Môđun Noether và môđun Artin
Môđun Noether là một trong những loại môđun quan trọng nhất trong Đại số giao hoán Bài viết này sẽ trình bày lại định nghĩa và một số đặc điểm nổi bật của môđun Noether.
Bổ đề 1.1.1 chứng minh rằng cho R là một vành giao hoán và M là một R-môđun, ba điều kiện sau đây là tương đương: (i) mọi môđun con của M là hữu hạn sinh; (ii) tồn tại một số n ≥ 1 sao cho mọi môđun con trong dãy tăng N1 ⊆ N2 ⊆ N3 ⊆ đều bằng Nn với mọi i ≥ n; (iii) mọi tập không rỗng các môđun con của M đều có phần tử tối đại Định nghĩa 1.1.2 cho biết một R-môđun M thỏa mãn một trong các điều kiện trên được gọi là môđun Noether, và một vành giao hoán R được gọi là vành Noether nếu nó là R-môđun Noether.
Mệnh đề 1.1.3 i) Cho dãy khớp ngắn các R-môđun
M là R-môđun Noether khi và chỉ khi M' và M" cũng là các R-môđun Noether Mỗi R-môđun hữu hạn sinh trên vành Noether R đều là một R-môđun Noether Nếu M là một R-môđun Noether và S là một tập đóng nhân của R, thì
Tiếp theo ta xét khái niệm môđun Artin đó là một khái niệm đối ngẫu của môđun Noether.
Bổ đề 1.1.4 chứng minh rằng cho một R-môđun M, các mệnh đề sau đây là tương đương: (i) Nếu có một dãy các môđun con N1 ⊇ N2 ⊇ N3 ⊇ ⊇ Ni ⊇ thì tồn tại n ≥ 1 sao cho Ni = Nn với mọi i ≥ n; (ii) Mọi tập con không rỗng của các môđun con của M đều có phần tử cực tiểu Định nghĩa 1.1.5 nêu rõ rằng một R-môđun M thỏa mãn một trong các điều kiện trên được gọi là môđun Artin, và một vành giao hoán R được gọi là vành Artin nếu nó là R-môđun Artin.
Ta xét một số tính chất của môđun Artin.
Mệnh đề 1.1.6 i) Cho dãy khớp ngắn các R-môđun
M là R-môđun Artin nếu và chỉ nếu các môđun con M′ và M″ cũng là R-môđun Artin Tất cả các R-môđun hữu hạn sinh trên vành Artin R đều là R-môđun Artin Hơn nữa, mỗi iđêan nguyên tố trong vành Artin R đều là iđêan cực đại.
Iđêan nguyên tố liên kết
Định nghĩa 1.2.1 Cho M là R-môđun và p ∈ SpecR Khi đó p được gọi là một iđêan nguyên tố liên kết của M nếu tồn tại 0 6= x ∈ M sao cho
(0 :R x) = p Tập tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của M được kí hiệu là AssM hoặc AssRM.
Cho a là một iđêan của R, ta kí hiệu là V(a) là tập được xác định bởi
Sau đây là một vài tính chất của tập Ass.
Mệnh đề 1.2.2 nêu rõ rằng với M là R-môđun và N là môđun con của M, nếu p ∈ SpecR và a là một iđêan của R, thì có các kết quả sau: i) Ass(0 : M a) bằng giao của AssM và V(a) ii) AssN là tập con của AssM, và AssM là tập con của hợp của AssN và AssM/N iii) p thuộc AssM nếu và chỉ nếu R/p đẳng cấu với một môđun con nào đó của M Định nghĩa 1.2.3 chỉ ra rằng tập giá của M, ký hiệu là Supp R M hoặc SuppM, được xác định bởi các yếu tố liên quan đến môđun M.
Supp R M = {p ∈ SpecR | Mp 6= 0}. Mệnh đề 1.2.4 i) Cho dãy khớp môđun 0→ M ′ → M → M” →0 Khi đó
SuppM = SuppM ′ ∪SuppM”. ii) AssM ⊆SuppM ⊆ V(AnnM) Nếu M là môđun hữu hạn sinh trên vànhNoether thì SuppM = V(AnnM) và AssM là tập hữu hạn.
Môđun Ext và môđun Tor
Một R-môđun P được gọi là xạ ảnh nếu với mọi toàn cấu f:M → N và đồng cấu g: P → N, tồn tại đồng cấu h: P → M sao cho g = f ◦ h Đối với R-môđun M, một giải xạ ảnh của R-môđun M là một dãy khớp.
