Môđun Noether và môđun Artin
Môđun Noether là một trong những loại môđun quan trọng nhất trong Đại số giao hoán Bài viết này sẽ cung cấp định nghĩa và một số tính chất nổi bật của môđun Noether.
Bổ đề 1.1.1 khẳng định rằng cho R là một vành giao hoán và M là một R-môđun, các mệnh đề sau đây là tương đương: i) Mọi môđun con của M đều hữu hạn sinh; ii) Nếu tồn tại một dãy tăng các môđun con của M, thì sẽ có một chỉ số n sao cho mọi môđun từ chỉ số n trở đi đều bằng nhau; iii) Mọi tập không rỗng các môđun con của M đều có phần tử tối đại Định nghĩa 1.1.2 chỉ ra rằng một R-môđun M thỏa mãn một trong các điều kiện trên được gọi là môđun Noether, và một vành giao hoán R được xem là vành Noether nếu nó là R-môđun Noether.
Mệnh đề 1.1.3 i) Cho dãy khớp ngắn các R-môđun
M là R-môđun Noether nếu và chỉ nếu M 0 và M” là các R-môđun Noether Mỗi R-môđun hữu hạn sinh trên vành Noether R đều là R-môđun Noether Nếu M là một R-môđun Noether và S là một tập đóng nhân của R, thì M giữ các tính chất của môđun Noether.
Tiếp theo ta xét khái niệm môđun Artin đó là một khái niệm đối ngẫu của môđun Noether.
Bổ đề 1.1.4 chỉ ra rằng cho một R-môđun M, các mệnh đề sau đây là tương đương: (i) Nếu có một dãy giảm các môđun con N1 ⊇ N2 ⊇ N3 ⊇ ⊇ Ni ⊇ thì tồn tại n ≥ 1 sao cho Ni = Nn với mọi i ≥ n; (ii) Mọi tập con không rỗng của các môđun con của M đều có phần tử cực tiểu Định nghĩa 1.1.5 cho biết một R-môđun M thỏa mãn một trong các điều kiện trên được gọi là môđun Artin, và một vành giao hoán R được gọi là vành Artin nếu nó là R-môđun Artin.
Ta xét một số tính chất của môđun Artin.
Mệnh đề 1.1.6 i) Cho dãy khớp ngắn các R-môđun
M là R-môđun Artin nếu và chỉ nếu M 0 và M” là các R-môđun Artin Mỗi R-môđun hữu hạn sinh trên vành Artin R đều là một R-môđun Artin Hơn nữa, mỗi iđêan nguyên tố trong một vành Artin R là một iđêan cực đại.
Iđêan nguyên tố liên kết
Định nghĩa 1.2.1 Cho M là R-môđun và p ∈ SpecR Khi đó p được gọi là một iđêan nguyên tố liên kết của M nếu tồn tại 0 6= x ∈ M sao cho
(0 : R x) = p Tập tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của M được kí hiệu là AssM hoặc Ass R M.
Cho a là một iđêan của R, ta kí hiệu là V(a) là tập được xác định bởi
Sau đây là một vài tính chất của tập Ass.
Mệnh đề 1.2.2 chỉ ra rằng, với M là R-môđun và N là môđun con của M, nếu p thuộc SpecR và a là một iđêan của R, thì có các kết quả sau: i) Ass(0 :M a) = AssM ∩V(a); ii) AssN ⊆ AssM ⊆ AssN ∪ AssM/N; iii) p thuộc AssM nếu và chỉ nếu R/p đẳng cấu với một môđun con nào đó của M Định nghĩa 1.2.3 xác định rằng, với M là một R-môđun, tập giá của M được ký hiệu là Supp R M hoặc SuppM.
Mệnh đề 1.2.4 i) Cho dãy khớp môđun 0→ M 0 → M → M” →0 Khi đó
SuppM = SuppM 0 ∪SuppM”. ii) AssM ⊆SuppM ⊆ V(AnnM) Nếu M là môđun hữu hạn sinh trên vànhNoether thì SuppM = V(AnnM) và AssM là tập hữu hạn.
Môđun Ext và môđun Tor
Một R-môđun P được gọi là xạ ảnh nếu với mọi toàn cấu f:M → N và đồng cấu g: P → N, luôn tồn tại đồng cấu h: P → M sao cho g = f ◦ h Đối với một R-môđun M, một giải xạ ảnh của R-môđun M là một dãy khớp.
Một R-môđun E được gọi là nội xạ nếu với mọi đơn cấu f : N → M và đồng cấu g : N → E, luôn tồn tại đồng cấu h : M → E sao cho g = h◦f Định nghĩa này chỉ ra rằng E có khả năng "hấp thụ" các cấu trúc từ M thông qua N Hơn nữa, một giải nội xạ của R-môđun M là một dãy khớp, cho thấy sự liên kết giữa các môđun trong hệ thống này.
