Nếu học sinh làm bài theo cách khác đúng thì vẫn cho điểm tối đa của bài đó..[r]
Trang 1PHÒNG GD&ĐT
HUYỆN LỤC NAM
ĐỀ THI KHẢO SÁT CLB HỌC SINH GIỎI
Năm học 2014 - 2015 Môn: Toán 9
Bài 1: ( 4 điểm)
1) Cho A= 1
√1 1999+
1
√2 1998+
1
√3 1997+ .+
1
√1999 1 Hãy so sánh A và 1,999
2) Cho a=√17 − 1
Hãy tính giá trị của biểu thức: B = (a5 + 2a4 – 17a3 – a2 + 18a – 17)2014
Bài 2: ( 4 điểm) Cho biểu thức : Q=√
x+2 − 4√x −2+√x +2+4√x −2
√x42−
4
x+1
a) Rút gọn biểu thức Q
b) Tìm các số nguyên x để biểu thức Q là một số nguyên
Bài 3: ( 4 điểm) Giải các phương trình sau:
a x2− x −2 −√x − 2=0¿¿b¿ 1+√3 x −16=√3 x+3¿
Bài 4: ( 6 điểm)
1) Cho đoạn thẳng MN = 6 cm Vẽ đường tròn tâm M bán kính 3,6 cm Vẽ đường tròn tâm N bán kính 4,8 cm, chúng cắt nhau tại A và B
a) Chứng minh : 4
AB2=
1
AM2 +
1
AN2
b) Tính số đo các góc của MAB (làm tròn đến độ)
2) Cho tam giác ABC nhọn và O là một điểm nằm trong tam giác Các tia AO, BO, CO lần lượt cắt BC, AC, AB tại M, N, P Chứng minh :
AM BN CP
OM ON OP 9
Bài 5: ( 2 điểm) Cho a,b,c > 0 và a + b + c = 2√3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A=√a2
+ab+b2
+√b2
+bc+c2
+√a2
+ac+c2
- Hết
Trang 2-HUYỆN LỤC NAM Năm học 2014-2015
Môn: Toán 9
1
1
√1 1999+
1
√2 1998+
1
√3 1997+ .+
1
√1999 1
Theo BĐT Côsi ta có 1+1999>2√1 1999⇒√1 1999<1+1999
2
Tương tự √2 1998<2+1998
2 ;√3 1997<
3+1997
2 ; .;√1999 1<
1999+1 2
⇒ A> 2
2000+
2
2000+ +
2
2000 (1999 phân số)
=> A >1999. 1
1000
=> A >1,999 KL….
0,5 0,5
0,5 0,25 0,25
2 B = (a5 + 2a4 – 17a3 – a2 + 18a – 17)2014
B={a3(a2+2 a+1)−18 a3−a2+18 a− 17}2014
17 a3−18 a3− a2+18 a− 17¿2014
¿
B={−a (a2+2 a+1)+a2+19 a −17}2014
¿
− 17 a+a2 +19 a − 17 ¿2014
¿
a+1¿2−18
¿
¿
¿
¿ 2014
B=¿
0,5 0,5 0,5 0,5
Q=√x+2 − 4√x −2+√x +2+4√x −2
√x42−
4
x+1
ĐK: x > 2
√x −2 −2¿2
¿
√x − 2+2¿2
¿ 2
x −1¿
2
¿
¿
√ ¿
¿
¿
√ ¿
Q=¿
- Nếu 2 < x < 6 thì Q= 2−√x −2+ 1 −2√x − 2+2
x
= 4 x
x −2
0.25
0.5
0.5 0.5 0.25
Trang 3- Nếu x ≥ 6 thì Q=√x −2 −2+ 1 −2√x − 2+2
x
=2 x√x − 2
x −2 =
2 x
√x −2
KL………
