Chỉnh hóa phương trình parabolic ngược thời gian trong không gian banach bằng bài toán giá trị biên không địa phương

Để xấp xỉ một cách ổn định nghiệm của bài toán đặt không chỉnh, ta phải dùng các phương pháp chỉnh hóa.. Trong trường hợp −A sinh ra một nửa nhóm giải tích trên một không gian Banach, cá

MỤC LỤC

Trang

MỤC LỤC 1

LỜI NÓI ĐẦU 2

Chương 1 Các kiến thức bổ trợ 6

1.1 Nửa nhóm sinh bởi toán tử và các tính chất cơ bản 6

Khái niệm nửa nhóm sinh bởi các toán tử 6

Các tính chất cơ bản của nửa nhóm sinh bởi các toán tử 7

1.2 Nửa nhóm giải tích 11

Khái niệm về nửa nhóm giải tích 11

Ví dụ về nửa nhóm giải tích 12

Định lý ánh xạ phổ 16

Chương 2 Đánh giá ổn định và chỉnh hóa phương trình parabolic ngược thời gian trong không gian Banach 17

2.1 Đánh giá ổn định 17

2.2 Chỉnh hóa phương trình parabolic ngược thời gian trong không gian Banach 18

KẾT LUẬN 29

TÀI LIỆU THAM KHẢO 30

Bài toán ngược cho phương trình đạo hàm riêng thường xuyên xuấthiện trong nhiều lĩnh vực khác nhau của công nghệ, địa vật lý, thủy độnghọc, y học, xử lý ảnh, Đó là những bài toán khi các dữ kiện của quátrình vật lý không đo đạc được trực tiếp mà ta phải xác định chúng từnhững dữ kiện đo đạc gián tiếp Trong luận văn này, chúng tôi đề cập tớiphương trình parabolic ngược thời gian Đó là bài toán cho phương trìnhparabolic khi điều kiện ban đầu không được biết mà ta phải xác định nókhi biết điều kiện cuối cùng (đó là lý do tại sao bài toán này được gọi làngược thời gian).

Các bài toán kể trên thường đặt không chỉnh theo nghĩa Hadamard.

J.S Hadamard (1865 -1963) là người đầu tiên chia các phương trình đạohàm riêng thành hai loại: Bài toán đặt chỉnh và Bài toán đặt không

chỉnh Một bài toán được gọi là đặt chỉnh nếu nó thỏa mãn ba điều kiện

a) nó có nghiệm, b) nghiệm duy nhất, c) nghiệm phụ thuộc liên tục (theomột tôpô nào đó) theo dữ kiện của bài toán Nếu ít nhất một trong bađiều kiện này không thỏa mãn thì ta nói rằng bài toán đặt không chỉnh

Để xấp xỉ một cách ổn định nghiệm của bài toán đặt không chỉnh,

ta phải dùng các phương pháp chỉnh hóa Từ trước tới nay đã có rấtnhiều công trình nghiên cứu phương trình parabolic ngược thời giantrong không gian Hilbert Tuy nhiên, các kết quả đạt được trong khônggian Banach còn rất hạn chế

Bài toán đặt không chỉnh vừa đề cập ở trên có thể mô tả như sau: Cho

X là một không gian Banach với chuẩn ∥·∥ Ta kí hiệu D(A), σ(A), ρ(A),

2

và R(λ, A) (λ ∈ ρ(A)) lần lượt là miền xác định, tập các giá trị phổ, tập các giá trị chính quy và giải thức của toán tử A với A : D(A) ⊂ X → X

là toán tử tuyến tính xác định trù mật trong X sao cho −A sinh ra nửa

nhóm giải tích {S(t)} t>0 trên X Cho ε < E và T là các số thực dương,

xét bài toán tìm hàm u : [0, T ] → X sao cho

Các tác giả Ames và Hughes [1], Huang và các cộng sự [4, 5, 6, 7]