0→ M −→ ϕ E 0 − f → 0 E 1 −→ f 1 E 2 − f → 2 trong đó E i là các R-môđun nội xạ với mọi i ≥ 0. Định nghĩa 1.3.3 i) Một R-môđun E được gọi là mở rộng cốt yếu của một
R-môđun không tầm thường M nếuM ⊆ E và với mỗi môđun con khác không
Trong lý thuyết môđun, N của E luôn có giao N ∩ M khác không Một R-môđun E được xem là bao nội xạ của M khi E là R-môđun nội xạ và đồng thời là một mở rộng cốt yếu của M Hơn nữa, một R-môđun M khác không được gọi là không phân tích được nếu nó không phải là tổng trực tiếp của hai môđun con thực sự của nó.
Một R-môđun nội xạ E có thể được biểu diễn dưới dạng tổng trực tiếp của các môđun con nội xạ không phân tích được Định nghĩa 1.3.4 nêu rõ rằng cho N là một R-môđun, ta xem xét hàm tử phản biến Hom(−, N) Nếu M là một R-môđun, ta có thể lấy một giải xạ ảnh của M.
Tác động hàm tử Hom(−, N) vào dãy khớp trên ta có đối phức
Khi đó Ext i R (M, N) = Kerf i ∗ /Imf i−1 ∗ được gọi là môđun mở rộng thứ i của
M và N Môđun này không phụ thuộc vào việc lựa chọn giải xạ ảnh của M.
Ta xét một số tính chất của môđun Ext.
Mệnh đề 1.3.5 nêu rằng, cho M và N là các R-môđun, ta có i) Ext 0 R (M, N) ∼= Hom(M, N) ii) Nếu M và N là hữu hạn sinh, thì Ext i R (M, N) cũng là hữu hạn sinh với mọi i ≥ 0 iv) Đối với dãy khớp ngắn 0→ N 0 → N → N”→ 0, tồn tại dãy khớp dài tương ứng.
→ Ext 1 R (N, M) → Ext 1 R (N 0 , M) →Ext 2 R (N 00 , M) → . trong đó Ext n R (N 0 , M) →Ext n+1 R (N”, M) là đồng cấu nối với mọi n ≥0. v) Cho dãy khớp ngắn 0→ N 0 → N → N”→ 0 khi đó tồn tại dãy khớp dài
→Ext 1 R (M, N) → Ext 1 R (M, N”) →Ext 2 R (M, N 0 ) → trong đó Ext n R (M, N”) → Ext n+1 R (M, N 0 ) là đồng cấu nối với mọi n≥ 0. Định nghĩa 1.3.6 Cho N là R-môđun Xét hàm tử phản biến, khớp phải
− ⊗ R N Cho M là R-môđun, lấy một giải xạ ảnh của M
Tác động hàm tử − ⊗ R N vào dãy khớp trên ta có phức
Tor R i (M, N) = Kerf i−1 ∗ /Imf i ∗ được định nghĩa là môđun xoắn thứ i của M và N, và nó không phụ thuộc vào lựa chọn giải xạ ảnh của M Mệnh đề 1.3.7 chỉ ra rằng đối với một R-môđun M, ta có i) Tor i R (M, N) = M ⊗ R N ii) Trong trường hợp có dãy khớp ngắn 0 → N 0 → N → N 00 → 0 của các R-môđun, ta sẽ có dãy khớp dài tương ứng.
Môđun đối đồng điều địa phương
Môđun con a-xoắn của một R-môđun M, ký hiệu Γ a (M), được định nghĩa thông qua tập hợp các phần tử trong M mà có thể biểu diễn dưới dạng tổng của các phần tử thuộc a Khi có một đồng cấu h: M → N giữa các R-môđun, ta có thể xác định đồng cấu cảm sinh Γ a (h): Γ a (M) → Γ a (N) bằng cách ánh xạ mỗi phần tử m trong Γ a (M) sang h(m) Hàm tử Γ a (−) là một hàm tuyến tính, đồng thời cũng là hàm tử hiệp biến, chuyển đổi giữa các R-môđun Hàm tử này được gọi là hàm tử a-xoắn.
Sau đây là một số tính chất của Γ a (M).
Mệnh đề 1.4.2 nêu rõ rằng Γ 0 (M) = M và Γ R (M) = 0 Nếu a ⊆ b, thì Γ b (M) sẽ là tập con của Γ a (M) Ngoài ra, Γa+b(M) được xác định là giao của Γ a (M) và Γ b (M) Đối với R-môđun Noether, Ass R (Γ a (M)) bằng giao của Ass R (M) và V(a) Cuối cùng, nếu R là Noether, thì Ass R (M/Γ a (M)) sẽ bằng hiệu của Ass R (M) và V(a) Định nghĩa 1.4.3 cho biết rằng với R-môđun M, tồn tại một giải nội xạ của M có dạng nhất định.