Một R-môđun E được gọi là nội xạ nếu với mọi đơn cấu f: N → M và đồng cấu g: N → E, luôn tồn tại đồng cấu h: M → E sao cho g = h◦f Định nghĩa này cho thấy sự tồn tại của đồng cấu h trong mối quan hệ giữa các R-môđun Ngoài ra, một giải nội xạ của R-môđun M là một dãy khớp, thể hiện tính chất liên kết của các môđun trong cấu trúc đại số.
−→ . trong đó Ei là các R-môđun nội xạ với mọi i ≥ 0. Định nghĩa 1.3.3 i) Một R-môđun E được gọi là mở rộng cốt yếu của một
R-môđun không tầm thường M nếuM ⊆ E và với mỗi môđun con khác không
N của E luôn có N ∩ M khác không Một R-môđun E được xem là bao nội xạ của M khi E là R-môđun nội xạ và là một mở rộng cốt yếu của M Một R-môđun M khác không được gọi là không phân tích được nếu nó không phải là tổng trực tiếp của hai môđun con thực sự của nó.
Một R-môđun nội xạ E luôn có thể được biểu diễn dưới dạng tổng trực tiếp của các môđun con nội xạ không phân tích được Theo định nghĩa, cho N là R-môđun, ta xem xét hàm tử phản biến khớp trái Hom(−, N) Nếu M là R-môđun, ta sẽ lấy một giải xạ ảnh của M.
Tác động hàm tử Hom(−, N) vào dãy khớp trên ta có đối phức
Khi đó Ext i R (M, N) = Kerf i ∗ /Imf i ∗ − 1 được gọi là môđun mở rộng thứ i của
M và N Môđun này không phụ thuộc vào việc lựa chọn giải xạ ảnh của M.
Ta xét một số tính chất của môđun Ext.
Mệnh đề 1.3.5 nêu rõ rằng với các R-môđun M và N, ta có i) Ext 0 R (M, N) tương đương với Hom(M, N) ii) Nếu M và N là hữu hạn sinh, thì Ext i R (M, N) cũng là hữu hạn sinh cho mọi i ≥ 0 iv) Trong trường hợp có dãy khớp ngắn 0→ N ′ →N → N”→ 0, sẽ tồn tại dãy khớp dài tương ứng.
→ Ext 1 R (N, M) → Ext 1 R (N ′ , M) →Ext 2 R (N ′′ , M) → . trong đó Ext n R (N ′ , M) →Ext n+1 R (N”, M) là đồng cấu nối với mọi n ≥0. v) Cho dãy khớp ngắn 0→ N ′ → N → N”→ 0 khi đó tồn tại dãy khớp dài
→Ext 1 R (M, N) → Ext 1 R (M, N”) →Ext 2 R (M, N ′ ) → trong đó Ext n R (M, N”) → Ext n+1 R (M, N ′ ) là đồng cấu nối với mọi n≥ 0. Định nghĩa 1.3.6 Cho N là R-môđun Xét hàm tử phản biến, khớp phải
− ⊗ R N Cho M là R-môđun, lấy một giải xạ ảnh của M
Tác động hàm tử − ⊗ R N vào dãy khớp trên ta có phức
Môđun xoắn thứ i của M và N được định nghĩa là Tor R i (M, N) = Kerf i ∗ − 1 /Imf i ∗, và nó không phụ thuộc vào việc lựa chọn giải xạ ảnh của M Mệnh đề 1.3.7 cho biết rằng đối với một R-môđun M, ta có i) Tor i R (M, N) = M ⊗ R N ii) Nếu có một dãy khớp ngắn 0 → N ′ → N → N ′′ → 0 của các R-môđun, thì sẽ có dãy khớp dài tương ứng.
Môđun đối đồng điều địa phương
Môđun con a-xoắn của một R-môđun M, ký hiệu là Γa(M), được xác định bởi tập hợp các phần tử m thuộc M sao cho tồn tại một số nguyên n ≥ 1 thỏa mãn điều kiện 0 : M a n Nếu h là một đồng cấu giữa các R-môđun M và N, thì có một đồng cấu cảm sinh Γa(h) từ Γa(M) đến Γa(N) được xác định bởi h(m) Hàm tử Γa(−) là một hàm tử hiệp biến, tuyến tính, chuyển đổi từ phạm trù các R-môđun này sang phạm trù khác, và được gọi là hàm tử a-xoắn.
Sau đây là một số tính chất của Γa(M).
Mệnh đề 1.4.2 nêu rõ rằng Γ0(M) = M và ΓR(M) = 0, đồng thời nếu a ⊆ b thì Γb(M) ⊆ Γa(M) Hơn nữa, Γa+b(M) được xác định là giao của Γa(M) và Γb(M) Đối với R-môđun Noether, AssR(Γa(M)) = AssR(M) ∩ V(a), và nếu R là Noether, thì AssR(M/Γa(M)) = AssR(M) \ V(a) Định nghĩa 1.4.3 cho biết rằng với M là R-môđun, tồn tại giải nội xạ của M với dạng cụ thể.
