Môđun Noether và môđun Artin
Môđun Noether là một trong những môđun cơ bản nhất trong Đại số giao hoán Bài viết này sẽ nhắc lại định nghĩa và một số tính chất quan trọng của môđun Noether.
Bổ đề 1.1.1 khẳng định rằng cho R là một vành giao hoán và M là một R-môđun, các mệnh đề sau đây là tương đương: (i) mọi môđun con của M là hữu hạn sinh; (ii) nếu có một dãy tăng các môđun con của M, thì tồn tại n ≥ 1 sao cho mọi môđun từ N_n trở đi đều bằng N_n; (iii) mọi tập không rỗng các môđun con của M đều có phần tử tối đại Định nghĩa 1.1.2 chỉ ra rằng một R-môđun M thỏa mãn một trong các điều kiện trên được gọi là môđun Noether Một vành giao hoán R được gọi là vành Noether nếu nó là R-môđun Noether.
Mệnh đề 1.1.3 i) Cho dãy khớp ngắn các R-môđun
M là R-môđun Noether nếu và chỉ nếu M 0 và M” là các R-môđun Noether Mỗi R-môđun hữu hạn sinh trên vành Noether R đều là một R-môđun Noether Nếu M là một R-môđun Noether và S là một tập đóng nhân của R, thì
Tiếp theo ta xét khái niệm môđun Artin đó là một khái niệm đối ngẫu của môđun Noether.
Bổ đề 1.1.4 khẳng định rằng cho M là một R-môđun, các mệnh đề sau đây là tương đương: (i) Nếu có một dãy các môđun con N 1 ⊇ N 2 ⊇ N 3 ⊇ ⊇ N i ⊇ thì tồn tại n ≥ 1 sao cho N i = N n với mọi i ≥ n; (ii) Mọi tập con không rỗng của các môđun con của M đều có phần tử cực tiểu Định nghĩa 1.1.5 chỉ ra rằng một R-môđun M thỏa mãn một trong các điều kiện trên được gọi là môđun Artin, và một vành giao hoán R được gọi là vành Artin nếu nó là R-môđun Artin.
Ta xét một số tính chất của môđun Artin.
Mệnh đề 1.1.6 i) Cho dãy khớp ngắn các R-môđun
M là R-môđun Artin nếu và chỉ nếu M 0 và M” là các R-môđun Artin Mỗi R-môđun hữu hạn sinh trên vành Artin R đều là một R-môđun Artin Hơn nữa, mỗi iđêan nguyên tố trong một vành Artin R là một iđêan cực đại.
Iđêan nguyên tố liên kết
Định nghĩa 1.2.1 Cho M là R-môđun và p ∈ SpecR Khi đó p được gọi là một iđêan nguyên tố liên kết của M nếu tồn tại 0 6= x ∈ M sao cho
(0 : R x) = p Tập tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của M được kí hiệu là AssM hoặc Ass R M.
Cho a là một iđêan của R, ta kí hiệu là V(a) là tập được xác định bởi
Sau đây là một vài tính chất của tập Ass.
Mệnh đề 1.2.2 nêu rõ rằng, với M là R-môđun và N là môđun con của M, nếu p thuộc SpecR và a là một iđêan của R, thì có các kết quả sau: i) Ass(0 :M a) = AssM ∩V(a); ii) AssN ⊆ AssM ⊆ AssN ∪ AssM/N; iii) p thuộc AssM nếu và chỉ nếu R/p đẳng cấu với một môđun con nào đó của M Định nghĩa 1.2.3 chỉ ra rằng, với M là một R-môđun, tập giá của M, ký hiệu là Supp R M hoặc SuppM, được xác định bởi
Mệnh đề 1.2.4 i) Cho dãy khớp môđun 0→ M 0 → M → M” →0 Khi đó
The support of a module, denoted as SuppM, is defined as the union of SuppM 0 and SuppM” It is important to note that the associated prime ideals, AssM, are a subset of SuppM, which in turn is contained within the variety of the annihilator, V(AnnM) In the case where M is a finitely generated module over a Noetherian ring, it follows that SuppM equals V(AnnM), and AssM is a finite set.
Môđun Ext và môđun Tor
Một R-môđun P được gọi là xạ ảnh nếu với mỗi toàn cấu f: M → N và mỗi đồng cấu g: P → N, luôn tồn tại đồng cấu h: P → M sao cho g = f ◦ h Đối với một R-môđun M, một giải xạ ảnh của R-môđun M là một dãy khớp.
Một R-môđun E được gọi là nội xạ nếu với mọi đơn cấu f : N → M và đồng cấu g : N → E, luôn tồn tại đồng cấu h : M → E sao cho g = h◦f Một giải nội xạ của R-môđun M là một dãy khớp.
