Về mở rộng tách được và thuần túy không tách được

Trong mở rộng trường, người ta đã chứng minh được rằng, mọi trường K đều có một mở rộng đóng đại số duy nhất và hệ quả quan trọng là Định lý cơ bản của Đại số học: Trường số phức C là t

1

Bộ giáo dục và đào tạo Tr-ờng đại học Vinh -

TRỊNH NGỌC SƠN

VỀ MỞ RỘNG TÁCH ĐƯỢC VÀ THUẦN TÚY KHễNG TÁCH ĐƯỢC

Luận văn thạc sĩ toán học

Vinh 2010

2

Bộ giáo dục và đào tạo Tr-ờng đại học Vinh -

TRỊNH NGỌC SƠN

VỀ MỞ RỘNG TÁCH ĐƯỢC VÀ

THUẦN TÚY KHễNG TÁCH ĐƯỢC

Chuyên ngành đại số và Lý thuyết số

số cơ bản Trong mở rộng trường, người ta đã chứng minh được rằng, mọi

trường K đều có một mở rộng đóng đại số duy nhất và hệ quả quan trọng

là Định lý cơ bản của Đại số học: Trường số phức C là trường đóng đại

số

Một trong những nội dung quan trọng và có nhiều ứng dụng sâu sắc trong việc xây dựng các trường hoàn chỉnh của lý thuyết mở rộng trường

là mở rộng tách được và thuần tuý không tách được

Với những lý do nêu trên, chúng tôi lựa chọn đề tài “Mở rộng tách

được và thuần tuý không tách được” nhằm tìm hiểu các kết quả, tính

chất cơ bản và ứng dụng của các loại mở rộng trường này

Các khái niệm cơ sở về mở rộng tách được và thuần tuý không tách đượccó thể tóm tắt như sau:

1 Giả sử E là mở rộng hữu hạn của trường K Ta nói E là mở rộng

tách được trên K nếu và chỉ nếu mọi phần tử của E đều tách được trên K

Phần tử a thuộc E được gọi là tách được trên K nếu đa thức cực tiểu của a trên K là đa thức tách được trên K Đa thức f(x) trên K được gọi là đa thức

tách được trên K nếu f(x) không có nghiệm bội trong K

4

2 Giả sử K là trường có đặc số p > 0 và E là mở rộng hữu hạn của trường K Ta nói E là mở rộng thuần tuý không tách được trên K nếu và chỉ nếu mọi phần tử của E đều thuần tuý không tách được trên K

Phần tử a thuộc E được gọi là thuần tuý không tách được trên K nếu tồn tại số tự nhiên n sao cho a p n thuộc K

Ngoài các phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung luận văn này gồm hai chương

Nội dung chương 1 trình bày các kiến thức cơ sở về mở rộng trường, mở rộng đại số, trường phân rã của đa thức, trường đóng đại số,

mở rộng đóng đại số, bao đóng đại số của trường, mở rộng chuẩn tắc

Nội dung chương 2 giới thiệu về khái niệm, tính chất, kết quả và ứng dụng của mở rộng tách được và thuần tuý không tách được Các nội dung đáng chú ý là:

 Các mở rộng tách được lập thành lớp được đánh dấu các mở

(iii) Phương trình bất khả quy đối với mọi phần tử  E trên k có dạng X n  a 0 với n  0 và ak nào đó

(iv) Tồn tại một tập các phần tử sinh  i iI của trường E trên k , sao cho mỗi phần tử i thuần túy không tách được trên k

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Thành Quang Nhân dịp này, tác giả bày tỏ lòng biết ơn đến thầy giáo hướng dẫn

5

Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến PGS.TS Ngô Sĩ Tùng, PGS.TS Lê Quốc Hán, TS Nguyễn Thị Hồng Loan và các thầy cô giáo khác trong chuyên ngành Đại số - Khoa Toán và Khoa Đào tạo Sau đại học – Trường Đại học Vinh đã giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập

Mặc dù đã hết sức cố gắng, luận văn không tránh khỏi những thiếu sót Tác giả mong muốn nhận được sự chỉ bảo của qúy thầy cô giáo và các bạn học viên

