Về mở rộng xyclic và mở rộng căn

Các công trình toán học ông để lại là một đề tài rất quan trọng cho việc tìm nghiệm của các phương trình đa thức bậc cao hơn 4, thông qua việc sử dụng công cụ lý thuyết nhóm trừu tượng m

NGHỆ AN - 2012

3

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 CÁC KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ CƠ SỞ CỦA LÝ THUYẾT 3

MỞ RỘNG TRƯỜNG VÀ LÝ THUYẾT GALOIS 1.1 Trường nguyên tố 3

1.2 Mở rộng trường ……… 6

1.3 Mở rộng Galois 8

CHƯƠNG 2 MỞ RỘNG XYCLIC VÀ MỞ RỘNG CĂN ……… 14

2.1 Mở rộng yclic 14

2.2 Mở rộng c n 16

2.3 T nh giải ư c c a nh m Galois c a mở rộng c n 18

2.4 ng d ng c a mở rộng c n v mở rộng yclic 20

2.5 Ph p d ng h nh ằng thước k v compa 30

CHƯƠNG 3 SỬ DỤNG PHẦN MỀM MAPLE ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẰNG CĂN TH C 3.1 S d ng maple 6 33

3.2 S d ng maple 7 35

3.3 S d ng maple 8 35

KẾT LUẬN 38

TÀI LIỆU THAM KHẢO 39

4

MỞ ĐẦU

Évariste Galois (1811 – 1832) là một thiên tài toán học người Pháp Các công trình toán học ông để lại là một đề tài rất quan trọng cho việc tìm nghiệm của các phương trình đa thức bậc cao hơn 4, thông qua việc sử dụng công cụ lý thuyết nhóm trừu tượng mà ngày nay được gọi là Lý thuyết Galois

Lý thuyết Galois là một nhánh quan trọng của đại số trừu tượng, một lý thuyết đẹp nổi bật của toán học Nguồn gốc của Lý thuyết Galois là vấn đề giải các phương trình đại số bằng căn thức, mà thực chất là mở rộng trường bằng cách ghép thêm liên tiếp những căn thức

Mở rộng xyclic và mở rộng căn là một trong những nội dung quan trọng trong Lý thuyết Galois Sử dụng các công cụ về mở rộng căn và lý thuyết nhóm

mà E Galois đã chỉ ra được tiêu chuẩn giải được bằng căn thức của các phương trình đại số đa thức và cho câu trả lời về việc không dựng được bằng thước kẻ và compa của một lớp các bài toán hình học cổ điển

Với những lý do như đã nêu ở trên, trong luận văn này chúng tôi tập trung trình bày hai nội dung chính sau đây:

1 Mô tả cấu trúc của mở rộng xyclic

2 Tính giải được của nhóm Galois của mở rộng căn

Từ đó, luận văn đi tìm hiểu sâu hơn về ứng dụng của mở rộng căn trong bài toán tìm tiêu chuẩn giải được bằng căn thức đối với phương trình đại số

Luận văn gồm 3 chương:

Chương 1 Giới thiệu những khái niệm và kết quả cơ sở của lý thuyết mở rộng trường và Lý thuyết Galois

Chương 2 Trình bày các khái niệm và kết quả của mở rộng xyclic; giới thiệu

về mở rộng căn và tính giải được của nhóm Galois của mở rộng căn; một số ứng dụng của mở rộng xyclic và mở rộng căn

5 Chương 3 Thực hành giải một số phương trình đại số bằng căn thức và tính toán nhóm Galois của một số đa thức trên phần mềm Maple

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Thành Quang Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn, người đã dành cho tác giả sự hướng dẫn tận tình, chu đáo

và nghiêm túc trong quá trình học tập, nghiên cứu và thực hiện luận văn

Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo thuộc chuyên ngành Đại số

và Lý thuyết số, khoa Toán học, phòng Đào tạo Sau Đại học – Trường Đại học Vinh – đã tận tình giảng dạy và hướng dẫn khoa học