0→ M −→ φ E 0 − d → 0 E 1 − d → 1 E 2 − d → 2 −−→ d i−1 E i d −→ i Tác động hàm tử Γ a (−) vào dãy khớp trên ta được phức sau
Khi đó H a i (M) = Kerd i ∗ /Imd i−1 ∗ được gọi là môđun đối đồng điều địa phương thứ i của M đối với iđêan a.
Mệnh đề 1.4.4 chỉ ra rằng, cho a là iđêan của R và M là R-môđun, ta có hai kết luận quan trọng: i) H a^0(M) tương đương với Γa(M) ii) Nếu tồn tại một dãy khớp ngắn 0 → M' → M → M'' → 0, thì với mọi n ≥ 0, luôn có đồng cấu nối H a^i(M'') → H a^(i+1)(M') sao cho dãy sau là khớp.
Tính chất minimax cho môđun mở rộng của môđun đối đồng điều địa phương 12
Điều kiện cho tính chất minimax của môđun
Mục đích của phần này là chứng minh rằng nếu a là một iđêan của vành giao hoán Noether R và M là một môđun a-cominimax trên R, thì môđun R/aM cũng là a-minimax với mọi n∈ N (theo Định lý 2.1.9) Bên cạnh đó, bài viết cũng sẽ đề cập đến một số ứng dụng của kết quả này.
Chiều Goldie của một R-môđun M, được ký hiệu là GdimM, được định nghĩa là số lượng các môđun con không phân tích được trong bao nội xạ E(M) Những môđun này xuất hiện khi E(M) được phân tích thành tổng trực tiếp của các môđun con không phân tích được.
Ta nhắc lại rằng, với mỗi iđêan nguyên tố p, số Bass thứ 0 của M đối với p, kớ hiệu làà 0 (p, M), được xỏc định bởià 0 (p, M) = dim k(p) (Hom R p (k(p), M p )).
Ta biết rằng à 0 (p, M) > 0 nếu và chỉ nếu p ∈ Ass R M Ta cũng dễ thấy GdimM = P p∈Ass R M à 0 (p, M).
Chiều Goldie a-tương đối của một R-môđun M, ký hiệu là Gdim a M, được định nghĩa dựa trên iđêan a của R Để tìm hiểu rõ hơn về khái niệm này, người đọc có thể tham khảo các tài liệu [1] và [3].
H Zoschinger đã định nghĩa khái niệm môđun minimax như sau. Định nghĩa 2.1.3 (xem [1], [6], [7]) Một R-môđun M được gọi là minimax nếu tồn tại một môđun con hữu hạn sinh N của M sao cho M/N là môđunArtin.
Khi R là vành Noether, ta biết rằng một môđun M là minimax nếu và chỉ nếu mọi môđun thương của M đều có chiều Goldie hữu hạn (xem trong
Môđun minimax được định nghĩa cho một iđêan a trong R, trong đó một R-môđun M được coi là a-minimax nếu chiều Goldie a-tương quan của mọi môđun thương của M là hữu hạn Cụ thể, điều này có nghĩa là Gdim a (M/N) < ∞ với mọi môđun con N của M.
Chú ý 2.1.5 Cho a là iđêan của R và M là R-môđun.
(i) Nếu a = 0, thì M là a-minimax nếu và chỉ nếu M là minimax.
(ii) Nếu M là a-xoắn, thì M là a-minimax nếu và chỉ nếu M là minimax (xem
(iii) Nếu M là Noether hoặc Artin thì M là minimax.
(iv) Nếu b là iđêan của R sao cho b ⊇ a và M là a-minimax, thì M là b- minimax Đặc biệt, ta suy ra mọi môđun minimax đều là a-minimax.
Bổ đề dưới thường được dùng cho các chứng minh về sau
Bổ đề 2.1.6 ([1, Mệnh đề 2.3]) Cho a là iđêan của R Cho 0→ M 0 → M →
M 00 → 0 là dãy khớp của các R-môđun Khi đó M là a-minimax nếu và chỉ nếu M 0 , M 00 là a-minimax.
Giả sử M 0 là môđun con của M và M 00 = M/M 0 Nếu M là a-minimax, thì theo định nghĩa, cả M 0 và M/M 0 cũng sẽ là a-minimax Giả sử M 0 và M/M 0 là a-minimax, và lấy N là môđun con của
M và p ∈ Ass(M/N)∩V(a) Khi đó dãy khớp
Vì Ass R (M/N) ⊆ Ass R M 0 N +N ∪Ass R M M 0 +N và các tập Ass R M N 0 +N ∩ V(a) và Ass R M M 0 +N ∩V(a) là hữu hạn, nên ta suy ra rằng Gdim a (M/N) < ∞; và do đó M là a-minimax.
