DIEM ROI TRONG BAT DANG THUC CAUCHY

Như vậy, nếu nhóm và áp dụng BĐT Cô-si như ở trên thì “bế tắc” trong việc tìm giá trị nhỏ nhất của E.. “bế tắc”trong cách giải - không sao, đừng nản chí.[r]

Trong

c AUCHY

BÁO CÁO VIÊN :

GV Đoàn Văn Tố

Đỉnh núi Everest

Tại Nepal, nó mang tên Sagarmatha (nghĩa là "trán trời") Trong tiếng Tây Tạng, nó được gọi Chomolungma (nghĩa là "Thánh mẫu của vũ trụ") Trong tiếng Trung Quốc, nó có tên phiên âm từ tiếng Tây Tạng là Châu Mục Lãng Mã Phong được dịch nghĩa là Thánh Mẫu Phong - "đỉnh núi của Thánh mẫu"

Độ cao 8848 m

Vị trí

Solukhumbu District,Sagarmatha Zone, Nepal Tingri County, Xigazê Prefecture, Khu tự trị Tây Tạng,Cộng hòa Nhân dân Trung Hoa [2]

Dãy núi Mahalangur Himal, Himalayas

Vài dòng tri ân …

Xin mạn phép nói rằng, trong số các bạn, đã có ai đặt cho

mình câu hỏi “ Tại sao người ta luôn phải tìm cách trèo lên đỉnh

núi Everest ? ” Công việc thật sự là quá khó khăn, mà nói cho

cùng cũng chẳng mang lại một lợi ích thiết thực nào cả

Nhưng xin các bạn nhớ cho rằng, trong cuộc sống ngoài những

nhu cầu về vật chất, con người rất cần đến lòng tin, sức mạnh

và ý chí của mình

Xin chân thành cảm ơn các Thầy-Cô, những người đã từng dạy mình

cũng như chưa từng dạy mình, tất cả họ đều đã cho tôi lòng tin, sức

mạnh và ý chí

B

& Kỹ thuật chọn điểm rơi

I- Giới thiệu một số bất đẳng thức thông dụng :

1) Với mọi a, b :

a2 + b2  2ab  (a + b)2  4ab     

2

a b

ab

2 (Dấu “=” xảy ra khi a = b)

2) Với mọi a, b > 0 :

a b

2

b  và a

a b a b (Dấu “=” xảy ra khi a = b)

3) Với mọi a, b : a + b  a +b (Dấu “=” xảy ra khi a.b  0)

và a – b  a – b (Dấu “=” xảy ra khi a  b  0 hoặc a  b  0)

4) Với mọi số a, b, c :

a) 2 2 1 2

2

b) a2 + b2 + c2  ab + bc + ac

c) 3(a2 + b2 + c2)  (a + b + c)2

5) Với mọi số a, b, c không âm :

 (BĐT “Căn trung bình cho hai số”)

 (BĐT “Căn trung bình cho ba số”)

6) Bất đẳng thức Cô-si (Cauchy inequality) cho hai số không âm :

Với a , b và c là ba số không âm : ab2 a.b

Dấu ‘’ = ‘’ xảy ra  a = b

7) Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cop-xki (Bunyakovsky inequality)

Với mọi a, b, c, d : (ac + bd)2  (a2 + b2)(c2 + d2)

Hoặc : acbd  a2b c2 2d2

Dấu “=” xảy ra  a = k.c và b = k.d

8) Với n số thực dương a1,a2, …, an :   2

Dấu ‘’ = ‘’ xảy ra  a1 = a2 = … = an

9) Với m, n, p dương :

 

 

10) Với a, b, c dương : a b c 3

bcca ab 2 (Nesbitt inequality)

( Sẽ nói rõ thêm về BĐT Nesbitt và BĐT AM-GM trong một chuyên đề khác

Các bạn nhớ đón đọc nhé !)

