F môđun suy rộng và tập iđêan nguyên tố liên kết của môđun đối đồng điều địa phương

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐOÀN THỊ THU THẢO F-MÔĐUN SUY RỘNG VÀ TẬP IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ... Tập i

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐOÀN THỊ THU THẢO

F-MÔĐUN SUY RỘNG VÀ TẬP IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT CỦA MÔĐUN ĐỐI

ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG

CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan các kết quả nghiên cứu được trình bày trong luận vănnày là hoàn toàn trung thực, chưa được sử dụng cho bảo vệ một học vị nào.Nguồn tài liệu sử dụng cho việc hoàn thành luận văn đã được sự đồng ý củacác cá nhân và tổ chức Các thông tin, tài liệu trình bày trong luận văn này

đã được ghi rõ nguồn gốc

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến T.S Nguyễn Thị Dung, người đãtrực tiếp chỉ bảo, dìu dắt, tận tình hướng dẫn và tạo mọi điều kiện cho tôihoàn thành luận văn này

Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm TháiNguyên, Phòng Đào tạo sau Đại học, các thầy giáo Viện toán học Hà Nội vàcác thầy cô giáo Khoa Toán trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên đã giảngdạy, giúp đỡ cho tôi trong quá trình học tập và thực hiện đề tài này

Cuối cùng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, bạn bè, người thân vàtất cả những ai giúp đỡ, động viên tôi trong quá trình học tập

Mục lục

Trang

Lời cam đoan i

Lời cảm ơn ii

Mục lục .iii

Mở đầu 1

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 3

1.1 Tập iđêan nguyên tố liên kết 3

1.2 Hệ tham số và số bội 5

1.3 Môđun đối đồng điều địa phương 8

1.4 Về một số dãy chính quy 9

Chương 2 F-môđun suy rộng 16

2.1.Tính chất của f-môđun suy rộng 16

2.2 Đặc trưng của f-môđun suy rộng thông qua số bội và môđun đối đồng điều địa phương 23

2.3 Tập iđêan nguyên tố liên kết của môđun đối đồng điều địa phương 36 Kết luận .40

Tài liệu tham khảo 41

Mở đầu

Cho (R,m) là vành địa phương Noether và M là R-môđun hữu hạn sinhvới chiềudim M = d N T Cường, N V Trung và P Schenzel [CST] đã giớithiệu khái niệm dãy lọc chính quy (f-dãy) như là mở rộng của dãy chính quyquen biết, và đồng thời họ cũng đưa ra lớp môđun thỏa mãn mọi hệ tham số

đều là dãy lọc chính quy được gọi là f-môđun Cũng trong bài báo đó, họgiới thiệu một lớp môđun thỏa mãn l(HIi(M )) < ∞, với mọi i < d đượcgọi là môđun Cohen-Macaulay suy rộng Nhìn chung, mọi môđun Cohen-Macaulay suy rộng đều là f-môđun và điều ngược lại cũng đúng khi R làvành thương của vành Cohen-Macaulay Cấu trúc của f-môđun và môđunCohen-Macaulay suy rộng đã được nhiều nhà toán học nghiên cứu và ngàynay các lớp môđun này đã trở nên quen thuộc trong Đại số giao hoán và cónhiều ứng dụng trong Hình học đại số

Tiếp theo, năm 2005, ý tưởng mở rộng khái niệm f-dãy thuộc về L T.Nhàn [N]: Một dãy các phần tửx1, , xr trong m được gọi là một dãy chínhquy suy rộng của M nếu xi ∈/ p, với mọi p ∈ AssRM/(x1, , xi−1)M

thỏa mãn dim R/p > 1, với mọi i = 1, , r Cho I là iđêan của R saocho dim M/IM > 1 Khi đó, khái niệm độ sâu suy rộng của M trong I,

ký hiệu là gdepth(I; M ), cũng được định nghĩa một cách tự nhiên là độ dàicực đại của một dãy chính quy suy rộng của M trong I Dãy chính quy suyrộng và độ sâu suy rộng vẫn còn có nhiều tính chất đẹp và cung cấp một sốthông tin hữu ích về tính hữu hạn của tập các iđêan nguyên tố liên kết Chẳnghạn, tập S

trong I là gdepth(I, M ) = r thì r chính là số nguyêni nhỏ nhất sao cho tập

Supp(HIi(M )) là vô hạn, và tập Ass(HIr(M )) là hữu hạn (xem [N])

Một cách tự nhiên, từ khái niệm dãy chính quy suy rộng, L T Nhàn và

M Morales [NM] đã nghiên cứu lớp môđun gọi là f-môđun suy rộng thỏamãn điều kiện mọi hệ tham số là dãy chính quy suy rộng Họ đã chứng tỏrằng f-môđun suy rộng vẫn có nhiều tính chất tốt tương tự với một số tínhchất của f-môđun và môđun Cohen-Macaulay suy rộng.

