Môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất và tính catenary của giá không trộn lẫn của môđun hữu hạn sinh

Grothendieck ¢ giîi thi»u lþ thuy¸t èi çng i·u àa ph÷ìng... Måi mæun con thüc sü cõa mët mæun Noether ·u câ sü ph¥n t½ch nguy¶n sì rót gån... Chóng tæi tr¼nh b ythuªt ngú cõa Macdonald [

PHAN THÀ É QUY–N

MÆUN ÈI ÇNG I—U ÀA PH×ÌNG C‡P CAO NH‡T V€ TNH CATENARY CÕA GI KHÆNG TRËN LˆN CÕA MÆUN

HÚU H„N SINH

LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC

B¼nh ành - N«m 2019

MÐ †U

V o nhúng n«m 1960, A Grothendieck ¢ giîi thi»u lþ thuy¸t èi çng

i·u àa ph÷ìng Ng y nay, lþ thuy¸t n y ¢ trð th nh cæng cö khæng thºthi¸u trong nhi·u l¾nh vüc kh¡c nhau cõa To¡n håc nh÷ ¤i sè giao ho¡n,H¼nh håc ¤i sè, ¤i sè tê hñp

Mët trong nhúng k¸t qu£ quan trång v· mæun èi çng i·u àaph÷ìng l  t½nh tri»t ti¶u v  t½nh Artin Cho (R,m) l  mët v nh giao ho¡nNoether àa ph÷ìng v  M l  R-mæun húu h¤n sinh th¼ Hmd(M ) 6= 0 v khæng húu h¤n sinh, trong â d = dimM v  Hmi(M ) l  mæun Artin vîimåi i ≥ 0

Theo I G Macdonald [12], tªp c¡c i¶an nguy¶n tè g­n k¸t cõaR-mæunArtin A, k½ hi»u l  AttR(A) câ vai trá nh÷ tªp c¡c i¶an nguy¶n tè li¶nk¸t èi vîi mæun húu h¤n sinh Nhi·u nh  To¡n håc quan t¥m nghi¶ncùu tªp c¡c i¶an nguy¶n tè g­n k¸t cõa mæun èi çng i·u àa ph÷ìngc§p b§t k¼ vîi gi¡ cüc ¤i Hmi(M ) v  mæun èi çng i·u àa ph÷ìng c§pcao nh§t HId(M ) vîi gi¡ l  mët i¶an I cõa R, º tø â l m rã c§u trócmæun M v  v nh cì sð R Tr÷îc h¸t, n«m 2007 Nguy¹n Tü C÷íng, L¶Thanh Nh n v  Nguy¹n Thà Dung [7] ¢ · xu§t nghi¶n cùu t½nh ch§t:

Vîi méi R-mæun Artin A,

AnnR(0 :A p) = p vîi måi i¶an nguy¶n tè p chùa AnnR(A)

Vîi möc ½ch º t¼m hiºu s¥u hìn v· ¤i sè giao ho¡n, chóng tæi ¢ chån

· t i:"Mæun èi çng i·u àa ph÷ìng c§p cao nh§t v  t½nhcatenary cõa gi¡ khæng trën l¨n cõa mæun húu h¤n sinh".Ngo i ph¦n Mð ¦u, K¸t luªn v  T i li»u tham kh£o th¼ luªn v«n gçm

câ hai ch÷ìng

Ch÷ìng 1: Ki¸n thùc chu©n bà

Ch÷ìng n y tr¼nh b y v­n t­t nhúng ki¸n thùc cì b£n v· ¦y õ; àaph÷ìng hâa; sü ph¥n t½ch nguy¶n sì; chi·u Krull; mæun Artin; biºu di¹nthù c§p; chi·u Noether; mæun èi çng i·u àa ph÷ìng; t½nh catenarycõa v nh v  çng c§u ph¯ng

Ch÷ìng 2: Mæun èi çng i·u àa ph÷ìng c§p cao nh§t

¥y l  nëi dung ch½nh cõa luªn v«n Chóng tæi s³ ti¸n h nh nghi¶n cùuv· t½nh ch§t: Ann(0 :A p) = p vîi måi p ∈ V (AnnR(A)); t½nh ch§t (*) èivîi mæun èi çng i·u àa ph÷ìng c§p cao nh§t v  t½nh catenary cõagi¡ khæng trën l¨n

T§t c£ c¡c k¸t qu£ trong luªn v«n n y ÷ñc tr½ch d¨n chõ y¸u tø t i li»u[7] Nhi»m vö cõa chóng tæi l  l m rã l¤i c¡c chùng minh â v  h» thèngl¤i theo mët bè cöc hñp lþ