II- Từ những sai lầm thường gặp :

Bài toán 1 : Tìm giá trị lớn nhất của A = x 3 5x

Điều kiện : 3 x 5

Cách 1 “Dùng BĐT căn trung bình”

Ta có A = x 3 5x  x 3 5 x

2

2

= 4 Dấu “=” xảy ra  x + 3 = 5 – x  x = 1 (thỏa điều kiện)

Vậy Amax = 4 tại x = 1

Cách 2 “Dùng BĐT Bu-nhi-a-cốp-ski”

Ta có A = x 3 5x = 1 x 3 1 5x

  2 2   2 2

1 1  x3  5x 

 A  4

Dấu “=” xảy ra  x3 5x  x = 1 (thỏa điều kiện)

Vậy Amax = 4 tại x = 1

Cách 3 “Dùng BĐT Cô-si”

Tất nhiên, hai cách giải trên là đúng Chúng ở đó để đối chiếu với cách giải sau, khi gặp bài toán này, của một số học sinh

Ta có :

1

2 1

2









 A  5

Dấu “=” xảy ra  x 3 1

5 x 1

 





 



 x 2

x 4

 









: vô lý !

 Tới đây, tôi đã gặp nhiều câu trả lời thú vị từ học sinh :

_ có bạn thì nói : Bài toán không có GTLN !

_ có bạn thì lại nói : Đề bài có vấn đề !?

_ bạn kỹ tính hơn thì lại nhận định : Có lẽ hướng “chặn A  5” chưa đúng !

 Các bạn ghi nhớ bài này nhé, ta sẽ giải khi biết “điểm rơi” là gì !

Bài toán 2 :

Cho x > 0, y > 0 thỏa xy = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của B = x y 1

x y

 



(có lẽ, cấu trúc bài toán làm cho học sinh bị “ghiền” Cô-si cho hai số… !? Và thật vậy, nhiều bạn đã miệt mài giải như sau…)

Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số không âm x + y và 1

xy, ta có :

B = x y 1 2 (x y) 1

Dấu “=” xảy ra  x + y = 1

xy  xy2  x + y = 1 (x; y > 0) 1

Kết hợp xy =1, ta có : x 1 1

x

   x2x 1 0  (vô lý ! vì ta đã biết x2x 1 0  với mọi x)

Như vậy thì : Ta chặn được B  2 nhưng không tìm được giá trị của x và y để dấu

“=” xảy ra !

Điều này có nghĩa là : “giải theo Cô-si kiểu này cũng bế tắc luôn !”

Bài toán 3 : Cho a  3 Tìm giá trị nhỏ nhất của C = a 1

a



Có lẽ, một số học sinh sẽ thấy ngay rằng :

_ Khi áp dụng BĐT Cô-si cho hai số không âm a và 1

a thì sẽ cho ra ngay kết quả

là C  2

Nhưng khi tìm a để dấu “=” xảy ra thì :

_ Dấu “=” xảy ra  a = 1

a  a

2

= 1  a = 1 (a không âm) : trái giả thiết a  3

 Các bạn thấy chưa ! dùng Cô-si chặn giá trị các biểu thức cần tìm GTNN-GTLN thì rất đẹp nhưng tìm giá trị của biến để dấu “=” xảy ra là công việc cần phải hết sức cẩn thận !

Bài toán 4 : Cho a, b và c là ba số không âm thỏa a + b + c = 1

Tìm giá trị lớn nhất của D = ab  bc ca  6

Một số học sinh nhận thấy rằng :

 cứ gặp a b là chuyển thành ab 1

 ngoài ra, với giả thiết a + b + c = 1, khi sử dụng Cô-si cho hai số a + b và 1,

sẽ gặp tổng a + b + c và sẽ thay tổng này là 1 Có lẽ là quá đẹp phải không ?