Mục đích của luận văn này là trình bày và chứng minh lại chi tiết bàibáo "Generalized F-modules and the associated primes of local cohomologymodules" của L T Nhàn và M Morales đăng trên tạp chí Communication inAlgebra, năm 2006

Luận văn được chia thành hai chương Chương 1 dành để nhắc lại một sốkiến thức cơ sở có liên quan đến nội dung của luận văn như tập iđêan nguyên

tố liên kết, hệ tham số, số bội, môđun đối đồng điều địa phương, Để theodõi một cách tương đối hệ thống, Mục 1.4 của Chương 1nhắc lại khái niệmdãy chính quy, dãy chính quy lọc, dãy chính quy suy rộng và tương ứng làcác lớp môđun Cohen-Macaulay, f-môđun và một số tính chất của chúng.Nội dung chính của luận văn nằm ở Chương 2: Khái niệm f-môđun suyrộng; đặc trưng của f-môđun suy rộng thông qua hệ tham số của M, địaphương hóa và tính catenary, tính đẳng chiều tới các thành phần nguyên sơ

có chiều > 1 của tập support của M ; số bội và môđun đối đồng điều địaphương; Nếu vành R có phức đối ngẫu thì lớp f-môđun suy rộng chính làlớp môđun có quỹ tích không Cohen-Macaulay có chiều lớn nhất là 1 và tấtcả iđêan nguyên tố tối thiểu đều có hoặc chiều dhoặc chiều 1; Tính hữu hạncủa tập iđêan nguyên tố liên kết của một số môđun đối đồng điều địa phươngcủa một f-môđun suy rộng Kết quả này là mở rộng các kết quả của Hellus[H, Định lý 4] và Asadollahi-Schenzel [AS, Định lý 1.1]

Phần kết luận của luận văn tổng kết lại các kết quả đã trình bày

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, ta luôn kí hiệu R là vành giao hoán, Noether và M

là R-môđun Chương này dành để nhắc lại một số kiến thức cơ sở liên quan

đến các kết quả của luận văn ở các chương sau như tập iđêan nguyên tố liênkết, hệ tham số, số bội, môđun đối đồng điều địa phương,

1.1 Tập iđêan nguyên tố liên kết

Định nghĩa 1.1.1 (i) Giả sửM là một R-môđun Một iđêan nguyên tố p của

Rđược gọi là iđêan nguyên tố liên kết củaM nếu tồn tại phần tử 0 6= x ∈ M

sao cho p = AnnR(x)

(ii) Môđun con Q của M được gọi là môđun con nguyên sơ của M nếu

M/Q 6= 0và với mỗia ∈ ZD(M/Q),tồn tạin ∈ N sao choan(M/Q) = 0

Khi đó p = pAnnR(M/Q) là một iđêan nguyên tố của R, ta nói Q là mộtmôđun con p-nguyên sơ của M

(iii) Cho N là môđun con của R môđun M ta nói N có phân tích nguyênsơ nếu tồn tại các môđun con nguyên sơ Qi với i = 1, , n, sao cho

N = Q1 ∩ ∩ Qn thành giao của hữu hạn các môđun con pi-nguyênsơ Nếu N = 0hoặc N 6= 0 có một phân tích nguyên sơ thì ta nóiN là phântích được Phân tích nguyên sơ này được gọi là tối thiểu (thu gọn) nếu các

iđêan nguyên tố pi là đôi một khác nhau và không có hạng tử Qi nào là thừa,nghĩa là với mọi i = 1, , n

là các thành phần nguyên sơ củaN Nếu pi là tối thiểu trongAssRM/N thì

Qi được gọi là thành phần cô lập, ngược lại thì Qi được gọi là thành phầnnhúng

Một dãy (xn) ⊆ Rđược gọi là một dãy Cauchy theo tôpô m-adic nếu vớimỗi k ∈ N cho trước, tồn tại số tự nhiên n0 sao cho xn− xm ∈ mk với mọi

n, m ≥ n0 Dãy (xn) ⊆ R được gọi là dãy không nếu với mỗi k ∈ N cho

trước, tồn tại số n0 sao cho xn ∈ mk với mọi n ≥ n0 Ta trang bị quan hệtương đương trên tập các dãy Cauchy như sau: Hai dãy Cauchy (xn), (yn)