Tác giả xin gửi lời cảm ơn Trường Đại học Sài Gòn đã quan tâm giúp đỡ tổ chức cho chúng tôi hoàn thành nhiệm vụ học tập và nghiên cứu theo chương trình đào tạo sau đại học liên kết giữa hai trường: Đại học Vinh - Đại học Sài Gòn

Mặc dù đã hết sức cố gắng, luận văn không tránh khỏi những thiếu sót Tác giả mong nhận được sự chỉ bảo của các thầy, cô giáo và đồng nghiệp

Tác giả

6

CHƯƠNG 1 CÁC KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ CƠ SỞ CỦA LÝ THUYẾT MỞ RỘNG TRƯỜNG VÀ LÝ THUYẾT GALOIS

1.1.  Trường nguyên tố

1.1.1 Đặc số c a trường Cho K là một trường với đơn vị 1 Nếu n1  0,với mọi

số tự nhiên n 0 thì ta nói trường K có đặc số 0 Trong trường hợp ngược lại, ta gọi số nguyên dương p bé nhất sao cho p1  0 là đặc số của trường K Đặc số

của trường K được ký hiệu bởi char(K) Ta có:

char( ) = 0, char( ) = 0; char( ) = 0;

char( p ) = p, với mọi số nguyên tố p

Nhận t Nếu trường K có đặc số p  0 thì p là số nguyên tố

1.1.2 Trường nguyên tố Một trường K được gọi là trường nguyên tố hay trường đơn nếu K không có một trường con thực sự nào cả

V d Trường số hữu tỉ và trường p các số nguyên modp là các trường nguyên tố

Nhận xét Mỗi trường đều chứa một trường con nguyên tố duy nhất

Thật vậy, ta gọi P là giao của tất cả các trường con của trường K Khi đó,

P là trường con bé nhất của K và do đó P là trường con nguyên tố duy nhất của

trường K

1.1.3 Định lý về các kiểu trường nguyên tố Cho K là một trường và P là

trường con nguyên tố của K

1) Nếu K có đặc số 0 thì P đẳng cấu với trường các số hữu tỉ

2) Nếu K có đặc số nguyên tố p thì P đẳng cấu với trường p các số nguyên modp

Chứng minh Lập ánh xạ f : K từ vành số nguyên tới K, xác định bởi f(m)

= m1, với 1 là phần tử đơn vị của trường K Ta có f là đồng cấu vành

1) Trong trường hợp trường K có đặc số 0, ta có:

Im(f) chính là trường con nguyên tố P của K

2) Trong trường hợp trường K có đặc số nguyên tố p, ta có

m  Ker(f)  f(m) = 0  m1 = 0  m  pZ

Vậy, Ker(f) = p Từ định lý đồng cấu vành, có /Ker(f) Im(f), hay /p

= p  Im(f) Do p là trường nên Im(f) cũng là trường Mặt khác, vì Im(f) là trường con bé nhất của K nên Im(f) = P và do đó ta có đẳng cấu P  p ▄

1.1.4 Mệnh ề Trong một trường K với đặc số nguyên tố p, ta có:

8

Ngoài ra, vì f(1) = 1 p

= 10, nên f khác tự đồng cấu không của

trường K Vì vậy, ánh xạ : p

f a a là một tự đơn cấu của trường K ▄

1.1.6 Hệ quả Nếu K là trường có đặc số nguyên tố p thì ánh xạ g a : a p nlà một tự đơn cấu của trường K, với mọi số nguyên n 1