0→ M −→ ϕ E 0 − f → 0 E 1 −→ f 1 E 2 − f → 2 trong đó E i là các R-môđun nội xạ với mọi i ≥ 0. Định nghĩa 1.3.3 i) Một R-môđun E được gọi là mở rộng cốt yếu của một
R-môđun không tầm thường M nếuM ⊆ E và với mỗi môđun con khác không
N của E luôn có N ∩ M khác không Một R-môđun E được xem là bao nội xạ của M nếu E là R-môđun nội xạ và là một mở rộng cốt yếu của M Một R-môđun M khác không được gọi là không phân tích được nếu nó không phải là tổng trực tiếp của hai môđun con thực sự của nó.
Một R-môđun nội xạ E có thể được biểu diễn dưới dạng tổng trực tiếp của các môđun con nội xạ không phân tích được Định nghĩa 1.3.4 nêu rõ rằng, với N là R-môđun, ta xem xét hàm tử phản biến Hom(−, N) Nếu M là R-môđun, ta có thể lấy một giải xạ ảnh của M.
Tác động hàm tử Hom(−, N) vào dãy khớp trên ta có đối phức
Khi đó Ext i R (M, N) = Kerf i ∗ /Imf i−1 ∗ được gọi là môđun mở rộng thứ i của
M và N Môđun này không phụ thuộc vào việc lựa chọn giải xạ ảnh của M.
Môđun Ext có một số tính chất quan trọng Đầu tiên, nếu M và N là các R-môđun, thì có thể khẳng định rằng \$\text{Ext}^0_R(M, N) \cong \text{Hom}(M, N)\$ Thứ hai, trong trường hợp M và N là hữu hạn sinh, thì \$\text{Ext}^i_R(M, N)\$ cũng sẽ là hữu hạn sinh cho mọi \$i \geq 0\$ Cuối cùng, với dãy khớp ngắn \$0 \rightarrow N' \rightarrow N \rightarrow N'' \rightarrow 0\$, sẽ tồn tại một dãy khớp dài tương ứng.
→ Ext 1 R (N, M) → Ext 1 R (N 0 , M) →Ext 2 R (N 00 , M) → . trong đó Ext n R (N 0 , M) →Ext n+1 R (N”, M) là đồng cấu nối với mọi n ≥0. v) Cho dãy khớp ngắn 0→ N 0 → N → N”→ 0 khi đó tồn tại dãy khớp dài
Trong bài viết này, chúng ta xem xét chuỗi đồng cấu Ext, bắt đầu từ Ext 1 R (M, N) và tiếp tục với Ext 1 R (M, N”) và Ext 2 R (M, N 0 ) Đặc biệt, chúng ta chú ý đến mối quan hệ giữa Ext n R (M, N”) và Ext n+1 R (M, N 0 ), cho mọi n≥ 0 Định nghĩa 1.3.6 nêu rõ rằng N là R-môđun và chúng ta sẽ phân tích hàm tử phản biến, khớp phải.
− ⊗ R N Cho M là R-môđun, lấy một giải xạ ảnh của M
Tác động hàm tử − ⊗ R N vào dãy khớp trên ta có phức
Môđun xoắn thứ i của M và N được định nghĩa là Tor R i (M, N) = Kerf i−1 ∗ /Imf i ∗, và nó không phụ thuộc vào việc lựa chọn giải xạ ảnh của M Mệnh đề 1.3.7 chỉ ra rằng, với M là một R-môđun, ta có i) Tor i R (M, N) = M ⊗ R N ii) Đối với dãy khớp ngắn 0 → N 0 → N → N 00 → 0 của các R-môđun, ta có thể xây dựng dãy khớp dài tương ứng.
Môđun đối đồng điều địa phương
Môđun con a-xoắn của M, ký hiệu là Γ a (M), được xác định khi a là iđêan của R và M là một R-môđun.
Cho một đồng cấu \( h: M \to N \) giữa các R-môđun, ta có thể xác định đồng cấu cảm sinh \( \Gamma_a(h): \Gamma_a(M) \to \Gamma_a(N) \) với quy tắc \( m \mapsto h(m) \) Hàm tử \( \Gamma_a(-) \) là một hàm tử hiệp biến, tuyến tính, chuyển đổi từ phạm trù các R-môđun này sang phạm trù các R-môđun khác Hàm tử \( \Gamma_a(-) \) được gọi là hàm tử a-xoắn.
Sau đây là một số tính chất của $\Gamma_a(M)$ Mệnh đề 1.4.2 chỉ ra rằng $\Gamma_0(M) = M$ và $\Gamma_R(M) = 0$ Nếu $a \subseteq b$, thì $\Gamma_b(M) \subseteq \Gamma_a(M)$ Hơn nữa, ta có $\Gamma_{a+b}(M) = \Gamma_a(M) \cap \Gamma_b(M)$ Đối với $M$ là R-môđun Noether, ta có $Ass_R(\Gamma_a(M)) = Ass_R(M) \cap V(a)$ Nếu $R$ là Noether, thì $Ass_R(M/\Gamma_a(M)) = Ass_R(M) \setminus V(a)$ Định nghĩa 1.4.3 cho biết rằng cho $M$ là R-môđun, tồn tại giải nội xạ của $M$ có dạng.