Và các bạn đã giải như sau :

Ta có : D = ab 1  bc 1  ca 1  1 2 a b c 3

2      12.1 3 5

Dấu “=” xảy ra 

a b 1

b c 1

c a 1

 





 



  

 Kết hợp điều kiện a + b + c = 1, ta có được : a = b = c = 0 (mâu thuẫn !)

Tới đây thì ta cũng có kết luận như kết luận của bài toán 2

Và bây giờ thì sẽ giải thế nào đây ?

(Hãy khoan dùng BĐT Cô-si, đề dành khi biết “điểm rơi” là gì !)

Thử dùng BĐT “căn trung bình cho 3 số không âm” :

Ta có : D = ab bc  ca  2 a b c

3

3

 

 3 2 6

3  Dấu “=” xảy ra  ab     a = b = c b c c a

Kết hợp điều kiện a + b + c = 1, ta có được : a = b = c = 1

3 (quá đẹp luôn !)

Bài toán 5 :

Cho x0 , y0 , xy Tìm giá trị nhỏ nhất của 6 E 3x 2y 6 8

x y

Khi gặp bài toán có chứa các biểu thức dạng A  B C, theo kinh nghiệm của tôi, các bạn nên nhớ tới các BĐT sau :

3

 

 A B C  ABC

Với ghi nhớ này, các bạn sẽ giải được rất nhiều bài toán hay

Ví dụ : Giải phương trình xx2  xx2 x 1 (1)(Đề thi HSGTP 09-10)

Hd :

2 2

x 1 x 0

0 x 1

0 x 1

x 1 x 0



 

Khi đó, áp dụng BĐT A B 2 A B

2



Ta có VT(1) 

2

 , trong khi đó VP(1)  2 x (áp

dụng BĐT Cô-si cho hai số không âm x và 1)

Như vậy, dấu “=” ở hai BĐT trên xảy ra  x 12 2 x 21



(!) Kết luận : Phương trình (1) vô nghiệm

Một số bạn dùng BĐT Cô-si cho hai số không âm và giải như sau :

Ta có : E = 3x 6 2y 8

2 3x 2y



 6 2 8

Dấu “=” xảy ra 

6 3x x 8 2y y













2 2









y 2

 









(x > 0, y > 0)

Nhưng khi đó thì x + y < 6 (trái giả thiết)

Như vậy, nếu nhóm và áp dụng BĐT Cô-si như ở trên thì “bế tắc” trong việc tìm giá trị nhỏ nhất của E

Bài toán 6 : Với u + v = 1 và u > 0, v > 0

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Quan sát bài giải một học sinh :

Ta có : F = u2 12 v2 12 2 u v

 2 2 2.2 

 8

Dấu “=” xảy ra  u2 v2   1 u 1

v 1









 (u, v > 0) : trái giả thiết !

Và bài giải một học sinh khác như sau :

Áp dụng BĐT : A 2 + B 2  2AB

Ta có : F =

 2 u 1 v 1

1

2 2 uv

uv

   2 2 2 8

Dấu “=” xảy ra 

 uv 2 1









 uv 1

u v











 u 1

v 1









 (u, v > 0) : trái giả thiết !

_ Các em học sinh này chặn được F  8 nhưng đều “bế tắc”trong cách giải - không sao, đừng nản chí Trong toán học, đây là chuyện bình thường các bạn nên biết rằng, đôi lúc ta học được rất nhiều điều từ sự “bế tắc”!

_ Thế thì bài này giải như thế nào ? Thật ra không cần phải biết “điểm rơi” ở đây làm

gì Ta dùng một số BĐT đúng và BĐT Cô-si thuần túy cho hai số không âm là được rồi…

_ Ta có : F =  2 2

 Áp dụng BĐT : A2

+ B2  1 2

2  (*)

Ta có : u2 + v2  1u v2

2

+ v2  1

2 (vì u + v = 1)

 Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số không âm u, v :

Ta có : u + v  2 uv  1 4

uv Khi đó :



2

.16



8

u v  (**)