Luªn v«n n y ÷ñc ho n th nh d÷îi sü h÷îng d¨n cõa TS Nguy¹n Th¡iHáa Th¦y ¢ d nh nhi·u thíi gian v  t¥m huy¸t trong vi»c ành h÷îng,gâp þ, ëng vi¶n v  gióp ï tæi trong suèt qu¡ tr¼nh thüc hi»n luªn v«n

n y Tæi xin b y tä sü k½nh trång v  láng bi¸t ìn s¥u s­c ¸n Th¦y

Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn Ban gi¡m hi»u Tr÷íng ¤i Håc Quy Nhìncòng c¡c th¦y, cæ gi¡o trong v  ngo i Khoa To¡n v  Thèng k¶ ¢ tªn t¼nhgi£ng d¤y v  gióp ï tæi trong qu¡ tr¼nh håc tªp.

Cuèi còng tæi xin ch¥n th nh c£m ìn c¡c håc vi¶n trong lîp cao håcTo¡n khâa 20, b¤n b± v  nhúng ng÷íi th¥n trong gia ¼nh ¢ ëng vi¶n,gióp ï, t¤o i·u ki»n thuªn lñi cho tæi trong qu¡ tr¼nh håc tªp v  ho n

th nh luªn v«n

M°c dò b£n th¥n ¢ h¸t sùc cè g­ng v  nê lüc l m vi»c r§t nhi·u º

ho n th nh luªn v«n n y nh÷ng do i·u ki»n, thíi gian, tr¼nh ë ki¸n thùc

v  kinh nghi»m nghi¶n cùu cán h¤n ch¸ n¶n luªn v«n s³ khæng tr¡nh khäinhúng thi¸u sât V¼ vªy, tæi r§t mong ÷ñc sü gâp þ cõa th¦y, cæ gi¡o v b¤n åc º luªn v«n ÷ñc ho n ch¿nh hìn Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn

Ng y 29 th¡ng 8 n«m 2019Sinh vi¶n thüc hi»n · t i

Phan Thà é Quy¶n

Ch֓ng 1

KI˜N THÙC CHU‰N BÀ

Trong ch÷ìng n y, chóng tæi nh­c l¤i mët sè ki¸n thùc ¢ bi¸t v· ¦y

õ; àa ph÷ìng hâa; sü ph¥n t½ch nguy¶n sì; chi·u Krull; mæun Artin;biºu di¹n thù c§p; chi·u Noether; mæun èi çng i·u àa ph÷ìng; t½nhcatenary cõa v nh v  çng c§u ph¯ng nh¬m thuªn ti»n cho vi»c theo dãik¸t qu£ trong ch÷ìng sau

1.1 ¦y õ

Nëi dung cõa ti¸t n y ÷ñc tr¼nh b y theo t i li»u [14] Cho R l  mët

v nh giao ho¡n câ ìn và

ành ngh¾a 1.1.1 Mët v nh låc R l  mët v nh R còng vîi mët hå(Rn)n>0 c¡c nhâm con cõa R thäa m¢n c¡c i·u ki»n:

(i) R0 = R;

(ii) Rn+1 ⊂ Rn vîi måi n> 0;

(iii) RnRm ⊂ Rn+m vîi måi n, m > 0

V½ dö 1.1.2 (i) Gi£ sû R l  mët v nh L§y R0 = R v  Rn = 0 vîi måi

n> 1 Khi â (Rn)n>0 l  mët låc cõa R v  gåi l  mët låc t¦m th÷íng.(ii) Cho I l  mët i¶an cõa R Khi â (In)n>0 l  mët låc cõa R, nâ

÷ñc gåi l  mët låc I-adic

(iii) Cho (Rn)n>0 l  mët låc cõa R v  S l  mët v nh con cõa R Khi

â (Rn ∩ S)n>0 l  mët låc cõa S, nâ ÷ñc gåi l  låc c£m sinh tr¶n S

ành ngh¾a 1.1.3 ChoR l  mët v nh låc vîi låc (Rn)n>0 Mët R-mæun

M låc l  mëtR-mæun M còng vîi mët hå (Mn)n>0 c¡c R-mæun con cõa

M thäa m¢n c¡c i·u ki»n:

(i) M0 = M;

(ii) Mn+1 ⊂ Mn vîi måi n > 0;