0→ M −→ φ E 0 − d → 0 E 1 − d → 1 E 2 − d → 2 −−→ d i−1 E i d −→ i Tác động hàm tử Γ a (−) vào dãy khớp trên ta được phức sau
Khi đó H a i (M) = Kerd i ∗ /Imd i−1 ∗ được gọi là môđun đối đồng điều địa phương thứ i của M đối với iđêan a.
Mệnh đề 1.4.4 nêu rằng, với a là iđêan của R và M là R-môđun, ta có hai kết luận quan trọng: i) H a 0 (M) tương đương với Γa(M) ii) Nếu có một dãy khớp ngắn 0 → M 0 → M → M” → 0, thì với mọi n ≥ 0, luôn tồn tại một đồng cấu nối H a i (M”) đến H a i+1 (M 0) sao cho dãy sau là khớp.
→H a 1 (M”)→ H a 2 (M 0 ) → . luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Tính chất minimax cho môđun mở rộng của môđun đối đồng điều địa phương 12
Điều kiện cho tính chất minimax của môđun
Mục đích của phần này là chứng minh rằng nếu \( a \) là một iđêan của vành giao hoán Noether \( R \) và \( M \) là một môđun \( a \)-cominimax trên \( R \), thì môđun \( M/aM \) cũng là \( a \)-minimax với mọi \( n \in \mathbb{N} \) (xem Định lý 2.1.9) Bên cạnh đó, bài viết cũng đề cập đến một số ứng dụng của kết quả này.
Chiều Goldie của một R-môđun M, ký hiệu GdimM, được định nghĩa là số lượng các môđun con không phân tích được trong bao nội xạ E(M) khi thực hiện phân tích thành tổng trực tiếp của các môđun con không phân tích được.
Ta nhắc lại rằng, với mỗi iđêan nguyên tố p, số Bass thứ 0 của M đối với p, kớ hiệu làà 0 (p, M), được xỏc định bởià 0 (p, M) = dim k(p) (Hom R p (k(p), M p )).
Ta biết rằng à 0 (p, M) > 0 nếu và chỉ nếu p ∈ Ass R M Ta cũng dễ thấy GdimM = P p∈Ass R M à 0 (p, M).
Chiều Goldie a-tương đối của môđun R, ký hiệu Gdim a M, được định nghĩa trong bối cảnh của lý thuyết môđun Định nghĩa này liên quan đến một iđêan a của R và môđun M, và có thể tham khảo thêm trong các tài liệu như [1] và [3].
H Zoschinger đã định nghĩa khái niệm môđun minimax như sau. Định nghĩa 2.1.3 (xem [1], [6], [7]) Một R-môđun M được gọi là minimax nếu tồn tại một môđun con hữu hạn sinh N của M sao cho M/N là môđun Artin. luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Khi R là vành Noether, ta biết rằng một môđun M là minimax nếu và chỉ nếu mọi môđun thương của M đều có chiều Goldie hữu hạn (xem trong
Môđun minimax được định nghĩa cho một iđêan a trong R như sau: Một R-môđun M được gọi là a-minimax nếu chiều Goldie a-tương quan của mọi môđun thương của M là hữu hạn, tức là Gdim a (M/N) < ∞ với mọi môđun con N của M.
Chú ý 2.1.5 Cho a là iđêan của R và M là R-môđun.
(i) Nếu a = 0, thì M là a-minimax nếu và chỉ nếu M là minimax.
(ii) Nếu M là a-xoắn, thì M là a-minimax nếu và chỉ nếu M là minimax (xem
(iii) Nếu M là Noether hoặc Artin thì M là minimax.
(iv) Nếu b là iđêan của R sao cho b ⊇ a và M là a-minimax, thì M là b- minimax Đặc biệt, ta suy ra mọi môđun minimax đều là a-minimax.
Bổ đề dưới thường được dùng cho các chứng minh về sau
Bổ đề 2.1.6 ([1, Mệnh đề 2.3]) Cho a là iđêan của R Cho 0→ M 0 → M →
M 00 → 0 là dãy khớp của các R-môđun Khi đó M là a-minimax nếu và chỉ nếu M 0 , M 00 là a-minimax.
Giả sử \( M_0 \) là môđun con của \( M \) và \( M'' = M/M_0 \) Nếu \( M \) là a-minimax, thì theo định nghĩa, cả \( M_0 \) và \( M/M_0 \) cũng là a-minimax Giả sử \( M_0 \) và \( M/M_0 \) đều là a-minimax Lấy \( N \) là môđun con của luận văn tốt nghiệp.
