chứng minh: 0<sin A+sin B+sin C-sinA sinB-sinB sinC-sinC sinA<1
Phần 2: Các công thức lượng giác
I Công thức cộng
A Kiến thức cần nhớ
¿
1(a ± b)=sin a cos b ±sin b cos a¿2¿cos (a ± b)=cos a cos b ∓sin a sin b¿
3¿tan(a ±b)= tan a ± tan b
1∓tan a tan b
B Bài tập
1 Chứng minh các công thức sau:
a) cos a+sin a=√2 cos(π4− a)=√2 sin(π4+a)
b) cos a − sin a=√2 cos(π4+a)=√2 sin(π4− a)
2 Rút gọn các biểu thức:
a)
√2cos a −2 cos(π4+a)
−√2sin a+2sin(π4+a)
b) cos 10o+cos 11o cos 21o+cos 69o cos 79o
c) (tan a− tan b).cot (a −b)− tan a tan b
3 Chứng minh trong mọi tam giác ABC ta đều có:
a) tan A+tanB+tanC=tanA tanB tanC b)
b) Cho a+b= π
4 , chứng minh: (1+tan a)(1+tan b)=2 và (1− cot a)(1 −cot b)=2
c) Cho tan (x+a)=m
tan (a − y )=n Chứngminh: tan (x+ y )=
Trang 4f) Cho tan a=12
6 Cho α , β , γ thoả mãn điều kiện: α+ β+γ= π
2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
A=√1+tan α tan β+√1+tan β tan γ +√1+tan γ tan α
7 Chứng minh rằng nếu các góc của tam giác A, B, C thoả mãn một trong các đẳng thức sau thì tamgiác ABC cân:
2 (a tan A +b tan B) d) tan A+2 tan B=tan A tan2B
II Công thức nhân đôi nhân ba.
1 tansin 3 3sin 4sin ; cos3 4cos 3cos
k) cosπ
5cos
2 π
5 l) cos 20ocos 40ocos 60ocos 80o
m) tan a+2 tan 2a+4 tan 4 a+8 tan 8 a+16 tan 16 a+32 tan 32 a
2 Chứng minh:
Trang 5a) sin a sin(π3− a)sin(π3+a)=1
4 Tìm sin 2 α , cos 2 α , tan 2 α .
4 Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của các hàm số sau:
a) y=sin(x+ π
4)sin(x − π
y=1 −8 sin2x cos2x
III Công thức hạ bậc Công thức viết các hàm lượng giác theo t=tan a
2 .
A Lý thuyết cần nhớ
1+cos 2 a=2 cos2a
1− cos 2 a=2sin2a sin a=
1 Chứng minh các biểu thức sau:
a) 2 sin a − sin2 a 2 sin a+sin 2 a=tan2a
1 −sin 2 a+cos 2 a 1+sin 2 a+cos 2 a=tan(π4− a)
Trang 6g) 1 −cos α+cos 2 α
sin 2 α 1+cos 2 α.
cos α 1+cos α
a
2=
215
Trang 7sin a+sin b=2 sin a+b
cos a cos b cot a+cot b= sin (a+b)
sin a sin b cot a −cot b=− sin(a − b)
sin a sin b
B Bài tập
1 Rút gọn biếu thức
a) cos a+cos(a+b)+cos (a+2 b)+ +cos (a+nb)(n ∈ N )
b) cosa − cos 3 a+cos5 a− cos7 a
sin a+sin 3 a+sin5 a+sin 7 a c)
cos a+2cos 2a+cos 3 a sin a+sin 2 a+sin 3 a
2cos 2 a g) cos23+cos21 −cos 4 cos 2
h) sin 1o+sin 91o+2 sin 203o(sin 112o
b) sin a+sin 3 a+sin5 a+ +sin(2 n −1)a
cos a+cos 3 a+cos 5 a+ +cos (2 n− 1)a=tan na
c) sin a+sin 2 a+sin 3 a+ +sin na=
sinna
2 sin
(n+1)a
2sina
2
3 Chứng minh trong mọi tam giác ABC ta đều có:
a) sin A +sin B+sin C=4 cos A
Trang 8c) sin2A +sin2B+sin2C=2(1+cos A cosB cos C )
d) cos2A+cos2B+cos2C=1 −2 cos A cos B cos C
e) sin A +sin B− sin C=4 sin A
g) sin 2 A+sin 2 B+sin 2 C=4 sin A sin B sinC
h) cos 2 A +cos 2 B+cos 2 C=−1 −4 cos A cos B cos C
2(sin x +sin y ) với 0<x , y <π .