Chứng minh Vì trường K có đặc số p, cho nên theo Mệnh đề 1.1.5 ta suy ra ánh

xạ f a: a p là một tự đơn cấu của trường K Vì vậy, ánh xạ tích n lần của f là

n

g f  f f f a a là một tự đơn cấu của K

1.1.7 Mệnh ề Mọi tự đồng cấu khác không của trường p các số nguyên modp đều là tự đẳng cấu đồng nhất

Chứng minh Giả sử f : p  p là một tự đồng cấu bất kỳ của trường p. Khi

đó, ta có f(1) = f(1) f(1), hay f(1) = 0 hoặc f(1) = 1

Nếu f(1) = 0 thì f( k ) = 0, với mọi lớp thặng dư k thuộc trường p, hay

f là tự đồng cấu không Vì vậy, f(1) = 1 và do đó:

f( k ) = kf(1) = k1 = k , (k = 0, 1, , p - 1)

Do đó, f là tự đẳng cấu đồng nhất của trường p ▄

1.1.8 Hệ quả (Định lý Fermat bé) Với mọi số nguyên a và với mọi số nguyên tố

p, ta có đồng dư thức sau đây: a p a(mod )p

Chứng minh Vì trường p có đặc số nguyên tố p cho nên ánh xạ f a: a p là một tự đơn cấu của trường p Do đó, theo Mệnh đề 1.1.7 ta suy ra f là tự đẳng

cấu đồng nhất của trường p Vì vậy, ta có a p a hay a p a Từ đẳng thức này, suy ra a p a(mod )p ▄

9

1.2 Mở rộng trường

1.2.1 Định nghĩa Giả sử K là một trường con của E Khi đó, ta nói E là một

trường mở rộng hay là một mở rộng của trường K Mở rộng E của trường K

được ký hiệu E/K Giả sử E là một mở rộng của trường K, ta có thể xem E là một không gian vectơ trên K Nếu E là không gian vectơ hữu hạn chiều trên trường

K, thì ta nói E là mở rộng bậc hữu hạn của trường K Số chiều n của không gian

vectơ E trên K được gọi là bậc của mở rộng E trên K Ta ký hiệu [E : K] là bậc của mở rộng E trên K

Như vậy, ta có [E : K] = dimE = n Mỗi cơ sở của không gian vectơ E

trên K được gọi là một cơ sở của mở rộng E trên K

1.2.2 Phần t ại số Phần t siêu việt Cho K là một trường và E là một mở

rộng của K Phần tử uE được gọi là phần tử đại số trên K nếu tồn tại đa thức

khác không f x( )  K[x] sao cho f(u) = 0 Phần tử uE không đại số trên K, được gọi là phần tử siêu việt trên K Nói khác đi, một phần tử uE là phần tử

siêu việt trên trường K nếu với mọi hệ thức đa thức có dạng:

1.2.3 Mở rộng ại số v mở rộng siêu việt Ta gọi mở rộng E của trường K là

mở rộng đại số trên K nếu mọi phần tử uE đều là phần tử đại số trên K Ta gọi

mở rộng E của trường K là mở rộng siêu việt trên K nếu mở rông E không phải là

mở rộng đại số trên K

1.2.6 Mở rộng chuẩn tắc Một mở rộng đại số E của trường K được gọi là mở

rộng chuẩn tắc trên K nếu với mọi đa thức bất khả quy f x( ) trong vành đa thức

K[x], nếu f x( )có một nghiệm trong E thì f x( ) phân tích được thành tích các nhân tử tuyến tính (hay f x( )phân rã được) trong vành đa thức E[x]

1.2.7 Định lý Một mở rộng bậc hữu hạn E của trường K là mở rộng chuẩn tắc

trên K khi và chỉ khi E là trường nghiệm của một đa thức nào đó trên K

1.2.8 Định nghĩa Cho P là một trường nguyên tố Mỗi nghiệm của phương

trình x n  1 0 trong một trường mở rộng K của P được gọi là căn bậc n của đơn

vị Trường nghiệm của đa thức x n 1 trên trường nguyên tố P được gọi là trường

chia đường tròn, ký hiệu bởi R n

Phần tử sinh của nhóm các căn bậc n của đơn vị được gọi là căn nguyên

thuỷ của đơn vị

Số căn nguyên thuỷ bậc n chính là giá trị của hàm Euler  ( )n

1.2.9 Định nghĩa Đa thức F x n( )   (x 1) (x( )n) , trong đó 1, ,( )n là tất cả

các căn nguyên thuỷ bậc n của đơn vị, gọi là đa thức chia đường tròn bậc n 1.2.10 Định lý Nhóm nhân các căn bậc n của đơn vị là một nhóm xyclic cấp n

