Veà kó naêng: - Vận dụng được tính chất của bất đẳng thức hoặc dùng phép biến đổi tương đương để chứng minh một số bất đẳng thức đơn giản.. - Biết vận dụng bất đẳng thức Cô - si vào việc[r]
Trang 1Chương IV: BẤT ĐẲNG THỨC - BẤT PHƯƠNG TRÌNH
- Bất đẳng thức
- Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn
- Dấu của nhị thức bậc nhất
- Bất phương trình bậc nhất hai ẩn
- Dấu của tam thức bậc hai
Tuần 14:
Tiết 27 + 28: Bất đẳng thức
Số tiết: 02
I Mục tiêu:
1 Về kiến thức:
- Biết khái niệm và các tính chất của bất đẳng thức
- Hiểu bất đẳng thức Cô - si
- Biết được một số bất đẳng thức có chứa giá trị tuyệt đối
2 Về kĩ năng:
- Vận dụng được tính chất của bất đẳng thức hoặc dùng phép biến đổi tương đương để chứng minh một số bất đẳng thức đơn giản
- Biết vận dụng bất đẳng thức Cô - si vào việc chứng minh một số bất thức hoặc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đơn giản
- Chứng minh được một số bất đẳng thức đơn giản có chứa giá trị tuyệt đối
- Biết biểu diễn các điểm trên trục số thỏa mãn các bất đẳng thức < a; > a ( với a > 0).x x
3 Về tư duy, thái độ:
-Biết quy lạ về, cẩn thận, chính xác;
- Biết được toán học có ứng dụng trong thực tiễn
II Chuẩn bị phương tiện dạy học:
1 Thực tiễn: Đã biết khái niệm bất đẳng thức và kĩ năng chứng minh bất đẳng thức ở cấp 2
2 Phương tiện:
+ GV: Chuẩn bị các bảng phụ kết quả mỗi hoạt động, SGK
+ HS: Đọc bài trước ở nhà, SGK,
III Gợi ý về PPDH: Cơ bản dùng PP gợi mở, vấn đáp thông qua các HĐ điều khiển tư duy.
IV Tiến trình bài học và các hoạt động:
1 Ổn định lớp:
2 Kiểm tra bài cũ: Không trả bài
3 Bài mới:
Tiết 27
I Ôn tập bất đẳng thức
HĐ1: Giúp hs ôn lại khái niệm bất đẳng thức
1 Khái niệm bất đẳng thức
* HĐ1 SGK: Trong các mđề
sau, mđề nào đúng a) 3,25 < 4; b) -5 > -4 ;1
4 c) - 2 £ 3 ?
* HĐ2 SGK: Chọn dấu thích
hợp ( =, <, > ) để khi điền vào
ô vuông ta được 1 mđề đúng
d) a2 + 1 0 với a là 1 số đã W cho
* HS trả lời:
a) Đ b) S c) Đ
a) '' < '' vì 2 2 2,8; b) '' > "
c) " = "
vì 3+2 2=1 +( 2)2+ 2 2 d) " > "
Lop10.com
Trang 2Các mệnh đề dạng '' a< b " hoặc " a > b " đgl
bất đẳng thức.
* Các mđề 1ab, 2abd có dạng
gì ? gl các bđtÞ
* Thế nào là bđt ?
* a < b, a > b
* Phát biểu như cột ND HĐ2: Giúp hs biết bất đẳng thức hệ quả và
bất đẳng thức tương đương
2 Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức
tương đương
* Nếu mệnh đề " a < b c < d " đúng thì ta Þ
nói bất đẳng thức c < d là bất đẳng thức hệ
quả của bất đẳng thức a < b và viết là
a < b c < dÞ
* Các tính chất:
a b a ( tc bắc cầu)
ì <
íï <
ïỵ
a < b, c tùy ý a + c < b + c.Þ
* Nếu bất đẳng thức a < b là hệ quả của bất
đẳng thức c < d và ngược lại thì ta nói hai bất
đẳng thức tương đương với nhau và viết là
a < b Û c < d
* HĐ3 SGK: Chứng minh rằng
a < b Û a - b < 0
+ HD: Cm 2 chiều + Gọi hs lên bảng GV nx.Þ
* Giới thiệu bđt hệ quả
* Nêu 1 số tc của bđt hệ quả đã biết ?