Các bổ đề sau là những tính chất về điều kiện cho tính chất minimax.
Bổ đề 2.1.7 Cho M là một R-môđun sao cho Hom R (R/a, M) là một R- môđun a-minimax Khi đó HomR(R/a n , M) là a-minimax với mọi n≥ 0.
Để chứng minh, chúng ta áp dụng phương pháp quy nạp theo n Đối với n = 0 hoặc n = 1, điều này hiển nhiên theo giả thiết Khi n > 1, chúng ta giả sử rằng kết quả đã được chứng minh cho n−1 Tiếp theo, chúng ta sẽ xem xét dãy khớp sau.
Trong bài viết này, chúng ta xem xét cấu trúc của môđun con a = (a1, , at) trong (0 : M a n) và hàm f(x) = (a1 x, , at x) Theo Bổ đề 2.1.6, a i (0 : M a n) là a-minimax với mọi i = 1, , t Khi áp dụng Bổ đề 2.1.6 một lần nữa, chúng ta suy ra rằng HomR(R/a n , M) cũng là a-minimax.
Bổ đề 2.1.8 Cho M là một R-môđun sao cho M/aM là a-minimax Khi đó M/a n M là a-minimax với mọi n ≥0.
Chứng minh Ta dùng quy nạp theo n Trường hợp n= 0 hoặc n= 1 là đúng theo giả thiết Cho n > 1 và giả sử kết quả đã được chứng minh cho n− 1.
Theo [1, Hệ quả 2.4] và giả thiết quy nạp, ta có (M/a n−1 M) k là a-minimax, với mọi số nguyên k ≥ 0 Xét dãy khớp
Do đó, áp dụng giả thiết quy nạp và Bổ đề 2.1.6, ta suy raM/a n M làR-môđun a-minimax.
Trong mục này, chúng tôi sẽ trình bày các kết quả chính Định lý 2.1.9 chỉ ra rằng, nếu M là một R-môđun và Ext i R (R/a, M) là một R-môđun a-minimax với mọi i ≥ 0, thì M/a n M cũng sẽ là a-minimax cho mọi n ≥ 0.
Chứng minh Theo Bổ đề 2.1.8, ta chỉ cần chỉ ra rằng M/aM là a-minimax. Cho a = (x 1 , , x n ) Khi đó, ta biết rằng
M/aM 'H n (x 1 , , x n ;M), trong đó H n (x 1 , , x n ;M) là kí hiệu cho môđun đối đồng điều Koszul thứ n.
Ta xét đối phức Koszul K • (x, M) = HomR(K • (x), M) như sau:
0→ HomR(K0(x), M) →HomR(K1(x), M) → → HomR(Kn(x), M) → 0 trong đó
K • (x) : 0→ Kn(x) → → K2(x) → K1(x) → K0(x) → 0 là phức Koszul của R tương ứng với dãy x = x1, , xn Trong đó, H i (x1, , xn; M) được xác định bởi Z i /B i, với B i và Z i lần lượt là kí hiệu cho các môđun đối bờ và đối xích của phức K • (x, M).
C = {N | Ext i R (R/a, N) là a-minimax với mọi i ≥0}.
Rõ ràng ta có M ∈ C theo giả thiết Bằng quy nạp ta sẽ chỉ ra rằng B j ∈ C với mọi j ≥ 0 Ta có
Cho B t ∈ C với t ≥ 0, định nghĩa C i = HomR(Ki(x), M)/B i Do Kt(x) là một R-môđun tự do hữu hạn sinh và M ∈ C, từ Bổ đề 2.1.6, ta suy ra Hom R (K t (x), M) ∈ C Bởi vì B t ∈ C và Hom R (K t (x), M) ∈ C, theo Bổ đề 2.1.6, ta có C t ∈ C Do đó, Ext i R (R/a, C t) là a-minimax với mọi i ≥ 0; đặc biệt với i = 0, ta có (0 : C t a) ∼= HomR(R/a, C t) là a-minimax Theo tính chất của phức Koszul, aH t (x 1, , x n; M) = 0.