11

1.3 Nh m Galois

1.3.1 Định nghĩa. Giả sử F là mở rộng của trường K và giả sử G là nhóm các K

tự đẳng cấu của trường F, còn H là một nhóm con của G Khi đó tập hợp

Nếu E là trường nghiệm của đa thức f x( ) trên K thì ta cũng sẽ gọi nhóm Galois của mở rộng E trên K là nhóm Galois của đa thức f x( )

1.3.2 Mệnh ề Giả sử F là một mở rộng bậc hữu hạn trên trường K và H là

nhóm con hữu hạn cấp n của nhóm các K – tự đẳng cấu của trường F Khi đó,

ta có n [ :F F H] với H

F là trường con bất động của F dưới H

Mệnh đề được suy ra trực tiếp từ các bổ đề sau:

1.3.3 Bổ ề Cho  1, 2, ,n là những đẳng cấu khác nhau từ trường E vào trường E' thỏa mãn điều kiện

x a x  a  x n n a  (*) với mọi aE Khi đó 0

x  x  xn  Chứng minh Ta chứng minh bằng quy nạp theo n

Với 1n ta có ( ) 0

1 1

x a  Do 1(1) 1  nên x1 0 Với n 1, nhân hai vế của hệ thức trên với n( )c (cE) ta được

1 1

x a n c  x n n a n c  (1) Mặt khác, trong hệ thức (*) thay abởi acta được

x a c  x n n an c  (2) Trừ từng vế của (1) cho (2):

1.3.4 Bổ ề Với giả thiết của Bổ đề 1.3.3 ta có n [ :F F H]

Chứng minh Giả sử ngược lại rằng [ :F F H]  r n trong đó n là cấp của nhóm H Giả sử c1, ,c r là một cơ sở của không gian vectơ F trên H

x x   xn 

Và điều vô lý này sẽ chứng minh cho kết luận của mệnh đề

Nếu phần tử aFthì a biểu diễn được duy nhất dưới dạng

14 Điều này trái với giả thiết về tính bé nhất của m

Không làm mất tính tổng quát giả sử 1, , ,

F - không gian F nhỏ hơn m, từ đó [ :F F H]n ▄ Theo định nghĩa của nhóm các K – tự đẳng cấu của trường mở rộng F ta

KF Một vấn đề nảy sinh là với những điều kiện nào thì F G K? Mệnh

đề sau cho ta một trong các điều kiện như vậy

1.3.6 Định lý Trong trường nghiệm F của một đa thức tách được f x( ) K x[ ]

trường bất động dưới nhóm Galois G đúng bằng K F, G K

Chứng minh Đặt 0 G

F F , rõ ràng K F0 Theo Mệnh đề 1.3.2 thì cấp của nhóm

G đúng bằng bậc của mở rộng [F F: 0]

Mặt khác, cấp của nhóm G, tức là số tự đẳng cấu  đúng bằng bậc mở rộng [F K: ] Bởi vậy [ :F K] [ :  F F0] Do K F0 nên K F0 ▄

Giả sử E là mở rộng bậc hữu hạn của trường K Gọi Aut(E) là nhóm nhân các tự đẳng cấu của trường E Ký hiệu