đã xấp xỉ bài toán (1) bằng phương pháp tựa đảo Trong trường hợp

−A sinh ra một nửa nhóm giải tích trên một không gian Banach, các

tác giả trong [5] khẳng định rằng tồn tại một họ các toán tử chỉnh hóacho bài toán (1) Tuy nhiên, họ không đánh giá được tốc độ hội tụ củaphương pháp trên Để đạt được đánh giá sai số kiểu H¨older giữa nghiệmxấp xỉ và nghiệm của bài toán xuất phát Huang ([4]) đã đưa ra một giảthiết mạnh hơn là −A sinh ra một nửa nhóm giải tích bị chặn đều Một

phương pháp khác cũng được sử dụng để chỉnh hóa bài toán (1) đó làphương pháp làm nhuyễn Vào năm 1994, Đinh Nho Hào ([2]) đã đề xuấtmột phương pháp làm nhuyễn cho các bài toán đặt không chỉnh trongkhông gian Banach Phương pháp này cho ta cách giải quyết bài toántrong trường hợp tổng quát, ứng dụng được cho hầu hết các bài toánđặt không chỉnh truyền thống, trong đó có phương trình parabolic ngượcthời gian Hơn nữa, phương pháp này cho ta đánh giá sai số dạng H¨older

và có thể triển khai dễ dàng trên máy tính Phương pháp này sau đó đãđược Đinh Nho Hào và cộng sự phát triển thêm trong công trình [3]

Trong luận văn này, chúng tôi sử dụng phương pháp bài toán giá trịbiên không địa phương để thu được kết quả tương tự như trong [3] Hơnnữa, phương pháp này cũng có hiệu lực đối với bài toán (1) trong trườnghợp −A sinh ra một nửa nhóm giải tích trong không gian Banach X.

Chúng tôi chứng minh các đánh giá sai số kiểu H¨older cho các luật chọntham số tiên nghiệm và hậu nghiệm Đây là kết quả đầu tiên cho phươngpháp chỉnh hóa phương trình parabolic ngược thời gian trong không gianBanach với luật chọn tham số hậu nghiệm có đánh giá sai số dạng H¨older.Khóa luận có cấu trúc như sau

- Mục lục

- Lời mở đầu

Chương 1: Các kiến thức bổ trợ: Chương này nhằm mục đích trình

bày định nghĩa, ví dụ, các tính chất cơ bản của nửa nhóm các toán tử

và của nhóm giải tích Ngoài ra, chúng tôi nhắc lại định lý ánh xạ phổ

để sử dụng kết quả này trong Chương 2

Chương 2: Đánh giá ổn định và chỉnh hóa phương trình parabolic

ngược thời gian trong không gian Banach: Chương này nhằm mục đíchtrình bày các kết quả đánh giá ổn định, chỉnh hóa phương trình parabolicngược thời gian trong không gian Banach Kết quả đánh giá ổn địnhđược trích dẫn trong các tài liệu tham khảo [3] và [8] còn kết quảchỉnh hóa có đánh giá sai số kiểu H¨older được chúng tôi đề xuất bằngcách sử dụng phương pháp bài toán giá trị biên không địa phương vớicác luật chọn tham số kiểu tiên nghiệm và hậu nghiệm Định lý 2.1.1

là kết quả trong [8], Định lý 2.1.2 là kết quả trong [3], còn các Định

lý 2.2.2, 2.2.3, 2.2.4, 2.2.5, 2.2.6 được chúng tôi đưa ra và chứng minh.Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướngdẫn tận tình, chu đáo và nghiêm khắc của thầy giáo GS TSKH ĐinhNho Hào Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất của mình đếnThầy Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa

Toán, khoa Sau Đại học và các Thầy, Cô giáo trong tổ Giải tích, trongkhoa đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập tại trường và hoànthành luận văn Tác giả cũng xin được cảm ơn Ban giám hiệu trườngTHPT Nguyễn Du đã tạo điều kiện cho tác giả trong quá trình học tập.Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình, bạn bè và các học viên Cao học khóa