Do đó H t (x 1 , , x n ;M) là a-minimax Kết quả là, từ dãy khớp ngắn
0 →H t (x 1 , , x n ;M) →C t → B t+1 →0 và Bổ đề 2.1.6, ta suy ra rằng B t+1 ∈ C Do đó ta đã chứng minh được rằng
Bây giờ vì B n ∈ C và Hom R (K n (x), M) ∈ C, nên được C n ∈ C theo Bổ đề 2.1.6 Do đó (0 : C n a) ∼= HomR(R/a, C n ) = Ext 0 R (R/a, C n ) là a−minimax Vì vậy H n (x1, , xn;M) là a-minimax theo Bổ đề 2.1.6 (lưu ý
H n (x1, , xn;M) ⊆ (0 :C n a)) Mặt khác, vì M/aM = H n (x1, , xn;M), nên ta suy ra rằng M/aM là R-môđun a-minimax.
Môđun cominimax, được định nghĩa bởi R Naghipour và đồng nghiệp, là một sự tổng quát hóa của môđun minimax và môđun cofinite Cụ thể, cho a là một iđêan trong vành giao hoán Noether R và M là một R-môđun, M được gọi là R-môđun a-cominimax nếu như Supp R M nằm trong V(a) và Ext i R (R/a, M) là a-minimax cho mọi i ≥ 0.
Chú ý 2.1.11 Nếu dimR = 0, thì mỗi R-môđun a-cominimax M là a- minimax Thật vậy, vì SuppM ⊆ V(a) và R là Artin, nên ta suy ra rằng
M = (0 : M a n ), và do đó M là a-minimax theo Bổ đề 2.1.7.
Trường hợp tổng quát, ta có kết quả sau.
Hệ quả 2.1.12 Cho M là một R-môđun a-cominimax Khi đó M/a n M là a-minimax với mọi n≥ 0.
Chứng minh Khẳng định được suy ra từ định nghĩa và Định lý 2.1.9.
Hệ quả 2.1.13 Cho a là một iđêan của R, và M là một R-môđun sao cho
H a i (M) là a-cominimax với mọi i Khi đó M/a n M làa-minimax với mọin≥ 0.
H a i (M) được chứng minh là a-cominimax cho mọi i, do đó theo Mệnh đề 3.7, R-môđun Ext i R (R/a, M) cũng là a-minimax cho mọi i Kết quả này được suy ra từ việc áp dụng Định lý 2.1.9.
Tính chất a-minimax của các môđun Ext và Tor
Trong phần này, chúng ta sẽ chứng minh một kết quả liên quan đến sự tương đương của tính chất a-minimax, dựa trên ứng dụng hiệu quả của Định lý 2.1.9 đã trình bày ở mục trước.
R-môđun Ext i R (R/a, M), Tor R i (R/a, M) và H i (x 1 , , x t ;M), với mọi i ≥ 0; cụ thể là định lý sau. Định lý 2.2.1 Cho a = (x 1 , , x t ) là một iđêan của R, và cho M là một
R-môđun Khi đó những khẳng định sau là tương đương: i) Ext i R (R/a, M) là một R-môđun a-minimax với mọi i ≥ 0. ii) Tor R i (R/a, M) là một R-môđun a-minimax với mọi i ≥ 0. iii) Các môđun đối đồng điều Koszul H i (x 1 , , x t ;M) làR-môđun a-minimax với mọi i ≥ 0.
F • : − d → 3 F 2 − d → 2 F 1 − d → 1 F 0 →R/a → 0 là một dải tự do gồm các R-môđun hữu hạn sinh cho R-môđun R/a Ta xét phức sau đây:
Khi đó Tor R i (R/a) ∼= Z i /B i trong đó Z i = Ker(d ∗ i ) là môđun xích, B i Im(d ∗ i+1 ) là môđun bờ của phức F• ⊗ R M Đặt
C = {N | Ext i R (R/a, N) là a−minimax với mọi i ≥ 0}.
Bằng quy nạp ta sẽ chứng minh được rằng Zj ∈ C với mọi j ≥ 0 Vì
M ∈ C (theo giả thiết) và F 0 là R-môđun tự do hữu hạn sinh, nên ta có
Z 0 = F 0 ⊗ R M ∈ C Bây giờ giả sử Z t ∈ C với t≥ 0 nào đó Xét dãy khớp sau
0→ C i+1 →Z i →Tor R i (R/a) → 0, (2.1) trong đó Ci = (Fi ⊗ R M)/Zi Do đó ta nhận được dãy khớp
Do đó Tor R t (R/a, M) là ảnh đồng cấu của Z t /aZ t Vì Z t ∈ C, nên từ Định lý 2.1.9 ta suy ra Z t /aZ t là a-minimax, và do đó Tor R t (R/a, M) là a-minimax.
Từ (2.1), ta suy ra rằng Ct+1 thuộc C, và theo quy nạp, Zj thuộc C với mọi j ≥ 0 Áp dụng Định lý 2.1.9, ta có Z i /aZ i là a-minimax với mọi i ≥ 0, và do đó Tor R i (R/a, M) cũng là a-minimax với mọi i ≥ 0.