M và p ∈ Ass(M/N)∩V(a) Khi đó dãy khớp
Vì Ass R (M/N) ⊆ Ass R M 0 N +N ∪Ass R M M 0 +N và các tập Ass R M N 0 +N ∩ V(a) và Ass R M M 0 +N ∩V(a) là hữu hạn, nên ta suy ra rằng Gdim a (M/N) < ∞; và do đó M là a-minimax.
Các bổ đề sau là những tính chất về điều kiện cho tính chất minimax.
Bổ đề 2.1.7 Cho M là một R-môđun sao cho Hom R (R/a, M) là một R- môđun a-minimax Khi đó HomR(R/a n , M) là a-minimax với mọi n≥ 0.
Chứng minh bằng quy nạp theo n Đối với n = 0 hoặc n = 1, điều này hiển nhiên theo giả thiết Khi n > 1, giả sử kết quả đã được chứng minh cho n−1 Ta sẽ xem xét dãy khớp sau.
Trong bài viết này, chúng ta xem xét mối quan hệ giữa các môđun con và tính chất a-minimax Cụ thể, với a = (a₁, , aₜ) và hàm f(x) = (a₁x, , aₜx), ta có thể thấy rằng aᵢ(0 : M aₙ) là môđun con của (0 : M aₙ) Theo Bổ đề 2.1.6, điều này dẫn đến việc aᵢ(0 : M aₙ) là a-minimax cho mọi i = 1, , t Khi áp dụng Bổ đề 2.1.6 một lần nữa, chúng ta suy ra rằng Homₗ(R/aₙ, M) cũng là a-minimax.
Bổ đề 2.1.8 Cho M là một R-môđun sao cho M/aM là a-minimax Khi đó M/a n M là a-minimax với mọi n ≥0.
Chứng minh bằng phương pháp quy nạp theo n Đối với n = 0 hoặc n = 1, kết quả đã được xác nhận đúng theo giả thiết Giả sử với n > 1, kết quả đã được chứng minh cho n - 1.
Theo [1, Hệ quả 2.4] và giả thiết quy nạp, ta có (M/a n−1 M) k là a-minimax, với mọi số nguyên k ≥ 0 Xét dãy khớp
Do đó, áp dụng giả thiết quy nạp và Bổ đề 2.1.6, ta suy raM/a n M làR-môđun a-minimax.
Kết quả chính được trình bày trong mục này là Định lý 2.1.9, trong đó cho rằng nếu M là một R-môđun và Ext i R (R/a, M) là một R-môđun a-minimax với mọi i ≥ 0, thì M/a n M cũng sẽ là a-minimax với mọi n ≥ 0.
Chứng minh Theo Bổ đề 2.1.8, ta chỉ cần chỉ ra rằng M/aM là a-minimax. Cho a = (x 1 , , x n ) Khi đó, ta biết rằng
M/aM ≃H n (x 1 , , x n ;M), trong đó H n (x 1 , , x n ;M) là kí hiệu cho môđun đối đồng điều Koszul thứ n.
Ta xét đối phức Koszul K • (x, M) = HomR(K • (x), M) như sau:
0→ HomR(K0(x), M) →HomR(K1(x), M) → → HomR(Kn(x), M) → 0 trong đó
Phức Koszul của R ứng với dãy \( x = x_1, \ldots, x_n \) được ký hiệu là \( K • (x) : 0 \rightarrow K_n(x) \rightarrow \ldots \rightarrow K_2(x) \rightarrow K_1(x) \rightarrow K_0(x) \rightarrow 0 \) Trong đó, \( H^i(x_1, \ldots, x_n; M) \) được xác định bởi các môđun đối bờ \( Z_i \) và đối xích \( B_i \) của phức \( K • (x, M) \).
C = {N | Ext i R (R/a, N) là a-minimax với mọi i ≥0}. luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Rõ ràng ta có M ∈ C theo giả thiết Bằng quy nạp ta sẽ chỉ ra rằng B j ∈ C với mọi j ≥ 0 Ta có
Cho \( B_t \in C \) với \( t \geq 0 \) Đặt \( C_i = \text{Hom}_R(K_i(x), M)/B_i \) Vì \( K_t(x) \) là một R-môđun tự do hữu hạn sinh và \( M \in C \), từ Bổ đề 2.1.6, ta suy ra \( \text{Hom}_R(K_t(x), M) \in C \) Do \( B_t \in C \) và \( \text{Hom}_R(K_t(x), M) \in C \), nên theo Bổ đề 2.1.6, ta có \( C_t \in C \) Do đó, \( \text{Ext}^i_R(R/a, C_t) \) là a-minimax với mọi \( i \geq 0 \); đặc biệt với \( i = 0 \), ta suy ra \( (0 : C_t a) \sim= \text{Hom}_R(R/a, C_t) \) là a-minimax Theo tính chất của phức Koszul, ta có \( aH_t(x_1, \ldots, x_n; M) = 0 \).