Vinh, tháng 11 năm 2010

Tác giả

của trường F được kí hiệu bởi E F: hay E / F

Ta có thể coi E như một không gian vevtơ trên F, và ta nói rằng E

là mở rộng bậc hữu hạn hay mở rộng bậc vô hạn của F tùy thuộc vào số chiều của không gian vectơ đó là hữu hạn hay vô hạn

Ta kí hiệu E F: là số chiều của không gian vectơ E và cũng được gọi là bậc của E trên F Bậc mở rộng E F:  có thể vô hạn

1.1.2 Định nghĩa Giả sử E là trường mở rộng của trường F

a) Phần tử  E được gọi là phần tử đại số trên F nếu nó là nghiệm của một đa thức f(x) khác 0 trong F x 

b) Mở rộng E trên F được gọi là mở rộng đại số trên F nếu mọi phần tử củaE đều đại số trên F

c) Nếu α là phần tử đại số trên F thì tồn tại đa thức f(x) khác 0

trong F x nhận α làm nghiệm Trong những đa thức đó, ta ký hiệu p(x) là

đa thức đơn hệ có bậc nhỏ nhất Khi đó, p(x) bất khả quy trên F, hơn nữa

p(x) được xác định duy nhất bởi phần tử α và sẽ được gọi là đa thức cực tiểu của α trên F. Ta còn kí hiệu p x( )  ir ( , , )r  F x

1.1.3 Định lý Mọi mở rộng hữu hạn E của trường F đều là mở rộng đại số trên F

  là cơ sở của trường E trên k

Chứng minh Giả sử zE Theo giả thiết, tồn tại các phần tử j F, hầu hết bằng không, sao cho j j

cùng c ij = 0 với mọi i, vì  x là cơ sở của trường i F trên k 

1.1.5 Hệ quả Mở rộng E F k là hữu hạn khi và chi khi E hữu hạn trên F và F hữu hạn trên k

Giả sử k là một trường, E là mở rộng của k và  E Ta kí hiệu

k( ) là trường con bé nhất trong E chứa k và 

1.1.6 Mệnh đề Giả sử α là phần tử đại số trên k Thế thì k( ) k[ ]  và k(α) hữu hạn trên k Bậc k( ) :  k bằng bậc của đa thức cực tiểu của α trên k

Từ đó ta được h( ) ( )a f a  1, nghĩa là f( )a khả nghịch trong k[α] Do đó

k[α] là một trường và vì vậy phải bằng k(α)

Giả sử d = degp(x) Các lũy thừa: 2 1

Thế thì g 0và g(α) = 0, thành thử g(x) chia hết p(x) mâu thuẫn

Cuối cùng, giả sử f( ) k  , trong đó f x k x[ ].Tồn tại

các đa thức ( ), ( ) q x r x k x[ ] sao cho degr < d và ( ) f x q x p x( ) ( )r x( )

Thế thì f     r  và ta thấy 2 1

1, ,   , d sinh ra k[α] như một không gian vectơ trên k. 

1.1.7 Định nghĩa Giả sử E , F là các mở rộng của trường k Nếu E và F

được chứa trong một trường L nào đó, thì ta kí hiệu EF là trường con bé

nhất của L chứa E và F, và gọi nó là hợp tử của E và F trong L

1.1.8 Mệnh đề Mọi mở rộng hữu hạn E của trường k là hữu hạn sinh Chứng minh Giả sử  1, 2,, nlà cơ sở của trường E coi như không

gian vectơ trên k Lúc đó hiển nhiên Ek 1, 2,, n

Nếu Ek 1, 2,, n là một trường hữu hạn sinh và Flà

một mở rộng của trường k sao cho cả E và F đều được chứa trong trường

L, thì EF F , ,,   và trường EF là hữu hạn sinh trên F

) , ( ) ( 1 k 1 2 k 1 2 n k

k           , trong đó mỗi trường sinh bởi một phần tử trên trường đứng trước nó Giả

sử mỗi phần tử a i , là đại số trên k, i = 1,…,n, ta được a i1 là phần tử đại số

trên k a( , , )1 a Thành thử mỗi tầng của tháp là mở rộng đại số i 

1.1.9 Mệnh đề Giả sử E k a( , ,1 a n) là mở rộng hữu hạn sinh của trường k, trong đó a

i là phần tử đại số trên trường k với mỗi i = 1, 2,…, n Thế thì E là mở rộng đại số hữu hạn của trường k