H i (x 1 , , x t ;M) 'H n−i (x 1 , , x t ;M), nên để chứng minh kết quả của (iii), ta chỉ cần chỉ ra rằng H i (x 1 , , x t ;M) là a-minimax với mọi i ≥ 0 Đặt x = x 1 , , x n Xét dãy phức Koszul
Khi đó Hi(x1, , xt;M) = Z i 0 /B i 0 , với B i 0 và Z i 0 lần lượt là các môđun bờ và xích của phức K•(x)⊗ R M Đặt
C 0 = {N | Tor i R (R/a, N) là a-minimax với mọi i ≥ 0}.
0 →C i+1 0 → Z i 0 → H i (x 1 , , x t ;M) → 0, với C i 0 = (K i (x)⊗ R M)/Z i 0 Do đó ta nhận được dãy khớp
Bây giờ lập luận tương tự chứng minh của (i)⇒(ii), ta suy ra Z i 0 ∈ C 0 với mọi i ≥ 0 Do đó Z i 0 /aZ i 0 = Tor R 0 (R/a, Z i 0 ) là a-minimax với mọi i ≥ 0, và vì thế
Hi(x1, , xt;M) là a-minimax với mọi i ≥ 0.
Dải tự do F • : →F 2 → F 1 →F 0 →R/a →0 bao gồm các R-môđun hữu hạn sinh cho R-môđun R/a Từ đó, ta có thể suy ra rằng Ext i R (R/a, M) = Z i /B i, trong đó B i và Z i là các môđun đối bờ và đối xích của phức HomR(F • , M).
0 →Ext i R (R/a, M) →C i →B i+1 → 0, với C i = Hom R (F i , M)/B i Thì theo chứng minh của Định lý 2.1.9, ta có
B i ∈ C 00 với mọi i ≥0 Do đó C i ∈ C 00 với mọi i ≥ 0 Bây giờ, vì
Ext i R (R/a, M) ⊆ (0 : C i a) ∼= HomR(R/a, C i ) ∼= H 0 (x 1 , , x t ;C i ) và H 0 (x 1 , , x t ;C i ) là a-minimax, do đó Ext i R (R/a, M) là a-minimax với mọi i ≥ 0 Định lý 2.2.2 mở rộng Định lý 2.1.9, khẳng định rằng nếu M là một R-môđun với Ext i R (R/a, M) là a-minimax cho mọi i ≥ 0, thì với bất kỳ R-môđun hữu hạn sinh L có Supp R (L) ⊆ V(a), ta có Ext i R (L, M) và Tor R i (L, M) cũng là các R-môđun a-minimax cho mọi i ≥ 0.
Chứng minh Vì V(Ann R L) ⊆ V(a), nên √
Ann R L ⊇ √ a ⊇ a; do đó tồn tại n ∈ N sao cho aL = 0 Do đó a n Ext i R (L, M) = 0 và a n Tor R i (L, M) = 0 với mọi i ≥ 0 Cho
F • : → F 2 →F 1 → F 0 → L → 0 là một giải tự do bao gồm các R-môđun hữu hạn sinh cho R-môđun L Trong trường hợp này, Ext i R (L, M) được xác định bởi công thức Z i /B i, trong đó B i và Z i lần lượt là các môđun đối bờ và đối xích của phức Hom R (F • , M).
C = {N | Ext i R (R/a, N) là a-minimax với mọi i ≥0}, và xét dãy khớp ngắn
0 →Ext i R (L, M) → C i → B i+1 →0, với C i = HomR(Fi, M)/B i Khi đó theo chứng minh của Định lý 2.1.9 và Bổ đề 2.1.7, ta có B i ∈ C với mọi i ≥ 0 (Chú ý rằng Ext i R (L, M) ⊆ (0 : C i a n )).
Vì C i ∈ C với mọi i ≥ 0, nên (0 : C i a) là a-minimax cho mọi i ≥ 0 Kết hợp với Bổ đề 2.1.7, ta suy ra rằng (0 : C i a n) cũng là a-minimax cho mọi i ≥ 0 và mọi n ≥ 0 Hơn nữa, do Ext i R (L, M) ⊆ (0 : C i a n), ta có thể kết luận rằng Ext i R (L, M) là a-minimax cho mọi i ≥ 0.
Ta cũng có Tor R i (L, M) = Z i /B i , với B i và Z i lần lượt là các môđun bờ và xích của phức F• ⊗ R M Đặt
C 0 = {N | Tor R i (R/a, N) là a-minimax với mọi i ≥ 0}.