(iii) RnMm ⊂ Mn+m vîi måi n, m > 0

V½ dö 1.1.4 (i) Cho M l  mëtR-mæun v  R câ låc t¦m th÷íng Khi â

M công câ mët låc t¦m th÷íng ÷ñc ành ngh¾a bði M0 = M v  Mn = 0vîi måi n > 1

(ii) Cho I l  mët i¶an cõa R v  x²t låc I-adic cõa R ành ngh¾a låc

I-adic cõa M b¬ng c¡ch l§y Mn = InM Khi â M l  mët R-mæun låc.Cho M l  mët R-mæun låc Låc (Mn)n>0 tr¶n M x¡c ành mët tæpætr¶n M t÷ìng th½ch vîi c§u tróc nhâm con abel cõa M m  (Mn)n>0 l mët cì sð l¥n cªn cªn cõa 0 Tæpæ n y ÷ñc gåi l  tæpæ c£m sinh bðilåc (Mn)n>0 Cho M l  mët R-mæun vîi låc (Mn)n>0 v  tæpæ ÷ñc ànhngh¾a bði låc(Mn)n≥0.Tr÷îc h¸t chóng tæi nh­c l¤i kh¡i ni»m d¢y Cauchy:Mët d¢y (xn) c¡c ph¦n tû trong M ÷ñc gåi l  mët d¢y Cauchy n¸uvîi méi k ∈ N, tçn t¤i n0 sao cho xm − xn ∈ Mk, vîi måi m, n > n0

Gåi T l  tªp t§t c£ c¡c d¢y Cauchy trong M Tr¶n T quan h» hai ngæi

Vîi måi (xn), (yn) ∈M , (xc n) + (yn) = (xn + yn)n≥0

Vîi måi (an) ∈ Rb, vîi måi (xn) ∈ Mc, (an).(xn) = (anxn)

Khi â cM l  bR-mæun

Cho I l  mët i¶an cõa v nh R, tæpæ ÷ñc ành ngh¾a tr¶n M bði låc

I-adic ÷ñc gåi l  tæpæ I-adic v  bao ¦y õ cM ÷ñc gåi l  bao ¦y õ

I-adic

1.2 àa ph÷ìng hâa

Ti¸p theo, chóng tæi tr¼nh b y kh¡i ni»m àa ph÷ìng hâa theo [14] Cho

R l  mët v nh giao ho¡n câ ìn và Tªp S ⊂ R ÷ñc gåi l  mët tªp nh¥n

âng n¸u 1 ∈ S v  vîi måi x, y ∈ S th¼ xy ∈ S X²t tªp

M»nh · 1.2.2 Cho R l  mët v nh giao ho¡n câ ìn và, S l  mët tªpnh¥n âng cõa R v  I l  mët i¶an cõa R Khi â c¡c kh¯ng ành sau ¥y

l  óng

(i) Tªp IRS = IS = {r

s | r ∈ I v  s ∈ S} l  mët i¶an cõa v nh RS.(ii) Vîi méi p∈ Spec(R), Spec(Rp) = {qRp | q ∈ Spec(R) v  q ⊂ p}.(iii) Vîi méi p ∈ Spec(R), v nh Rp l  mët v nh àa ph÷ìng vîi i¶ancüc ¤i pRp

Cho M l  mët R-mæun X²t v nh c¡c th÷ìng RS vîi S l  mët tªpnh¥n âng X²t tªp

S × M = {(s, m) | s ∈ S v  m ∈ M }.Tr¶n tªp S × M ta ành ngh¾a mët quan h» hai ngæi:

∀(s, m), (t, n) ∈ S × M, (s, m) ∼ (t, n) ⇔ ∃u ∈ S : u(tm − sn) = 0.Khi â, quan h» ∼ l  mët quan h» t÷ìng ÷ìng tr¶n S × M v  vîi méi(s, m) ∈ S × M, ta k½ hi»u lîp t÷ìng ÷ìng (s, m) l  m

s v  tªp th÷ìng(S × M )/∼ l  S−1M hay MS Ta ành ngh¾a ph²p cëng v  ph²p nh¥n væh÷îng nh÷ sau:

ành ngh¾a 1.2.3 Mæun MS tr¶n v nh RS ÷ñc gåi l  mæun àaph÷ìng hâa cõa M t÷ìng ùng vîi tªp nh¥n âng S

Chó þ r¬ng, vîi méi p ∈ Spec(R), S = R \ p l  mët tªp nh¥n âng.Khi â, ta k½ hi»u MS l  Mp.

ành ngh¾a 1.2.4 Cho M l  mët R-mæun Tªp

SuppR(M ) = {p ∈ SpecR | Mp 6= 0}

÷ñc gåi l  gi¡ cõa mæun M

M»nh · 1.2.5 Cho d¢y khîp ng­n c¡c R-mæun

0 → N → M → P → 0

Khi â SuppR(M ) ⊆ SuppR(N ) ∪SuppR(P )

M»nh · 1.2.6 N¸u M l  R-mæun húu h¤n sinh th¼

(iii) R l  v nh Noether v  M l  R-mæun Khi â AssM 6= ∅ khi v  ch¿khi M 6= 0.