17 - Giải tích đã tạo điều kiện thuận lợi giúp tác giả hoàn thành nhiệm

vụ trong suốt thời gian học tập, nghiên cứu

Mặc dù đã có nhiều cố gắng song Luận văn không tránh khỏi nhữngthiếu sót, kính mong quý thầy cô và bạn đọc góp ý để luận văn đượchoàn thiện hơn

Vinh, năm 2011Tác giả

CÁC KIẾN THỨC BỔ TRỢ

Chương này nhằm mục đích trình bày định nghĩa, ví dụ, các tính chất

cơ bản của nửa nhóm các toán tử và của nhóm giải tích Ngoài ra, chúngtôi nhắc lại định lý ánh xạ phổ

Các kết quả trong chương này được trích từ tài liệu tham khảo [9]

bản

Khái niệm nửa nhóm sinh bởi các toán tử

1.1.1 Định nghĩa Cho X là một không gian Banach Họ một tham số

các toán tử tuyến tính bị chặn từ X vào X, T (t), 0 6 t < ∞ được gọi

là nửa nhóm các toán tử tuyến tính bị chặn trên X nếu

i) T (0) = I, (I là toán tử đồng nhất trên X),

ii) T (t + s) = T (t)T (s) với mọi t, s > 0

1.1.2 Định nghĩa Nửa nhóm của các toán tử tuyến tính liên tục, T (t),

được gọi là liên tục đều nếu lim

t=0 với mọi x ∈ D(A)

6

được gọi là toán tử sinh của nửa nhóm T (t), D(A) được gọi là miền xác định của A.

1.1.4 Định nghĩa Nửa nhóm các toán tử tuyến tính liên tục trên X,

T (t), 06 t < ∞, được gọi là nửa nhóm liên tục mạnh nếu lim

t ↓0 T (t)x = x

với mọi x ∈ X.

1.1.5 Định nghĩa Nửa nhóm liên tục mạnh các toán tử tuyến tính liên

tục trên X được gọi là nửa nhóm lớp C0 hay đơn giản là nửa nhóm C0

1.1.6 Định nghĩa Cho X là không gian Banach với không gian đối

ngẫu X ∗ Chúng ta ký hiệu giá trị của x ∗ tại x ∈ X bởi ⟨x ∗ , x ⟩ hoặc

⟨x, x ∗ ⟩ Nếu A là một toán tử tuyến tính trong X thì ảnh số của nó là

tập

S(A) = {⟨x ∗ , Ax ⟩ : x ∈ D(A), ∥x∥ = 1, x ∗ ∈ X ∗ , ∥x ∗ ∥ = 1, ⟨x ∗ , x ⟩ = 1}.

Các tính chất cơ bản của nửa nhóm sinh bởi các toán tử

1.1.7 Định lý Toán tử tuyến tính A là toán tử sinh của nửa nhóm liên

tục đều các toán tử tuyến tính bị chặn khi và chỉ khi A là toán tử tuyến tính bị chặn.

Chứng minh Giả sử A là toán tử tuyến tính bị chặn trên X Đặt

giá chuỗi lũy thừa ta có

∥T (t) − I∥ 6 t ∥A∥e t ∥A∥

và

T (t) − I

06s6t ∥T (s) − I∥.

Các đánh giá trên kéo theo T (t) là nửa nhóm liên tục đều của các toán

tử tuyến tính bị chặn trên X và A là toán tử sinh của nó.

Bây giờ ta chứng minh khẳng định ngược lại Giả sử T (t) là nửa nhóm liên tục đều của các toán tử tuyến tính bị chặn trên X Cố định ρ > 0,

đủ nhỏ sao cho ∥I −ρ −1∫ρ

0 T (s)ds ∥ < 1 Điều này kéo theo ρ −1∫ρ

T (τ )Axdτ =

∫ t s

AT (τ )xdτ.

Chứng minh Phần a) được suy trực tiếp từ tính liên tục của ánh xạ

t → T (t)x Để chứng minh b), lấy x ∈ X và h > 0 Khi đó

Chú ý rằng khi cho h ↓ 0 vế phải của đẳng thức trên tiến tới T (t)x − x.