1.1.10 Định nghĩa Giả sử L là một lớp nào đó các mở rộng FE Ta sẽ gọi lớp L là được đánh dấu, nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:

i) Giả sử k FE là tháp các trường Mở rộng k  E thuộc L khi và chỉ khi k Fvà F E thuộc L

ii) Nếu k E thuộc L , còn F là mở rộng tùy ý của trường k và

nếu cả E và F được chứa trong trường L nào đó, thì F EF thuộc L

iii) Nếu k F và k E thuộc L, trong đóE F, là các trường con

của một trường nào đó, thì kEF thuộc L

1.1.11 Định nghĩa

a) Một trường K được gọi là trường đóng đại số nếu mọi đa thức

0  f x( ) K x[ ], với degf  1 đều có ít nhất một nghiệm trong K

b) Mở rộng trường E trên K được gọi là mở rộng đóng đại số trên K nếu E là trường đóng đại số

1.1.12 Mệnh đề Các phát biểu sau đây là tương đương:

i) K là trường đóng đại số

ii) Mọi đa thức 0  f K x[ ],với degf  1 đều có ước bậc nhất x – u trong K x[ ].

10

iii) Mọi đa thức 0  f K x[ ], với degf  1 đều phân tích được

thành tích của các nhân tử tuyến tính f(x) c(xu1)(xu2) (xu n), trong

Chứng minh Đặt A {u u đại số trên Q }

Ta có Q A, vì mọi uQ đều là nghiệm của đa thức x u Q[ ]x

Với u v, A, các mở rộng đơn Q u Q v( ), ( ) của trường Q đều là các mở rộng hữu hạn trên Q, cho nên mở rộng lặp Q u u( , ) Q u v( )( ) cũng có bậc hữu hạn

trên Q Do đó các phần tử uv uv, và 1

v (với v0) của trường

( , )( , )

Q u v u v đều đại số trên Q nghĩa là đều thuộc A

Vậy A là trường con của trường số phức và A chứa Q 

1.1.14 Định lý Trường A các số đại số là một trường đóng đại số

Chứng minh Xét đa thức bất kỳ khác không

Khi đó F là mở rộng hữu hạn của trường Q

Vì các hệ số của đa thức f (x)thuộc F, cho nên mỗi nghiệm tùy ý

u của f (x) đều đại số trên F Do đó mở rộng F (u) của F cũng là mở

11

rộng bậc hữu hạn của Q Vì vậy, phần tử uF u( ) là phần tử đại số trên Q,

hay u là một số đại số, tức u A Vậy, trường A là một trường đóng đại

số.

1.1.15 Định lý Với mọi số nguyên tố p, tồn tại trường đóng đại số đặc số

p

Chứng minh Với trường Zp các số nguyên modp, số các đa thức khác

không, bậc n của vành Zp[x] là (p - 1)p n Vì thế, ta có thể phân Zp[x] thành

lớp: lớp các đa thức bậc nhất f1(x)  Zp[x], lớp các đa thức bậc hai f2(x) 

Zp[x],…Từ dãy vô hạn các lớp đa thức này của vành đa thức Zp[x], ta định

nghĩa một dãy các trường (Fn), (nN), bằng quy nạp như sau:

 F0= Z p

 Với n 1, Fn là trường nghiệm của đa thức f n F n1[x]

Như thế ta thu được một dây chuyền tăng các trường

F Hợp F được trang bị phép cộng và phép nhân: với bất kỳ a, b

F tồn tại một trường F n của dây chuyền, sao cho a, b F n, nên ta có thể

định nghĩa tổng a + b và tích ab như tổng và tích của a, b trong F n Rõ ràng F với phép nhân và phép cộng như vậy là một trường Hơn nữa, vì trường F chứa trường F0= Zp như là một trường con, cho nên Fcũng có đặc số p