( , ) { ( ) | ( ) , }

GG E K   Aut E  t   t t K

15

1.3.7 Định lý các ặc trƣng c a mở rộng Galois ([5]) Giả sử E là mở rộng

có bậc hữu hạn của trường K Đặt G = G E,K) là nhóm Galois của E trên K, C

= E,G) là trường con bất biến của biến của E bởi G Khi đó, các phát biểu sau

là tương đương:

a) # G [ :E K]

b) C E K( , ) K

c) E là mở rộng chuẩn tắc và tách được của K

d) E là trường phân rã của một đa thức tách được f x ) trên K

1.3.8 Định lý cơ ản c a Lý thuyết Galois ([5]) Giả sử F là một mở rộng

Galoa của trường K và GG F K( / ) là nhóm Galois của nó Khi đó

( )i Tồn tại một song ánh giữa các nhóm con của G và các trường con F chứa K, cho bởi các tương ứng

1.3.9 Định lý ([5]) Giả sử E là một trường trung gian của mở rộng Galois F

trên K Trường con E là mở rộng Galois trên K khi và chỉ khi nhóm con G E( ) là chuẩn tắc trong nhóm Galois GG F F( / ) Khi đó

G E K G F K G F E

1.3.10 Định lý ([5]) (Điều kiện của mở rộng trung gian là mở rộng Galois)

Trường trung gian R là một mở rộng Galois trên trường K khi và chỉ khi nhóm Galois HG E R( , ) của E trên R là nhóm con chuẩn tắc trong nhóm Galois

( , )

GG E K của E trên K Hơn nữa, ta có G R K( , ) G H/

16

CHƯƠNG 2

MỞ RỘNG XYCLIC VÀ MỞ RỘNG CĂN

2.1 Mở rộng yclic

Trong toàn bộ chương này, ta luôn giả thiết K là trường có đặc số 0 Giả

thiết như vậy là đảm bảo cho K chứa trường số hữu tỉ

2.1.1 Định nghĩa Mở rộng Galois KF được gọi là mở rộng xyclic nếu nhóm

Galois của nó là nhóm xyclic

V d Trường chia đường tròn R p trên với pnguyên tố là mở rộng xyclic

Trong trường hợp trường cơ sở K chứa mọi căn bậc n của đơn vị, cấu trúc của mở rộng xyclic được mô tả qua định lý sau

17

2.1.2 Định lý (Mô tả cấu trúc của mở rộng xyclic trong trường hợp trường cơ

sở chứa mọi căn bậc n của đơn vị) Giả sử K là một trường có đặc số 0 và chứa các căn bậc n của đơn vị Khi đó, nếu F là mở rộng xyclic bậc n trên K thì

( )

F K  với  là nghiệm của phương trình nhị thức x n a 0 (aK) và là

trường nghiệm của đa thức ấy

Chứng minh Gọi  là căn nguyên thuỷ bậc ncủa đơn vị, còn  là phần tử sinh của nhóm xyclic GG F K( / ) Với mọi phần tử uF ta lập biểu thức, gọi là giải thức Lagrăng,

Như vậy phần tử n bất động đối với mọi tự đẳng cấu thuộc nhóm G Do

F là mở rộng Galois trên K nên n a 0 Bây giờ ta chứng minh F K( ) 

( ) ( ) ,

     i Bởi vậy  i( )  khi và chỉ khi i 0, nghĩa

là  chỉ bất động đối với tự đẳng cấu đồng nhất 0

id   Theo Định lý cơ bản của Lý thuyết Galois tương ứng nhóm con – trường con thì tương ứng với nhóm con đơn vị phải là F, do đó K( )  F

Cuối cùng do mọi nghiệm của x n a có dạng  i ,i0,1, ,n1, đều thuộc F nên F K( )  là trường nghiệm của n

x a Đảo lại ta có định lý sau

2.1.3 Định lý Giả sử F K( )  , trong đó  là nghiệm của nhị thức x n a K x[ ]

và K là trường có đặc số 0, chứa các căn bậc n của đơn vị Khi đó, F là mở rộng xyclic trên K