Do đó H t (x 1 , , x n ;M) là a-minimax Kết quả là, từ dãy khớp ngắn
0 →H t (x 1 , , x n ;M) →C t → B t+1 →0 và Bổ đề 2.1.6, ta suy ra rằng B t+1 ∈ C Do đó ta đã chứng minh được rằng
Bây giờ vì B n ∈ C và Hom R (K n (x), M) ∈ C, nên được C n ∈ C theo Bổ đề 2.1.6 Do đó (0 : C n a) ∼= HomR(R/a, C n ) = Ext 0 R (R/a, C n ) là a−minimax Vì vậy H n (x1, , xn;M) là a-minimax theo Bổ đề 2.1.6 (lưu ý
H n (x1, , xn;M) ⊆ (0 :C n a)) Mặt khác, vì M/aM = H n (x1, , xn;M), nên ta suy ra rằng M/aM là R-môđun a-minimax.
Môđun cominimax, được định nghĩa bởi R Naghipour và các đồng nghiệp, là một sự tổng quát hóa của môđun minimax và môđun cofinite Cụ thể, cho a là một iđêan của vành giao hoán Noether R và M là một R-môđun, thì M được gọi là R-môđun a-cominimax nếu như Supp R M nằm trong V(a) và Ext^i_R(R/a, M) là a-minimax với mọi i ≥ 0.
Chú ý 2.1.11 Nếu dimR = 0, thì mỗi R-môđun a-cominimax M là a- minimax Thật vậy, vì SuppM ⊆ V(a) và R là Artin, nên ta suy ra rằng
M = (0 : M a n ), và do đó M là a-minimax theo Bổ đề 2.1.7.
Trường hợp tổng quát, ta có kết quả sau.
Hệ quả 2.1.12 Cho M là một R-môđun a-cominimax Khi đó M/a n M là a-minimax với mọi n≥ 0.
Chứng minh Khẳng định được suy ra từ định nghĩa và Định lý 2.1.9.
Hệ quả 2.1.13 Cho a là một iđêan của R, và M là một R-môđun sao cho
H a i (M) là a-cominimax với mọi i Khi đó M/a n M làa-minimax với mọin≥ 0.
Hàm H a i (M) là a-cominimax cho mọi i, dẫn đến R-môđun Ext i R (R/a, M) cũng là a-minimax Kết quả này được suy ra từ việc áp dụng Định lý 2.1.9.
Tính chất a-minimax của các môđun Ext và Tor
Áp dụng hiệu quả Định lý 2.1.9 từ phần trước, chúng ta sẽ chứng minh một kết quả liên quan đến sự tương đương của tính chất a-minimax.
R-môđun Ext i R (R/a, M), Tor R i (R/a, M) và H i (x 1 , , x t ;M), với mọi i ≥ 0; cụ thể là định lý sau. Định lý 2.2.1 Cho a = (x 1 , , x t ) là một iđêan của R, và cho M là một
R-môđun Khi đó những khẳng định sau là tương đương: i) Ext i R (R/a, M) là một R-môđun a-minimax với mọi i ≥ 0. luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si ii) Tor R i (R/a, M) là một R-môđun a-minimax với mọi i ≥ 0. iii) Các môđun đối đồng điều Koszul H i (x 1 , , x t ;M) làR-môđun a-minimax với mọi i ≥ 0.
F • : − d → 3 F 2 − d → 2 F 1 − d → 1 F 0 →R/a → 0 là một dải tự do gồm các R-môđun hữu hạn sinh cho R-môđun R/a Ta xét phức sau đây:
Khi đó Tor R i (R/a) ∼= Z i /B i trong đó Z i = Ker(d ∗ i ) là môđun xích, B i Im(d ∗ i+1 ) là môđun bờ của phức F• ⊗ R M Đặt
C = {N | Ext i R (R/a, N) là a−minimax với mọi i ≥ 0}.
Bằng quy nạp ta sẽ chứng minh được rằng Zj ∈ C với mọi j ≥ 0 Vì
M ∈ C (theo giả thiết) và F 0 là R-môđun tự do hữu hạn sinh, nên ta có
Z 0 = F 0 ⊗ R M ∈ C Bây giờ giả sử Z t ∈ C với t≥ 0 nào đó Xét dãy khớp sau
0→ C i+1 →Z i →Tor R i (R/a) → 0, (2.1) trong đó Ci = (Fi ⊗ R M)/Zi Do đó ta nhận được dãy khớp
Do đó Tor R t (R/a, M) là ảnh đồng cấu của Z t /aZ t Vì Z t ∈ C, nên từ Định lý 2.1.9 ta suy ra Z t /aZ t là a-minimax, và do đó Tor R t (R/a, M) là a-minimax.
Từ (2.1), ta kết luận rằng \(C_{t+1} \in C\), và theo quy nạp, \(Z_j \in C\) với mọi \(j \geq 0\) Áp dụng Định lý 2.1.9, ta suy ra rằng \(\frac{Z_i}{aZ_i}\) là a-minimax với mọi \(i \geq 0\), do đó \(Tor R_i(R/a, M)\) cũng là a-minimax với mọi \(i \geq 0\).