Để chứng minh F là trường đóng đại số, ta giả sử

g x( ) a0a x1 a x r r

là một đa thức bất kỳ có bậc r1 của vành đa thức F x[ ], khi đó tất cả các

hệ số a i của đa thức g(x) sẽ thuộc vào trường nghiệm F n nào đó của một

đa thức có hệ tử thuộc trường Z p Do đó các hệ tử ai của g(x) đều là phần

12

tử đại số trên Z p Vì vậy, mở rộng lặp Z p(a 0 , a 1 ,…,a r) là một mở rộng hữu

hạn hay là mở rộng đại số của Z p Trong trường nghiệm N của đa thức

g(x) trên trường Zp (a 0 , a 1 ,…,a r ), đa thức g(x) phân rã được thành các nhân

tử tuyến tính:

( ) ( )( ) ( r)

g x c x u x u x u

Vì mỗi phần tử u i đều đại số trên Z p, nên u i có đa thức bất khả

quy cực tiểu q x i( )ZP[x] Đa thức qq q1 2 q r Z p[x] nhận các u i (1ir) làm nghiệm Do đó q là một bộ khác không của g

Đa thức qZ p[x] phân rã được thành tích của các nhân tử tuyến tính trong một trường nghiệm F m của nó trên trường F m1 nào đó, trong dây chuyền các mở rộng trường của F = Z0 p đã nói ở trên Do đó ước g của q phân rã

Phép nhúng chìm  của trường E vào L được gọi

là phép nhúng chìm trên , nếu thu hẹp của  trên F thì bằng  Ta cũng nói rằng  là mở rộng cuả  Nếu  là phép nhúng chìm đồng nhất thì ta nói  là phép nhúng chìm của trường E trên F.

1.2.2 Nhận xét Cho E/F là một mở rộng trường, f x( )F x  và  là nghiệm của f trong E Nếu  là mở rộng của  thì   là nghiệm của f (Kí hiệu f

thay cho  ( )f ) Thật vậy, giả sử ( ) 0 1 n

n

f x  a a xa x , trong đó a iF, vì  là nghiệm của f trong E nên

n n n n

Điều này chứng tỏ ( )  là nghiệm của f.

1.2.3 Bổ đề Giả sử E là một mở rộng đại số của trường k và giả sử

là mở rộng hữu hạn trên k Ngoài ra,  phải chuyển mọi nghiệm của đa

thức p(x) thành nghiệm của chính đa thức đó, cho nên ánh xạ E vào chính

nó Ta có thể coi  như k - đồng cấu của các không gian vectơ, vì  cảm

sinh ánh xạ đồng nhất trên k Vì  là đơn ánh, nên ảnh (E’) là không gian con của E’, có cùng số chiều như [E’: k] Thành thử ( ') E E' Vì



 E ’, nên từ đó suy ra  nằm trong ảnh của ánh xạ  

1.2.4 Bổ đề Giả sử E 1 , E 2 là các mở rộng của trường k, được chứa trong một trường E lớn hơn nào đó, và giả sử  là phép nhúng chìm E vào trường L Thế thì

(E E ) (E ) (E )

    Chứng minh Áp dụng  vào các thương của các phần tử dạng đã nêu, chẳng hạn

Giả sử k là một trường, f(x) là một đa thức có degf  1 thuộc k[x]

Ta xét bài toán tìm một mở rộng E của trường k, trong đó f(x) có nghiệm Nếu p(x) là đa thức bất khả quy trong k[x] chia hết f(x), thì mọi nghiệm

của p(x) cũng là nghiệm của f(x), cho nên ta có thể chỉ xét các đa thức bất

khả quy

Giả sử p(x) là một đa thức bất khả quy Đồng cấu chính tắc

Giả sử  là ảnh của x qua đồng cấu  , tức là = (x) là lớp đồng

dư của x modp(x) Lúc đó

( ) ( ) ( ( )) 0

p   p x  p x   Thành thử, phần tử  là nghiệm của đa thức p

 Tồn tại mở rộng E của trường k, trong đó f có nghiệm

Chứng minh Có thể giả thiết rằng f = p bất khả quy Ta chứng tỏ rằng tồn tại trường F và phép nhúng chìm