M»nh · 1.3.3 Gi£ sû 0 → M0 → M → M00 → 0 l  mët d¢y khîp ng­nc¡c R-mæun Khi â AssM0 ⊆ AssM ⊆ AssM0 ∪AssM00

M»nh · 1.3.4 Cho R l  mët v nh Noether v  M l  mët R-mæun kh¡c

0 húu h¤n sinh Khi â tçn t¤i mët d¥y chuy·n ch°t

Cho N l  mæun con cõa M Mët ph¥n t½ch nguy¶n sì cõa N l  mëtbiºu di¹nN = M1∩ M2∩ ∩ Mn trong âMi l  c¡c mæun con pi-nguy¶n

sì cõa M Ph¥n t½ch tr¶n ÷ñc gåi l  thu gån n¸u c¡c pi l  æi mët ph¥nbi»t v  khæng câ Mi n o thøa

Chó þ 1.3.6 (i) N¸u M1 v  M2 l  c¡c mæun con p-nguy¶n sì cõa Mth¼ M1∩ M2 công l  mæun con p-nguy¶n sì cõa M V¼ th¸ måi ph¥n t½chnguy¶n sì cõa mæun con N ·u câ thº quy v· mët ph¥n t½ch thu gån.(ii) Khi M = R v  R l  v nh Noether th¼ kh¡i ni»m i¶an nguy¶n sìtròng vîi kh¡i ni»m mæun con nguy¶n sì

ành lþ 1.3.7 Måi mæun con thüc sü cõa mët mæun Noether ·u câ

sü ph¥n t½ch nguy¶n sì rót gån

Bê · 1.3.8 N¸u N = Q1 ∩ ∩ Qr l  mët ph¥n t½ch nguy¶n sì rót gån

v  Qi li¶n k¸t vîi pi th¼ ta câ

Ass(M/N ) = {p1, ,pr}

ành lþ 1.3.9 Cho R l  mët v nh Noether àa ph÷ìng v  M l  mët

R-mæun húu h¤n sinh Khi â 0 = \

Cho R l  mët v nh giao ho¡n câ ìn và 1 6= 0 Mët d¢y húu h¤n gçm

n + 1 i¶an nguy¶n tè p0 ⊃ p1 ⊃ ⊃ pn ÷ñc gåi l  mët d¥y chuy·nnguy¶n tè ë d i n N¸u p ∈ SpecR, ch°n tr¶n nhä nh§t cõa t§t c£ ë d icõa c¡c d¥y chuy·n nguy¶n tè vîi p = p0 ÷ñc gåi l  ë cao cõa p v  k½hi»u l  htp

ht(p) =sup{n | p0 = p ⊃p1 ⊃ ⊃ pn}

Cho I l  mët i¶an thüc sü cõa R Chóng ta ành ngh¾a ë cao cõa I

l  ch°n d÷îi lîn nh§t cõa c¡c ë cao cõa c¡c i¶an nguy¶n tè chùa I:

htI = inf{htp | p ∈ Spec(R) v  p ⊇ I}

ành ngh¾a 1.4.1 Chi·u cõa R ÷ñc ành ngh¾a l  ch°n tr¶n nhä nh§tcõa t§t c£ ë cao cõa t§t c£ i¶an nguy¶n tè cõa R:

dim R = sup{htp | p ∈ SpecR}

Nâ cán ÷ñc gåi l  chi·u Krull cõa R

V½ dö 1.4.2 1) Cho K l  mët tr÷íng Khi â dim K = 0

2) dim(Z) = 1

Nhªn x²t 1.4.3 (i) Vîi méi p ∈ SpecR,ht(p) = dim(Rp)

(ii) Vîi méi i¶an I cõa R, dim(R/I) + ht(I) 6 dim R

ành ngh¾a 1.4.4 Cho M 6= 0 l  mët R-mæun Chi·u Krull cõa M l 

dim(M ) = dim(R/Ann(M ))

N¸u M = 0, qui ÷îc dim(M ) = −1

M»nh · 1.4.5 Gi£ sû R l  mët v nh giao ho¡n Noether v  M 6= 0 l mët R-mæun húu h¤n sinh Khi â c¡c m»nh · sau l  t÷ìng ÷ìng.(i) M l  mët R-mæun câ ë d i húu h¤n.

