b Cho đa thức fx có các hệ số nguyên.. Chứng minh rằng đa thức fx không có nghiệm nguyên.. Hai trung tuyến AM và BK cắt nhau tại I, hai trung trực của các đoạn thẳng AC và BC cắt nhau tạ
Trang 1Phòng giáo dục đề thi tuyển chọn học sinh giỏi
Vĩnh linh năm học 2007-2008
Môn: toán - lớp 9
Thơì gian: 120 phút ( không kể thời gian giao đề)
Bài 1:
Tìm số tự nhiên có ba chử số, biết rằng nó tăng gấp n lần nếu cộng mỗi chử số của nó với n ( n ∈ N*, n có thể gồm một hoặc nhiều chử số)
Bài 2:
a) Chứng minh rằng: 1110 - 1 chia hết cho 600
b) Tìm tất cả các số tự nhiên n để: 2n + 1 chia hết cho 3
Bài 3:
Cho: A =
200
1 199
1
102
1 101
1
+ + +
8
5
< A <
4 3
Bài 4:
Cho hai số x và y thỏa mản điều kiện: x.y = 1 và x > y
Chứng minh rằng: 2 2
2 2
≥
−
+
y x
y x
Bài 5:
a) Tìm nghiệm nguyên của phơng trình sau: (x + y)2 = (x-1).(y+1)
b) Cho đa thức f(x) có các hệ số nguyên Biết f(0), f(1) là các số lẻ Chứng minh rằng đa thức f(x) không có nghiệm nguyên
Bài 6:
Cho ∆ABC có ∠B > 900, H là trực tâm của ∆ABC Hai trung tuyến AM và
BK cắt nhau tại I, hai trung trực của các đoạn thẳng AC và BC cắt nhau tại O Chứng minh rằng: 33 33 33
IH IB IA
IM IK IO
+ +
+
2 2
1
Bài 7:
Chứng minh rằng: x2 - x9 - x1945 chia hết cho x2 - x + 1
L u ý : - Học sinh không đợc sử dụng tài liệu.
- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Trang 2ớng dẩn chấm Bài 1: (1,5đ).
Gọi số cần tìm là abc (1 ≤a≤ 9 , 0 ≤b,c≤ 9), ta có:
abc + 100.n + 10.n + n = abc.n
=> abc = (abc-111).n (1)
=> abc n
Đặt abc = n.k ( k ∈ N ) Thay vào (1) ta đợc:
n.k + 111.n = n.k.n
n ≠ 0 => k + 111 = n.k
=> 111 = (n-1).k
=> n-1 và k ớc của 111, Ư(111) = { 1; 3; 37; 111 }
Với k = 1 => n-1 =111 => n=112 do đó abc= 112
Với k = 3 => n-1 = 37 => n=38 do đó abc= 114
Với k =37 => n-1= 3 => n= 4 do đó abc= 148
Với k=111=> n-1=1 => n= 2 do đó abc= 222
Bài 2: (1,5đ)
a) (1,0đ)
1110 - 1 = (11-1).(119+118+117+116+115+114+113+112+11+1)
= 10.[ (119+118) + (117+116) + (115+114) + (113+112) + (11+1) ]
= 10.(118.12 + 116.12 + 114.12 + 112.12 + 12)
= 10.12.( 118 + 116 + 114 + 112+1)
= 120.( 118 + 116 + 114 + 112+1)
118 có chử số tận cùng bằng 1
116 có chử số tận cùng bằng 1
114 có chử số tận cùng bằng 1
112 có chử số tận cùng bằng 1
=> 118 + 116 + 114 + 112+1 có chử số tận cùng bằng 5
=> (118 + 116 + 114 + 112+1) 5
=> 120.( 118 + 116 + 114 + 112+1) 600
Vậy: 1110 - 1 chia hết cho 600
b) (0,5đ)
Ta có: 2≡ -1(mod 3) => 2n≡ (-1)n(mod 3)
=> 2n +1≡ (-1)n + 1(mod 3)
Do đó: (2n +1) 3 (-1)n + 1 chia hết cho 3
n là số lẻ
Bài 3: (1,5đ)
A = 1991 2001
102
1 101
1
+ + + +
200
1 101
1
199
1 102
1
151
1 150 1
=
200
.
101
301
+
199 102
301
+ +
151 150 301
151 150
1
199 102
1 200
101 1
Ta thấy: 101.200 < 102.199 < < 150.151
Trang 3=>
200
.