Do đó phần b) được chứng minh Để chứng minh phần c) lấy x ∈ D(A)

Vì x ∈ D(A) và ∥T (t − h)∥ bị chặn trên 0 6 h 6 t nên số hạng thứ nhất

ở vế phải của đẳng thức trên bằng 0 Số hạng thứ hai ở vế phải của đẳng

thức trên cũng bằng 0 do tính liên tục mạnh của T (t) Do đó khẳng định

c) đã được chứng minh Khẳng định ở phần d) đạt được bằng cách lấy

tích phân hai vế đẳng thức nêu ở phần c) từ s tới t.

1.1.9 Hệ quả Nếu A là toán tử sinh của nửa nhóm C0 thì miền xác định D(A) của toán tử A, trù mật trong X và A là toán tử tuyến tính đóng.

Chứng minh Với mỗi x ∈ X đặt x t = 1

t

∫t

0 T (s)xds Theo phần b) của Định lý 1.1.8, x t ∈ D(A) với mọi t > 0 và theo phần a) của Định lý này

ta có t ↓ 0 Do đó, D(A) ≡ X với D(A) là bao đóng của D(A) Tính tuyến tính của A là hiển nhiên Để chứng minh tính đóng của nó ta lấy

x n ∈ D(A), x n → x và Ax n → y khi n → ∞ Từ phần d) của Định

Nếu ω = 0 thì T (t) được gọi là nửa nhóm C0 bị chặn đều Nếu ω = 0 và

M = 1 thì T (t) được gọi là nửa nhóm C0 co.

Chứng minh Đầu tiên, chúng ta chứng minh rằng tồn tại một hằng số

η > 0 sao cho ∥T (t)∥ bị chặn với 0 6 t 6 η Nếu khẳng định này

không đúng thì tồn tại một dãy {t n } thỏa mãn t n > 0, lim

n →∞ t n = 0 và

∥T (t n )x ∥> n Sử dụng nguyên lý bị chặn đều, ta khẳng định được rằng tồn tại x ∈ X sao cho ∥T (t n )x ∥ không bị chặn Điều này mâu thuẫn với tính liên tục mạnh của nửa nhóm C0, T (t) Do đó, tồn tại M > 0 sao

cho ∥T (t)∥ 6 M với mọi 0 6 t 6 η Vì ∥T (0)∥ = 1 nên M > 1 Đặt

ω = η −1 ln M > 0 Với t > 0 ta có thể viết t = nη + δ trong đó n ∈ N và

06 δ < η Sử dụng tính chất của nửa nhóm, ta có

∥T (t)∥ = ∥T (δ)T (nη) n ∥ 6 M n+1 6 M M t/n = M e ωt

1.1.11 Định lý (Hille-Yosida) Một toán tử tuyến tính (không bị chặn)

A là toán tử sinh của nửa nhóm C0 co T (t), t > 0 nếu và chỉ nếu

ở đây R(λ : A) = (λI − A) −1 với I là toán tử đồng nhất trên X.

1.1.12 Định lý Cho A là một toán tử tuyến tính đóng với miền trù mật

D(A) trong X Gọi S(A) là ảnh số của A và ∑

là phần bù của S(A) trong C Khi đó, nếu λ ∈ ∑ thì λI − A là đơn ánh và có ảnh đóng Hơn nữa, nếu ∑

0 là một thành phần của ∑

thỏa mãn ρ(A) ∩∑0 ̸= ∅ thì phổ của A được chứa trong phần bù S0 của ∑

0 và

∥R(λ : A)∥6 1

d(λ : S(A)) , trong đó d(λ : S(A)) là khoảng cách từ λ tới S(A).

Khái niệm về nửa nhóm giải tích

1.2.1 Định nghĩa Trong mặt phẳng phức cho hình quạt

∆ = {z ∈ C : φ1 < argz < φ2, φ1 < 0 < φ2},

và T (z), z ∈ ∆ là toán tử tuyến tính bị chặn từ X vào X Họ T (z), z ∈ ∆

được gọi là nửa nhóm giải tích trong ∆ nếu

Nửa nhóm T (t) được gọi là giải tích nếu nó là giải tích trong một hình

quạt △ nào đó chứa nửa trục thực không âm.