Theo Định lý 2.2.1 và giả thiết, ta có M ∈ C 0 Xét dãy khớp sau
0 →C i+1 → Z i → Tor R i (L, M) →0, với C i = (F i ⊗ R M/Z i ) Vì a n Tor R i (L, M) = 0 với mọi i ≥ 0, nên ta có dãy khớp
Bây giờ, ta sử dụng lập luận như trong chứng minh Định lý 2.2.1 phần ((i)⇒(ii)) và áp dụng Bổ đề 2.1.8, khi đó ta thu được Z i ∈ C với mọi i ≥ 0.
Do đó, từ Bổ đề 2.1.8, ta có Z i /a n Z i là a-minimax với mọi i ≥ 0, và vì thếTor R i (L, M) là a-minimax với mọi i ≥ 0.
Nguyên lý đổi vành cơ sở cho tính chất a-minimax
Mục này sẽ trình bày nguyên lý thay đổi vành cơ sở đối với tính chất a-cominimax, trước hết ta cần thiết lập bổ đề sau đây.
Bổ đề 2.3.1 khẳng định rằng, với vành giao hoán T là ảnh đồng cấu của R và M là một T-môđun, ta có Gdim aT M = Gdim a M Điều này có nghĩa là M sẽ là một T-môđun aT-minimax nếu và chỉ nếu M cũng là một R-môđun a-minimax.
Chứng minh Giả sử rằng T = R/I với một iđêan I nào đó của R Khi đó
Mặt khác, với bất kỳ p ∈ Ass R M ∩V(a) ta có
Hom T p (k(p), M p ) ∼= HomR p(k(p), M p ) như các k(p)-không gian véc tơ, trong đó p = p/I và k(p) = R p /pR p Do đó à 0 (p, M) =à 0 (p/I, M) và điều này hoàn thành chứng minh.
Chúng ta đã chuẩn bị để trình bày và chứng minh nguyên lý chuyển vành cơ sở liên quan đến tính chất cominimax của các môđun Định lý 2.3.2 khẳng định rằng nếu T là một ảnh đồng cấu của R và M là một
T-môđun Khi đó M là một T-môđun aT-cominimax nếu và chỉ nếu M là một
Chứng minh Giả sử rằng T = R/I với một iđêan I nào đó của R Khi đó ta có
Do đó, Supp T M ⊆ V(aT) nếu và chỉ nếu Supp R M ⊆ V(a) Với a (x₁, , xₜ) và ϕ: R → T là toàn cấu tự nhiên, ta có aT = (ϕ(x₁), , ϕ(xₜ)) Từ Định lý 2.2.1, suy ra rằng Extᵢ T (T/aT, M) là một T-môđun aT-minimax với mọi i nếu và chỉ nếu các môđun đối đồng điều Koszul.
H i (ϕ(x1), , ϕ(xt);M) là các T-môđun aT-minimax với mọi i Nhưng, theo
Bổ đề 2.3.1, ta có H i (ϕ(x 1 ), , ϕ(x t );M) là aT-minimax nếu và chỉ nếu
H i (ϕ(x 1 ), , ϕ(x t );M) là a-minimax Bây giờ kết quả được suy ra từ đẳng cấu
Định lý 2.2.1 cho thấy rằng H i (ϕ(x 1 ), , ϕ(x t );M) tương đương với H i (x 1 , , x t ;M) Theo Định lý 2.3.3, nếu f : M → N là một R-đồng cấu và Ext i R (R/a,Kerf) cùng với Ext i R (R/a,Cokerf) đều là các R-môđun a-minimax cho mọi i ≥ 0, thì Ker Ext i R (id R/a , f) và Coker Ext i R (id R/a , f) cũng sẽ là các R-môđun a-minimax với mọi i ≥ 0.
Chứng minh Các dãy khớp
0→ Kerf →M −→ g Imf →0 và 0 →Imf −→→ ι N →Cokerf →0, (với ι◦g = f) cho ta hai dãy khớp sau đây
→Ext i R (R/a,Kerf) →Ext i R (R/a, M) →Ext i R (R/a,Imf) → (2.2) và
→ Ext i R (R/a,Imf) →Ext i R (R/a, N) → Ext i R (R/a,Cokerf) → .
Vì Ext i+1 R (R/a,Kerf) là a-minimax, từ dãy khớp (2.2) suy ra rằng Coker Ext i R (id R/a , g) và Ker Ext i+1 R (idR/a, g) đều là a-minimax với mọi i ≥ 0 Hơn nữa, do Ext i R (R/a,Cokerf) cũng là a-minimax, từ dãy khớp (2.3) ta có thể kết luận rằng các R-môđun Coker Ext i R (id R/a , ι) và Ker Ext i+1 R (id R/a , ι) cũng là a-minimax với mọi i ≥ 0.
Bây giờ điều khẳng định của định lý được suy ra từ các dãy khớp sau
0→ Ker Ext i R (id R/a , g) → Ker Ext i R (id R/a , f) → Ker Ext i R (id R/a , ι) và
Coker Ext i R (id R/a , g) →Coker Ext i R (id R/a , f) → Coker Ext i R (id R/a , ι) → 0.