_ Vậy : F  1 8 2.2 u v 2

1 12 2 _ Dấu “=” xảy ra  u = v, kết hợp u + v = 1  u = v = 1

2 (**) Giải theo hướng khác :

2



Hoặc :



_ Ta có :

           

_ Thay u + v = 1, ta được :

Mà u v 2

vu   F 13 22

2

   F  121

2 _ Dấu “=” xảy ra  u = v = 1

2

Bài toán 7 : Cho a > c, b > c và c > 0

Chứng minh rằng c a c  c b c  ab(1)

Bài toán này thì đã quá quen thuộc với nhiều người Lời giải bài toán ta bàn sau nhé, hãy xem suy nghĩ của một học sinh khi giải bài toán như sau :

 Quan sát thấy :

 

c ac ở dưới dấu căn và vế phải của BĐT chỉ chứa a, b

…còn chờ gì nữa (?!) chặn ngay : c a c 1c a c

2

 Bài giải như sau :

Áp dụng BĐT cô-si cho hai bộ số không âm : c, a và c, c b c

_ Ta có :

1

2 1

2









 c a c c b c 1a b

2

_ Như vậy, để chứng minh BĐT (1) ta cần chứng minh : 1a b ab

Nhưng điều này là không thể vì ta đã biết 1a b ab

2   (Cô-si hai số)

 Một số cách giải của bài toán :

Cách 1

Hai vế BĐT đã cho không âm, bình phương hai vế - khai triển và thu gọn, ta được BĐT tương đương BĐT đã cho : c ac b c20

Cách 2

Ta có : c a c  c b c  c a c bc c

Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-ski :

c a c bc c  c a c bc c

 cbc  ac c

 ab : đpcm !

Cách 3

Ta có : c a c  c b c  ab  c a c c b c

1

Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số không âm c a, c

 Ta có :

Tương tự : c b c c b c 1 c b c

Vậy : VT(2)  1 c a c c b c

 1.2

2 = 1  đpcm !

Cách 4 “Giải bài toán BĐT bằng phương pháp hình học”

_ Xét ABC có AB = a , AC = b và đường cao AH = c (tất nhiên lúc này thì điều kiện a > c, b > c và c > 0 vẫn đảm bảo Câu hỏi mà bạn quan tâm sẽ là dựng  ABC đó như thế nào ?! Ta nói chuyện này sau nhé…)

_ Tính được BH = a , CH = bc  c _ Ta có SABC = 1 c a c b c

 c a c c b c 2.SABC

Mà : 2.SABC  a b ab (lại nói sau nhé…)

Từ đây ta có đpcm !

 Giải thích một số ý :

a) Dựng ABC :

 ABH vuông tại H có AH = c , AB = a nên ABH dựng được

 Vẽ tia Hx đối tia HB Cung tròn (A; b ) cắt tia Hx tại điểm C Lúc này

ABC xem như dựng xong

b) Tính chất về diện tích tam giác :

Tam giác ABC có độ dài hai cạnh là x và

y (x > 0, y > 0) Khi đó ta luôn luôn có được SABC  1xy

2 Thật vậy, khi kẻ đường cao BH của

ABC thì : SABC = 1BH.AC 1BH.y

Mà BH  x, do đó : SABC  1x.y

2

III- Khái niệm về “điểm rơi” - Một số ví dụ minh họa :

1) Bài toán mở đầu : Cho x  3 Tìm GTNN của P x 1

x

  ?