5 Tính giá trị các biểu thức sau:
16 b) tan 67o 5 ' − cot 67 o 5' +cot 7 o 5 ' − tan 7 o 5'
c) cos 5ocos 55ocos 65o d)
6 Chứng tỏ các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x:
a) √4 sin4x+sin22 x+4 cos2(π4−
x
2) với π <x< 3 π
2 b) 4 cos4x +cos22 x − 4 cos2x cos 2 x
c) cos2x+cos2(π3+x)+cos2(π3− x) d) sin2x+sin2(2 π3 +x)+sin2(2 π3 − x)
7 Điều kiện cần và đủ để một tam giác vuông ở A là: sin A= sin B+sin C
a thì tam giác đó là tam giác vuông.
10 Cho tam giác ABC và 5 tan A
2 tan
B
2=1 Chứng minh rằng: 3c = 2(a+b).
Phần 3: Phương trình lượng giác
I Phương trình lượng giác cơ bản
A Lý thuyết cần nhớ
Trang 91 Phương trình: sin x=sin α ⇔ x=π − α+ k 2 π x=α+ k 2 π 2 Phương trình: cos x=cos α ⇔ x=± α+k 2 π
3 Phương trình: tan x=tan α ⇔ α+kπ 4 Phương trình: cot x=cot α ⇔α+kπ
g) sin3x - cos2x = 0 h) sin(x + 2 π
p) cos (π −5 x )=−1 q) tan (3 π −6 x )=1 r) tan ( x − 6 π )=√3
Là những phương trình bậc nhất hay bậc hai đối với một hàm sinx, cosx, tanx hay cotx
Phương pháp: Đặt ẩn phụ t rồi giải phương trình bậc nhất hay bậc 2 với t
Trang 10a) 3 cot2(x + π
5)=1 b) tan2(2 x − π
4)=3
c) 7 tan x − 4 cot x=12 d) cot2x+(√ 3− 1)cot x −√3=0
III Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
A Lý thuyết cần nhớ
Dạng phương trình: a sin x+b cos x=c
Điều kiện để phương trình có nghiệm: a2b2 c2
Cách giải: Chia cả hai vế của phương trình cho √a2
+b2 rồi đặt: cos α = a
√a2+b2 ; sin α= b
√a2+b2
Đưa phương trình về dạng: cos α sin x +sin α cos x=sin β ⇔ sin(x+α)=sin β Giải ra tìm được x
B Bài tập
1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số sau:
a) y=(2−√3)sin 2 x +cos 2 x b) sin x − cos x¿2+2 cos 2 x+3 sin x cos x
y =¿
c) y=(sin x −2 cos x )(2 sin x +cos x )− 1 d) y= cos x +2 sin x+3
2 cos x − sin x +4
2 Giải các phương trình sau:
a) 4 sin x −3 cos x=5 b) 3 cos x+2√3 sin x=9
2
c) 3 sin 2 x +2 cos2 x =3 d) 2 sin2 x +3 cos 2 x =√13 sin 14 x
e) 4 sin x −3 cos x=2 f) sin x −√3 cos x=1
3 Tìm các giá trị của x ∈(− 3 π
4 ; π) thoả mãn phương trình sau với mọi m:
m2sin x − msin2x − m2cos x +m cos2x=cos x − sin x
4 Tìm các giá trị của α để phương trình:
a) (cos α +3 sin α −√3) x2+(√3cos α −3 sin α −2)x +sin α − cos α+√3=0 có nghiệm x = 1
b) (2 sin α −cos2α+1)x2−(√ 3 sin α) x+ 2cos2α −(3−√3)sin α=0 có nghiệm x = √3
Trang 11Dạng phương trình: a sin2x+b sin x cos x +c cos2x=d
- Nếu cosx = 0 Thế vào phương trình thử nghiệm
- Nếu cos x ≠ 0 Chia cả 2 vế của phương trình cho cos2x rồi tiến hành giải phương trình bậc hai đối với tanx: (a − d)tan2x+b tan x+c − d=0
B Bài tập
1 Giải các phương trình sau:
a) sin2