được gọi là tương đương nếu dãy (xn − yn) là dãy không Kí hiệu bR là tậpcác lớp tương đương Chú ý rằng quy tắc cộng (xn) + (yn) = (xn + yn) vàquy tắc nhân(xn)(yn) = (xnyn) không phụ thuộc vào cách chọn các đại diệncủa các lớp tương đương Vì thế nó là các phép toán trên bR và cùng với haiphép toán này, bR làm thành một vành Noether địa phương với iđêan tối đạiduy nhất là m bR Vành bR vừa xây dựng được gọi là vành đầy đủ theo tôpô

m-adic của R

Một dãy (zn) ⊆ M được gọi là dãy Cauchy theo tôpô m-adic nếu với mỗi

k ∈ N cho trước, tồn tại số tự nhiên n0 sao cho zn − zm ∈ mkM với mọi

n, m ≥ n0 Từ khái niệm dãy Cauchy như trên, tương tự ta định nghĩa đượckhái niệm môđun đầy đủ theo tôpô m-adic trên vành bR Môđun này được kí

(ii) Cho p là phần tử tối đại của tập các iđêan có dạng Ann(x), trong

đó 0 6= x ∈ M Khi đó p ∈ AssR(M ) Vì thế, M 6= 0 khi và chỉ khi

AssR(M ) 6= ∅ Hơn nữa, tập ZD(M ) các ước của không của M chính làhợp của các iđêan nguyên tố liên kết của M

(iii) Cho dãy khớp ngắn các R-môđun

0 −→ M0 −→ M −→ M00 −→ 0

Khi đó

Ass M0 ⊆ Ass M ⊆ AssRM0 ∪ Ass M00

(iv) NếuM là R-môđun hữu hạn sinh thì khi đó ta cóAss M là tập hữu hạn,

Ass M ⊆ Supp M và V (Ann M ) = SuppRM Hơn nữa, các phần tử tốithiểu của Ass M và Supp M là như nhau

Định nghĩa 1.2.1 (i) Một hệx := (x1, , xd) ∈m được gọi là một hệ tham

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1, , xt là một phần hệ tham số của M

(iii) Hệ (x1, , xd) ∈ m là một hệ tham số của M khi và chỉ khi xi ∈/ p,

với mọi p ∈ Ass M/(x1, , xi−1)M thỏa mãn dim R/p = d − i + 1 Đặcbiệt, một phần tử x ∈ m là phần tử tham số của M khi và chỉ khi x /∈ p, vớimọi p ∈ Ass M sao cho dim R/p = d

(iv) Nếu x là một hệ tham số của M thì x cũng là hệ tham số của cM , trong

đó cM là tôpô đầy đủ m-adic của M

Định nghĩa 1.2.3 Cho I là iđêan m-nguyên sơ của R M là R-môđunhữu hạn sinh Ta có `R(M/In+1M ) = PM,I(n) với n đủ lớn, trong đó

deg PM,I(n) = d.Khi đó tồn tại các số nguyên e0, e1, , ed, e0 > 0sao cho

Các số e0, , ed gọi là hệ số Hilbert của M đối với I kí hiệu là ei(I, M )

Đặc biệt, số nguyên dương e0 trong biểu diễn trên được gọi là số bội của M

đối với I Kí hiệu là e(I, M )

Định nghĩa 1.2.4 Một hệ các phần tử (x1, , xt) của R được gọi là hệ bộicủa M nếu `(M/(x1, , xt)M ) < ∞.

Nếu t = 0, tức là `(M ) < ∞ thì ta đặt e(∅; M ) = `(M ) Nếu t > 0, tức

e(x1, , xt; M ) = e(x2, , xt; M/x1M ) − e(x2, , xt; 0 :M x1)

được gọi là số bội của M ứng với hệ bội (x1, , xt)

Sau đây là một số tính chất cơ bản của số bội, (xem [MAT])

Mệnh đề 1.2.5 (i) 0 6 e(x1, , xt; M ) 6 `(M/(x1, , xt)M ) Đặcbiệt, nếu tồn tại i sao cho xniM = 0, với mọi n là số tự nhiên nào đóthì e(x1, , xt; M ) = 0

1.3 Môđun đối đồng điều địa phương

Trước hết, ta nhắc lại khái niệm môđun đối đồng điều địa phương của mộtmôđun tùy ý, (xem [BS])

Định nghĩa 1.3.1 Cho I là một iđêan của vành Noether R và M là một

R-môđun Môđun đối đồng điều địa phương thứ i của M ứng với I, kí hiệu

là HIi(M ) được định nghĩa bởi

HIi(M ) = Ri(ΓI(M )),

trong đóRi(ΓI(M )) là môđun dẫn xuất phải thứ icủa hàm tử I xoắnΓI()