−→ Tác động hàm tử Γa(−) vào dãy khớp trên ta được phức sau
Khi đó H a i (M) = Kerd i ∗ /Imd i ∗ − 1 được gọi là môđun đối đồng điều địa phương thứ i của M đối với iđêan a.
Mệnh đề 1.4.4 chỉ ra rằng, cho a là iđêan của R và M là R-môđun, ta có hai kết luận quan trọng: i) H a 0 (M) tương đương với Γa(M); ii) Nếu 0 → M ′ → M → M” → 0 là dãy khớp ngắn, thì với mọi n ≥ 0, luôn tồn tại đồng cấu nối H a i (M”) → H a i+1 (M ′) sao cho dãy sau là khớp.
Tính chất minimax cho môđun mở rộng của môđun đối đồng điều địa phương 12
Điều kiện cho tính chất minimax của môđun
Mục đích của phần này là để chứng minh nếu a là một iđêan của vành giao hoán Noether R và M là một môđun a-cominimax trên R, thì R-môđun
M/aM là a-minimax với mọi n∈ N (xem Định lý 2.1.9) Ngoài ra một số ứng dụng của kết quả này cũng được đưa ra xem xét.
Chiều Goldie của một R-môđun M, ký hiệu GdimM, được định nghĩa là số lượng các môđun con không phân tích được trong bao nội xạ E(M) Điều này được thực hiện thông qua việc phân tích E(M) thành tổng trực tiếp của các môđun con không phân tích được.
Ta nhắc lại rằng, với mỗi iđêan nguyên tố p, số Bass thứ 0 của M đối với p, kớ hiệu làà 0 (p, M), được xỏc định bởià 0 (p, M) = dim k(p) (HomR p(k(p), Mp)).
Ta biết rằng à 0 (p, M) > 0 nếu và chỉ nếu p ∈ AssRM Ta cũng dễ thấy GdimM = P p ∈ Ass R M à 0 (p, M).
Chiều Goldie a-tương đối của một R-môđun M, ký hiệu là GdimaM, được định nghĩa dựa trên iđêan a của R Khái niệm này giúp xác định cấu trúc và tính chất của mô-đun trong lý thuyết đại số.
H Zoschinger đã định nghĩa khái niệm môđun minimax như sau. Định nghĩa 2.1.3 (xem [1], [6], [7]) Một R-môđun M được gọi là minimax nếu tồn tại một môđun con hữu hạn sinh N của M sao cho M/N là môđunArtin.
Khi R là vành Noether, ta biết rằng một môđun M là minimax nếu và chỉ nếu mọi môđun thương của M đều có chiều Goldie hữu hạn (xem trong
Môđun minimax liên quan đến một iđêan a trong R được định nghĩa như sau: Một R-môđun M được gọi là a-minimax nếu chiều Goldie tương quan của mọi môđun thương M/N là hữu hạn, tức là Gdima(M/N) < ∞ với mọi môđun con N của M.
Chú ý 2.1.5 Cho a là iđêan của R và M là R-môđun.
(i) Nếu a = 0, thì M là a-minimax nếu và chỉ nếu M là minimax.
(ii) Nếu M là a-xoắn, thì M là a-minimax nếu và chỉ nếu M là minimax (xem
(iii) Nếu M là Noether hoặc Artin thì M là minimax.
(iv) Nếu b là iđêan của R sao cho b ⊇ a và M là a-minimax, thì M là b- minimax Đặc biệt, ta suy ra mọi môđun minimax đều là a-minimax.
Bổ đề dưới thường được dùng cho các chứng minh về sau
Bổ đề 2.1.6 ([1, Mệnh đề 2.3]) Cho a là iđêan của R Cho 0→ M ′ → M →
M ′′ → 0 là dãy khớp của các R-môđun Khi đó M là a-minimax nếu và chỉ nếu M ′ , M ′′ là a-minimax.
Giả sử M ′ là môđun con của M và M ′′ = M/M ′ Nếu M là a-minimax, thì theo định nghĩa, cả M ′ và M/M ′ cũng sẽ là a-minimax Giả định rằng M ′ và M/M ′ đều là a-minimax, ta có thể lấy N là môđun con của
M và p ∈ Ass(M/N)∩V(a) Khi đó dãy khớp
M ′ +N ∩V(a) là hữu hạn, nên ta suy ra rằng Gdima(M/N) < ∞; và do đó M là a-minimax.
Các bổ đề sau là những tính chất về điều kiện cho tính chất minimax.