(ii) V nh R/AnnM l  v nh Artin

(iii) dim M = 0

ành lþ 1.4.6 Cho 0 → M0 → M → M00 → 0 l  mët d¢y khîp ng­n c¡c

R-mæun Khi â:

dimM =max{dimM0,dimM00}

ành lþ 1.4.7 (Hilbert-Samuel) Cho(R,m)l  mët v nh giao ho¡n Noether

àa ph÷ìng v  M 6= 0 l  mët R-mæun húu h¤n sinh Khi â `R(M/mnM )

l  mët a thùc vîi h» sè húu t¿ khi n  0 v 

dim(M ) = deg`R(M/mnM )

= inf{r ∈ N | ∃x1, , xr ∈ m sao cho `(M/(x1, , xr)M ) < ∞}.Chó þ r¬ng, n¸u d = dim M v  h» ph¦n tû x1, , xd ∈ m sao cho

`(M/(x1, , xd)M ) < ∞ ÷ñc gåi l  mët h» tham sè cõa M

M»nh · 1.4.8 Cho (R,m) l  mët v nh giao ho¡n Noether àa ph÷ìng

v  M 6= 0 l  mët R-mæun húu h¤n sinh Khi â

(i) dimR(M ) = dim

b

R(M ).c(ii) dim(M ) = max{dim(R/p) | p ∈ AssM }

A = Γm1(A) ⊕ ⊕ Γmr(A) v  SuppA = {m1, ,mr}.

(ii) Vîi méi j ∈ {1, , r}, n¸u s ∈ R\mj, th¼ ph²p nh¥n bði s cho tamët tü ¯ng c§u cõa Γmj(A) Do â Γmj(A) câ c§u tróc tü nhi¶n cõa mët

Rmj-mæun v  vîi c§u tróc n y, mët tªp con cõa Γmj(A) l  mët R-mæuncon n¸u v  ch¿ n¸u nâ l  Rmj-mæun con °c bi»t

Amj ∼= Γ

m j(A), vîi måi j = 1, , r

K½ hi»u 1.5.2 º cho thuªn ti»n, tø gií trð i ta °t

M»nh · 1.5.3 (Xem [20], Bê · 1.1, H» qu£ 1.12) Cho A l  R-mæunArtin kh¡c khæng tr¶n v nh àa ph÷ìng (R,m) Khi â, A câ c§u tróc tünhi¶n cõa bR-mæun, trong â bR l  v nh ¦y õ theo tæpæ m-adic cõa R v måi tªp con cõa A l  R-mæun con cõa A n¸u v  ch¿ n¸u nâ l  bR-mæuncon cõa A Do â, A câ c§u tróc tü nhi¶n cõa bR-mæun Artin.

Cho (R,m) l  v nh àa ph÷ìng ¦y õ K½ hi»u E(R/m) l  bao nëi x¤cõa tr÷íng th°ng d÷R/mcõa R X²t h m tû D(−) =HomR(−, E(R/m))

tø ph¤m trò c¡cR-mæun ¸n ch½nh nâ V¼ E(R/m) l  mæun nëi x¤ n¶nD(−) l  h m tû khîp Ta gåi D(−) l  h m tû èi ng¨u Matlis

Khi â ta câ k¸t qu£ sau cõa E Matlis ÷ñc tr¼nh b y trong ([16], ànhl½ 4.2)

M»nh · 1.5.4 (i) R-mæun E l  Artin Vîi méi f ∈ HomR(E, E), tçnt¤i duy nh§t af ∈ R : f (x) = afx, vîi måi x ∈ E

(ii) N¸u N l  R-mæun Noether, th¼ D(N ) l  Artin

(iii) N¸u A l  R-mæun Artin, th¼ D(A) l  Noether

(iv) AnnM = AnnD(M ), v  n¸u M l  R-mæun sao cho `R(M ) < ∞, th¼

`R(D(M )) = `R(M )

1.6 Biºu di¹n thù c§p

Kh¡i ni»m ph¥n t½ch èi nguy¶n sì cho mæun Artin ÷ñc nghi¶n cùubði D Kirby [10] v  sau â I G Macdonald [12] tr¼nh b y mët c¡ch têngqu¡t cho mæun tòy þ v  æng gåi l  biºu di¹n thù c§p Chóng tæi tr¼nh b ythuªt ngú cõa Macdonald [12] K½ hi»u R l  v nh Noether giao ho¡n

ành ngh¾a 1.6.1 (i) Mët R-mæun L ÷ñc gåi l  thù c§p n¸u L 6= 0 v vîi méi x ∈ R, ph²p nh¥n bði x tr¶n L l  to n c§u ho°c lôy linh Trongtr÷íng hñp n y, tªp hñp c¡c ph¦n tû x ∈ R sao cho ph²p nh¥n bði x tr¶n