ứng với M

Cho 0 −→ L −→ M −→ N −→ 0 là một dãy khớp các R-môđun Khi

đó, do tính chấtδ-hàm tử đối đồng điều của môđun đối đồng điều địa phương,

Mệnh đề 1.3.2 (i) Cho M là R-môđun, I là một iđêan của R Khi đó

HIi(M ) = 0,với mọi i > dim M.(ii) Giả sử (R,m) là vành địa phương và 0 6= M là R-môđun hữu hạn sinhvới chiều Krull dim M = d Khi đó Hmd(M ) 6= 0 và các Hmi (M ) là Artin,với mọi i ∈ N0

(iii) Giả sử (R,m) là vành địa phương, I là một iđêan của R, và 0 6= M là

R-môđun hữu hạn sinh với dim M = d Khi đó,R-môđun HId(M ) là Artin

1.4 Về một số dãy chính quy

Dãy chính quy là một trong những dãy cơ bản của Đại số giao hoán màthông qua đó người ta có thể định nghĩa khái niệm độ sâu-một bất biến rấtquan trọng để nghiên cứu cấu trúc của môđun [MAT] Trước hết, ta nhắc lạikhái niệm dãy chính quy cho một môđun M trên vành R tùy ý, (xem [MAT,

Định lý 16.1, Mệnh đề 16.1], [BH, Mệnh đề 1.1.6])

Định nghĩa 1.4.1 Cho M là R-môđun khác 0 Dãy các phần tử a1, , an

trong R được gọi là dãy chính quy (M-dãy) nếu

(i) M/(a1, , an)M 6= 0

(ii) (a1, , ai−1)M :M ai = (a1, , ai−1)M với mọi i = 1, , n

Cho I là iđêan của R sao cho M 6= IM Khi đó mỗi dãy chính quy của

M trong I đều có thể mở rộng thành dãy chính quy tối đại trong I, và cácdãy chính quy tối đại củaM trong I có chung độ dài Độ dài chung này đượcgọi là độ sâu của M trongI và được kí hiệu là depth(I, M ).Nếu M = IM

(iii) Nếu a1, , an là M-dãy trong I thì at1

1 , , atn

n cũng là M-dãy trong

I, với mọi số nguyên dương t1, , tn

(iv) Hoán vị của một dãy chính quy cũng là một dãy chính quy

Tiếp theo, ta đưa ra một số đặc trưng của độ sâu depth(I, M ) của M

thông qua chiều, hàm tử mở rộng và môđun đối đồng điều địa phương.(xem[BH, Bổ đề 1.2.4, Mệnh đề 1.2.12, Mệnh đề 1.2.13] [MAT, Định lý 16.7]).Mệnh đề 1.4.3 (i) depth(M ) 6 dim(M )

(ii) Cho I là iđêan của R Khi đó ta có các đẳng thức sau

depth(I, M ) = inf{i | ExtiR(R/I, M ) 6= 0} = inf{i | HIi(M ) 6= 0}

(iii) Giả sử depth(I, M ) = t Khi đó

AssR(ExttR(R/I, M )) = AssR(HIt(M ))

(iv) Cho p ∈ Supp(M/IM ) \ {m}, và x1, , xr là M-dãy Khi đó

ExtnRp(Rp/IRp, Mp) ∼= HomRp(Rp/IRp, Mp/(x1/1, , xn/1)Mp)

Định nghĩa 1.4.4 [BH, Định nghĩa 2.1.1] Cho M là một môđun hữu hạnsinh trên một vành địa phương Noether (R,m) Khi đóM được gọi là môđunCohen-Macaulay nếu M = 0 hoặc M 6= 0 và dim M = depth M R đượcgọi là một vành Cohen-Macaulay nếu nó là một R-môđun Cohen-Macaulay.Sau đây là một số đặc trưng về môđun Cohen-Macaulay, (xem [MAT, Định

lý 17.3] [BH, Định lý 2.1.2, Hệ quả 2.1.8])