F

k  :

Sao cho p có nghiệm  trong F Giả sử S là tập có cùng lực lượng với

tập F  k (phần bù của ktrong F ) và không giao với k Đặt E k S

Ta có thể mở rộng  :k F tới song ánh từ E lên F Bây giờ ta xác định trên E một cấu trúc trường Nếu x y, E thì ta định nghĩa:

Khi thu hẹp trên k, các phép toán đó trùng với các phép toán cộng

và nhân đã cho của trường k và rõ ràng k là một trường con của trường E

Ta đặt     1 (  ) Thế thì hiển nhiên là p( ) = 0 

1.2.6 Hệ quả Giả sử k là một trường và f 1 , f 2 ,…,f n là các đa thức thuộc k[x] bậc  1 Thế thì tồn tại mở rộng E của trường k, trong đó mỗi f i có nghiệm,với i = 1,…,n

16

Chứng minh Giả sử E 1 là mở rộng, trong đó f 1 có nghiệm Ta có thể coi f 2

như đa thức trên E 1 Giả sử E 2 là mở rộng của E 1 , trong đó f 2 có nghiệm Tiếp tục bằng quy nạp, ta có hệ quả 

1.2.7 Định lý Với mọi trường k tồn tại trường đóng đại số L nhận k làm

trường con

Chứng minh Trước hết ta xây dựng mở rộng E 1 của trường k, trong đó mọi đa thức thuộc k[x] bậc  1 có nghiệm Có thể làm như sau (theo

Actin) Mỗi đa thức f thuộc k[x] bậc  1 ta đặt tương ứng với một ký hiệu

x f Giả sử S là tập hợp tất cả các ký hiệu x f này (thành thử có một tương

ứng một – một giữa S và tập hợp các đa thức thuộc k[x] bậc  1) Lập vành

đa thức k[S] Ta khẳng định rằng idêan sinh bởi tất cả các đa thức f (x f)

trong k[S] không phải là idêan đơn vị Thật vậy, nếu không thì tồn tại một

tổ hợp hữu hạn các phần tử thuộc idêan đó bằng 1:

Giả sử F là một mở rộng hữu hạn, trong đó mỗi đa thức f , ,1 f n

có nghiệm, chẳng hạn i là nghiệm của f i trong F với i = 1,…,n Đặt 0

i

  với i > n Nếu thay thế i vào chỗ x i trong hệ thức trên, ta được 0

= 1 là điều mâu thuẫn

Giả sử m là idêan tối đại chứa idêan sinh bởi tất cả các đa thức

f (xi) trong k[S] Thế thì k[S]/m là một trường, và ta có ánh xạ chính tắc

:

 k[S]k[S]/m

17

Với mọi đa thức f k x  bậc  1, đa thức f có nghiệm trong

trường k[S]/m là mở rộng của trường  k Dùng lập luận của lý thuyết tập

hợp như trong mệnh đề 1.2.5, ta kết luận rằng tồn tại mở rộng E 1 của

trường k, trong đó mỗi đa thức f k x  bậc  1 có nghiệm

Bằng quy nạp ta có thể xây dựng một chuỗi các trường

E 1E 2…E n… sao cho mỗi đa thức thuộc E n [x] bậc  1 có nghiệm trong E n+1 Giả sử E là

hợp của tất cả các trường E n , n = 1,2,… Thế thì dĩ nhiên E là một trường,

vì với x y, E tùy ý ta tìm được chỉ số n sao cho ,

x yE và chúng xác định cấu trúc trường trên

E Mọi đa thức thuộc E [x] có hệ số trong một trường con E n nào đó, thành

thử, có nghiệm trong E n+1 và như vậy là có nghiệm trong E.