Bổ đề 2.1.7 Cho M là một R-môđun sao cho HomR(R/a, M) là một R- môđun a-minimax Khi đó Hom R (R/a n , M) là a-minimax với mọi n≥ 0.
Để chứng minh, chúng ta áp dụng phương pháp quy nạp với n Khi n = 0 hoặc n = 1, điều này là hiển nhiên theo giả thiết Đối với n > 1, giả sử kết quả đã được chứng minh cho n−1 Chúng ta sẽ xem xét dãy khớp sau.
Trong bài viết này, chúng ta xem xét cấu trúc của môđun (0 :M a n) và các phần tử của nó, với a được định nghĩa là (a1, , at) và hàm f(x) = (a1x, , atx) Theo Bổ đề 2.1.6, ai(0 :M a n) là môđun con của (0 :M a n) và được xác định là a-minimax cho mọi i từ 1 đến t Hơn nữa, khi áp dụng lại Bổ đề 2.1.6, chúng ta có thể kết luận rằng Hom R (R/a n , M) cũng là a-minimax.
Bổ đề 2.1.8 Cho M là một R-môđun sao cho M/aM là a-minimax Khi đó M/a n M là a-minimax với mọi n ≥0.
Chứng minh Ta dùng quy nạp theo n Trường hợp n= 0 hoặc n= 1 là đúng theo giả thiết Cho n > 1 và giả sử kết quả đã được chứng minh cho n− 1.
Theo [1, Hệ quả 2.4] và giả thiết quy nạp, ta có (M/a n − 1 M) k là a-minimax, với mọi số nguyên k ≥ 0 Xét dãy khớp
(M/a n − 1 M) t f −→ M/a n M −→ g M/aM → 0, trong đó a = (a1, , at) và f(m1 +a n − 1 M, , mt +a n − 1 M) = a1m1 + .+atmt +a n M.
Do đó, áp dụng giả thiết quy nạp và Bổ đề 2.1.6, ta suy raM/a n M làR-môđun a-minimax.
Trong bài viết này, chúng tôi sẽ trình bày kết quả chính liên quan đến định lý 2.1.9 Theo đó, nếu M là một R-môđun và Ext i R (R/a, M) là một R-môđun a-minimax cho mọi i ≥ 0, thì M/a n M cũng sẽ là a-minimax cho mọi n ≥ 0.
Chứng minh Theo Bổ đề 2.1.8, ta chỉ cần chỉ ra rằng M/aM là a-minimax. Cho a = (x1, , xn) Khi đó, ta biết rằng
M/aM ≃H n (x1, , xn;M), trong đó H n (x1, , xn;M) là kí hiệu cho môđun đối đồng điều Koszul thứ n.
Ta xét đối phức Koszul K • (x, M) = Hom R (K • (x), M) như sau:
0→ Hom R (K 0 (x), M) →Hom R (K 1 (x), M) → → Hom R (K n (x), M) → 0 trong đó
K • (x) : 0→ K n (x) → →K 2 (x) →K 1 (x) →K 0 (x) →0 là phức Koszul của R ứng với dãy x= x 1 , , x n Khi đó H i (x 1 , , x n ;M) Z i /B i trong đó B i và Z i lần lượt là kí hiệu cho các môđun đối bờ và đối xích của phức K • (x, M) Đặt
C = {N | Ext i R (R/a, N) là a-minimax với mọi i ≥0}.
Rõ ràng ta có M ∈ C theo giả thiết Bằng quy nạp ta sẽ chỉ ra rằng B j ∈ C với mọi j ≥ 0 Ta có
Cho B t ∈ C với t ≥ 0, đặt C i = HomR(Ki(x), M)/B i Vì Kt(x) là một R-môđun tự do hữu hạn sinh và M ∈ C, từ Bổ đề 2.1.6 suy ra HomR(Kt(x), M) ∈ C Do B t ∈ C và HomR(Kt(x), M) ∈ C, theo Bổ đề 2.1.6, ta có C t ∈ C Hơn nữa, Ext i R (R/a, C t) là a-minimax với mọi i ≥ 0; đặc biệt với i = 0, ta có (0 : C t a) ∼= HomR(R/a, C t) là a-minimax Theo tính chất của phức Koszul, ta có aH t (x1, , xn; M) = 0.
Do đó H t (x1, , xn;M) là a-minimax Kết quả là, từ dãy khớp ngắn
0 →H t (x1, , xn;M) →C t → B t+1 →0 và Bổ đề 2.1.6, ta suy ra rằng B t+1 ∈ C Do đó ta đã chứng minh được rằng
Bây giờ vì B n ∈ C và HomR(Kn(x), M) ∈ C, nên được C n ∈ C theo Bổ đề 2.1.6 Do đó (0 :C n a) ∼= HomR(R/a, C n ) = Ext 0 R (R/a, C n ) là a−minimax Vì vậy H n (x 1 , , x n ;M) là a-minimax theo Bổ đề 2.1.6 (lưu ý
H n (x1, , xn;M) ⊆ (0 :C n a)) Mặt khác, vì M/aM = H n (x1, , xn;M), nên ta suy ra rằng M/aM là R-môđun a-minimax.