Mệnh đề 1.4.5 Cho (R,m) là vành địa phương vàM là R-môđun hữu hạnsinh

(i) Nếu M là R-môđun Cohen-Macaulay thì với mọi p ∈ Ass M, ta có

dim M = dim R/p Vì thế,M không có thành phần nguyên tố nhúng.(ii) M là môđun Cohen-Macaulay khi và chỉ khi Hmi(M ) = 0, với mọi

i 6= dim M

(iii) NếuM là môđun Cohen-Macaulay thì Mp là Cohen-Macaulay, với mọi

p ∈ Spec R, và nếu Mp 6= 0 thì depth(p, M ) = depthR Mp

(iv) Nếu(a1, , ar)là một M-dãy thìM là Cohen-Macaulay khi và chỉ khi

M/(a1, , ar)M là Cohen-Macaulay

(v) Giả sử x = (x1, , xd) là một hệ tham số củaM đặt

I(x; M ) = `(M/xM ) − e(x; M ),

khi đó M là môđun Cohen-Macaulay khi và chỉ khi I(x; M ) = 0

(vi) Nếu bR là vành đầy đủ theo tôpô m-adic của R thì depth R = depthRb

và vành R là Cohen-Macaulay khi và chỉ khi vành bR là Cohen-Macaulay.Khái niệm dãy chính quy lọc được giới thiệu bởi Cuong-Schenzel-Trung[CST] như là một sự mở rộng của dãy chính quy Ngày nay dãy chính quy lọc

đã trở thành một khái niệm quen biết và là một công cụ hữu ích để nghiên cứucấu trúc vành và môđun Chẳng hạn, thông qua khái niệm này, lớp môđun

được gọi là f-môđun thỏa mãn tính chất mọi hệ tham số đều là dãy chính quylọc đã được giới thiệu trong [CST], dãy chính quy suy rộng và f-môđun suyrộng được nghiên cứu bởi [N]

Định nghĩa 1.4.6 Một dãy các phần tử x1, , xr trong m được gọi là mộtdãy chính quy lọc (f-dãy) của M nếu với mọi i = 1, , r ta có

1 , , xnr

r cũng là một f-dãyvới mọi số nguyên dương n1, , nr

(iii) x1, , xr là f-dãy nếu và chỉ nếu với mọi i = 1, , n

dim((x1, , xi−1)M :M xi/(x1, , xi−1)M ) 6 0

Cho I ⊆ m là một iđêan của R Kết quả sau cho ta điều kiện để tồn tạiphần tử chính quy lọc của M trong I và điều kiện cần và đủ để tồn tại một

f-dãy có độ dài ttrong I

Mệnh đề 1.4.8 (i) Nếu `(HomR(R/I, M )) < ∞ thì tồn tại x ∈ I là phần

tử f-dãy

(ii) Cho t > 0 là một số nguyên Khi đó các điều kiện sau là tương đương:(a) `(ExtiR(R/I, M )) < ∞, với mọi i < t

(b) I chứa một f-dãy có độ dài t

Nếu x1, , xt ∈ I là một f-dãy thì với mỗi p ∈ Spec(R) \ {m}, ta có

ExtnR(R/I, M )p ∼= Hom

R(R/I, M/(x1, , xt)M )p

Nếu x1, , xt là một f-dãy cực đại của M trong I thì theo Mệnh đề1.4.8, dim(ExttR(R/I, M )) > 0 Do đó, hai f-dãy cực đại trong I (nếu tồntại) có chung độ dài Điều này dẫn đến khái niệm sau

Định nghĩa 1.4.9 Cho I là iđêan của R Độ sâu lọc (f-độ sâu) củaM trong

I, ký hiệu là f-depth(I, M ), được định nghĩa là độ dài của một f-dãy cực

đại củaM trongI ởđây, nếu không tồn tạif-dãy cực đại trongI thì ta hiểu

độ dài là ∞

Định nghĩa 1.4.10 M được gọi là f-môđun nếu mọi hệ tham số của M là

f-dãy Một vành được gọi là f-vành nếu nó làf-môđun trên chính nó.Với mỗiI ⊆ R, kí hiệuhtM(I)là độ cao của iđêan(I +Ann M )/ Ann M

trong vành R/ Ann M Cho dim M > 0 Đặt

U (M ) = {p ∈ Supp M : dim R/p > 0}

Mệnh đề 1.4.11 Các phát biểu sau là tương đương:

(i) M là f-môđun

(ii) Với mỗi phần hệ tham số x1, , xt của M và mỗi iđêan nguyên tố

p ∈ Ass(M/(x1, , xt)M ) sao cho dim R/p ≥ 1, ta có dim R/p = d − t

(iii) depth Mp = d − dim R/p với mọi p∈ U (M )

(iv) htM(p) = htM(q) + ht(p/q), với mọi p,q ∈ U (M ) ∪ {m}và p⊇ q, Mp

là môđun Cohen-Macaulay, với mọi p ∈ U (M ) và dim R/p = d, với mọi

p ∈ min U (M )

Mệnh đề sau cho ta tính chất của f-môđun khi chuyển qua đầy đủ theotôpô cM-adic của M

Mệnh đề 1.4.12 Các phát biểu sau là đúng:

(i) Nếu cM là f-môđun thì M cũng là f-môđun

(ii) Giả sử rằng R là vành thương của vành Cohen-Macaulay Nếu M là

f-môđun thì cM cũng là f-môđun

Dãy chính quy suy rộng được giới thiệu bởi L T Nhàn [N] như là một

sự mở rộng của dãy chính quy và f-dãy

Định nghĩa 1.4.13 [N, Định nghĩa 2.1] Một dãy các phần tử x1, , xr

trong m được gọi là một dãy chính quy suy rộng của M nếu xi ∈/ p, với mọi

p ∈ AssRM/(x1, , xi−1)M thỏa mãndim R/p > 1, với mọii = 1, , r

Một phần tửx ∈ m là phần tử chính quy suy rộng củaM nếu x /∈ p,với mọi

p ∈ AssRM sao cho dim R/p > 1

Từ khái niệm trên, ta thấy rằng mọi dãy chính quy đều là f-dãy và mọi

f-dãy đều là dãy chính quy suy rộng Tuy nhiên, điều ngược lại nhìn chungkhông đúng Một số kết quả sau được nhắc lại cần thiết cho các chứng minhcủa Chương 2, (xem [N, Bổ đề 2.2])

Chú ý 1.4.14 Cho x1, , xr là một dãy các phần tử trong m Khi đó

(i)x1, , xrlà dãy chính quy suy rộng củaM nếu và chỉ nếux1/1, , xr/1

là một Mp-dãy, với mọi p ∈ Supp M chứax1, , xr sao cho dim R/p > 1,trong đó xi/1, i = 1, , r là ảnh của xi trong Rp

(ii) Nếu r 6 d − 2 thì mỗi hoán vị của một dãy chính quy suy rộng của M

có độ dài r lại là một dãy chính quy suy rộng của M

(iii) Nếux1, , xr là một dãy chính quy suy rộng củaM thì xn1

1 , , xnr

r làmột dãy chính quy suy rộng của M, với mọi số nguyên dươngn1, , nr

Kết quả sau cho ta điều kiện để tồn tại dãy chính quy suy rộng, (xem [N,

(b) I chứa một dãy chính quy suy rộng của M có độ dài r Hơn nữa, nếu

x1, , xr ∈ I là một dãy chính quy suy rộng thì

(ExtrR(R/I; M ))p ∼= Hom(R/I; M/(x

1, , xr)M )p,

với mọi p ∈ Supp M sao cho dim R/p > 1

Cho I là một iđêan của R, ta biết rằng dim(M/IM ) 6 1 nếu và chỉ nếu

I chứa một dãy chính quy suy rộng của M có độ dài r, với mọi số nguyên

r > 1 Trong trường hợp này, cận trên đúng của độ dài của các dãy chính quysuy rộng của M trong I là vô hạn Do đó ta luôn giả sử dim(M/IM ) > 1

Khi đó mỗi dãy chính quy suy rộng của M trong I có độ dài hữu hạn Mộtdãy chính quy suy rộng x1, , xr của M trong I được gọi là cực đại nếukhông tồn tại một phần tử y ∈ I nào để dãy x1, , xr, y là một dãy chính

quy suy rộng của M Khi đó theo Mệnh đề 1.4.15, tất cả các dãy chính quysuy rộng cực đại củaM trongI có chung độ dài Điều này dẫn đến khái niệmsau.

Định nghĩa 1.4.16 Độ dài của một dãy chính quy suy rộng cực đại của

M trong I được gọi là độ sâu suy rộng của M trong I và được kí hiệu là

gdepth(I; M ) = min{i | dim(ExtiR(R/I; M )) > 1}

= min{i| ∃ p ∈ Supp(HIi(M )) sao cho dim R/p > 1}

Chương 2

F-môđun suy rộng

Trong chương này, ký hiệu (R,m) là vành Noether địa phương và M là

R-môđun hữu hạn sinh với chiều Krull dim M = d Chương này nghiên cứumột lớp môđun thỏa mãn tính chất mọi hệ tham số đều là dãy chính quy suyrộng được giới thiệu bởi L T Nhàn và M Morales [NM] Các đặc trưng củalớp môđun này qua đầy đủ m-adic của M, qua địa phương hóa Mp của M,qua tính chất catenary của tập Supp M, qua số bội và kiểu đa thức của M,

tính hữu hạn của tập iđêan nguyên tố liên kết của một số môđun đối đồng

điều địa phương đã được chứng minh lại một cách chi tiết trong chương này

2.1 Tính chất của f-môđun suy rộng

Cho I là iđêan của R sao cho dim(M/IM ) > 1 Khi đó theo Mục 1.4.3,mỗi phần tử chính quy suy rộng đều là phần tử tham số, do đó mỗi dãy chínhquy suy rộng đều là một phần hệ tham số của M Tuy nhiên điều ngược lạinhìn chung không đúng và điều này cho phép ta đi đến khái niệm sau

Định nghĩa 2.1.1 M được gọi là f-môđun suy rộng nếu mọi hệ tham số của

M là dãy chính quy suy rộng Một vành được gọi là f-vành suy rộng nếu nó

là f-môđun suy rộng trên chính nó

Ví dụ 2.1.2 (i) Mọif-môđun là f-môđun suy rộng vì mọif-dãy đều là dãychính quy suy rộng.