* Giới thiệu bđt tương đương
Hs lên bảng cm
a < b a+(-b) < b+(-b) )
a - b < 0.Þ
a - b < 0 a-b+b < 0+b )
a < b.Þ Vậy: a < b Û a - b < 0
* Nghe hiểu
* Phát biểu như cột ND
* Nghe hiểu
HĐ3: Giúp hs biết các tính chất của bất đẳng
thức
3 Tính chất của bất đẳng thức
* Để cm bất đẳng thức a < b ta chỉ cần chứng
minh a - b < 0 TQ, khi so sánh hai số , hai
biểu thức hoặc cm 1 bất đẳng thức, ta có thể
sử dụng các tính chất của bất đẳng thức sau
gọi
1 a < bÛ a+c < b+c Cộng
2 c > 0 a < b Û ac < bc Nhân
3 c < 0 a < bÛ ac > bc
a c b d
c d
íï
ïỵ
<
<
<
Cộng
5 a> 0
c > 0
a b
ac bd
c d
íï
ïỵ
<
<
<
Nhân
6 n Z Ỵ + a < bÛ a2n+1 < b2n+1 Nâng
7 0 < a < bÛ a2n < b2n
8 a> 0 a < bÛ a< b Khai
9 a < b Û 3a< 3 b
* Vd: Cho pt ax2 + bx + c = 0 (a¹ 0, D > 0)
Viết ct nghiệm của pt và chỉ ra nghiệm bé,
nghiệm lớn
Giải
+ Công thức nghiệm:
x1 = b , x2 =
2a
2a
+ x1 - x2 =
a
D
* Dán bảng phụ các tc của bđt và diễn giải
* HĐ4 SGK: Nêu ví dụ áp
dụng 1 trong các tính chất trên
GV nhận xét Þ
* Gv cho vd
+ Để cm x1 > x2 ta cm gì ? + Tính x1 - x2 ?
+ D là số gì ?
* Nghe hiểu
* Hs cho vd cụ thể
* HS ghi đề
+ x1 - x2 > 0 + Hs tính + dương + Hs biện luận
Trang 3 Nếu a > 0 thì x1 - x2 > 0 xÞ 1 > x2
Nếu a < 0 thì x1 - x2 < 0 xÞ 1 < x2
* Chú ý:
+ Ta còn gặp các mệnh đề dạng a b hoặc £
a b Các mệnh đề này đgl bất đẳng thức.³
+a b hoặc a b gl các bất đẳng thức £ ³
không ngặt.
+ a < b hoặc a > b gl các bất đẳng thức ngặt.
+ Các tính chất nêu trong bảng trên cũng
đúng cho bđt không ngặt
+ Biện luận theo a
* Giới thiệu bđt không ngặt, bđt ngặt
* Nghe hiểu
Tiết 28
II Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và
trung bình nhân ( Bất đẳng thức Cô - si)
HĐ1: Giúp hs hiểu bất đẳng thức Cô - si và
áp dụng vào cm bất đẳng thức
1 Bất đẳng thức Cô - si
* Định lí: Trung bình nhân của 2 số không
âm nhỏ hơn hoặc bằng trung bình cộng của
chúng
(1)
a b
2
+
Đẳng thức ab = a b xảy ra khi và chỉ khi
2 +
a = b
Cm
+ Ta có: ab a b
2
+
£
2
+
1 a b 2 ab 0
2
đúng a,b 0
( )2
2
Vậy: ab a b
2
+
£
+ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
( )2
* Ví dụ: Cho 2 số dương a và b Cm:
(a + b)(1 1) 4
Cm
+ Vì a > 0, b > 0 nên 1 0, 1 0
a> b>
+ Áp dụng bđt Cô - si cho 2 số a, b và 1 1,
a b
ta có:
a b 2 ab 0
ïïï
ïï
ïỵ
* So sánh 2.4 và 2 4;
2 +
2 + + Cho a, b > 0 nhận xét
?
a b
ab va
2 + Định lí Cô - si ? Þ
* Giới thiệu cách cm bđt:
+ Dùng đn, tc của bđt + Từ bđt cần cm Û Û bđt đúng
+ Từ bđt đúng bđt cần cmÞ
a = ?.?
A2 = 0 Û ?
* Cho vd + Hd:Áp dụng bđt Cô-si 2 lần rồi áp dụng tc 5 để cm
= ?