Môđun cominimax, được định nghĩa bởi R Naghipour và các đồng nghiệp trong bài báo [1], là một sự tổng quát hóa của môđun minimax và môđun cofinite Cụ thể, cho a là một iđêan của vành giao hoán Noether R và M là một R-môđun, thì M được gọi là R-môđun a-cominimax nếu Supp R M nằm trong V(a) và Ext i R (R/a, M) là a-minimax với mọi i ≥ 0.
Chú ý 2.1.11 Nếu dimR = 0, thì mỗi R-môđun a-cominimax M là a- minimax Thật vậy, vì SuppM ⊆ V(a) và R là Artin, nên ta suy ra rằng
M = (0 :M a n ), và do đó M là a-minimax theo Bổ đề 2.1.7.
Trường hợp tổng quát, ta có kết quả sau.
Hệ quả 2.1.12 Cho M là một R-môđun a-cominimax Khi đó M/a n M là a-minimax với mọi n≥ 0.
Chứng minh Khẳng định được suy ra từ định nghĩa và Định lý 2.1.9.
Hệ quả 2.1.13 Cho a là một iđêan của R, và M là một R-môđun sao cho
H a i (M) là a-cominimax với mọi i Khi đó M/a n M làa-minimax với mọin≥ 0.
H a i (M) là a-cominimax với mọi i, do đó theo Mệnh đề 3.7, R-môđun Ext i R (R/a, M) cũng là a-minimax với mọi i Kết quả này được suy ra từ việc áp dụng Định lý 2.1.9.
Tính chất a-minimax của các môđun Ext và Tor
Trong phần này, chúng ta sẽ chứng minh một kết quả liên quan đến sự tương đương của tính chất a-minimax, dựa trên ứng dụng hiệu quả của Định lý 2.1.9 đã đề cập ở mục trước.
R-môđun Ext i R (R/a, M), Tor R i (R/a, M) và H i (x1, , xt;M), với mọi i ≥ 0; cụ thể là định lý sau. Định lý 2.2.1 Cho a = (x1, , xt) là một iđêan của R, và cho M là một
R-môđun Khi đó những khẳng định sau là tương đương: i) Ext i R (R/a, M) là một R-môđun a-minimax với mọi i ≥ 0. ii) Tor R i (R/a, M) là một R-môđun a-minimax với mọi i ≥ 0. iii) Các môđun đối đồng điều Koszul H i (x1, , xt;M) làR-môđun a-minimax với mọi i ≥ 0.
−→ F0 →R/a → 0 là một dải tự do gồm các R-môđun hữu hạn sinh cho R-môđun R/a Ta xét phức sau đây:
Khi đó Tor R i (R/a) ∼= Zi/Bi trong đó Zi = Ker(d ∗ i ) là môđun xích, Bi Im(d ∗ i+1 ) là môđun bờ của phức F • ⊗ R M Đặt
C = {N | Ext i R (R/a, N) là a−minimax với mọi i ≥ 0}.
Bằng quy nạp ta sẽ chứng minh được rằng Zj ∈ C với mọi j ≥ 0 Vì
M ∈ C (theo giả thiết) và F0 là R-môđun tự do hữu hạn sinh, nên ta có
Z0 = F0⊗ R M ∈ C Bây giờ giả sử Zt ∈ C với t≥ 0 nào đó Xét dãy khớp sau
0→ Ci+1 →Zi →Tor R i (R/a) → 0, (2.1) trong đó C i = (F i ⊗R M)/Z i Do đó ta nhận được dãy khớp
Do đó Tor R t (R/a, M) là ảnh đồng cấu của Zt/aZt Vì Zt ∈ C, nên từ Định lý 2.1.9 ta suy ra Zt/aZt là a-minimax, và do đó Tor R t (R/a, M) là a-minimax.
Theo quy nạp, từ (2.1) suy ra rằng C t+1 thuộc C, do đó Z j cũng thuộc C với mọi j ≥ 0 Áp dụng Định lý 2.1.9, ta có Zi/aZi là a-minimax cho mọi i ≥ 0, và từ đó suy ra rằng Tor R i (R/a, M) cũng là a-minimax với mọi i ≥ 0.