H i (x 1 , , x t ;M) ≃H n−i (x 1 , , x t ;M), nên để chứng minh kết quả của (iii), ta chỉ cần chỉ ra rằng H i (x 1 , , x t ;M) là a-minimax với mọi i ≥ 0 Đặt x = x 1 , , x n Xét dãy phức Koszul
Khi đó Hi(x1, , xt;M) = Z i 0 /B i 0 , với B i 0 và Z i 0 lần lượt là các môđun bờ và xích của phức K•(x)⊗ R M Đặt
C 0 = {N | Tor i R (R/a, N) là a-minimax với mọi i ≥ 0}.
0 →C i+1 0 → Z i 0 → H i (x 1 , , x t ;M) → 0, với C i 0 = (K i (x)⊗ R M)/Z i 0 Do đó ta nhận được dãy khớp
Bây giờ lập luận tương tự chứng minh của (i)⇒(ii), ta suy ra Z i 0 ∈ C 0 với mọi i ≥ 0 Do đó Z i 0 /aZ i 0 = Tor R 0 (R/a, Z i 0 ) là a-minimax với mọi i ≥ 0, và vì thế
Hi(x1, , xt;M) là a-minimax với mọi i ≥ 0. (iii)⇒(i) Cho
Dải tự do F • : →F 2 → F 1 →F 0 →R/a →0 bao gồm các R-môđun hữu hạn sinh cho R-môđun R/a Từ đó, ta có thể suy ra rằng Ext i R (R/a, M) = Z i /B i, trong đó B i và Z i lần lượt là các môđun đối bờ và đối xích của phức HomR(F • , M).
0 →Ext i R (R/a, M) →C i →B i+1 → 0, luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si với C i = Hom R (F i , M)/B i Thì theo chứng minh của Định lý 2.1.9, ta có
B i ∈ C 00 với mọi i ≥0 Do đó C i ∈ C 00 với mọi i ≥ 0 Bây giờ, vì
Ext i R (R/a, M) ⊆ (0 : C i a) ∼= HomR(R/a, C i ) ∼= H 0 (x 1 , , x t ;C i ) và H 0 (x 1 , , x t ;C i ) là a-minimax, do đó Ext i R (R/a, M) cũng là a-minimax với mọi i ≥ 0 Định lý 2.2.2 mở rộng Định lý 2.1.9, cho biết rằng nếu M là một R-môđun với Ext i R (R/a, M) là a-minimax cho mọi i ≥ 0, thì với bất kỳ R-môđun hữu hạn sinh L có Supp R (L) ⊆ V(a), ta có Ext i R (L, M) và Tor R i (L, M) cũng là các R-môđun a-minimax với mọi i ≥ 0.
Chứng minh Vì V(Ann R L) ⊆ V(a), nên √
Ann R L ⊇ √ a ⊇ a; do đó tồn tại n ∈ N sao cho aL = 0 Do đó a n Ext i R (L, M) = 0 và a n Tor R i (L, M) = 0 với mọi i ≥ 0 Cho
Giải tự do F • : → F 2 →F 1 → F 0 → L → 0 bao gồm các R-môđun hữu hạn sinh cho R-môđun L Trong trường hợp này, ta có công thức Ext i R (L, M) = Z i /B i, trong đó B i và Z i là các môđun đối bờ và đối xích tương ứng của phức Hom R (F • , M).
C = {N | Ext i R (R/a, N) là a-minimax với mọi i ≥0}, và xét dãy khớp ngắn
0 →Ext i R (L, M) → C i → B i+1 →0, với C i = HomR(Fi, M)/B i Khi đó theo chứng minh của Định lý 2.1.9 và Bổ đề 2.1.7, ta có B i ∈ C với mọi i ≥ 0 (Chú ý rằng Ext i R (L, M) ⊆ (0 : C i a n )).
Do đó, với mọi \( i \geq 0 \), \( C_i \in C \) Vì vậy, \( (0 : C_i a) \) là a-minimax cho mọi \( i \geq 0 \) Kết hợp với Bổ đề 2.1.7, ta suy ra rằng \( (0 : C_i a_n) \) cũng là a-minimax cho mọi \( i \geq 0 \) và mọi \( n \geq 0 \) Hơn nữa, vì \( Ext_i^R(L, M) \subseteq (0 : C_i a_n) \), nên \( Ext_i^R(L, M) \) cũng là a-minimax cho mọi \( i \geq 0 \).
Ta cũng có Tor R i (L, M) = Z i /B i , với B i và Z i lần lượt là các môđun bờ và xích của phức F• ⊗ R M Đặt
C 0 = {N | Tor R i (R/a, N) là a-minimax với mọi i ≥ 0}.