1.2.8 Hệ quả Với mọi trường k tồn tại mở rộng k là mở rộng đại số trên

k và là trường đóng đại số

Chứng minh Giả sử E là mở rộng đóng đại số của trường k, và giả sử k

là hợp của tất cả các mở rộng con của E là mở rộng đại số trên k Thế thì

k là mở rộng đại số trên k Giả sử  E là phần tử đại số trên k Thế thì

 là phần tử đại số trên k Nếu f (x) là đa thức bậc 1 thuộc k x thì

)

(x

f có nghiệm  trong E, và là phần tử đại số trên k Do đó   k và k

là đóng đại số 

1.2.9 Mệnh đề Số các mở rộng có thể của  trên ( ) k  không vượt quá

số nghiệm của đa thức p và bằng số các nghiệm khác nhau của p, với p là

đa thức cực tiểu của 

1.2.10 Định lý Giả sử k là một trường, E là mở rộng đại số của nó và

18

mở rộng của  tới phép nhúng chìm E vào L Nếu E là đóng đại số và L là

mở rộng đại số trên k, thì mọi mở rộng tùy ý như vậy của  sẽ là phép đẳng cấu từ E lên L

Chứng minh Giả sử S là tập tất cả các cặp ( F,  ), trong đó F là trường con của E chứa k và  là mở rộng của  tới phép nhúng chìm F vào L Ta viết

(F, ) (F' ,  ' ) đối với các cặp ( , )F  và (F' ,  ' ), nếu FF' và  ' F   Chú ý rằng tập S không rỗng (nó chứa (k,  )) và được sắp thứ tự quy nạp: nếu{F i, }i là một tập con được sắp thứ tự tuyến tính, thì ta đặt F  F i và xác định  trên F bằng cách đặt nó bằng itrên mỗi F i Thế thì (F,  ) là cận trên của tập con sắp thứ tự tuyến tính đó Áp dụng bổ đề Zoóc, ta thấy

)

,

(K  là phần tử tối đại trong S Lúc đó  là các mở rộng của  , và ta khẳng định rằng K E Trong trường hợp trái lại, tồn tại  E,  K, theo trên phép nhúng  có một mở rộng trên K(  ) trái với tính tối đại của

)

,

(K  Như vậy tồn tại một mở rộng của  trên E Ta lại kí hiệu mở rộng

đó là 

Nếu E là đóng đại số và L là mở rộng đại số trên k , thì E là

đóng đại số và L là mở rộng đại số trên ( ) E , do đó LE 

1.2.11 Hệ quả Giả sử k là một trường và E, E’ là các mở rộng đại số trên

k, giả sử E, E’ là đóng đại số Thế thì tồn tại phép đẳng cấu  :EE' từ

trường E vào E’ cảm sinh ánh xạ đồng nhất trên k

19

1.3 TRƯỜNG PHÂN RÃ VÀ CÁC MỞ RỘNG CHUẨN TẮC

1.3.1 Định nghĩa Giả sử k là một trường, f là một đa thức thuộc k[x]

Trường phân rã (trường phân tích) K của đa thức f là một mở rộng K của

trường k, trong đó f phân tích được thành các nhân tử tuyến tính, tức là

f(x) = c(x -  1 )(x - 2 )…(x -  n), trong đó iK , i = 1,…,n

và K = k( 1 ,…,  n ) sinh bởi tất cả các nghiệm của đa thức f

Ví dụ.1) Xây dựng trường phân rã của đa thức f(x) = x 2 + x+ 1 trên Z 2

Rõ ràng f bất khả quy trên Z 2 Gọi Z 2() là mở rộng đơn sao cho  là

nghiệm của f Khi đó Z 2( ) có 4 phần tử là 0, 1,  và + 1. Ta có  2

+

 + 1 = 0 Rõ rang (1 + ) 2 +(1 +  ) + 1 = 0, nên f có 2 nghiệm trong

Z 2(), do đó f phân rã trong Z 2( ) Suy ra Z 2( ) là trường phân rã của f

trên Z2

2) Nhiều đa thức khác nhau có thể có cùng một trường phân rã

Cho f(x) = (x 2 - 3)(x 3 + 1) thuộc Q[x] Tập nghiệm f trong C là

 Do đó một trường phân rã của f trên Q là

Q( 3 i ) Ta thấy Q( 3 i ) cũng là trường phân rã của g(x) = (x 2 2x

-2)(x 2 + 1) trên Q

1.3.2 Định lý Giả sử K là một trường phân rã của đa thức f ( X) k[X]