101
1
lớn nhất,
151 150
1
nhỏ nhất
200 101
1
200 101
1 200
101 1
= 301 1011.200 50 = 404301 < 404303 = 43
Suy ra: A < 43 (1)
151 150
1
151 150
1 151
150 1
= 301
151 150
1
50 =
453
301
>
453
300
>
480
300
=
8 5
Suy ra: A > 85 (2)
Từ (1) và (2):
8
5
< A <
4 3
Bài 4: (1đ)
y x y x y x
xy y x y
x
xy y
x y x
y x
− +
−
=
− +
−
=
−
−
−
=
−
2
(vì x.y = 1) Vì: x >y => x-y > 0 và 2 > 0
−y
x áp dụng BĐT Cauchy (Cô si) cho hai số không
âm x-y và x−2 y , ta có: x-y + x−2 y ≥ 2 2.(x x−−y y) = 2 2
Suy ra: 2 2
2 2
≥
−
+
y x
y x
Bài 5: (1,5đ)
a) (0,75đ) Ta có: (x + y)2 = (x-1).(y+1)
x2 + 2xy + y2 = xy + x - y - 1
x2 + xy + y2 - x + y + 1 = 0
2.x2 + 2.xy + 2.y2 - 2.x + 2.y + 2 =0
(x2+2xy+y2)+(x2-2x+1)+(y2+2y+1) = 0
(x+y)2 + (x-1)2 + (y+1)2 = 0
= +
=
−
= + 0 1
0 1 0
y x
y x
−=
=
1
1
y x
Vậy nghiệm nguyên của phơng trình là: x=1; y=-1
b) (0,75)
Giả sử a là nghiệm nguyên của f(x) Với mọi x, ta có:
f(x) = (x-a).g(x) , trong đó g(x) là đa thức có hệ số nguyên
Do đó: f(0) = -a.g(0) ; f(1) = (1-a).g(1)
Vì f(0) là số lẻ nên -a là số lẻ; f(1) là số lẻ nên 1-a là số lẻ Vô lí vì -a và 1-a là hai số nguyên liên tiếp
Do đó: f(x) không có nghiệm nguyên
Bài 6: (2,0đ)
Trang 4
O
I K
M
H
A
Chứng minh:
Ta có:
=
=
KC KA
MC
MB
=> KM // AB
=>
2
1
=
=
=
AB
KM IA
IM
IB
IK
(1)
Ta có: +) H, I, O lần lợt là trực tâm, trọng tâm, tâm đờng đi qua ba đỉnh của tam giác ABC nên H, I, O thẳng hàng ( Đờng thẳng Ơ-Le)
+) KO // BH ( ⊥AC)
=>
IH
IO
IB
IK = (2)
Từ (1) và (2) =>
2
1
=
=
=
IA
IM IB
IK IH IO
=>
8
1 3 3 3
3 3 3 3
3 3
3 3
3
= + +
+ +
=
=
=
IA IB IH
IM IK IO IA
IM IB
IK IH IO
=> 33 33 33
IA IB IH
IM IK IO
+ +
+
8
1 =
2 2
1
(đpcm)
Bài 7: (1đ) áp dụng tính chất: (xn+yn) chia hết cho (x+y), với n lẻ và x≠-y
Ta có: x2 - x9 - x1945 = (x2-x+1)-(x9+1)-(x1945-x)
= (x2-x+1)-(x9+1)-x.(x1944-1)
= (x2-x+1)-(x9+1)-x.(x972-1).(x972+1)
= (x2-x+1)-(x9+1)-x.(x972+1).(x486+1).(x486-1)
= (x2-x+1)-(x9+1)-x.(x972+1).(x486+1).(x243-1).(x243+1)
= (x2-x+1)-(x9+1)-x.(x972+1).(x486+1).(x243-1).[ (x3)81+1 ]
Vì: x2-x+1 chia hết cho x2-x+1
x9+1=(x3)3+13 chia hết cho x3+1 => x9+1 chia hết cho x2-x+1
(x3)81+1 chia hết cho x3+1 => (x3)81+1 chia hết cho x2-x+1
=> x1945-x chia hết cho x2-x+1
Do đó: x2 - x9 - x1945 chia hết cho x2-x+1
TB: Có vấn đề gì cần liên hệ Nguyễn Đăng ánh- Trờng THCS Cửa Tùng
ĐT: 0983513063- 053 613063