Theo Định lý 2.2.1 và giả thiết, ta có M ∈ C 0 Xét dãy khớp sau
0 →C i+1 → Z i → Tor R i (L, M) →0, với C i = (F i ⊗ R M/Z i ) Vì a n Tor R i (L, M) = 0 với mọi i ≥ 0, nên ta có dãy khớp
Bây giờ, ta sử dụng lập luận như trong chứng minh Định lý 2.2.1 phần ((i)⇒(ii)) và áp dụng Bổ đề 2.1.8, khi đó ta thu được Z i ∈ C với mọi i ≥ 0.
Do đó, từ Bổ đề 2.1.8, ta có Z i /a n Z i là a-minimax với mọi i ≥ 0, và vì thếTor R i (L, M) là a-minimax với mọi i ≥ 0.
Nguyên lý đổi vành cơ sở cho tính chất a-minimax
Mục này sẽ trình bày nguyên lý thay đổi vành cơ sở đối với tính chất a-cominimax, trước hết ta cần thiết lập bổ đề sau đây.
Bổ đề 2.3.1 khẳng định rằng, nếu T là một vành giao hoán đồng cấu của R và M là một T-môđun, thì Gdim aT M = Gdim a M Đặc biệt, M được coi là một T-môđun aT-minimax nếu và chỉ nếu M cũng là một R-môđun a-minimax.
Chứng minh Giả sử rằng T = R/I với một iđêan I nào đó của R Khi đó
Mặt khác, với bất kỳ p ∈ Ass R M ∩V(a) ta có
Hom T p (k(p), M p ) ∼= HomR p(k(p), M p ) như các k(p)-không gian véc tơ, trong đó p = p/I và k(p) = R p /pR p Do đó à 0 (p, M) =à 0 (p/I, M) và điều này hoàn thành chứng minh.
Chúng ta đã chuẩn bị để phát biểu và chứng minh nguyên lý chuyển vành cơ sở cho tính chất cominimax của các môđun Định lý 2.3.2 nêu rằng, cho vành T là một ảnh đồng cấu của R, và cho M là một
T-môđun Khi đó M là một T-môđun aT-cominimax nếu và chỉ nếu M là một
Chứng minh Giả sử rằng T = R/I với một iđêan I nào đó của R Khi đó ta có
Do đó, Supp T M ⊆ V(aT) nếu và chỉ nếu Supp R M ⊆ V(a) Cho a(x₁, , xₜ) và lấy ϕ: R → T là toàn cấu tự nhiên Vì aT = (ϕ(x₁), , ϕ(xₜ)), từ Định lý 2.2.1, ta suy ra rằng Extᵢ T (T/aT, M) là một T-môđun aT-minimax với mọi i nếu và chỉ nếu các môđun đối đồng điều Koszul.
H i (ϕ(x1), , ϕ(xt);M) là các T-môđun aT-minimax với mọi i Nhưng, theo
Bổ đề 2.3.1, ta có H i (ϕ(x 1 ), , ϕ(x t );M) là aT-minimax nếu và chỉ nếu
H i (ϕ(x 1 ), , ϕ(x t );M) là a-minimax Bây giờ kết quả được suy ra từ đẳng cấu
H i (ϕ(x 1 ), , ϕ(x t );M) tương đương với H i (x 1 , , x t ;M) theo Định lý 2.2.1 Đối với Định lý 2.3.3, cho hàm f: M → N là một R-đồng cấu, nếu Ext i R (R/a, Ker f) và Ext i R (R/a, Coker f) là các R-môđun a-minimax cho mọi i ≥ 0, thì Ker Ext i R (id R/a, f) và Coker Ext i R (id R/a, f) cũng sẽ là các R-môđun a-minimax cho mọi i ≥ 0.
Chứng minh Các dãy khớp
0→ Kerf →M −→ g Imf →0 và 0 →Imf −→→ ι N →Cokerf →0, (với ι◦g = f) cho ta hai dãy khớp sau đây
→Ext i R (R/a,Kerf) →Ext i R (R/a, M) →Ext i R (R/a,Imf) → (2.2) và
→ Ext i R (R/a,Imf) →Ext i R (R/a, N) → Ext i R (R/a,Cokerf) → .
Vì Ext i+1 R (R/a,Kerf) là a-minimax, từ dãy khớp (2.2) suy ra rằng Coker Ext i R (id R/a , g) và KerExt i+1 R (idR/a, g) đều là a-minimax với mọi i ≥ 0 Hơn nữa, do Ext i R (R/a,Cokerf) cũng là a-minimax, từ dãy khớp (2.3) ta có thể kết luận rằng các R-môđun Coker Ext i R (id R/a , ι) và Ker Ext i+1 R (id R/a , ι) cũng là a-minimax với mọi i ≥ 0.