x −2 sin x cos x −3 cos2x=0 b) 6 sin2
x+sin x cos x − cos2x=2
c) sin 2 x −2 sin2x =2cos 2 x d) 2 sin22 x − 2sin 2 x cos 2 x +cos22 x=2
e) 4 sin x cos(x − π
2)+4 sin(π +x)cos x +2 sin(3 π2 − x)cos (π +x)=1
f) 3 sin2x − 4 sin x cos x +2 cos2x=1
2
2 Giải các phương trình sau:
a) 2 sin3x +4 cos3x=3 sin x
3 Số đo độ của một trong các góc trong tam giác vuông ABC là nghiệm của phương trình:
sin3x+sin x sin 2 x −3 cos3x=0 Chứng minh tam giác ABC vuông cân
V Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx.
A Lý thuyết cần nhớ
Dạng phương trình: a(sin x ± cos x)+b sin x cos x=c
Cách giải: Đặt t=sin x ± cos x , ta có: ¿t∨≤√2 →t2
=1 ±2 sin x cos x=1± sin 2 x Thay vào phương trình rồi giải ra t
B Bài tập
1 Giải phương trình sau:
a) cot x − tan x=sin x+cos x b) 2 sin x +cot x=2 sin 2 x +1
c) cos3
e) 1+sin32 x +cos32 x=3
2sin 4 x f) (1+cos x)(1+sin x )=2
VI Một số dạng phương trình lượng giác khác
1 Giải các phương trình lượng giác sau:
x+3 tan2x −4√3 cos x +2 √3 tan x+4=0 d) √1+sin x +√1− sin x=2 cos x
e) sin x cos 4 x − sin22 x=4 sin2(π4−
Trang 12g) (4 −6 m)sin3x+ 3(2 m−1)sin x +2(m−2)sin2x cos x −(4 m− 3)cos x=0 (Biện luận theo m).h) 1− tan2x=2 tan x tan 2 x i) sin 4 x=2cos2x −1
j) 8 cos4x −cos 4 x=1 k) 1+cos2 x+sin x=2cos2x
2
l) sin22 x +sin24 x=3
2 m) tan x +tan 2 x=sin 3 x cos x
n) tan x − 3 cot x=4 (sin x+√3 cos x ) o) sin3
x+cos3x=cos 2 x
p) sin 4 x=tan x q) sin 4 x − 4 sin x −(cos 4 x − 4 cos x)=1
r) 3(cot x −cos x )−5 (tan x − sin x)=2 s) cos 7 x −√3sin 7 x=−√2
t) tan x − 2√2 sin x=1 u) 2 cos3
g) sin24 x −cos26 x=sin (10 ,5 π +10 x) Tìm các nghiệm thuộc khoảng (0 ; π
2)
h) sin8x+cos8x=2(sin10x+cos10x )+5
4cos 2 x i) √3 sin2 x − 2cos2x =2√ 2+2 cos 2 x
j) sin2x+sin22 x+sin23 x=3
2 cos x+√2 sin 10 x=3√2+2 cos 28 x sin x
n) sin 2 x +2 cos 2 x=1+sin x − 4 cos x o) sin 2 x +2 tan x=3
p) (√1− cos x+√cos x)cos2 x =1
2sin 4 x q) tan x +cot 2 x1 =√
2(cos x −sin x ) cot x −1
Trang 13r) sin3(π4+x)=√2 sin x s)
8√2cos6x +2√2sin3x sin3 x −6√2cos4x − 1=0
t) cos3
x +sin3x=sin 2 x +sin x +cos x u) 3 −4 cos2x=sin x (2 sin x +1)
v) 4√3 sin x cos x cos 2 x=sin 8 x w)
tan2x cot22 x cot 3 x=tan2x −cot22 x +cot 3 x
z) sin x+cos x=cos 2 x
3 Giải các phương trình lượng giác sau:
a) 9cot x
c) sin 3 x+2 cos 2 x − 2=0 d) sin 3 x −sin x +sin 2 x =0
e) cos2 x+3 cos x+2=0 f) 3 cos 4 x −2 cos23 x=1
g) 1+3 cos x+cos 2 x =cos 3 x+2sin x sin2 x h) tan x +tan 2 x=−sin 3 x cos 2 x
o) cos3
x +sin x −3 sin2x cos x=0 p) 2 sin3
x +cos 2 x=sin x
q) √3− cos x −√1+cos x=2 r) sin x cos x +2 sin x+2 cos x=2
s) cos x cos 2 x cos 4 x cos8 x= 1