L l  lôy linh l m th nh mët i¶an nguy¶n tè, ch¯ng h¤n l  p, v  ta gåi L

l  p-thù c§p

(ii) Cho L l  R-mæun Mët biºu di¹n L1 + + Ln, trong â méi Li l mæun con pi-thù c§p L, ÷ñc gåi l  mët biºu di¹n thù c§p cõa L N¸uL=0 ho°c L câ biºu di¹n thù c§p th¼ ta nâi L l  biºu di¹n ÷ñc Biºu di¹n

n y ÷ñc gåi l  tèi tiºu n¸u c¡c i¶an nguy¶n tè pi l  æi mët kh¡c nhau

v  méi Li l  khæng thøa vîi måi i = 1, ,n

Chó þ r¬ng, n¸u L1, L2 l  c¡c mæun con p thù c§p cõa L th¼ L1 + L2

công l  mæun con p-thù c§p cõa L V¼ th¸ måi biºu di¹n thù c§p cõa L

·u câ thº ÷a ÷ñc v· d¤ng tèi tiºu b¬ng c¡ch bä i nhúng th nh ph¦nthøa v  gëp l¤i nhúng th nh ph¦n còng chung mët i¶an nguy¶n tè Tªphñp {p1, ,pn} l  ëc lªp vîi vi»c chån biºu di¹n thù c§p tèi tiºu cõa L

v  ÷ñc gåi l  tªp c¡c i¶an nguy¶n tè g­n k¸t cõa L, k½ hi»u l  AttRL.C¡c h¤ng tû Li, vîi i = 1, ,n ÷ñc gåi l  c¡c th nh ph¦n thù c§p cõa L.N¸u pi l  tèi tiºu trong tªp AttRL th¼ pi ÷ñc gåi l  i¶an nguy¶n tè g­nk¸t cæ lªp cõa L v  Li ÷ñc gåi l  th nh ph¦n thù c§p cæ lªp cõa L

ành lþ 1.6.2 Måi R-mæun Artin A l  biºu di¹n ÷ñc

M»nh · 1.6.3 Gi£ sû L l  mët R-mæun biºu di¹n ÷ñc Khi â c¡cph¡t biºu sau l  óng:

(i) AttRL 6= ∅ khi v  ch¿ khi L 6= 0

(ii) minAttRL = minVar(AnnRL) °c bi»t,

dim(R/AnnRL) =max{dim(R/p) |p ∈ AttRL}

(iii) Cho 0 → L0 → L → L00 → 0 l  d¢y khîp c¡c R-mæun biºu di¹n

÷ñc Khi â ta câ

AttRL00 ⊆AttRL ⊆ AttRL'∪AttRL00

v  · xu§t th nh chi·u Noether Sau ¥y l  kh¡i ni»m chi·u Noether chomæun Artin theo thuªt ngú cõa D Kirby [10] K½ hi»u R l  v nh Noethergiao ho¡n

ành ngh¾a 1.7.1 Chi·u Noether cõa R-mæun Artin A, k½ hi»u bðiN-dimRA, ÷ñc ành ngh¾a nh÷ sau:

Khi A = 0, °t N-dimRA = −1

Vîi A 6= 0, cho mët sè nguy¶n d ≥ 0, ta °t N-dimRA = d n¸uN-dimRA < d l  sai v  vîi méi d¢y t«ng c¡c mæun con A0 ⊆ A1 ⊆ cõa A, tçn t¤i mët sè tü nhi¶n n0 sao cho N-dimR(An+1/An) < d vîi måi

n> n0

V½ dö 1.7.2 Cho M l  R-mæun kh¡c khæng Khi â M l  R-mæunNoether khi v  ch¿ khi N-dimRM = 0 Thªt vªy, gi£ sû M l  R-mæunNoether V¼ måi d¢y t«ng M0 ⊆ M1 ⊆ ⊆ Mn ⊆ c¡c mæun con cõa

M ·u døng n¶n tçn t¤i n0 ∈ N sao cho Mn = Mn+1, vîi måi n > n0 Do

â, Mn+1/Mn = 0, v¼ th¸ N-dimRMn+1/Mn = −1 < 0, vîi måi n > n0.V¼ M 6= 0 n¶n N-dimRM ≥ 0 v  do â theo ành ngh¾a N-dimRM = 0.Ng÷ñc l¤i, gi£ sû N-dimRM = 0 Khi â l§y mët d¢y t«ng b§t ký N0 ⊆

N1 ⊆ ⊆ c¡c mæun con cõa M Theo ành ngh¾a tçn t¤i sè nguy¶nd÷ìng n0 sao cho N-dim Nk+1/Nk = −1 < 0, vîi måi k > n0 Do â