Bây giờ điều khẳng định của định lý được suy ra từ các dãy khớp sau
0→ Ker Ext i R (id R/a , g) → Ker Ext i R (id R/a , f) → Ker Ext i R (id R/a , ι) và
Coker Ext i R (id R/a , g) →Coker Ext i R (id R/a , f) → Coker Ext i R (id R/a , ι) → 0. luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Hệ quả 2.3.4 Cho M là một R-môđun với Supp R M ⊆ V(a) Giả sử rằng x ∈ a sao cho (0 :M x) và M/xM đều là a-cominimax Khi đó M cũng là a-cominimax.
Chứng minh rằng với f = x1 M, ta có Kerf = (0 : M x) và Cokerf = M/xM Theo Định lý 2.3.3, R-môđun Ker Ext i R (1 R/a , f) là a-minimax Do Ext i R (1 R/a , f) = 0, suy ra Ker Ext i R (1 R/a , f) = Ext i R (R/a, M) Hệ quả đã được chứng minh.
Hệ quả 2.3.5 Cho M là một R-môđun Giả sử rằng x ∈ √ a sao cho (0 :M x) và M/xM đều là a-minimax Khi đó Ext i R (R/a,Γ Rx (M)) cũng là a-minimax với mọi i ≥ 0.
Chứng minh Ta có x n ∈ a với một số n nào đó Đặt f = x n 1 Γ Rx (M ) Khi đó ta có
Kerf = (0 : Γ Rx (M ) x n ) = (0 : M x n ), và Cokerf = Γx(M)/x n Γx(M) Bây giờ, từ dãy khớp
Cokerf là a-minimax theo Bổ đề 2.1.8, do đó M/x n M cũng là a-minimax Theo [1, Hệ quả 2.5] và Định lý 2.3.3, ta có Ker Ext i R (1 R/a , f) là a-minimax Tuy nhiên, vì x ∈ √ a dẫn đến Ext i R (1 R/a , f) = 0.
Ker Ext i R (1 R/a , f) = Ext i R (R/a,Γ Rx (M)), chứng minh được hoàn thành.
Hệ quả 2.3.6 nêu rằng, với M là một R-môđun có Supp R M ⊆ V(a), nếu x ∈ √ a và cả (0 : M x) lẫn M/xM đều là a-minimax, thì M sẽ là a-cominimax.
Chứng minh Kết quả suy ra từ Hệ quả 2.3.5.
Trước khi làm rõ kết quả tiếp theo, cần nhắc lại rằng chiều đối đồng điều của một R-môđun M đối với iđêean a được định nghĩa là cd(a, M) = sup{i ∈ Z | H a i (M) ≠ 0}.
Bổ đề 2.3.7 Cho cd(a, R) = 1, và cho M là một R-môđun a-minimax Khi đó H a i (M) là a-cominimax với mọi i ≥ 0.
H a 0 (M) là môđun con của M, do đó H a 0 (M) là a-cominimax Hơn nữa, vì cd(a, R) = 1 dẫn đến H a i (M) = 0 với mọi i > 1 Kết quả này được suy ra từ [1, Hệ quả 3.9].
Bổ đề 2.3.8 Cho b là một iđêan của R với b ⊇ a, cd(b, R) = 1, và cho M là một R-môđun với Γ a (M) = 0 Khi đó
0 các trường hợp còn lại Chứng minh Khẳng định suy ra từ chứng minh của [5, Mệnh đề 3.15].
Hệ quả 2.3.9 Cho b là một iđêan của R với b ⊇ a, cd(b, R) = 1, và M là một R-môđun b-minimax Khi đó H b j (H a i (M)) là b-cominimax với mọi i ≥ 0 và j ≥ 0.
Chứng minh rằng vì cd(b, R) = 1, theo Bổ đề 2.3.7, H b j (Γ a (M)) là b-cominimax với mọi j ≥ 0 Đối với i > 0, do H a i (M) ∼= H a i (M/Γ a (M)), ta có thể giả sử Γ a (M) = 0 Kết quả này được suy ra từ các Bổ đề 2.3.7 và 2.3.8.
Hệ quả 2.3.10 chỉ ra rằng, với b là một iđêan của R thỏa mãn b ⊇ a và cd(b, R) = 1, cùng với M là một R-môđun b-minimax, thì mọi R-môđun hữu hạn sinh L có Supp R L ⊆ V(b) sẽ dẫn đến các R-môđun Ext j R (L, H a i (M)) cũng là b-minimax cho mọi i ≥ 0 và j ≥ 0 Đặc biệt, các R-môđun H a i (M)/b n H a i (M) cũng giữ tính chất b-minimax cho mọi i ≥ 0 và n ≥ 0.
Từ Hệ quả 2.3.9, ta có rằng \( H_{b,j}(H_{a,i}(M)) \) là b-cominimax với mọi \( i \geq 0 \) và \( j \geq 0 \) Do đó, theo Mệnh đề 3.7, ta suy ra rằng \( Ext^j_R(R/b, H_{a,i}(M)) \) cũng là b-minimax với mọi \( i \geq 0 \) và \( j \geq 0 \) Kết quả này được rút ra từ Định lý 2.2.1 và 2.1.9.