H i (x1, , xt;M) ≃Hn − i(x1, , xt;M), nên để chứng minh kết quả của (iii), ta chỉ cần chỉ ra rằng Hi(x1, , xt;M) là a-minimax với mọi i ≥ 0 Đặt x = x1, , xn Xét dãy phức Koszul
Khi đó H i (x 1 , , x t ;M) = Z i ′ /B i ′ , với B i ′ và Z i ′ lần lượt là các môđun bờ và xích của phức K • (x)⊗ R M Đặt
C ′ = {N | Tor i R (R/a, N) là a-minimax với mọi i ≥ 0}. Xét dãy khớp sau
0 →C i+1 ′ → Z i ′ → Hi(x1, , xt;M) → 0, với C i ′ = (Ki(x)⊗ R M)/Z i ′ Do đó ta nhận được dãy khớp
Bây giờ lập luận tương tự chứng minh của (i)⇒(ii), ta suy ra Z i ′ ∈ C ′ với mọi i ≥ 0 Do đó Z i ′ /aZ i ′ = Tor R 0 (R/a, Z i ′ ) là a-minimax với mọi i ≥ 0, và vì thế
Dải tự do F • : →F2 → F1 →F0 →R/a →0 là các R-môđun hữu hạn sinh cho R-môđun R/a Từ đó, ta có thể suy ra rằng Ext i R (R/a, M) = Z i /B i, trong đó B i và Z i là các môđun đối bờ và đối xích của phức Hom R (F • , M).
C ′′ = {N | H i (x1, , xt;N) là a-minimax với mọi i ≥ 0}.
0 →Ext i R (R/a, M) →C i →B i+1 → 0, với C i = HomR(Fi, M)/B i Thì theo chứng minh của Định lý 2.1.9, ta có
B i ∈ C ′′ với mọi i ≥0 Do đó C i ∈ C ′′ với mọi i ≥ 0 Bây giờ, vì
Ext i R (R/a, M) ⊆ (0 : C i a) ∼= HomR(R/a, C i ) ∼= H 0 (x1, , xt;C i ) và H 0 (x1, , xt;C i ) là a-minimax, do đó Ext i R (R/a, M) là a-minimax cho mọi i ≥ 0 Định lý 2.2.2 mở rộng Định lý 2.1.9, cho biết rằng nếu M là một R-môđun với Ext i R (R/a, M) là a-minimax cho mọi i ≥ 0, thì với bất kỳ R-môđun hữu hạn sinh L có Supp R (L) ⊆ V(a), ta có Ext i R (L, M) và Tor R i (L, M) cũng là các R-môđun a-minimax cho mọi i ≥ 0.
Chứng minh Vì V(AnnRL) ⊆ V(a), nên √
AnnRL ⊇ √ a ⊇ a; do đó tồn tại n ∈ N sao cho aL = 0 Do đó a n Ext i R (L, M) = 0 và a n Tor R i (L, M) = 0 với mọi i ≥ 0 Cho
F • : → F2 →F1 → F0 → L → 0 là một giải tự do gồm các R-môđun hữu hạn sinh cho R-môđun L Khi đó
Ext i R (L, M) = Z i /B i , với B i và Z i lần lượt là các môđun đối bờ và đối xích của phức HomR(F • , M) Đặt
C = {N | Ext i R (R/a, N) là a-minimax với mọi i ≥ 0}, và xét dãy khớp ngắn
0 →Ext i R (L, M) → C i → B i+1 →0, với C i = Hom R (F i , M)/B i Khi đó theo chứng minh của Định lý 2.1.9 và Bổ đề 2.1.7, ta có B i ∈ C với mọi i ≥ 0 (Chú ý rằng Ext i R (L, M) ⊆ (0 : C i a n )).
Do đó, C i ∈ C với mọi i ≥ 0, dẫn đến (0 : C i a) là a-minimax cho mọi i ≥ 0 Kết hợp với Bổ đề 2.1.7, ta có (0 : C i a n) cũng là a-minimax cho mọi i ≥ 0 và mọi n ≥ 0 Vì Ext i R (L, M) ⊆ (0 : C i a n), nên Ext i R (L, M) cũng là a-minimax cho mọi i ≥ 0.
Ta cũng có Tor R i (L, M) = Zi/Bi, với Bi và Zi lần lượt là các môđun bờ và xích của phức F • ⊗ R M Đặt
C ′ = {N | Tor R i (R/a, N) là a-minimax với mọi i ≥ 0}. Theo Định lý 2.2.1 và giả thiết, ta có M ∈ C ′ Xét dãy khớp sau
0 →Ci+1 → Zi → Tor R i (L, M) →0, với Ci = (Fi ⊗ R M/Zi) Vì a n Tor R i (L, M) = 0 với mọi i ≥ 0, nên ta có dãy khớp
Bây giờ, ta sử dụng lập luận như trong chứng minh Định lý 2.2.1 phần ((i)⇒(ii)) và áp dụng Bổ đề 2.1.8, khi đó ta thu được Zi ∈ C với mọi i ≥ 0.