Nk+1 = Nk vîi måi n > n0 hay d¢y tr¶n l  døng, ngh¾a l  M l  R-mæunNoether

ành lþ 1.7.3 (Xem [4], ành lþ 2.6) `(0 :A JAn) l  mët a thùc vîi h» sèhúu t¿ khi n  0 v 

N-dimRA = deg(`R(0 :A JAn))

= inf{t | ∃x1, , xt ∈ JA | `R(0 :A (x1, , xt)R) < ∞}.Gi£ sû d = N-dimA th¼ h» x = (x1, , xd) c¡c ph¦n tû trong JA saocho `R(0 :A xR) < ∞ ÷ñc gåi l  h» tham sè cõa A

M»nh · 1.7.4 (Xem [5]) Cho(R,m) l  v nh àa ph÷ìng v Al R-mæunArtin Khi â, A câ c§u tróc tü nhi¶n cõa bR-mæun Artin v  ta câ

l  d¢y khîp c¡c R-mæun Artin th¼

N-dimRA = max{N-dimRA0,N-dimRA00}

(ii) N-dimA ≤ dim R/AnnRA = max{dimR/p|p ∈ AttR(A)}

(iii) N-dimA = dim bR/AnnR bA = max{dim bR/bp|bp ∈ AttR b(A)}

1.8 Mæun èi çng i·u àa ph÷ìng

Lþ thuy¸t èi çng i·u àa ph÷ìng ÷ñc giîi thi»u ¦u ti¶n bði A.Grothendieck v o nhúng n«m 1960, sau â ÷ñc quan t¥m nghi¶n cùu bðir§t nhi·u nh  to¡n håc tr¶n th¸ giîi nh÷ R Hartshorne, M Brodmann, J.Rotman, C Huneke Lþ thuy¸t èi çng i·u àa ph÷ìng ¢ câ nhúngùng döng to lîn trong nhi·u l¾nh vüc cõa To¡n håc Tr÷îc h¸t, chóng tæitr¼nh b y kh¡i ni»m h m tû xo­n theo [2]

Cho R l  v nh giao ho¡n Noether, M l  R-mæun v  I ⊂ R l  mëti¶an cõaR Khi â ta câ h m tû I-xo­n ΓI(−)tø ph¤m trò c¡c R-mæun

v o ch½nh nâ l  hi»p bi¸n, cëng t½nh v  khîp tr¡i Vîi méi R-mæun M,

(ii) Cho (R,m) l  v nh Noether àa ph÷ìng, I l  mët i¶an b§t k¼ cõa R,

M l  R-mæun húu h¤n sinh kh¡c khæng câ chi·u Krull dimM = d Khi

â, R-mæun HId(M ) l  Artin

M»nh · 1.8.3 (Xem [2]) Cho (R,m) l  v nh Noether àa ph÷ìng, Mhúu h¤n sinh vîi dimM = d Khi â

AttR(Hmd(M )) = {p ∈ AssRM |dimR/p = d}

ành lþ 1.8.4 (Xem [2]) Cho d¢y khîp ng­n c¡c R-mæun 0 → M0 →

M → M00 → 0 Khi â, ta câ mët d¢y khîp c¡c mæun èi çng i·u àaph÷ìng

0 → Hm0(M0) → Hm0(M ) → Hm0(M00) → Hm1(M0) →

M»nh · 1.8.5 (Xem [2]) Cho p ∈ AssR(M ) vîi dimR/p = t Khi â

i = 0, , n − 1 ÷ñc gåi l  mët d¢y c¡c i¶an nguy¶n tè b¢o háa giúa q

v  p n¸u vîi måi 0 6 i 6 n − 1 khæng tçn t¤i i¶an nguy¶n tè P n o thäam¢n pi ⊂ P ⊂ pi+1 v  pi 6= P 6= pi+1 Khi â n ÷ñc gåi l  ë d i cõa d¢yi¶an nguy¶n tè b¢o háa tr¶n

ành ngh¾a 1.9.2 V nh R ÷ñc gåi l  v nh catenary n¸u vîi måi c°pi¶an nguy¶n tè q ⊂ p cõa R luæn tçn t¤i mët d¢y i¶an nguy¶n tè b¢oháa giúa q v  p, v  måi d¢y nguy¶n tè b¢o háa giúa q v  p ·u câ còng ë

v nh catenary l  catenary V¼ th¸ h¦u h¸t c¡c v nh ÷ñc bi¸t ¸n trong

H¼nh håc ¤i sè ·u l  catenary.