 Rõ ràng không thể áp dụng BĐT Cô-si ngay để có P x 1 2 x.1 2

dấu “=” xảy ra  x = 1, mâu thuẫn với điều kiện x  3

 Từ điều kiện đề bài “ x  3 ”, ta dự đoán rằng P sẽ có giá trị nhỏ nhất khi “ x =

3 ” và đây chính là “điểm rơi” của bài toán

 Sơ đồ phân tích :

x = 3  1 1

x 3 với P x 1

x

   tách hạng tử x trong P để có :

1 a.b (a b) 2

“=” xảy ra  a = b

b - c

a - c

c

b a

H

A

B

C

H A

Với x = 3 (tức là dấu “=” xảy ra)

?

khi x 3

 Và giải như sau : 1 x 2 1 x 2

x  9  x 9  3

 P = x + 1

x =

   

 P  10

3

 Dễ thấy, dấu “=” xảy ra  x = 3 Vậy Pmin = 10

3 khi x = 3

Bài toán tương tự : Chứng minh rằng x2 3 21 10



( Đề thi HSG Q.9 - 2000.2001)

2) Bài toán thứ nhất : Cho x, y > 0 thỏa mãn xy =1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức : M = x + y + 1

xy

 Vì x, y > 0 và xy = 1 nên ta dự đoán rằng : dấu “=” xảy ra  x = y = 1

 Sơ đồ phân tích :

x = y = 1  1 1 1

xy 1 1  2

Ta sẽ nhóm 1

xy với ? (chắc chắn sẽ được tách ra từ x + y) để khi dùng BĐT Cô-si cho hai số (không âm) ta có được dạng như sau :

x y ? 2 x y ?

Và khi dấu “=” xảy ra tại x = y = 1 thì giá trị 1

xy = giá trị của ?

Như vậy : ? chỉ có thể là x y

4



(để khi x = y =1, sẽ cho giá trị là 1

2)

 Và giải như sau : M = 3(x y) x y 1



Trong đó : 3(x y) 3.2 xy





 (1)

1



Vậy : M  3 1

2  hay M 

5 2

Dấu “=” xảy ra  dấu “=” ở (1) và (2) đồng thời xảy ra



x y















 x y

x y 2 (x, y 0)









 x = y = 1 : đúng như dự đoán

về “ điểm rơi ” ban đầu

3) Bài toán thứ hai : Cho a, b, c > 0 thỏa mãn abc =1

Chứng minh rằng : P =

1 b 1 c 1 a 2

 Dự đoán dấu đẳng thức xảy ra  a = b = c = 1

 Sơ đồ phân tích :

Ý tưởng :

1 b  ? 1b ? (dấu “=” xảy ra 

2

a

1 b = ? khi a = b = 1)

Có

1 b 1 1 2 khi a = b = 1

 cần tạo ra “một lượng mới ?” có tử là 1 + b = 2 và cân bằng với đại lượng

2

a

1 b khi a = b = 1

 mẫu của “lượng mới ?” là 4 để 1+b 1

4 2 khi b =1

 Và giải như sau :

Ta có :

Tương tự :

2

b



  và

2

c



Khi đó : P a b c 1 a 1 b 1 c

Tiếp tục, áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số dương a, b, c :

3

P 3 abc

2

 (*) (quá đẹp phải không !)

 Kiểm tra lại việc dự đoán “ điểm rơi ” : “ a = b = c = 1 ”

Dấu “=” ở (*) xảy ra 

1 b 2a

1 c 2b

1 a 2c

a b c

 



  





 



  



 a = b = c =1

4) Bài toán thứ ba : Hai bài toán “họ hàng” với bài toán thứ hai

4.1) Chứng minh rằng với mọi x, y, z > 0 thì

 

 Dự đoán “điểm rơi” : “ x = y = z ”

 Khi đó

2

xy  2  “lượng mới” cần kết hợp :





 Áp dụng BĐT Cô-si :

2

x



 Nói thêm : Có thể dễ dàng chứng minh bài toán trên thông qua bổ đề sau :

 Nói thêm nữa : Bài toán tổng quát của bài toán trên :

Chứng minh rằng với mọi x, y, z, m, n > 0 thì :

x y z

mxny mynz mznx mn   (Bạn nhớ giải nhé !)