Do đó, từ Bổ đề 2.1.8, ta có Zi/a n Zi là a-minimax với mọi i ≥ 0, và vì thếTor R i (L, M) là a-minimax với mọi i ≥ 0.
Nguyên lý đổi vành cơ sở cho tính chất a-minimax
Mục này sẽ trình bày nguyên lý thay đổi vành cơ sở đối với tính chất a-cominimax, trước hết ta cần thiết lập bổ đề sau đây.
Bổ đề 2.3.1 khẳng định rằng, với một vành giao hoán T là ảnh đồng cấu của R và một T-môđun M, thì GdimaT M bằng GdimaM Đặc biệt, M được coi là một T-môđun aT-minimax nếu và chỉ nếu M cũng là một R-môđun a-minimax.
Chứng minh Giả sử rằng T = R/I với một iđêan I nào đó của R Khi đó
AssT M ∩ V(aT) = {p/I | p ∈ AssRM ∩V(a)}. Mặt khác, với bất kỳ p ∈ AssRM ∩V(a) ta có
HomT p(k(p), Mp) ∼= HomR p(k(p), Mp) như các k(p)-không gian véc tơ, trong đó p = p/I và k(p) = Rp/pRp Do đó à 0 (p, M) =à 0 (p/I, M) và điều này hoàn thành chứng minh.
Chúng ta đã chuẩn bị để phát biểu và chứng minh nguyên lý chuyển vành cơ sở liên quan đến tính chất cominimax của các môđun Định lý 2.3.2 khẳng định rằng, cho vành T là một ảnh đồng cấu của R, và M là một
T-môđun Khi đó M là một T-môđun aT-cominimax nếu và chỉ nếu M là một
Chứng minh Giả sử rằng T = R/I với một iđêan I nào đó của R Khi đó ta có
Do đó, Supp T M ⊆ V(aT) nếu và chỉ nếu Supp R M ⊆ V(a) Cho a (x1, , xt) và lấy ϕ: R → T là toàn cấu tự nhiên Vì aT = (ϕ(x1), , ϕ(xt)), từ Định lý 2.2.1, ta suy ra rằng Ext i T (T /aT, M) là một T-môđun aT-minimax với mọi i nếu và chỉ nếu các môđun đối đồng điều Koszul.
H i (ϕ(x1), , ϕ(xt);M) là các T-môđun aT-minimax với mọi i Nhưng, theo
Bổ đề 2.3.1, ta có H i (ϕ(x1), , ϕ(xt);M) là aT-minimax nếu và chỉ nếu
H i (ϕ(x1), , ϕ(xt);M) là a-minimax Bây giờ kết quả được suy ra từ đẳng cấu
Định lý 2.2.1 khẳng định rằng H i (ϕ(x1), , ϕ(xt);M) tương đương với H i (x1, , xt;M) Định lý 2.3.3 chỉ ra rằng nếu f: M → N là một R-đồng cấu và cả Ext i R (R/a,Kerf) lẫn Ext i R (R/a,Cokerf) đều là các R-môđun a-minimax cho mọi i ≥ 0, thì Ker Ext i R (id R/a, f) và Coker Ext i R (id R/a, f) cũng sẽ là các R-môđun a-minimax cho mọi i ≥ 0.
Chứng minh Các dãy khớp
0→ Kerf →M −→ g Imf →0 và 0 →Imf −→→ ι N →Cokerf →0, (với ι◦g = f) cho ta hai dãy khớp sau đây
→Ext i R (R/a,Kerf) →Ext i R (R/a, M) →Ext i R (R/a,Imf) → (2.2) và
→ Ext i R (R/a,Imf) →Ext i R (R/a, N) → Ext i R (R/a,Cokerf) → .
Vì Ext i+1 R (R/a,Kerf) là a-minimax, từ dãy khớp (2.2) suy ra rằng Coker Ext i R (idR/a, g) và KerExt i+1 R (idR/a, g) đều là a-minimax với mọi i ≥ 0 Hơn nữa, do Ext i R (R/a,Cokerf) cũng là a-minimax, từ dãy khớp (2.3) ta kết luận rằng các R-môđun Coker Ext i R (id R/a , ι) và Ker Ext i+1 R (id R/a , ι) cũng là a-minimax với mọi i ≥ 0.
Bây giờ điều khẳng định của định lý được suy ra từ các dãy khớp sau
0→ Ker Ext i R (id R/a , g) → Ker Ext i R (id R/a , f) → Ker Ext i R (id R/a , ι) và
Coker Ext i R (idR/a, g) →Coker Ext i R (idR/a, f) → Coker Ext i R (idR/a, ι) → 0.