M»nh · 1.9.3 (Xem [18]) Cho R l  v nh giao ho¡n Noether àa ph÷ìng.Khi â c¡c i·u ki»n sau t÷ìng ÷ìng:

(i) R l  catenary

(ii) dim R/q = dim R/p +htp/q vîi måi q ⊆p;p,q ∈ SpecR

Nh­c l¤i r¬ng, v nh R ÷ñc gåi l  ¯ng chi·u n¸u dim R/p = dim Rvîi måi i¶an nguy¶n tè tèi thiºu p cõa R Vîi måi i¶an nguy¶n tè p cõa

R ta luæn câ b§t ¯ng thùc

htp+ dim R/p 6 dim R

N«m 1971, R J Ratliff ¢ mð rëng k¸t qu£ tr¶n cho c¡c v nh àa ph÷ìng.M»nh · 1.9.4 (Xem [18]) Gi£ sû R l  v nh àa ph÷ìng Noether ¯ngchi·u Khi â R l  catenary n¸u v  ch¿ n¸u vîi måi i¶an nguy¶n tè p cõa

R ta câ

htp+ dim R/p = dim R

ành ngh¾a 1.9.5 (Xem [17]) V nhR ÷ñc gåi l  tüa khæng trën l¨n n¸u

v nh ¦y õ m-adic bRcõaRl  ¯ng chi·u, tùc l dimR/b bp = dimRbvîi måi

bp ∈ minAss(R)b V nh R ÷ñc gåi l  khæng trën l¨n n¸udimR/b bp = dimRbvîi måi bp ∈ Ass bR

1.10 çng c§u ph¯ng

Trong ti¸t n y, chóng tæi tr¼nh b y mët sè k¸t qu£ theo [15]

Gi£ sû f : R → S l  çng c§u v nh Khi â méi S-mæun L ·u câ c§utróc l  R-mæun, trong â ph²p cëng ¢ câ s®n trong L v  t½ch væ h÷îngcõa ph¦n tû r ∈ R vîi ph¦n tû a ∈ L ÷ñc cho bði t½ch f (r)a C§u tróc

R-mæun L x¡c ành nh÷ th¸ ÷ñc gåi l  c§u tróc R-mæun x¡c ành bðif

Mët çng c§u f : R → S ÷ñc gåi l  çng c§u ph¯ng n¸u S x²t nh÷

R-mæun x¡c ành bði f l  R-mæun ph¯ng, tùc l  vîi méi d¢y khîp

0 → L0 → L → L00 → 0c¡c R-mæun, d¢y c£m sinh 0 → L0⊗ S → L ⊗ S → L00⊗ S → 0 l  khîp.Mët çng c§u f : R → S ÷ñc gåi l  çng c§u ho n to n ph¯ng n¸u Sx²t nh÷ R-mæun x¡c ành bði f l  R-mæun ho n to n ph¯ng, tùc l  vîiméi d¢y

0 → L0 → L → L00 → 0c¡c R-mæun l  khîp n¸u v  ch¿ n¸u d¢y c£m sinh

0 → L0 ⊗ S → L ⊗ S → L00⊗ S → 0 l  khîp.M»nh · 1.10.1 C¡c ph¡t biºu sau l  óng:

(i) N¸u f : R → S l  çng c§u ho n to n ph¯ng th¼ ¡nh x¤ c£m sinh

af : SpecS → SpecR cho bði af(p) = f−1(p) := p∩ R vîi p ∈ SpecS l 

vîi q 6= p v  méi i¶an nguy¶n tè P cõa S sao cho f−1(P ) = p ·u tçnt¤i i¶an nguy¶n tè Q cõa S sao cho Q ⊂ P v  f−1(Q) = q.

M»nh · 1.10.2 Cho (R,m) v  (S,n) l  c¡c v nh Noether àa ph÷ìng.N¸u f : R → S l  çng c§u ph¯ng àa ph÷ìng (tùc l  f (m) ⊆ n) th¼ fthäa m¢n ành lþ Going down

M»nh · 1.10.3 (Xem [15]) Gi£ sû f : R → S l  mët çng c§u giúa c¡c

v nh Noether v  M l  mët S-mæun Khi â

AssR(M ) = af(AssS(M ))

ành lþ 1.10.4 (Xem [15]) Cho f : R → S l  mët çng c§u giúa c¡c

v nh Noether, E l  mët R-mæun v  F l  mët S-mæun Gi£ sû F l 

R-mæun ph¯ng Khi â c¡c m»nh · sau ¥y l  óng

(i) Vîi b§t k¼ i¶an nguy¶n tè p cõa R,

Chó þ r¬ng çng c§u tü nhi¶n R → Rb l  ho n to n ph¯ng Chóng ta

câ thº sû döng M»nh · 1.10.3 v  ành lþ 1.10.4 º ÷ñc k¸t qu£ sau.M»nh · 1.10.5 Cho(R,m) l  v nh Noether àa ph÷ìng v M l R-mæunhúu h¤n sinh Khi â