16 t) sin2x+sin23 x=cos22 x+cos24 x
u) sin 3 x(cos x − 2sin 3 x)+cos 3 x (1+sin x − 2 cos 3 x )=0
v) 3 tan3x − tan x+ 3(1+sin x )
x=sin 3 x x) cos 2 x −√3 sin 2 x −√3 sin x − cos x+4=0
y) cos 2 x=cos2x√1+tan x z)
3 cot2x +2√2sin2x=(2+3√2)cos x
4 Giải các phương trình sau:
a) tan x − sin 2 x −cos 2 x +2(2 cos x − 1
cos x)=0 b) 4 (sin 3 x − cos 2 x )=5(sin x −1)
c) 2 cos 2 x +sin2x cos x +sin x cos2x=2(sin x+ cos x)
d) tan x sin2x −2 sin2x=3(cos 2 x+sin x cos x ) e) sin 2 x (cot x +tan2 x)=4 cos2x
Trang 14f) 48 − 1
cos4x −
2sin2x(1+cot 2 x cot x)=0 g) sin
6
x+cos6x=cos 4 x
h) cos3x +cos2x+2sin x − 2=0 i) 2+cos x=2 tan x
2
j) cos 3 x+√2 − cos23 x=2(1+sin22 x) k) sin x+sin2 x +sin 3 x=0
l) cot x − tan x=sin x+cos x m) sin 3 x+cos 2 x=1+2 sin x cos 2 x
w) 1+cos x +cos 2 x+cos3 x =0 x) cos x +cos 2 x+cos 3 x+cos 4 x=0
y) cos2x+sin3x +cos x =0 z) cos x sin x +¿cos x +sin x∨¿1
5 Giải các phương trình sau:
a) 2+cos 2 x=−5 sin x b) sin3x+cos3x=2(sin5x+cos5x)
x
+9cos 2
x=10 k) 4 cos3
VII Hệ phương trình lượng giác
1 Giải các hệ phương trình lượng giác sau:
sin2x=cos x cos y
cos2x=sin x sin y f)
tan y − tan x − tan x tan y=1
cos 2 y +√3cos 2 x=− 1
Trang 15g)
tan x +cot x=2 sin(π4+y)
tan y +cot y=2sin(x − π
sin x+cos y=√3
2cos2x+sin2y=5
4
VIII Các dạng bài tập khác
1 Tìm tất cả các nghiệm của phương trình 1− 5 sin x +2 cos2x=0 thoả mãn cos x ≥ 0
2 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y=sin x√cos x+cos x√sin x
3 Chứng minh rằng tam giác ABC có ba góc thoả mãn: sin2A +sin2B+sin2C=m Nếu m = 2 thì tam giác ABC vuông, m > thì ba góc A, B, C đều nhọn và nếu m < 2 thì tam giác có góc tù
4 Cho các góc của tam giác ABC thoả mãn: sin A +sin B+sin C −2 sin A
minh rằng số đo của góc C là 120o
5 Hai góc của tam giác ABC thoả mãn điều kiện: tan A
sin C −(cot A+cot B+cotC )=√3
8 Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thoả mãn điều kiện: cos 2 A +cos 2 B+cos2 C+1=0 thì tam giác đó là tam giác vuông
9 Chứng minh rằng trong tam giác có: (b2
+c2)sin (C − B)=(c2− b2)sin(C +B) thì tam giác đó vuông hoặc cân
10 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: y=5 cos x −cos5 x trên [− π
a) Giải phương trình khi m = 1
b) Khi m≠ 0 và m≠ ±√2 , phương trình có bao nhiêu nghiệm nằm trong đoạn [20 π , 30 π ]
12 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: 2 b=a+c ⇔cot A
14 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số sau: f (x)=2 sin2x+ 4 sin x cos x+√5
15 Tìm các giá trị x ∈(0,2 π) sao cho cos x − sin x − cos 2 x >0
Trang 1616 Tìm t để phương trình sau có đúng 2 nghiệm x ∈[0 , π ] : sin x+2 2 sin x +1=t .