Chứng minh Gọi  là một nghiệm của n

x a Thế thì mọi nghiệm của nhị thức này là

K Đa thức tối tiểu của phần tử  là ước  ( )x của x na Các nghiệm của  ( )x

có dạng  k , với những k nguyên nào đó.Vì rằng mọi Ktự đẳng cấu của F biến mỗi nghiệm của  ( )x thành một nghiệm liên hợp với nó nên phần tử của nhóm Galois GG F K( / ) có dạng : k

k

   

  , (n  1) Xét ánh xạ từ nhóm G đến nhóm cộng n là  :G n

k k

Có thể thấy rằng là đồng cấu nhóm, hơn nữa là đơn cấu Bởi vậy G đẳng cấu với ảnh  ( )G Do  ( )G là nhóm con của nhóm xyclic nên nó cũng là nhóm xyclic.Vậy G là nhóm xyclic

tắc trên K

2.2.2 Định lý Mọi mở rộng căn F của trường cơ sở K được chứa trong một mở

rộng F đồng thời là mở rộng căn và chuẩn tắc trên K Khi đó, ta nói rằng F là

mở rộng căn chuẩn tắc trên K

Để chứng minh Định lý 2.2.2 trước hết ta chứng minh bổ đề sau

19

2.2.3 Bổ ề Giả sử K là trường tuỳ ý, E là mở rộng chuẩn tắc có bậc hữu

hạn trên K và F là mở rộng chuẩn tắc có bậc hữu hạn trên E Khi đó F là mở rộng chuẩn tắc trên K nếu và chỉ nếu F là trường nghiệm trên E của một đa thức

trên K

Chứng minh 1) Nếu F là mở rộng chuẩn tắc trên K thì F là trường nghiệm của đa

thức f x( ) K x[ ] (Định lý 1.2.6) và vì vậy F là trường nghiệm của f(x) trên E

2) Ngược lại, giả sử rằng ( , , )

1

F E u un trong đó u1, ,u n là mọi nghiệm của một đa thức f x( )K x[ ] Do E chuẩn tắc trên K nên E là trường nghiệm của một đa thức ( )g x K x[ ], ( , , )

Chứng minh định lý Bây giờ ta chứng minh Định lý 2.2.2 bằng quy nạp theo độ

dài s của dãy mở rộng (1)

Xét mở rộng căn F với dãy (1) độ dài s1 Bởi vì EK s1 là mở rộng căn của K với độ dài s 1 nên theo giả thiết quy nạp tồn tại mở rộng căn E, chuẩn tắc trên K và chứa E

K E E

Theo giả thiết F K s là mở rộng căn đơn của trường EK s1 tức là

( )

FE  , n  u E

20 trên trường cơ sở K Do E chuẩn tắc Xét đa thức tối tiểu g x( ) của u

và u E E nên E chứa tất cả các nghiệm , , ,

Theo giả thiết quy nạp E là mở rộng căn của K nên có dãy căn bắt đầu từ

K và kết thúc ở E Tiếp nối dãy này với dãy (2) ta được dãy căn của F bắt đầu

từ K Như vậy F là mở rộng căn của trường K Bây giờ ta chứng tỏ F là mở rộng chuẩn tắc trên K Xét đa thức G x( ) g x( n) Thế thì G x( ) K x[ ] Do

1

G x  x u x un

nên các phần tử c c1, 2, ,c r là nghiệm của đa thức G x( ) Mọi nghiệm còn lại của

đa thức này nhận được từ phép nhân mỗi nghiệm c1, ,c r với các luỹ thừa của 

Vì vậy F chứa trường nghiệm Q của G x( ) trên trường E Mặt khác

1

F E c c r Q Vậy F Q, nghĩa là F là trường nghiệm trên E của đa thức G x( ) K x[ ] Theo Bổ đề 2.2.3, F là chuẩn tắc trên K Định lý được chứng minh hoàn toàn ▄

2.3 T nh giải ƣ c c a nh m Galois c a mở rộng c n 2.3.1 Định nghĩa Nhóm G gọi là nhóm giải được nếu nó có dãy nhóm con

GH H  H  e (1)