Hệ quả 2.3.4 Cho M là một R-môđun với Supp R M ⊆ V(a) Giả sử rằng x ∈ a sao cho (0 :M x) và M/xM đều là a-cominimax Khi đó M cũng là a-cominimax.
Đặt f = x1M, ta có Kerf = (0 :M x) và Cokerf = M/xM Theo Định lý 2.3.3, R-môđun Ker Ext i R (1 R/a , f) là a-minimax Do Ext i R (1 R/a , f) = 0, suy ra Ker Ext i R (1 R/a , f) = Ext i R (R/a, M) Hệ quả đã được chứng minh.
Hệ quả 2.3.5 Cho M là một R-môđun Giả sử rằng x ∈ √ a sao cho (0 : M x) và M/xM đều là a-minimax Khi đó Ext i R (R/a,ΓRx(M)) cũng là a-minimax với mọi i ≥ 0.
Chứng minh Ta có x n ∈ a với một số n nào đó Đặt f = x n 1 Γ Rx (M ) Khi đó ta có
Kerf = (0 : Γ Rx (M ) x n ) = (0 :M x n ), và Cokerf = Γ x (M)/x n Γ x (M) Bây giờ, từ dãy khớp
Theo Bổ đề 2.1.8, M/x n M được chứng minh là a-minimax, do đó Cokerf cũng là a-minimax Theo [1, Hệ quả 2.5] và Định lý 2.3.3, chúng ta có Ker Ext i R (1 R/a , f) là a-minimax Tuy nhiên, vì x ∈ √ a dẫn đến Ext i R (1R/a, f) = 0.
Ker Ext i R (1 R/a , f) = Ext i R (R/a,ΓRx(M)), chứng minh được hoàn thành.
Hệ quả 2.3.6 Cho M là một R-môđun có Supp R M ⊆ V(a) Giả sử x ∈ √ a sao cho (0 :M x) và M/xM đều là a-minimax Khi đó M là a-cominimax.
Chứng minh Kết quả suy ra từ Hệ quả 2.3.5.
Trước khi làm rõ kết quả tiếp theo, cần nhắc lại rằng, trong một R-môđun M, chiều đối đồng điều của M đối với iđêean a được xác định bởi công thức cd(a, M) = sup{i ∈ Z | H a i (M) ≠ 0}.
Bổ đề 2.3.7 Cho cd(a, R) = 1, và cho M là một R-môđun a-minimax Khi đó H a i (M) là a-cominimax với mọi i ≥ 0.
H a 0 (M) là môđun con của M và được chứng minh là a-cominimax Hơn nữa, với cd(a, R) = 1, ta có H a i (M) = 0 cho mọi i > 1 Kết quả này được suy ra từ [1, Hệ quả 3.9].
Bổ đề 2.3.8 Cho b là một iđêan của R với b ⊇ a, cd(b, R) = 1, và cho M là một R-môđun với Γa(M) = 0 Khi đó
0 các trường hợp còn lại
Chứng minh Khẳng định suy ra từ chứng minh của [5, Mệnh đề 3.15].
Hệ quả 2.3.9 Cho b là một iđêan của R với b ⊇ a, cd(b, R) = 1, và M là một R-môđun b-minimax Khi đó H b j (H a i (M)) là b-cominimax với mọi i ≥ 0 và j ≥ 0.
Theo Bổ đề 2.3.7, với điều kiện cd(b, R) = 1, ta có H b j (Γa(M)) là b-cominimax cho mọi j ≥ 0 Đối với i > 0, vì H a i (M) tương đương với H a i (M/Γa(M)), ta có thể giả định Γa(M) = 0 Kết luận này được suy ra từ các Bổ đề 2.3.7 và 2.3.8.
Cho b là một iđêan của R với b ⊇ a và cd(b, R) = 1, M là một R-môđun b-minimax Đối với mọi R-môđun hữu hạn sinh L với Supp R L ⊆ V(b), các R-môđun Ext j R (L, H a i (M)) đều là b-minimax cho mọi i ≥ 0 và j ≥ 0 Đặc biệt, các R-môđun H a i (M)/b n H a i (M) cũng là b-minimax cho mọi i ≥ 0 và n ≥ 0.
Từ Hệ quả 2.3.9, ta chứng minh rằng H b j (H a i (M)) là b-cominimax cho mọi i ≥ 0 và j ≥ 0 Kết hợp với Mệnh đề 3.7, ta suy ra rằng Ext j R (R/b, H a i (M)) cũng là b-minimax cho mọi i ≥ 0 và j ≥ 0 Kết quả này được rút ra từ Định lý 2.2.1 và 2.1.9.