Hệ quả 2.3.4 Cho M là một R-môđun với Supp R M ⊆ V(a) Giả sử rằng x ∈ a sao cho (0 :M x) và M/xM đều là a-cominimax Khi đó M cũng là a-cominimax.
Đặt f = x1 M, ta có Kerf = (0 : M x) và Cokerf = M/xM Theo Định lý 2.3.3, R-môđun Ker Ext i R (1 R/a , f) là a-minimax Do Ext i R (1 R/a , f) = 0, suy ra Ker Ext i R (1 R/a , f) = Ext i R (R/a, M) Hệ quả đã được chứng minh.
Hệ quả 2.3.5 Cho M là một R-môđun Giả sử rằng x ∈ √ a sao cho (0 :M x) và M/xM đều là a-minimax Khi đó Ext i R (R/a,Γ Rx (M)) cũng là a-minimax với mọi i ≥ 0.
Chứng minh Ta có x n ∈ a với một số n nào đó Đặt f = x n 1 Γ Rx (M ) Khi đó ta có
Kerf = (0 : Γ Rx (M ) x n ) = (0 : M x n ), và Cokerf = Γx(M)/x n Γx(M) Bây giờ, từ dãy khớp
Theo Bổ đề 2.1.8, M/x n M là a-minimax, do đó Cokerf cũng là a-minimax Theo [1, Hệ quả 2.5] và Định lý 2.3.3, ta có Ker Ext i R (1 R/a , f) là a-minimax Tuy nhiên, vì x ∈ √ a dẫn đến Ext i R (1 R/a , f) = 0.
Ker Ext i R (1 R/a , f) = Ext i R (R/a,Γ Rx (M)), chứng minh được hoàn thành.
Hệ quả 2.3.6 Cho M là một R-môđun có Supp R M ⊆ V(a) Giả sử x ∈ √ a sao cho (0 : M x) và M/xM đều là a-minimax Khi đó M là a-cominimax.
Chứng minh Kết quả suy ra từ Hệ quả 2.3.5.
Trước khi phân tích kết quả tiếp theo, cần nhắc lại rằng, đối với một R-môđun M, chiều đối đồng điều của M liên quan đến iđêean a được xác định bởi công thức cd(a, M) = sup{i ∈ Z | H a i (M) ≠ 0}.
Bổ đề 2.3.7 Cho cd(a, R) = 1, và cho M là một R-môđun a-minimax Khi đó H a i (M) là a-cominimax với mọi i ≥ 0.
H a 0 (M) là môđun con của M và là a-cominimax Hơn nữa, do cd(a, R) = 1, dẫn đến H a i (M) = 0 với mọi i > 1, từ đó kết quả được rút ra từ [1, Hệ quả 3.9].
Bổ đề 2.3.8 Cho b là một iđêan của R với b ⊇ a, cd(b, R) = 1, và cho M là một R-môđun với Γ a (M) = 0 Khi đó
0 các trường hợp còn lại Chứng minh Khẳng định suy ra từ chứng minh của [5, Mệnh đề 3.15].
Hệ quả 2.3.9 Cho b là một iđêan của R với b ⊇ a, cd(b, R) = 1, và M là một R-môđun b-minimax Khi đó H b j (H a i (M)) là b-cominimax với mọi i ≥ 0 và j ≥ 0.
Theo Bổ đề 2.3.7, vì cd(b, R) = 1, nên H b j (Γ a (M)) là b-cominimax với mọi j ≥ 0 Đối với i > 0, ta có H a i (M) ∼= H a i (M/Γ a (M)), do đó có thể giả sử Γ a (M) = 0 Kết quả này được suy ra từ các Bổ đề 2.3.7 và 2.3.8.
Cho b là một iđêan của R với b ⊇ a và cd(b, R) = 1, trong khi M là một R-môđun b-minimax Đối với mọi R-môđun hữu hạn sinh L thỏa mãn Supp R L ⊆ V(b), các R-môđun Ext j R (L, H a i (M)) đều là b-minimax cho mọi i ≥ 0 và j ≥ 0 Đặc biệt, các R-môđun H a i (M)/b n H a i (M) cũng là b-minimax cho mọi i ≥ 0 và n ≥ 0.
Từ Hệ quả 2.3.9, ta có H b j (H a i (M)) là b-cominimax với mọi i ≥0 và j ≥ 0 Do đó, theo Mệnh đề 3.7, Ext j R (R/b, H a i (M)) cũng là b-minimax cho mọi i ≥ 0 và j ≥ 0 Kết quả này được suy ra từ Định lý 2.2.1 và 2.1.9.