b Nếu 2 < x < 6 thì Q= 4 x
x − 2 ∈ Z ⇒ 4+ 8
x − 2 ∈ Z
¿
⇒( x −2)∈
¿
Ư(8) = {±1 ;± 2;± 4 ;±8} Vì 2 < x < 6
⇒
x −2=1
¿
x −2=2
¿
x − 2=4
¿
x=3(tm)
¿
x=4 (tm)
¿
x=6(ktm)
¿
¿
¿
=> ¿
¿
¿
¿
Nếu x ≥ 6 thì Q= 2 x
√x −2 ∈ Z => 2√x − 2+ 4
√x − 2 ∈ Z
=> x = 6(tm); x = 18(tm) KL…………
0,5
0,5
0,5
0,5
3 a a¿√x2− x −2 −√x −2=0 Đk: x ≥ 2
⇔√(x +1)(x − 2)−√x − 2=0 ⇔√x −2(√x+1−1)=0
√x − 2=0
¿
√x+1=1
¿
⇔
¿
x=2(tm)
¿
x=0(ktm)
¿
¿
¿
¿
¿
¿
¿
0,25 0,5 1 0,25
Trang 4b 1+3
√x −16=√3 x+3 ⇔3
√x +3 −√3x − 16=1
3
√x+3 −√3x −16¿3= 1
¿
⇔ x+3 − x +16 −3√3 x+3√3 x − 16(√3 x+3−√3 x −16)=1
¿
⇔3√3 x+3√x − 16=183 ⇔√3x +3√3 x −16=6
¿
⇔(x+3)(x −16)=216 ⇔ x2
−13 x −264=0
¿
⇔(x − 24)(x +11)=0
¿
⇔
¿
¿
¿
¿x=24
⇔¿
KL ………
0,5 0,5 0,5
0,5
1
H
B
N M
A
a) Chứng minh được góc MAN = góc MBN = 900
Chứng minh được MN⊥ AB
Chứng minh được 1
AH 2 = 1
AM 2 + 1
AN 2 Chứng minh được 4
AB 2 = 1
AM 2 + 1
AN 2 b) Tính đúng góc MNA 370 ; góc AMN 530
=> Góc AMB = 1060
góc MAB = góc MBA = 370
0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5
Trang 54 2
N A
O
K
P
Từ A và O kẻ AH BC
OK BC (H, K BC)
AH // OK Nên
AM AH (1)
1 2 1 2
BOC
ABC
OK BC
S AH BC AH
(2) Từ (1) , (2)
BOC ABC
S AM
Tương tự :
AOC ABC
S BN ;
AOB ABC
S CP
BOC AOC AOB ABC ABC ABC
AM BN CP S S S (3) Với ba số dương a,b,c ta chứng minh được:
(a+ b + c) (
1 1 1
a b c ) 9
AM BN CP OM ON OP (4)
Từ (3) ,(4) suy ra :
9
OM ON OP (đpcm)
0,5
0,5 0,5
0,5
0,5 0,5
5 Cho a,b,c > 0 và a + b + c = 2√3
A=√a2
+ab+b2
+√b2
+bc+c2
+√a2
+ac+c2
Ta có
a+b¿2+a2+b2 a+b¿2
¿
¿
a+b¿2+ ¿
¿
¿≥1
2¿ (a2+ab+b2)= 1
2¿
=>√a2 ab+b2≥√3(a+b)
0,5 0,25 0,5
Trang 6Tương tự ta có √b2+bc+c2≥√3 (b+c)
2 ;√a2+ac +c2≥√3 (a+c)
2
=> A ≥√3 (a+b)
√3(b+c )
√3(a+c)
2
=> A ≥√3(a+b+c )=√3 2√3=6
=> Min A = 6 Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 2√3
3
0,25
Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải và thang điểm Bài giải của học sinh cần chặt chẽ, hợp lôgic toán học Nếu học sinh làm bài theo cách khác đúng thì vẫn cho điểm tối đa của bài đó