1.2.2 Định lý Hạn chế của nửa nhóm giải tích trên trục thực là nửa

nhóm C0.

1.2.3 Định lý Cho T (t) là nửa nhóm C0 bị chặn đều Cho A là toán

tử sinh của T (t) và giả sử 0 ∈ ρ(A) Khi đó các khẳng định sau là tương đương

a) T (t) có thể mở rộng thành nửa nhóm giải tích trong hình quạt

∆δ = {z : |argz| < δ} và T (t) bị chặn đều trong mỗi hình quạt con đóng

Cho Ω ⊂Rn là một miền bị chặn với biên trơn ∂Ω ⊂ Rn và C c ∞(Ω)

là tập hợp tất cả các hàm số khả vi vô hạn, có giá compact trong Ω Đểtrình bày ví dụ về nửa nhóm giải tích, trước hết chúng tôi nhắc lại cáckhái niệm sau

1.2.4 Định nghĩa Tập E ⊂ Ω được gọi là tập con nghiêm ngặt của Ω (ký hiệu E ⊂⊂ Ω) nếu bao đóng E ⊂ Ω.

Tập hợp các hàm số khả tích theo mỗi miền con Ω′, Ω′ ⊂⊂ Ω được ký hiệu là L1loc(Ω)

1.2.5 Định nghĩa (Đạo hàm yếu) Giả sử u, v ∈ L1

c (Ω)

Kí hiệu: D α u = v.

1.2.6 Bổ đề (Tính duy nhất của đạo hàm yếu) Một đạo hàm yếu cấp

α của u nếu tồn tại thì được xác định một cách duy nhất (sai khác trên tập có độ đo không).

1.2.7 Định nghĩa Không gian Sobolev W k,p(Ω) là tập tất cả những

hàm u : Ω → R sao cho với mỗi đa chỉ số α, |α| 6 k, đạo hàm yếu D α u tồn tại và thuộc L p(Ω)

1.2.8 Định nghĩa Nếu u ∈ W k,p (Ω), (1 6 p < ∞), ta định nghĩa chuẩn

1.2.9 Định nghĩa Bao đóng của C c ∞ (Ω) trong W k,p(Ω) được ký hiệu

Chúng ta giả thiết rằng các hệ số a k,l (x) = a l,k (x) nhận giá trị thực và

khả vi liên tục trên ¯Ω Ngoài ra, ta giả thiết thêm rằng A(x, D) là elliptic mạnh, nghĩa là tồn tại một hằng số C0 > 0 sao cho

Giả sử |a k,l (x) | 6 M với mọi x ∈ ¯Ω và 16 k, l 6 n Ta đặt

Do đó λI + A p là đơn ánh và có ảnh đóng với mỗi λ > 0 Vì (1.14) đúng

với mọi 2 6 p < ∞ nên λI + A p , λ > 0 là toàn ánh Thật vậy, nếu

v ∈ L q(Ω) thỏa mãn ⟨(λI + A p )u, v ⟩ = 0 với mọi u ∈ D(A p) thì theo Bổ

đề 1.2.12 ta có v ∈ D(A q ), q = p/(p − 1) và ⟨u, (λI + A q )v ⟩ = 0 với mọi

u ∈ D(A p ) Vì D(A p ) trù mật trong L p (Ω) nên ta suy ra (λI + A q )v = 0.