(ii) Mọi môđun chiều 2đều làf-môđun suy rộng Thật vậy, lấy(x, y)là một

hệ tham số của M Khi đóx /∈ p,với mọi p ∈ Ass M sao cho dim R/p = 2

Vì thếx /∈ p, với mọi p ∈ Ass M sao chodim R/p > 1 Do đó x là phần tửchính quy suy rộng Tiếp theo, vìy là một phần tử của hệ tham số nên y /∈ p,

với mọi p ∈ Ass(M/xM ) sao cho dim R/p = 2 − 1 = 1 Do đó y là phần

tử chính quy suy rộng của M/xM Vì thế, (x, y) là một dãy chính quy suyrộng của M

(iii) Mọi miền nguyên chiều 3 đều là f-vành suy rộng Thật vậy, giả sử

(x, y, z)là một hệ tham số củaR.VìRlà miền nguyên nên iđêan(0) ∈ Ass R

có chiều 3 và vì x, y, z là các phần tử tham số nên x, y, z 6= 0 Chứng minhtương tự như trên, ta có (x, y, z) là dãy chính quy suy rộng của R, hay R là

f-vành suy rộng

Để chứng minh các kết quả chính của chương, trước hết ta nhắc lại một

số kiến thức sau Vành R được gọi là đẳng chiều nếu dim R/q = dim R,với mọi iđêan nguyên tố tối thiểu q ∈ min(Ass R) và môđun M được gọi

là đẳng chiều nếu dim R/p = dim M với mọi iđêan nguyên tố tối thiểu

p ∈ min(Ass M ) Cho p ⊂ q là các iđêan nguyên tố của R Một dãy cáciđêan nguyên tố p = p0 ⊂ p1 ⊂ ⊂ pn = q sao cho pi 6= pi+1, với mọi

i, được gọi là dãy nguyên tố bão hoà giữa p và q nếu với mọi i, không tồntại một iđêan nguyên tố nào chen giữa pi và pi+1 Vành R là catenary nếuvới mỗi cặp iđêan nguyên tố p,q của R sao cho p ⊂ q, mọi dãy bão hoà cáciđêan nguyên tố bắt đầu từ p và kết thúc tại q đều có cùng độ dài Ta nói rằng

Supp M là catenary nếu với mỗi cặp iđêan nguyên tố p,q ∈ Supp M saocho p⊂ q, thì mọi dãy bão hoà các iđêan nguyên tố bắt đầu từ p và kết thúctại q đều có cùng độ dài, (xem [MAT])

Chú ý 2.1.3 (i) Nếu vành R là đẳng chiều thì R là catenary nếu và chỉ nếu

dim R/p + htp = dim R, với mọi iđêan nguyên tố p của R, và Supp M làcatenary nếu và chỉ nếu R/ AnnRM là catenary Do đó, trong trường hợp

M là đẳng chiều thìSupp M là catenary nếu và chỉ nếu

dim R/p + dim Mp = dim M, với mọi p ∈ Supp M

(ii) Mọi vành R có chiều dim R 6 2 thì đều là vành catenary

(iii) Vành thương của vành catenary cũng là vành catenary

Định lý sau cho ta đặc trưng của f-môđun thông qua hệ tham số của M,

địa phương hóa và tính catenary, tính đẳng chiều tới các thành phần nguyênsơ có chiều > 1 của tập support của M

Định lý 2.1.4 Cho dim M > 1 Đặt

T (M ) = {p ∈ Supp M : dim R/p > 1}

Các phát biểu sau là tương đương

(i) M là f-môđun suy rộng

(ii) Với mỗi phần hệ tham số(x1, , xs)củaM và p ∈ Ass(M/(x1, , xs)M )

thỏa mãn dim R/p > 2, ta có dim R/p = d − s

(iii) depth Mp = d − dim R/p, với mọi p∈ T (M )

(iv) htM(p) = htM(q) + htM(p/q), với mọi p,q ∈ T (M ) ∪ {m} sao cho

p ⊇ q, Mp là Cohen-Macaulay, với mọi p ∈ T (M ) và dim R/p = d, vớimọi p ∈ min T (M )