Nếu E là một trường phân rã khác của f , thì tồn tại đẳng cấu  :EK

cảm sinh ánh xạ đồng nhất trên k Nếu k Kk , trong đó k là bao đóng

đại số của k, thì mỗi phép nhúng chìm tùy ý từ trường E vào k , cảm sinh

ánh xạ đồng nhất trên k, phải là phép đẳng cấu từ E lên K

Chứng minh Giả sử K là bao đóng đại số của trường K Thế thì K là mở

rộng của trường k, và do đó là bao đóng đại số của nó Theo định lý

1.2.10 tồn tại phép nhúng chìm

: EK

cảm sinh ánh xạ đồng nhất trên k Ta có sự phân tích thành nhân tử

20

f(X) c(X 1)(X  2) (X  n),

trong đó iE,i  1 , ,n Hệ tử cao nhất c nằm trong k ta được

f X( ) f( )X c X( 1)(X 2) (X n) Nhưng trong K [ X] sự phân tích thành nhân tử là duy nhất Vì trong K[X]

đa thức f có sự phân tích

) ) (

)(

( ) (X c X 1 X 2 X n

họ các đa thức thuộc k[X] bậc  1 Trường phân rã đối với họ đó là một

mở rộng K của trường k sao cho mọi f

i phân tích được trong K[X] thành

các nhân tử tuyến tính

Nhận xét: 1) Nếu K là trường phân rã đối với họ  f i I

i  thì K sinh bởi tất

cả các nghiệm của mọi đa thức f i,iI

2) Nếu I hữu hạn và f 1 , …, f n là các đa thức thì trường phân rã của

chúng chính là trường phân rã của một đa thức f(X) = f 1 (X)…f n (X) là tích của

các đa thức đó

1.3.4 Hệ quả Giả sử K là trường phân rã đối với họ  f i i I và E là một

trường phân rã khác nào đó Mọi phép nhúng chìm E vào K, cảm sinh ánh

xạ đồng nhất trên k sẽ xác định phép đẳng cấu từ E lên K

Chứng minh Ta giữ nguyên các kí hiệu ở trên Chú ý rằng E chứa duy

nhất một trường phân rã Ei của f và K chứa duy nhất một trường phân rã

21

K i của đa thức f i Mọi phép nhúng chìm  trường E lên K phải ánh xạ E i

lên K i Vì K là hợp tử của các trường K i nên ánh xạ  phải chuyển E lên

K, và do đó nó cảm sinh một phép đẳng cấu từ E lên K. 

1.3.5 Định lý Giả sử K là mở rộng đại số của trường k, được chứa trong

bao đóng đại số k của k Thế thì các điều kiện sau là tương đương:

CT1: Mọi phép nhúng chìm  của trường K vào k trên k là tự đẳng cấu của trường K

CT2: K là một trường phân rã của một họ nào đó các đa thức thuộc k[X] CT3: Mọi đa thức bất khả quy thuộc k[X], có nghiệm trong K, sẽ phân tích được trong K thành các nhân tử tuyến tính

Chứng minh Giả sử CT1 thỏa mãn Giả sử  là phần tử thuộc K, p( )X

là đa thức bất khả quy của nó trên K và  là nghiệm của đa thức p trong

k Thế thì tồn tại phép đẳng cấu của trường k(  )lên trường k(  )trên k, chuyển  thành Ta mở rộng đẳng cấu đó tới phép nhúng chìm K lên k Theo giả thiết, mở rộng đó là tự đẳng cấu  của trường K, và do đó



  nằm trong K

Như vậy mọi nghiệm của p nằm trong K và p phân tích được

thành các nhân tử tuyến tính trong K[X] Thành thử K là trường phân rã

của họ  p  K, trong đó  chạy qua tất cả các phần tử của trường K, và

như vậy điều kiện CT2 được thỏa mãn

Giả sử CT2 được thỏa mãn và giả sử  f i i I là họ các đa thức mà đối với

nó K là trường phân rã Nếu  là nghiệm của f i nào đó trong K, thì ta biết

rằng  cũng là nghiệm của đa thức đó đối với mọi phép nhúng chìm 

của trường K vào k trên k Vì K sinh bởi tất cả các nghiệm của tất cả các