Sử dụng (1.14) với p được thay thế bởi q ta suy ra v = 0 Điều này chứng

tỏ λI + A p là toàn ánh Do đó λI + A p là song ánh Vì vậy, từ (1.14) tacó

∥(λI + A p)−1 ∥ 0,p 6 1

λ với mọi λ > 0. (1.15)

Định lý Hille-Yosida 1.1.11 khẳng định rằng −A p là toán tử sinh của một

nửa nhóm co trên L p(Ω) với 2 6 p < ∞ Cuối cùng, để chứng minh nửa

nhóm sinh bởi−A p là giải tích chúng ta để ý rằng từ (1.11) và (1.13), ảnh

số S( −A p) của−A p được chứa trong tập S v1 = {λ : |argλ| > π−v1} trong

Khi đó, tồn tại một hằng số C v > 0 sao cho

d(λ : S( −A p)) > C v |λ| với mọi λ ∈ S v

Vì λ > 0 nằm trong tập các giá trị chính qui ρ( −A p) của −A p nên từ

Định lý 1.1.12 suy ra ρ( −A p) ⊃ S v và

∥(λI + A p)−1 ∥ 0,p 6 1

C v |λ| với mọi λ ∈ S v

Sử dụng Định lý 1.2.3 (c) ta khẳng định được −A p là toán tử sinh của

nửa nhóm giải tích trên L p (Ω) với mọi p thỏa mãn 2 6 p < ∞ Trường hợp 1 < p < 2 lập luận tương tự.

1.2.14 Định lý (Định lý ánh xạ phổ) Giả sử A là toán tử sinh của

nửa nhóm giải tích T (t), t> 0 Khi đó, ta có

e tσ(A) = σ(T (t)) \ {0}, t > 0.

ĐÁNH GIÁ ỔN ĐỊNH VÀ CHỈNH HÓA PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC NGƯỢC THỜI GIAN TRONG KHÔNG GIAN

BANACH

Chương này nhằm mục đích trình bày các kết quả đánh giá ổn định,chỉnh hóa phương trình parabolic ngược thời gian trong không gian Ba-nach Kết quả đánh giá ổn định được trích dẫn trong các tài liệu thamkhảo [3] và [8] còn kết quả chỉnh hóa có đánh giá sai số kiểu H¨older đượcchúng tôi đề xuất bằng cách sử dụng phương pháp bài toán giá trị biênkhông địa phương với các luật chọn tham số kiểu tiên nghiệm và hậunghiệm

Các kết quả trong phần này được tham khảo trong các công trình [3] và[8]

2.1.1 Định lý Cho −A là toán tử sinh của nửa nhóm giải tích góc

ψ (0 < ψ 6 π/2) trên một không gian Banach Cho u(t) là một nghiệm của phương trình u t + Au = 0, 0 < t < T thoả mãn

bị chặn và liên tục trên ¯ S, bằng 0 và 1 tương ứng trên biên trái và biên phải của S.

2.1.2 Định lý Cho p ∈ (1, ∞), ˜u1 và ˜ u2 là hai nghiệm của phương trình

gian trong không gian Banach

Giới thiệu bài toán

Trong mục này, chúng tôi chỉnh hóa bài toán (1)–(2) bằng bài toángiá trị biên không địa phương

hàm điều hòa

Trong trường hợp đặc biệt, A = − ∂2

∂x2, p ∈ (1, ∞), f ∈ L p(R) và ε, E

là các hằng số sao cho 0 < ε < E < ∞, ta có phương trình truyền nhiệt

ngược thời gian

ĐÁNH GIÁ ỔN ĐỊNH VÀ CHỈNH HĨA PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC NGƯỢC THỜI GIAN TRONG KHƠNG GIAN< /b>

BANACH< /b>

Chương nhằm mục đích trình bày kết đánh giá ổn định ,chỉnh hóa phương trình parabolic. .. ngược thời gian không gian Ba-nach Kết đánh giá ổn định trích dẫn tài liệu thamkhảo [3] [8] cịn kết chỉnh hóa cú ỏnh giỏ sai s kiu Hăolder cchỳng tụi xuất cách sử dụng phương pháp toán giá trị. .. Banach< /b>

Giới thiệu tốn

Trong mục này, chúng tơi chỉnh hóa tốn (1)–(2) tốngiá trị biên khơng địa phương

hàm điều hịa

Trong trường hợp đặc biệt, A = − ∂2