4.2) Cho x, y, z > 0 thoả mãn x + y + z = 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của :

E =

yzzx  xy

 Dự đoán “điểm rơi” : “ x = y = z = 2

3 ”

 Khi đó

2

yz 3  “lượng mới” cần kết hợp :

2 2



 Tương tự như bài toán 4.1) ta có : E 1

 Kiểm chứng lại việc dự đoán “điểm rơi”, ta có : Emin = 1 tại x y z 2

3

5) Bài toán thứ tư : “ Trở về bài toán cũ ”

Cho a, b, c không âm thỏa a + b + c = 1

Chứng minh: ab bc ca  6 (1)

 Dự đoán “điểm rơi” : “ a = b = c = 1

3 ”

 Sơ đồ phân tích :

Cho a1, a2, a3, b1, b2, b3   và b1, b2, b3 > 0

a +a +a

b b b  b b b (BĐT Cauchy-Schwarz )

Ý tưởng : a c  ? 1 a c ?

2

      Dấu “=” xảy ra  ac ?

Mà theo dự đoán, dấu “=” xảy ra tại “điểm rơi” : “ a = b = c = 1

3 ”

Do đó : 2

3  ?

 Và giải như sau :

Ta có : a b  2 1 a b 2

 , tương tự cho :

b c  2

3

 và c a  2

3



Khi đó : 2

3 .VT(1) 1 2 a b c 3.2

 Kiểm tra lại việc dự đoán “điểm rơi” : “ a = b = c = 1

3 ”

Dấu “=” ở (1) xảy ra 

2

3

a b c 1







   



 a = b = c = 1

3

6) Bài toán thứ năm : Dự đoán “điểm rơi” trong BĐT Cauchy qua một cách giải

đã biết trước đó.

Bài toán : Cho A = x 3 5x (1).Tìm giá trị lớn nhất của A ?

Cách giải đã biết trước :

Điều kiện :  3 x5

Áp dụng BĐT “Căn trung bình” cho hai số không âm là x + 3 và 5 : x

x 3 5x  x 3 5 x

2

2

= 4 Dấu “=” xảy ra  x + 3 = 5 – x  x = 1 (thỏa điều kiện) Vậy Amax = 4 tại x = 1

Cách giải khác :

 Tất nhiên theo các trên thì “điểm rơi” là : “ x = 1 ”

 Sơ đồ phân tích :

Ý tưởng : x 3  ? 1 x 3 ?

2

      Khi dấu “=” xảy ra, ta có : x3 ?

Mà theo dự đoán, dấu “=” xảy ra tại “điểm rơi” : “ x = 1 ”

Do đó : 4 để khi x + 3 = 4  x = 1 ?

 Và giải như sau :

Ta có :

1

2 1

2









Như vậy : 2A x 3 4 5 x 4 1x 3 4 5 x 4

2

 A 4

Dấu “=” xảy ra   







 x = 1 (thỏa điều kiện)

Và tất nhiên thỏa dự đoán“điểm rơi” : “ x = 1 ”

Vậy Amax = 4 tại x = 1

7) Bài toán thứ sáu : Chưa có lời giải cho bài toán trước đó, nếu giải theo tinh thần “Dự đoán điểm rơi” thì bài toán trên giải sao đây ?

Xét bài toán “ Tìm GTLN của P = x2 6x ”

 ĐK : 2x6

 Dự đoán “điểm rơi” là : “ x = k : hằng số ”

 Sơ đồ phân tích :

Nếu áp dụng BĐT Cô-si cho từng thành phần :

x 2  ? 1 x 2 ?

2

      6 x  ? 1 6 x ?

2

     

Thông thường giá trị ? trong hai BĐT là như nhau

Thì điều kiện về dấu “=” xảy ra sẽ cho chúng ta :

Do đó : (x2)(6x)2.?

 ? = 2

Bạn biết k bằng bao nhiêu chưa ?

k = _

 Và giải như sau :

Ta có :

1

2 1

2



     









1

2 1

2



 





 Như vậy : 2.P4  P2 2