1 1
a b
* 2.4 < 2 4;
2 + =
2
+
a b
ab
2
+
£
Hs phát biểu
* Nghe hiểu và áp dụng vào cm bđt Cô - si
a = a a vì a 0³
A = 0
* Ghi vd + Nghe hd và lần lượt phát biểu như cột ND
= 1
Lop10.com
Trang 4* Mở rộng: ( Bđt Cô - si cho 3 số không âm)
3abc a b c, a,b,c 0
3
+ +
HĐ2: Giúp hs hiểu các hệ quả của bất đẳng
thức Cô - si
2 Các hệ quả
* HQ1: Tổng của 1 số dương với nghịch đảo
của nó lớn hơn hoặc bằng 2
a + 1 2, a 0
* HQ2: Nếu x, y > 0 và có tổng không đổi thì
tích xy lớn nhất khi và chỉ khi x = y.
Cm
+ Đặt S = x + y Áp dụng bđt Cô - si cho 2 số
dương x, y ta có
là số không đổi
xy
+
2
S
xy
4
+ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = S
2 Vậy tích xy đạt giá trị lớn nhất bằng S2 khi
4 và chỉ khi x = y = S
2
Ý nghĩa hình học: Trong tất cả các hcn có
Þ
cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất
* HQ3: Nếu x, y > 0 và có tích không đổi thì
tổng x + y nhỏ nhất khi và chỉ khi x = y.
Ý nghĩa hình học: Trong tất cả các hcn có
Þ
cùng diện tích, hình vuông có chu vi nhỏ
nhất
* Áp dụng bđt Cô-si cho 2 số dương a và ?1
a
* Giới thiệu hq2
* Gọi hs cm
* Gv dán bảng phụ hình vẽ và gọi hs nx
* Giới thiệu hq3
* Gv dán bảng phụ hình vẽ và gọi hs nx
* HĐ5 SGK: Hãy cm hệ quả 3
Áp dụng bđt Cô-si và làm tương tự hq2
+ Gọi hs lên bảng
* a + 1 2 a1 2
* Nghe hiểu
* Hs cm như cột ND
* Hs quan sát hình và phát biểu như cột ND
* Nghe hiểu
* Hs quan sát hình và phát biểu như cột ND
Nghe hiểu và cm:
+ Đặt P = x.y Áp dụng bđt Cô - si cho 2 số dương x, y
ta có
là số
2
+
không đổi
x y 2 P
+ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = P
HĐ3: Giúp hs biết các tính chất của bất đẳng
thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
III Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
* HĐ6 SGK: Nhắc lại đn giá trị tuyệt đối của các số sau: * Hs phát biểu
Trang 5* Định nghĩa: x x khi x 0
x khi x < 0
ïï
= í
ï -ïỵ
* Tính chất:
x ³ 0, x ³ x, x ³ - x
a > 0 x a£ Û - £ £a x a
x a³ Û x£ - a hoac x a³
a- b £ a b+ £ a+ b
* VD: Cho xỴ -[ 2;0] Chứng minh rằng
x 1 1+ £
Giải
x Ỵ -[ 2;0]Þ - £ £2 x 0
2 1 x 1 0 1
1 x 1 1
Þ - + £ + £ +
Þ - £ + £
Þ x 1 1+ £ (đpcm)
a) 0; b) 1,25; c) - ; d) - 3
* Dán bảng các tc và diễn giải Hãy biểu diễn các điểm trên trục số thỏa mãn các bất đẳng thức < a; > a ( với x x
a > 0)
* Cho vd + Đẳng thức cần cm có dạng
tc nào ? + Xuất phát từ xỴ -[ 2;0] để cm
x khi x 0 x
x khi x < 0
ïï
= í
ï -ïỵ
* Nghe hiểu
Hs lên bảng
* Tìm hiểu đề + Có dạng x a£ + Hs cm như cột ND
4 Củng cố: Giáo viên nhắc lại
- Khái niệm bất đẳng thức, bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương, các tc của bất đẳng thức
- Bất đẳng thức Cô - si và các hệ quả
- Cách chứng minh 1 bất đẳng thức
- Các tính chất của bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
5 Hướng dẫn học và bài tập về nhà:
- Học kỹ lý thuyết, làm bài tập 1 đến 5 tr 79 SGK;
- Xem chỉ dẫn lịch sử của Cô - si;
- Xem trước bài: Bất pt và hbpt 1 ẩn
Lop10.com