17 Cho tam giác ABC Chứng minh: cot A +cot B+cot C= a
19 Cho tam giác ABC thoả mãn: a cos A +b cos B+c cos C a+b+c =1
2 Chứng minh tam giác ABC đều.
20 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: y=2(1+sin 2 x cos 4 x )−1
sin B sin C Chứng minh tam giác ABC vuông.
23 Cho tam giác ABC, chứng minh ta luôn luôn có: cos A+cos B+cos C>1
24 Chứng minh rằng tam giác ABC vuông hoặc cân khi và chỉ khi
a cos B −b cos A=a sin A − b sin B
25 Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có: tan A+tan B=2 cot C
2 thì tam giác ABC cân.
26 Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số trên đoạn: y=sin x −cos2x +1
mcos22 x − 4 sin x cos x +m− 2=0
31 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P=cot4
a+cot4b+2 tan2a tan2b+2
32 Với giá trị nào của a thì phương trình: 1+sin2
na=cos x có nghiệm duy nhất
35 Cho tam giác ABC thoả mãn: a tan A+btanB=(a+b)tan A+B
2 Chứng minh tam giác ABC
cân
36 Chứng minh rằng tam giác ABC tù khi và chỉ khi cos2A+cos2B+cos2C >1
Trang 1737 Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thoả mãn cos B+cosC= b+c
a thì tam giác ABC vuông.
38 Cho phương trình: cos3x +sin3x=k sin x cos x
a) Giải phương trình với k =√2
b) Với giá trị nào của k thì phương trình có nghiệm
39 Giải và biện luận phương trình: 2 m(cos x+sin x )=2 m2
+cos x − sin x +3
2 .
40 Cho phương trình: cos 2 x=m(cos2x)√1+tan x
a) Giải phương trình với m = 1
b) Tìm m để phương trình có nghiệm trong đoạn
42 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: y=sin20x+cos20x
43 Chứng minh rằng nếu cot A
45 Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thoả mãn a+b=tan C
2(a tan A +b tan B) thì nó cân.
46 Tìm m để hàm số sau xác định với mọi x: f (x)=√sin4x +cos4x − 2m sin x cos x
Trang 18LINK TẢI TÀI LIỆU TOÁN ÔN THI THPT QUỐC GIA VÀ HỌC SINH GIỎI
(ĐA SỐ MIỄN PHÍ, MỘT SỐ LINK CÓ TRẢ PHÍ)
1> Câu hỏi trắc nghiệm toán học lớp 10
Trang 1920> Tuyển tập 40 đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 (có đáp án chi tiết)
Trang 2044> Tuyển tập 15 đề thi học sinh giỏi môn Tin học lớp 12 (có đáp án)
Trang 2169> Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng Tài liệu bồi dưỡng toán 12 nâng cao
Trang 22http://ouo.io/zsijD