Chứng minh (i)⇒(ii) Giả sử tồn tại một phần hệ tham số (x1, , xs) của

M và p ∈ Ass(M/(x1, , xs)M ) sao cho dim R/p > 1 và giả sử phảnchứng rằng dim R/p < d − s Khi đó ta có thể chọn phần tử y ∈ p sao cho

(x1, , xs, y) là một phần hệ tham số của M Vì M là f-môđun suy rộng

nên (x1, , xs, y) là dãy chính quy suy rộng củaM Do đó theo định nghĩa

y /∈ p sao cho p ∈ Ass(M/(x1, , xs)M ) Vì thế điều giả sử là sai Suy ra

điều phải chứng minh

(ii)⇒(i) Bằng quy nạp theo s, ta chỉ cần chứng minh cho một phần tử Giả sử

x là một phần tử tham số của M và giả sử M không là f-môđun suy rộng.Khi đó tồn tại p ∈ Ass(M/xM )sao chodim R/p > 1vàx ∈ p Theo Mệnh

đề 1.2.2, (ii) suy ra dim R/p > d − 1, trái với giả thiết của (ii) Do đó M là

f-môđun suy rộng

(ii)⇒(iii) Cho p ∈ T (M ).Đặtdim R/p = d−r.Khi đódim M/pM = d−r

Vì thế, tồn tại một hệ tham số (x1, , xr) của M trong p Từ (ii) ta có

(x1, , xr) là dãy chính quy suy rộng của M Theo Chú ý 1.4.14 (i), ta

có (x1/1, , xr/1) là Mp-dãy và do đó depth(Mp) ≥ r Từ đó suy ra

depth(Mp) + dim R/p = d

(iii)⇒(ii) Cho (x1, , xs) là một phần hệ tham số của M Ta chứng minhbằng quy nạp theo s Chos = 0 và p ∈ Ass(M ),với dim R/p = d − r > 2

Khi đó, theo (iii), ta có depth(Mp) = 0 = r Vì thế dim R/p = d Cho

s > 0 Lấy p ∈ Supp M/x1M, với dim R/p > 2 Chú ý rằng x1 là mộtphần tử chính quy của Mp Vì thế,depth(M/x1M )p = depth(Mp) − 1.Do

đó theo (iii), depth(Mp/x1Mp) = (d − 1) − dim R/p Vì thế áp dụng giảthiết quy nạp cho phần hệ tham số (x2, , xs) của M/x1M và có kết quả

dim R/p = dim M/x1M − (s − 1) = d − 1 − s + 1 = d − s

(iii)⇒(iv) Cho p ∈ T (M ), nghĩa là p ∈ Supp M sao cho dim R/p > 1

Khi đóMp là Cohen-Macaulay theo (iii) Giả sử rằng p ∈ min T (M ),khi đó

depth Mp = 0 Vì thế theo (iii) thì dim R/p = d Lấy p,q ∈ T (M ) ∪ {m}

với q ⊆ p Ta có thể giả sử rằng p 6= q Giả sử p 6= m Vì Mp là Macaulay nên Supp Mp là catenary [MAT, Định lý 17.4] Vì thế,

Cohen-htM(p) = dim Mp = dim(Rp/qRp) + htM (qRp) = ht(p/q) + htM(q)

Cho p = m Lấy q0 ∈ min T (M ) sao cho q0 ⊆ q Vì Mq là Cohen-Macaulay

và q0Rq ∈ Ass Mq, nên ta có

htM(q) + ht(m/q) = htM(q0) + ht(q/q0) + dim R/q

= dim(Rq/q0Rp) + dim R/q

= dim Mq + dim R/q = d = htM(m)

(iv)⇒(iii) Vì Mp là môđun Cohen-Macaulay nên depth Mp = dim Mp Khi

đó, với mọi p ∈ T (M ) thì dim Mp = ht(p) = d − dim R/p nên ta suy ra

(i) M là f-môđun suy rộng

(ii)Mp là môđun Cohen-Macaulay suy rộng, với mọi p ∈ Supp M \ {m} và

dim R/p = d, với mọi p ∈ min T (M )

(iii) Mp là môđun Cohen-Macaulay, với mọi p ∈ T (M ) và dim R/p = d,

với mọi p ∈ min T (M )

Chứng minh (i)⇔(iii) Theo Định lý 2.1.4 (i)⇒(iv), ta có ngay kết quả (i)⇒

(iii) Ngược lại, nếu R là vành thương của vành Cohen-Macaulay thì Spec R